專題四第3講立體幾何中的向量方法(精)

1、第3講立體幾何中的向量方法感悟高考明確考向(2010-浙江)如圖，在矩形4BCD中，點E,F分別在線段AB, AD上，AE=EB=AF=2FD=4.沿直線EF將AEF翻折成EF,使平面A EF丄平面BEF.(1)求二面角4 -FD-C的余弦值；(2)點M, N分別在線段FD, BC上,若沿直線MN將 四邊形MNCD向上翻折，使C與A重合，求線段FM的長.解 方法一(1)取線段EF的中點連接A H, TA E = Af尸及H是的中點，H丄EF.又平面4 EF丄平面BEF, AfHU平面4 EF,:.ArH丄平面BEF.如圖(1),建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則(2,2,2邁),C( 10,8,

2、0), F(4,0,0), D( 10,0,0).故斎二(_2,2,2血),FD =(6,0,0).設(shè)H= (x, y, z)另平面A F的一個法向量，:.n FAf= 0,/i -FD = 0, .2x + 2y + 2(2z = 0, 6x = 0，圖(1)取Z = 2,則n = (0, -2,邁).又平面CFD的一個法向量加= (0,0,1),故cos 5,加二麗匸3-二面角A -FD-C的余弦值為計.(2)設(shè)FM= %,則M(4 + x,0,0),翻折后C與4重合，:.CM = ArM,故(6 -x)2+ 82+ 02= ( - 2 -%)2+ 22+ (22)2,得x=著， 經(jīng)檢驗，

3、此時點N在直線C上.FM弓.方法二（1）如圖（2）,取線段EF的中點H, 4F的中點G,連接4 G, AfH, GH,川E = Z F及H是EF的中點,A H丄EF.又平面A EF丄平面BEF,/V HU平面A EF, :.AfH丄平面BEF.又4FU平面BEF,故A/丄AF.又TG, H是AF, EF的中點，A GH/AB, :. GH丄AF.又VGHQArH = H、:.AFA.平面A GH , :.AF丄A G,Z4，GH為二面角A，-DF-C的平面角.在RtAAzGH中，”/=2/2, GH=2、AfG = 2晶圖（2）故二面角A -FD-C的余弦值為(2)設(shè)FM = x,翻折后C與

4、重合，.CM = AfM,而CM2= DC2+ DM2= 82+ (6 - x)2,A M1= A,H2+ MH2= AfH2+ MG2+ GH2= (2/2)2+7 1(x + 2)2+ 22,解得才，21經(jīng)檢驗，此時點N在線段上，F(xiàn)Af =考題分析本題主要考查二面角的求解和線段長度的 計算.考查考生的空間想象能力、推理論證能力和運 算求解能力，靈活選擇不同方法解決I：J題的應(yīng)變能 力.本題可川向量法解決，也可丿U傳統(tǒng)兒何法解決， 方法靈活.易錯提醒(1)缺少必要的證明.(2)空間朋標(biāo)系的建立，缺少必要的說明.建系不規(guī)范, 敘述不準確.(3)建立空間處標(biāo)系肩，不能正確寫出點的他標(biāo)或空間 向量

5、坐標(biāo).(4)計算不正確，書寫不規(guī)范.主干知識梳理1.直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法 設(shè)直線/,加的方向向量分別為Q = (d, b, Cj), b = (d2，bp c2).平而a、 的法向量分別為“ =(。3, b39c3), v=(a49b49(74)(以下相同).(1)線面平行l(wèi)/aa丄“Oa“ = 0Oad3 + bi + cC3 = 0.(2)線面垂直/丄aOa“Oa=A/Od =kci3,加=肋3, c =kc.(3)面面平行a”O(jiān)“O“ =畑003 = 4，加=肋4，C3 = kcq(4)面面垂直a丄”0“ 丄農(nóng)0“9 = 0043血 +6擁+(3(?4 = 0.2

6、.直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角計并 設(shè)直線/,加的方向向量分別為d = (d|, b, C|), b =(02，2，c2).平面a、0的法向量分別為“=(如，03, r3), 7)= (a4, h4,c4)(ul卜湘同).(1)線線夾角設(shè)的夾角為&(OW&W，貝Ila方I_ lag + bi/+ciGlCS_ lalMI Qai+X+cN屍+b?+c亍(2)線面夾角設(shè)直線/與平面a的夾角為0(owew,0“|則sin&=jj=cos (a,“.(3)面面夾角 設(shè)平面處0的夾角為&(OW&WTI),貝Olcos01 = Iui = lcos“，

7、v) I.3.求空間距離直線到平面的距離，兩平行平面的距離均可轉(zhuǎn)化為 點到平面的距離，點P到平面。的距離久二回如InI（其中為a的法向量，M為a內(nèi)任一點）.熱點分類突破題型一利用向量證明平行與垂直例1如圖所示，已知直三棱柱ABC A.B.C.中，AABC為等腰直角三角形,ZBAC=90,且D、E、F分別為B/、GC、BC的中點.求證：（1）DE平面ABC；（2）B、F丄平而AEF.思維啟迪 可利用線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理；也可用向量法建立空間直角坐標(biāo)系，用向量的坐標(biāo)運算來解決.證明 如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,令A(yù)B = AA = 4,則4(0,0,0), (0,4,2),

8、F(2,2,0), B(4,0,0), B)(4,0,4).(1)取AB中點為N,連結(jié)CN,則M2,0,0),C(0,4,0), 0(2,0,2), .DE = (-2,4,0),NC = (-2,4,0),/. DE = /VC,:.DE/NC, NCU平面ABC.DEQ平面ABC.故DE平面ABC.(2 )= (-2,2,-4),EF = (2-2-2), AF = (2,2,0).BF-EF =(-2)X2 + 2X(-2) + (-4)X(-2) = 0,貝U瓦F丄喬，BiF丄EF,喬丄AF=(-2)X2 + 2X2 + (-4)X0 = 0.瓦？丄喬，即B|F丄AF,又.AFGFE

9、= F,BF丄平面AEF.X探究提高(1)證明線面平行須證明線線平行，只需證 明這條直線與平面內(nèi)的直線的方向向量平行.可用傳 統(tǒng)法也可用向量法，用向量法更為普遍.(2)證明線面垂直的方法：可用直線的方向向量與平面 的法向量共線證明；也可用直線的方向向量與平面內(nèi) 兩條相交直線的方向向量垂直證明.(3)證明面面垂直通常轉(zhuǎn)化為證線面垂直，也可用兩平 面的法向量垂直來證明.變式訓(xùn)練 1 1 如圖所示，四棱錐SABCD的底而是正 方形，每條側(cè)棱的長都是底而邊長的、扭倍，P為側(cè)棱SD上的點.(1)求證：AC丄SD若SD丄平面則側(cè)棱SC上是否 存在一點E,使得BE平面P1C.若存在，求SE：EC的值；若不存

10、在，試說明理由.(1)證明 連接D,設(shè)AC交3D于0,則AC丄3D由題意知SO丄平面ABCD.z以0為坐標(biāo)原點，阪元麗分別為軸、fy軸、Z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系如圖./!lP設(shè)底面邊長為Q,則高=厶D故oc丄sr從而AC丄S.解 棱SC上存在一點E使BE平面PAC.理由如下： _由已知條件的5s是平面PAC的一個法向量,且萬E - (a,o, a),C5- (0,- a. u).2 2 2 2設(shè)CE=tCS,則BE= 5c+CE= BC + /CS而徒麗=0 / = -3c( (o，SD=于是s(o,o,D(- 乎a,0,0),o) ),oc =( (o.孚，0) )，a,),則元s5

11、= o.2 2即當(dāng)SE:EC = 2:時旋丄萬彳而不在平面PAC內(nèi),故BE/平面PAC.題型二利用向量求線線、線面角例2如圖， 在四棱錐P-ABCD中， 朋丄面ABCD, 43丄BC, 43丄AD,且PA=AB = BC=AD=.求與CD所成的角.(2)求直線PD與而朋C所成的角的余弦值.思維啟迪本題中給出的幾何體易于建立空間直角 坐標(biāo)系從而利用“向量法”解決線線角、線面角等夾角問題.解(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,*：PA= AB = BC-AD- 1,P(O,O,1), B(1,O,O), C( 1,1,0),D(0,2,0),西=(1,(), - 1), CD =(- 1,1,0)

12、./* 一1 + 0 + 0 1g 蘭竺叫=翻=P帀,喬)=120,PB與CD所成的角為60.(2)而=(02 - 1),喬=(001),疋=(1丄0),設(shè)m = (x, y. z)是平面刊C的一個法向量，rl. mAP = 0Z = 0則一，即c ,即一“z = o,mAC = 0 x + y = 0取x = 1,則/n = (L一1,0),設(shè)直線PQ與面刊C所成的角為0,八IPD/WI_/. s in & =， -=PD-m710,/ cos即直線PQ與面刊C所成角的余弦值為呼.探究提髙(1)題目中具備建系的條件，可建立空間直 角坐標(biāo)系，將線線角、線面角轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角.(2)求

13、直線與平面所成的角0,主要通過直線的方向向 量與平面的法向量的夾角a求得，即sin 0 = Icos al.變式訓(xùn)練 2 2(2010-遼寧)如圖所示，已知三棱錐P-4BC中，M丄平面AB丄AC, PA=AC=B,N為AB 點,且AB=4AN, M, S分別為PB, BC的中點.(1)證明：CMLSN；(2)求SN與平面CWV所成角的大小.(1)證明 設(shè)PA=,以4為原點，AB, AC, 4P所在 直線分別為上y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示, 則P(0,(),l), C(0,l,0), 3(2,0,(),M(l,0, *) N(；, 0,0),S（l, o）.所以CA7 =（1-1.1）

14、,麗=（2,：,（）2 2- - | I因為CM SN =+- + 0 = 0,2 2所以CM丄SN.解 疋=（-丄,1,0）,2r - -設(shè)曠d, y, z）為平面CMN的一個法向量，則廣竺=，aNC= 0,*兀一歹+予=o,即令x = 2,得 “ =（2,1, -2）.I _尹 +y = 0.又(TW0W9O。，所以 & =45。， 所以SN與平面CMN所成的角為45。.設(shè)SN與平所以sin0= Icosa-SNahSN題型三利用向量求二面角例3(2010-陜西)如圖所示，在四棱錐P-43CD中,底面ABCD是矩形，腸丄平面ABCD, AP=AB = 2, BC=2d E, F分別

15、是AD, PC的中點. 卩(1)證明：PC丄平面求平面BEF與平面BAP夾角的人小.乂思維啟迪 方法一可建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向 量解決線面垂直和二面角問題.方法二利用線面垂直 的判定定理證明線面垂直.求面BEF與面BAP的二面 角可轉(zhuǎn)化為求直線PC與BC的夾角.方法一(1)證明 如圖(1),以4為坐標(biāo)原點.AB.AD, AP所在直線分別為x，y, Z軸建立空間直角坐標(biāo)系.VAP = AB = 2, BC = AD = 2血四邊形4BCD是矩形,4(0,0,0),3(2,0,0), C(2,2/2, 0), (0,22, 0), P(0,0,2)又E, F分別是AD, PC的中點，E(0

16、,怯,0), F(l, 2, 1).PC = (2,2V5,-2),麗=(-1, V5,l), EF = (1,0,1).:.PCBF =-2 +4-2 =0, PC-EF =2 + 0-2=0. .PC丄莎，陀丄麗.:.PC丄BF, PC丄EF.夫BFCEF= F,:.PC丄平面BEF.圖(2)解由(1 )知平面BEF的一個法向量PC=(2, 2V2-2 ),平面BAP的一個法向量m= AD=(O, 2V2,0),:= 8.設(shè)平面3EF與平面BAP的夾角為廠門，n-tiA8邁則cos 0 = Icos 21=麗礦權(quán)尹2，& = 45。，平面BEF與平面BAP的夾角為45.方法二 證明

17、 如圖(2),連接PE、EC,在RtAB4E和RtACDE中，PA-AB-CD, AE = DE、:.PE-CE,即PEC是等腰三角形.乂F是PC的中點，:EF丄PC. X. BP = = 2x/2 = BC. F是PC的中點，：.BF丄PC.頭BFCEF= F, :.PC丄平面BF.(2)解I必丄平面ABCD,丄BC.又四邊形ABCD是矩形，:.AB丄BC.:.BC丄平面BAP,BCA-PB.又由(1)知PC丄平面BEF,直線PC與BC的夾角即為平面BEF與平面BAP的 夾角.在PBC中，PB = BC, ZPBC = 90。,ZPCB = 45.平面BEF與平面BAP的夾角為45.探究提高

18、借助向量求二面角是解決空間角問題的常 用方法.求解過程中應(yīng)注意以下幾個方面：(1)兩平面的法向量的夾角不一定就是所求的二面角， 有可能兩圖法向量夾角的補角為所求.(2)求平面的法向量的方法：1待定系數(shù)法：設(shè)出法向量坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系建立 坐標(biāo)的方程解之.2先確定平面的垂線，然后取相關(guān)線段對應(yīng)的向量， 即確定了平面的法向量.當(dāng)平面的垂線較易確定時， ?？紤]此方法.變式訓(xùn)練3如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，M丄 底面ABCD,ZDAB為直角，AB/CD, AD = CD = 2AB, E、F分別為PC、CD的中點.(1)求證：43丄平而BEF；(2)設(shè)PA=k AB,且二面角E-BD-C的平面角

19、大于45,求的取值范圍.(1)證明 由已知DF/AB且ZD4B為直角，故ABFD是矩形，從而AB丄BF.又必丄底面ABCD,所以平面BAD丄平面ABCD.因為43丄AD,故AE丄平面PAD,所以4丄P.所以在PDC內(nèi)，E、F分別是PC、CD的中點，所以EF/PD,所以A3丄EF.且BFQEF=F.所以4B丄平面BEF.(2)解以A為原點，以AB、AD、AP所在打 直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)卞 系， 設(shè)AB的長為1,則 而=(-120),旋=(o,i,).2八BX設(shè)平面CDB的法向量為m = (0, 0, 1 ),平面EDB的法向量為n2= ( x,y,z),則,n2BE= 0-

20、x + 2 y = 0-2邙kz八 ，取y = h可得死2 = (2，-z)歹 +7 = 0K設(shè)二面角E-BD-C的大小為0.2巾1=iw=i94_ = 90。，丄平面A BCD.又-ABCD為正方形，:.PA. AB. AD兩兩垂直.以A3、AD. 4P分別為兀軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.則A(0,0,0), 3(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0),P(0,0,2), (0,0,1), F(0,l,l), G( 1,2,0),EF = (0,1,0), FG = (1,1-1),PB = (2-2)._設(shè)PB = xEF + yFG = (y，x +

21、 y，一y)，PI -y = _2.存在實數(shù)x, y使PB = xEF+yFG,:.TBJEFJFG共面， 又.PB在平面EFG外, P 平面EFG.(2) ft? vEG = (1,2-1),BD = (-2,2,0).設(shè)異面直線EG, BD的夾兔為0,由題意得：(3)解 假設(shè)在線段CD上，存在一點。滿足題意, 則Q點坐標(biāo)可設(shè)為(心20).設(shè)平面EFQ的法向量為n = (x, y, z),則有n EF = ot口f(x, y, z)(0, 1, 0) = 0,n - EQ = 0.(X, y, Z)(Xo，2, - 1) = 0.y = 0, z=XQX,取X=1, .n = (1,0, x

22、0).y = 2,x + y.x =一2,故異面直_ 22/. CQ、2即在線段CD上存在一點0滿足題意.且C0的值為務(wù)規(guī)律方法總結(jié)1.點共線、點共面的證明方法(1)點共線由共線向量定理可知，要證明三點A、B、C共線，只需證明：而疋,且=(2)點共面由空間向量基本定理知，要證P、M、A、B四點共面，只需證明：存在有序?qū)崝?shù)對(x, y),使而=兀莎+ yMB.2.空間線面關(guān)系的判定設(shè)不同直線/,加的方向向量分別為4, b,不同平面a、0的法向量分別為“，V,則I/ma/ba = kb, kWR; Z丄/?丄a =0；/aa丄“Oa“ = 0;/丄aa/ua = ku, RWR；a0OM“o“ =

23、 kv, RWR;a丄 丄 “omp= 0.3.空間角的計算(1)兩條異面直線所成角的求法設(shè)直線 Gb的方向向量為4, b,其夾角為0,則cos(P = Icos 0=普儲(其中0為異面直線d”所成的角).(2)直線和平面所成角的求法如圖所示，設(shè)直線/的方向向量為侖，平面a的法向 量為仏直線/與平面a所成的角為卩，兩向量a與I的夾角為&,則有sin (p = Icos 0=藥祈(3)二面角的求法1利用向量求二面角的大小，可以不作 出平面角，如圖所示，加，/即為所求 /h/二面角的平面角.2對于易于建立空間直角坐標(biāo)系的幾何體，求二面角 的大小時，可以利用這兩個平面的法向量的夾角來求. 如

24、圖所示，二面角a-l-隊平面a的法向量為1，平 面”的法向量為2，2= &，則二面角a - I - P的大小為&或兀-知能提升演練、填空題1在空間屮，已知 而=(2,4,0),云(一1,3,0),則ZABC的大小為135 .解析 BA= (-2-4.0).BC = (-1.3.0),cos(BA.BC)=% =-/ IZMIIBCI 2V5V102又.0。180 ,ZABC=135.2.在三棱柱ABCA中，各棱長相等，側(cè)棱垂直 于底而，點D是側(cè)而BBCC的中心，則4D與平 而BBGC所成角的大小是一60.解析 取BC中點E,連結(jié)AE,則AE丄 平面BCCBi，故ZADE為直線AD與平 面BB、CC所成的角.設(shè)各棱長為Q,則EAE = DE = tanZADE =A/3. ZADE = 60.3.過正方形ABCD的頂點A,引P1丄平面ABCD.若PA=BA,則平面ABP和平面CDP所成的二而角的人小是_45解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不難求出平面APB與平面PCD的法向量小=