線代各章小結(jié)by華理自強(qiáng)社

1、第一章1.6.1 內(nèi)容框圖矩陣的定義矩陣的逆矩陣的分塊矩陣的初等變換矩陣的運(yùn)算1.6.2 基本要求（1） 理解矩陣的概念，掌握常用的特殊矩陣及性質(zhì)。（2） 熟練掌握矩陣的線性運(yùn)算，乘法運(yùn)算，轉(zhuǎn)置運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)律。（3） 理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)及求逆矩陣的方法。（4） 了解分塊矩陣及其運(yùn)算。（5） 熟練掌握矩陣的初等變換，了解初等矩陣的性質(zhì)及其與初等變換的關(guān)系，知道矩陣的標(biāo)準(zhǔn)分解。 1.6.3 內(nèi)容概要1） 矩陣的概念矩陣是一個由mn個元素構(gòu)成的元素表，常用方括號或圓括號記為A=或 A=本書中的矩陣一般都是指實數(shù)矩陣。2） 特殊矩陣特殊矩陣包括方陣、對稱陣，反對稱陣，上三角陣，下三角

2、陣，對角陣，數(shù)量陣，單位陣，列矩陣，行矩陣，零矩陣等。他們之間具有如下的從屬關(guān)系 3） 矩陣的運(yùn)算（1） 加法：設(shè) ，（2） 數(shù)乘：設(shè)；（3） 乘法：設(shè)，則，其中注 兩矩陣可乘的條件：左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)。（4） 轉(zhuǎn)置：設(shè) A=，則 稱為A的轉(zhuǎn)置陣，記為。（5） 運(yùn)算規(guī)律：A+B=B+A; (A+B)+C=A+(B+C);.(AB)C=A(BC); ;A(B+C)=AB+AC; (B+C)A=BA+CA; (k,l為正整數(shù))以上所有運(yùn)算必須關(guān)于加法，乘法可行。注1 矩陣的乘法不滿足交換律，即一般情況下ABBA,由此得到式子都未必成立，但上述三個式子在AB=BA的條件下都成立，例如：

3、 注2 矩陣乘法不滿足消去律，即一般情況下，若AB=AC不能得到B=C.由此可知若 不能得到A=O,或A=I, 若也不能得到A=O，但在A可逆的條件下，由AB=AC必成立B=C思考：當(dāng)A可逆時，若AB=CA能推出B=C嗎？4) 可逆矩陣（1）概念：設(shè)矩陣A,B滿足AB=BA=I ，則稱A為可逆矩陣，稱B為A的逆矩陣，記為.注1 可逆矩陣必為方陣。注2 若A可逆，其逆必唯一，故A的逆矩陣記作，即有A=A=I（2）性質(zhì)：若A可逆，則,均可逆，且;若A可逆，數(shù)，則kA可逆，且;若A,B是同階可逆陣，則AB可逆, =.注 若A,B為同階的可逆矩陣，A+B不一定可逆（3）判別方法利用定義: 若AB=BA

4、=I,則必有A可逆,且;利用初等矩陣:若A可分解為有限個初等矩陣,則A可逆.(4)求法利用初等變換或注 對 只能用行初等變換.對 只能用列初等變換。利用分塊矩陣湊法:當(dāng)條件中只有矩陣方程時,通過矩陣運(yùn)算規(guī)律從矩陣方程中湊出的形式,從而可得=B,這一方法適用于抽象矩陣求逆. 5)矩陣的分塊（1）概念:對矩陣A 用若干條橫線和若干條縱線分割成的矩陣稱為分塊矩陣,其中每個元素是以小矩陣構(gòu)成的塊.（2） 特殊分塊法及其作用:將A 按列分塊,其中是A的第j列(j=1,2,n)，則(j=1,2,n) 其中為單位陣的第j列。將A 按行分塊，其中為A的第i行，則A=,(i=1,2,m)其中為單位陣的第i列.注

5、 由 可得到 將 列分塊，則 的計算也可轉(zhuǎn)化為方程組（i=1,2,n）的求解問題。 將A分成塊對角陣則則 其中假設(shè) 都可逆。6） 初等變換與初等矩陣（1） 矩陣A的初等變換有如下三類：第一類：將A的第i行（列）與第j行（列）對換，記作第二類：以非零常數(shù)乘A的第i行（列），記作第三類：將A的第i行（列）的k倍加到第j行（列）上去，記作（）初等矩陣是單位陣I經(jīng)過一次初等變換后得到的矩陣；其中（）初等變換與初等矩陣之間的關(guān)系：初等矩陣左（右）乘A,相當(dāng)于對A進(jìn)行一次相應(yīng)的初等行（列）變換，例如:注:若矩陣A經(jīng)過有限次初等變換得到矩陣B，則稱A與B等價，此時必成立等式 ，其中與均為初等矩陣。注2:對矩

6、陣A進(jìn)行第二類初等變換時，乘上的數(shù)必須為零；對矩陣A進(jìn)行第三類初等變換時，只有原矩陣A中的第j行變化了，為A的第j行加上A的第i行的k倍，其余行不變，如,則 ，而不是 。注3:初等矩陣都是可逆陣，且成立第二章2.6.1 內(nèi)容框圖行列式的定義行列式的性質(zhì)行列式的計算行列式的應(yīng)用2.6.2 基本要求（1） 會用對角線法則計算二階和三階行列式。（2） 了解n階行列式的定義。（3） 知道行列式的性質(zhì)。（4） 掌握計算行列式的方法。（5） 掌握克萊姆法則。2.6.3內(nèi)容提要1） 行列式的定義一階行列式，設(shè)n-1階行列式已經(jīng)定義，則n階行列式定義為其中為的余子式，為的代數(shù)余子式。注1 一階行列式。注2 行

7、列式是方陣A對應(yīng)的一個數(shù)，用記，不同階行列式可能不同，如 但不同階矩陣必不相同。2） 特殊行列式的值(1)上三角行列式：(2)下三角行列式：(3)對角行列式：(4) (5) (6) (7) 范德蒙行列式： 其中為連乘積的符號。3） 行列式的性質(zhì)（1） 方陣A的行列式與其轉(zhuǎn)置的行列式相同，即注 所有隊列成立的行列式性質(zhì)，對行也成立。（2）互換行列式中兩列（或行）的位置，行列式變號推論 如果行列式的兩列（或行）相同，則行列式為零。（3）某數(shù)乘行列式，等于用數(shù)乘它的某一列（或行）的所有元素，即 (*)其中 為 的列向量。 注 在(*)式的右端,數(shù)只能乘某一列(或行),其余列(或行)不變.推論1 數(shù)乘

8、方陣A的行列式等于乘A的行列式,即推論2 如果行列式的一列(或行)為零,則行列式為零.推論3 如果行列式的兩列(或行)對應(yīng)成比例,則行列式為零.(4)A的行列式中某一列(或行)可分成兩個向量之和,則A的行列式等于分別由這兩個列(或行)向量取代 中這一列(或行)構(gòu)成行列式之和,即注 式(*)稱為行列式的加法性質(zhì).推論 將行列式的某一列(或行)的任意*倍加到另一列(或行)上去,行列式不變.(5) 對于方陣A的行列式,有(6)設(shè)A,B為n階方陣,為A的伴隨矩陣,為A的逆矩陣,有 (7)設(shè)A為n階方陣,B為m階方陣,有注1 數(shù)乘的結(jié)果為用數(shù)乘A的每一個元素,而的結(jié)果為用數(shù)乘A的某一行或某一列的行列式值

9、,如,應(yīng)為注2 A+B為同維矩陣對應(yīng)元素相加而成,但式子 一般不成立,例如而不是 注3 性質(zhì)4的推論是計算行列式的有效工具,即若則,其中中的第i行仍為中的第i行,中的第j行為中的第j行加上中的第i行的k倍.如, 而不是幾次運(yùn)算一起做時時應(yīng)注意次序,如而不是；4)行列式的計算(1)利用行列式的定義計算.(2)利用行列式的性質(zhì)直接計算.(3)利用行列式的性質(zhì)化為上(下)三角行列式計算.(4)利用遞推法計算.(5)利用范德蒙行列式計算.注 計算行列式一般是利用行列式的性質(zhì),化原行列式為特殊行列式計算,或由遞推公式計算.5)行列式的應(yīng)用(1)n階方陣A為可逆陣的充分必要條件是,此時,有逆陣公式 (*

10、* *)其中為A的伴隨陣,為的代數(shù)余子式.注1(*)式由公式導(dǎo)出,其具有一定的理論價值.注2 (2)克萊姆法則對于線性代數(shù)方程組Ax=b當(dāng)時,方程組有唯一解,其中為用右端列b取代A的第i列所得到的行列式.特別,當(dāng)時,Ax=0只有零解;要使得齊次線性方程組Ax=0有非零解,必須.第三章3.4.1 內(nèi)容框圖矩陣的秩齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組3.4.2 基本要求（1）知道矩陣的概念，掌握矩陣秩的計算方法。（2）理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件。（3）理解非其次線性方程組有解的充分必要條件。（4）熟練掌握用行初等變換求線性方程組通解的方法。3.4.3內(nèi)容概要1)秩的定義設(shè)矩陣A中有

11、一個不等于零的r階子式，且所有的r+1階子式（如果有的話）全等于零，稱r為矩陣A的秩，記為r(A)=r.注 若A有r階子式非零，則 ；若A的所有r+1階子式全為零，則。2）秩的性質(zhì)(1) (2) (3) ;(5)設(shè)A為方陣，則(6)初等變換不改變矩陣的秩，即若則(7)矩陣乘上一個可逆陣不改變原矩陣的秩，即當(dāng)A可逆時，有3)秩的求法（1） 用定義；（2） 用初等變換；（3） 用性質(zhì)。（4） 齊次線性方程組齊次線性方程組（1） 齊次線性方程組有解的條件：x=0為Ax=0的平凡解；當(dāng)（變量個數(shù)）時，只有零解；當(dāng)（變量個數(shù)）時，有含個參數(shù)的無窮多個解。注有非零解.(2)齊次線性方程組解的求法：將系數(shù)矩

12、陣經(jīng)過行初等變換化為行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣后求解。(3)解的性質(zhì)：若為的解，則仍為的解，其中為任意常數(shù)。5）非齊次線性方程組非齊次線性方程組(1) 非齊次線性方程組有解的條件：當(dāng)（變量個數(shù)）時，方程組有唯一解；當(dāng)（變量個數(shù)）時，方程組有含個參數(shù)的無窮多個解；當(dāng)時，方程組無解。(2) 非齊次線性方程組解的求法：將增廣矩陣經(jīng)過行初等變換化為行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣后求解。(3) 解的性質(zhì)：若為的解，則為其導(dǎo)出方程組的解。注 為的一個解，而不再時的解。注1:當(dāng)A為n階方陣時，滿足（初等矩陣乘積）注2: 求解非齊次方程組，在時，可用(1) 克萊默法則；(2) 逆矩陣法(3) 初等變換法注3: 解矩陣方程在A可逆時，可用;(

13、2).解矩陣方程在A可逆時，可用.注4: 帶參數(shù)的線性方程組解的討論尤為重要，在初等行變換時應(yīng)盡可能用數(shù)字去消參數(shù)，避免參數(shù)出現(xiàn)在分母上，因為參數(shù)的取值可能導(dǎo)致分母為零。第四章4.6.1內(nèi)容框圖向量向量組向量的內(nèi)積向量空間線性相關(guān)性最大無關(guān)組與向量組的秩基和維數(shù)基礎(chǔ)解系規(guī)范正交基4.6.2基本要求(1)理解n維向量的概念。(2)理解線性表示，線性相關(guān)，線性無關(guān)的定義。了解有關(guān)的重要性。(3)理解向量組的最大無關(guān)組與秩的概念，并會求向量組的最大無關(guān)組與秩。(4)了解向量組等價的概念，向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系。(5)知道向量空間，子空間，生成空間，基和維數(shù)等概念。(6)了解正交向量與規(guī)范正交基的

14、概念，會用施密特正交化方法，了解正交矩陣的概念與性質(zhì)。(7)了解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，知道線性方程組解的結(jié)構(gòu)。4.6.3內(nèi)容概要1)線性表示，線性相關(guān)性及線性組的關(guān)系(1)可由線性表示線性方程組有解矩陣的秩等于矩陣的秩(2)線性相關(guān)齊次線性方程組有非零解矩陣的秩小于m.(3)線性無關(guān)齊次線性方程組只有零解矩陣的秩等于m.2)向量的線性相關(guān)性的有關(guān)結(jié)論(1)僅含一個向量的向量組線性相關(guān).(2)任何含有零向量的向量組必線性相關(guān)。(3)含線性相關(guān)部分組的向量組必線性相關(guān)，即線性無關(guān)向量組的任一部分組必線性無關(guān)。(4)線性無關(guān)的向量組的各向量擴(kuò)充分量后仍線性無關(guān)，即線性相關(guān)向量組的各向量減少分量后

15、仍線性相關(guān)。(5)任意m個n維向量，當(dāng)時必線性相關(guān)。(6)向量組線性相關(guān)中至少有一個向量可由其余向量線性表示。(7)向量組線性無關(guān)，而線性相關(guān)可由線性表示，且表達(dá)式唯一。(8)若向量組線性無關(guān)，且可由向量組線性表示，則。(9)不含零向量的正交向量組必線性無關(guān)。3)向量組的最大無關(guān)組與秩(1)性質(zhì)：線性無關(guān)向量組的最大無關(guān)組即為其本身。向量組與其任一最大無關(guān)組等價。向量組的任意兩個最大無關(guān)組等價。等價向量組等秩，但其逆不成立。若向量組的秩為r，則其中任意r個線性無關(guān)的向量都構(gòu)成它的一個最大無關(guān)組。對任一矩陣A，A的秩，A的列向量組的秩，A的行向量組的秩，三者相等。(2)計算：將向量組中各向量作為

16、矩陣A的列。對A進(jìn)行初等行變換化為行階梯形陣；在每個階梯上取一列；則對應(yīng)的向量所構(gòu)成的向量組即為最大無關(guān)組，而A的秩即為向量組的秩。4)正交矩陣：(1)A為正交陣的定義是：A滿足(2)A為正交陣A的列（行）向量組為規(guī)范正交向量組。(3)正交陣性質(zhì)：若A為正交陣，則，且均為正交陣，若B也為正交陣，則AB也是正交陣。5)齊次線性方程組的解空間若有非零解，則其全體解構(gòu)成的向量空間稱為的解空間，記作.(1)的一個基礎(chǔ)解系即為的一組基，故基礎(chǔ)解系不唯一。(2) 的每一個基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)即為是固定的。(3)若已知是的一個基礎(chǔ)解系，則從而的通解其中為任意常數(shù)。第五章5.6.1內(nèi)容框圖矩陣的特征值與特征向

17、量矩陣的對角化實對稱陣對角化5.6.2基本要求(1)理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)，并掌握其求法。(2)了解相似矩陣的概念與性質(zhì)，知道矩陣可對角化的充要條件，會將實對稱矩陣正交對角化。5.6.3內(nèi)容概要1)特征值與特征向量(1)概念：設(shè)A是n階方陣，滿足的數(shù)稱為A的特征值，x為對應(yīng)的特征向量，行列式為A的特征多項式.(2)求法：方程的所有根，即為A的全部特征值。齊次方程組的任一非零解即為對應(yīng)于的特征向量，一般取基礎(chǔ)解系。(3)性質(zhì)：設(shè)n階方陣A的n個特征值為，則有屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。A可逆A沒有零特征值。特征值的幾何重數(shù)與代數(shù)重數(shù)m滿足若是方陣A的特征值，x是對應(yīng)的特征向

18、量，k為常數(shù)，m為正整數(shù)，則及分別是矩陣及的特征值，而x是對應(yīng)的特征向量。A與有相同的特征值，但特征向量未必相同。2)矩陣對角化(1)相似矩陣的性質(zhì)：若即A相似與B，則有,從而A和B有相同的特征值(2)n階矩陣A可對角化的條件：A可對角化的充要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量。若A有n個互不相等的特征值，則A可對角化。A可對角化的充要條件是對A的任一特征值，有(3)實對稱矩陣的正交對角化：設(shè)A是實對稱矩陣，則有A的特征值都是實數(shù)。A的任一特征值均有A的不同特征值對應(yīng)的特征向量必正交。由可得，實對稱矩陣A可正交對角化，即A正交相似于與一實對角陣，即存在正交陣Q，使成立，其中是A得特征值。(4)將A對角化方法：求出A的所有特征值，其中互不相等的特征值為若A可對角化，則k重特征值必對應(yīng)k個線性無關(guān)的特征向量，求出每一個齊次方程組的基礎(chǔ)解系，合