系統(tǒng)辨識第二章第2講

1、第2章 隨機(jī)信號的描述與分析2.1 隨機(jī)過程的基本概念及其數(shù)學(xué)描述2.1.1 基本概念隨機(jī)過程概念 是一個二元函數(shù)，其中T表示時間，而表示樣本空間，通俗的說：隨機(jī)過程是隨時間變化的隨機(jī)變量。注意，時間T是抽象的。固定 t稱為隨機(jī)變量；固定 稱為樣本軌道；時間信息流： 隨機(jī)過程的描述（多維分布） 集合方向、時間方向（定理）如果隨機(jī)過程的任意有限維分布給定,則隨機(jī)過程就完全描述清楚了（確定了）。相容性條件 隨機(jī)過程的分類隨機(jī)過程的分類一般有兩種方法：（1）以參數(shù)集和狀態(tài)空間的特征來分類；（2）以統(tǒng)計(jì)特征或概率特征來分類。針對我們的課程：（i）可辨識（ii）不可辨識常見的隨機(jī)過程:l 獨(dú)立隨機(jī)過程l

2、 Markov過程l Brown運(yùn)動（Wiener過程）2.1.2 隨機(jī)過程的數(shù)字特征 與一維概率密度有關(guān)的數(shù)字特征 均值、均方值（二階矩）和方差： 與二維概率密度有關(guān)的數(shù)字特征 自相關(guān)函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)： 數(shù)字特征之間的關(guān)系 2.1.3 平穩(wěn)性、各態(tài)遍歷性 平穩(wěn)性概念、寬平穩(wěn)概念（1）隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)不隨時間變化。（獨(dú)立隨機(jī)過程）（2）寬平穩(wěn)涉及到的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)局限在均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。 （均值不變，相關(guān)函數(shù)只和時間差有關(guān)）平穩(wěn)隨機(jī)過程的嚴(yán)格定義設(shè)為二階矩過程,即,若滿足如下條件:則稱為廣義平穩(wěn)過程(或?qū)捚椒€(wěn)過程/弱平穩(wěn)過程).實(shí)際的平穩(wěn)隨機(jī)過程的例子:(i) 機(jī)床在正常加工下工作時,機(jī)床振動

3、的振幅和頻率是平穩(wěn)的;(ii) 股票短時期的價格是平穩(wěn)的;(iii) 照明電網(wǎng)的電壓波動是平穩(wěn)的.平穩(wěn)隨機(jī)過程的性質(zhì): 各態(tài)遍歷性（歷經(jīng)性）概念(遍歷性定理) 集平均(概率平均)： 時間平均： 如果 及則稱平穩(wěn)隨機(jī)過程是各態(tài)遍歷（各態(tài)歷經(jīng)）的平穩(wěn)隨機(jī)過程。本課程所涉及到的平穩(wěn)過程都是各態(tài)遍歷的平穩(wěn)隨機(jī)過程實(shí)際計(jì)算時間平均時，可以通過時間采樣解決由觀測值計(jì)算均值和相關(guān)函數(shù)，可以得到：相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)(見課本)2.1.4 互相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù) 相關(guān)函數(shù)概念、互相關(guān)函數(shù)概念 互協(xié)方差函數(shù)概念 不相關(guān)概念 若 ，則稱與互不相關(guān)。 相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)、互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 相關(guān)函數(shù)的計(jì)算、互相關(guān)函數(shù)的計(jì)算2.2

4、 譜密度函數(shù)2.2.1 Parseval定理與譜密度概念 譜密度函數(shù)的物理意義 對于確定性信號（能量）：其中： 證明：平均功率譜密度：其中：，稱為的平均譜密度。隨機(jī)過程的譜密度：稱為隨機(jī)過程的功率譜密度，簡稱譜密度。2.2.2 Wiener-Khintchine公式 相關(guān)函數(shù)與譜密度函數(shù)構(gòu)成一對Fourier變換由都是實(shí)偶函數(shù)，我們有： 互相關(guān)函數(shù)與互譜密度函數(shù)構(gòu)成一對Fourier變換 白噪聲的譜密度2.3 線性過程（系統(tǒng)）在隨機(jī)輸入下的響應(yīng)2.3.1 線性過程在隨機(jī)輸入下的輸出譜密度 其中：是線性過程的單位脈沖響應(yīng)，是線性過程的頻率響應(yīng)，我們有：2.3.2 線性過程在隨機(jī)輸入下的互譜密度

5、2.4 相關(guān)函數(shù)和譜密度的估計(jì)2.4.1 相關(guān)函數(shù)的估計(jì) 估計(jì)式 設(shè)是一寬平穩(wěn)各態(tài)遍歷的均值為零的離散隨機(jī)過程，它的自相關(guān)函數(shù)為，則有： （1） （2）其中：是數(shù)據(jù)的長度。 兩種估計(jì)式的比較 （無偏估計(jì)） （有偏估計(jì)，漸近無偏估計(jì)）一般工程上都用（2）式進(jìn)行估計(jì)，原因：（A） 偏差的大?。˙） 方差?。–） 均方差小（D） 在譜估計(jì)中用此式方便 互相關(guān)函數(shù)的估計(jì) 2.4.2 利用FFT計(jì)算相關(guān)函數(shù) 算法課后閱讀2.4.3 周期圖 定義 將作傅立葉變換，得樣本譜密度：令：我們有：其中：是的傅立葉變換。 稱以上的樣本譜密度為周期圖，記做： 周期圖的性質(zhì) 均值：（有偏估計(jì)，漸近無偏估計(jì)） 方差：單樣本是高斯分布時，有：（不是一致估計(jì)量）2.4.4 譜密度的估計(jì) Bartlett平均周期圖法計(jì)算步驟：（1）設(shè)為觀察到的輸入輸出數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)長度為，將