高一數(shù)學(xué)任意角的三角函數(shù)

1、高一數(shù)學(xué) 任意角的三角函數(shù) 一、本講教學(xué)進(jìn)度4.3 任意角的三角函數(shù)（P13-21）二、本講教學(xué)內(nèi)容 1任意角的三角函數(shù).2單位圓和三角函數(shù)線.3三角函數(shù)在各象限的符號(hào).4終邊相同角的三角函數(shù)值.三、重點(diǎn)、難點(diǎn)選講 1任意角的三角函數(shù) （1）任意角的三角函不能再用初中定義銳角三角函數(shù)的辦法來(lái)定義，因此通過(guò)平面直角坐標(biāo)系來(lái)定義任意角的三角函數(shù).（2）對(duì)于任意角的三角函數(shù)，由相似形的性質(zhì)可知，的三角函數(shù)值與點(diǎn)在終邊上的位置無(wú)關(guān)，僅與角的大小有關(guān)，即角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角為自變量的函數(shù).六個(gè)三角函數(shù)中重點(diǎn)要掌握的是正弦、余弦和正切.（3）引進(jìn)弧度制以后，角的集合與實(shí)數(shù)集合建立

2、了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此三角函數(shù)可以看成是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，即實(shí)數(shù) 角（其弧度數(shù)等于該實(shí)數(shù)） 三角函數(shù)值（實(shí)數(shù)）（4）應(yīng)注意，對(duì)于某些實(shí)數(shù)，、可能不存在.例1 已知角的終邊上有一點(diǎn)，求的各三角函數(shù)值.解 由已知，. ，. ， ，.例2 已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的值.分析 因的符號(hào)不確定，所以要對(duì)字母進(jìn)行討論.當(dāng)，點(diǎn)在第四象限，當(dāng)，點(diǎn)在第二象限.解 若，點(diǎn)在第四象限. . ,. . 若，點(diǎn)在第二象限. . ，. .2單位圓與三角函數(shù)線（1）圓心在原點(diǎn)，半徑為單位長(zhǎng)的圓叫單位圓.在平面直角坐標(biāo)系中引進(jìn)正弦線、余弦線和正切線以后，可以用有向線段的長(zhǎng)表示這幾個(gè)三角函數(shù)值，這在以后畫(huà)三角函數(shù)的圖象時(shí)會(huì)用到

3、.正弦線、余弦線和正切線都是三角函數(shù)線.（2）由三角函數(shù)線的作法可以知道，對(duì)任何角，正弦線、余弦線都可以作出，因此正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域是，對(duì)終邊在軸上的角，正切線不存在，因此正切函數(shù)的定義域是.例3 若，利用三角函數(shù)線證明：，且.證明 在單位圓中作出角及角的正弦線，余弦線和正切線.在中，即.在中，即.例4 若，利用三角函數(shù)線證明：（1）；（2）.證明 （1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中作出角，角的正弦線和余弦線.由，為直角三角形，且，.在中，. （2）如圖，分別為角的正弦線和正切線.連結(jié).由，顯然有.，. .3三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)必須熟悉每個(gè)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)： ， ， ， 還要熟悉

4、每個(gè)象限各個(gè)三角函數(shù)的符號(hào).第象限：全正；第象限：僅，為正，其余為負(fù)；第象限：僅，為正，其余為負(fù)；第象限：僅，為正，其余為負(fù).例5 已知，判斷的符號(hào).分析 首先應(yīng)判斷角所在象限，然后再確定角所在象限及的符號(hào).解 ， 是第二象限角，. . 當(dāng)， 是第一象限角，. 當(dāng)， 是第三象限角，. 必為正數(shù).例6 求函數(shù)的定義域.解 由已知由，角的終邊在軸上，或第一象限，或第四象限，或在軸的非負(fù)半軸上.由，角的終邊在第二象限，或第四象限，或在軸上.角的終邊在第四象限或軸的非負(fù)半軸上.函數(shù)的定義域?yàn)?4終邊相同角的三角函數(shù)值公式一：， ， . 也稱(chēng)為誘導(dǎo)公式一，利用公式一可以把任意角的三角函數(shù)化為到角的三角函

5、數(shù).例7 求值：（1）；（2）.解 （1） . （2） .練習(xí)一、選擇題1已知角是第四象限角，則下列各式中一定為正的是（ ）A BC D2若點(diǎn)在角的終邊上，則下列函數(shù)中不存在的是（ ）A BC D3下列四個(gè)命題：若，則是第二象限角或第三象限角；且 是為第三象限角的充要條件；若，則角和角的終邊相 同；若，則.其中真命題有（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)4是的（ ）A充分非必要條件 B必要非充分條件C充分必要條件 D既非充分又非必要條件5若，則下列各不等式中成立的是（ ）A BC D二、填空題6若角的終邊與射線重合，則_.7若為的內(nèi)角，且，則是_三角形（填 “銳角”、“直角”或“鈍角”）.8函

6、數(shù)的值域是_.9已知，且，則是第_象限角.10用單位圓及正弦線，可以得到滿足不等式在上的的集合為_(kāi).三、解答題11求值：（1）；（2）.12已知角終邊上一點(diǎn)與軸的距離和點(diǎn)與軸的距離之比為，且，求和的值.13用三角函數(shù)的定義證明：.14已知，且，判斷點(diǎn)在第幾象限.答案與提示答案一、1C 2D 3A 4B 5D二、6 7銳角 8 9四 10三、11（1）；（2）12，或，13略14點(diǎn)在第二象限提示一、3是假命題，角的終邊可能在軸非正半軸上；是真命題；是假命題，由余弦線可見(jiàn)，與終邊不同；是假命題，4如，但；若，則必有（否則若，則，與矛盾）5可由三角函數(shù)線判斷二、7若中一正二負(fù)，不妨設(shè)，則均為鈍角，與三角形三內(nèi)角和為矛盾，故必有，即均為銳角.8可以分為在第、第、第、第象限四種情況分別考慮.9由，知是第三象限角，是第象限角或第象限角，又由，知，是第四象限角. 10如圖可得所求集合為三、11