軸對稱培優(yōu)練習教案

1、 初中數(shù)學輔導練習知能目標：1理解軸對稱的概念了解兩個圖形成軸對稱性的性質(zhì)，了解軸對稱圖形的性質(zhì)2理解線段垂直平分線的性質(zhì)及判定3.利用軸對稱的性質(zhì)作出成軸對稱的圖形4了解等腰三角形的概念，等腰三角形的性質(zhì)，理解并掌握等腰三角形的判定定理及推論軸對稱(一) 典型例題講解:培優(yōu)專題 等腰三角形等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上的高所在直線是它的對稱軸，對于某些含有（或隱含）等腰三角形條件的問題，可以作等腰三角形底邊上的高或構(gòu)建等腰三角形、等邊三角形找到解決問題的途徑判定一個三角形為等腰三角形的基本方法是：從定義入手，證明一個三角形的兩條邊相等；從角入手，證明一個三角形的兩個角相等， 實際解題中的一個

2、常用技巧是，構(gòu)造等腰三角形，進而利用等腰三角形的性質(zhì)為解題服務(wù)，常用的構(gòu)造方法有： 1“角平分線+平行線”構(gòu)造等腰三角形； 2“角平分線+垂線”構(gòu)造等腰三角形； 3用“垂直平分線”構(gòu)造等腰三角形； 4用“三角形中角一個外角是不相鄰內(nèi)角的2倍關(guān)系”構(gòu)造等腰三角形 例1 如圖1-1，ABC中，AB=BC，M、N為BC邊上兩點，且BAM=CAN，MN=AN，求MAC的度數(shù) 分析 AB=AC，MN=AN可知ABC和AMN均為等腰三角形，充分利用等腰三角形的性質(zhì)尋找所求角間的關(guān)系 解：設(shè)BAM=CAN=，AMN=， MN=AN， AMN=MAN= 1-1 設(shè)ABC=， 在ABC中， ABC+BCA+CA

3、B=180°， 由于BCA=CAB=2+， 4+2+=180° 在ABM中，=+， 4+2+（-）=180° 即3（+）=180°+=60°，故MAC=60° 練習1 1如圖1-2，已知ABC中，AB=AC，AD=AE，BAE=30°，則DEC等于（ ）A75° B10° C12.5° D18° 1-2 2如圖1-3，AA、BB分別是ABC的外角EAB和CBD的平分線，且AA=AB=BB，A、B、C在一直線上，則ACB的度數(shù)是多少？ 1-33如圖1-4，等腰三角形ABC中，AB=BC，

4、A=20°D是AB邊上的點，且AD=BC，連結(jié)CD，則BDC=_1-4 例2 如圖1-5，D是等邊三角形ABC的AB邊延長線上一點，BD的垂直平分線HE交AC延長線于點E，那么CE與AD相等嗎？試說明理由 分析 要說明似乎沒有任何關(guān)系的兩條線段相等，往往需要做一些工作，如添加輔助線，構(gòu)造全等三角形等，從而達到解決問題的目的 解：延長AD到F，使AF=EF， 1-5 ABC是等邊三角形， AB=AC，A=60° AEF是等邊三角形 EA=EF，AEF=A=60° 又EH垂直平分BD， EB=ED，EBD=EDB EADEFB AD=BF 又BF=AF-AB=AE-A

5、C=CE，AD=CE 練習21已知如圖1-6，在ABC中，AB=CD，D是AB上一點，DEBC，E為垂足，ED的延長線交CA的延長線于點F，判斷AD與AF相等嗎？ 1-6 1-7 1-8 2如圖1-7，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，點D是ABC內(nèi)一點，且DAC=DCA=15°，則BD與BA的大小關(guān)系是（ ） ABD>BA BBD<BA CBD=BA D無法確定3已知：如圖1-8，在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交AC于F，AF與EF相等嗎？為什么？ 例3 已知：如圖1-9，ABD和BEC均為等邊三角形，M、N分別

6、為AE和DC的中點，那么BMN是等邊三角形嗎？說明理由1-9 分析 要說明一個三角形是等邊三角形，只要能夠證明這個三角形滿足“三條邊相等或三個角相等或一個角是60°的等腰三角形”即可本題只需利用三角形全等證得BM=BN，且MBN=60°即可 解：在ABE和DBC中， ABE=60°+DBE，DBC=60°+DBE， ABE=DBC AB=BD，BE=EC ABEDBC AE=DC，MEB=NCB 又M、N分別是AE和DC的中點， ME=NC，又BEC為等邊三角形， BE=BC MBENBC，BM=BN MBN=MBE-NBE=NBC-NBE=60

7、6;BMN為等邊三角形 練習31已知：如圖1-10，在等邊三角形ABC中，BD=CE=AF，AD與BE交于G，BE與CF交于H，CF與AD交于K，試判斷GHK的形狀 1-102已知：如圖1-11，ABC是等邊三角形，E是AC延長線上的任意一點，選擇一點D，使CDE是等邊三角形，如果M是線段AD的中點，N是線段BE的中點，那么CMN是等邊三角形嗎？為什么？ 1-113已知：如圖1-12，等邊三角形ABC，在AB上取點D，在AC上取點E，使AD=AE，作等邊三角形PCD、QAE和RAB，則以P、Q、R為頂點的三角形是等邊三角形，請說明理由1-12 例4 已知：如圖1-13，等腰ABC中，AB=AC

8、，A=100°，ABC的平分線交AC于E，試比較AE+BE與BC的大小？ 分析 說明一條線段的長是否等于其他兩條線段長的和，常常采用截取等長線段的方法，將那些本來沒有關(guān)系的線段放在條線段上，這樣可迎刃而解 解：在BC上截取BF=BE，BD=BA，連結(jié)FE、DE， AB=AC，A=100°，ABC=C=40°，又BE平分ABC， 1=2=ABC=20° 1-13 BF=BE，BEF=5=80° 在BAE和BDE中， BA=BD，1=2，BE=BE BAEBDE AE=DE，3=A=100° 4=180°-3=180°

9、， 4=5，DE=FE，AE=FE 又6=5-C=80°-40°=40°， 6=C，F(xiàn)E=FC故AE+BE=FC+BF=BC 練習41如圖1-14，在ABC中，AB=AC，P為底邊BC上的一點，PDAB于D，PEAC于E，CFAB于F，那么PD+PE與CF相等嗎？ 1-142已知：如圖1-15，ABC和ADE都是等邊三角形B、C、D在一條直線上，說明CE與AC+CD相等的理由1-153已知：如圖1-16，ABC是等邊三角形，延長AC到D，以BD為一邊作等邊三角形BDE，連結(jié)AE，則AD_AE+AB（填“>”或“”或“<”）1-16 例5 已知：如圖1-

10、17，ABC中，AB=AC，CE是AB邊上的中線，延長AB到D，使BD=AB，那么CE是CD的幾分之幾？ 分析 延長線段到倍長，再證明三角形全等，往往是說明線段倍分關(guān)系的重要途徑和必要手段 解：延長CE到F，使EF=CE，連結(jié)BF，CE是AB的中線，AE=EB 又FEB=AEC， 1-17 EBFEAC，EBF=A BF=AC=BD 在FBC和DBC中， FB=BD，BC=BC FBC=FBE+EBC =A+ACB DBC=A+ACB FBC=DBC BCFBCDCF=CD=2CE，故CE=CD 練習51如圖1-18，D、E分別是等邊三角形ABC兩邊BC、AC上的點，且AE=CD，連結(jié)BE、A

11、D交于點P過B作BQAD于Q，請說明BP是PQ的2倍1-182如圖1-19，在ABC中，BAC=90°，AB=AC，BE平分ABC，CEBE，那么CE是BD的幾分之幾？1-19 3已知：如圖1-20，在ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它們相交于H，且AE=BE，那么AH是BD的_倍1-20 答案:練習11解：設(shè)DEC=x， AD=AE， ADE=AED x=AEC-ADE=（B+30°）-ADE=（B+30°）-（C+x） AB=AC，B=C 2x=30°，x=15°，故選C2解：AB=BB， BAB=BBA，BBD=BAB+BBA=2B

12、AB 又CBB=DBB， ACB=CBB+CBB=3CAB 設(shè)CAB=x，ACB=3x，CBD=4x，又AA=AB， A=ABA=CBD=4x AA平分EAB AAB=（180°-x） 又AAB=180°-（A+ABA）=180°-8x （180°-x）=180°-8x x=12°，故ACB=36°3解：如圖，作AEDBAC，連結(jié)EC 則AED=BAC=20°， DAE=ADE=B=ACB=80° CAE=DAE-BAC=80°-20°=60° 又AB=AE=AC， ACE是

13、正三角形，AE=EC=ED DEC=AEC-AED=40° EDC=（180°-DEC）=70° BDC=180°-（ADE+EDC）=30°練習2 1解：AB=AC，B=C DEBC，DEB=FEC=90° 在RtDEB與RtFEC中， B=C，BDE=F FDA=BDE， FDA=F，故AD=AF2解：以AD為邊在ADB內(nèi)作等邊ADE，連結(jié)BE 則1=2=3=60° AE=ED=AD DAC=15°， EAB=90°-1-DAC=15° DAC=EAB 又DA=AE，AB=AC， EABDA

14、C EBA=DCA=15° BEA=180°-EBA-EAB=150° BED=360°-BEA-AED=150° BEA=BED 又EB=EB，AE=ED BEABED，BD=BA 故選擇C3解：延長AD到G，使DG=AD，連結(jié)BG， BD=DC，BDG=CDA，AD=DG， ADCBDE AC=BG，G=EAF， 又BE=AC，BE=BG G=BED，而BED=AEF， AEF=AFE，故FA=FE練習31解：ABC是等邊三角形， AB=BC=CA ABC=ACB=BAC=60° 又BD=AF=CE， ABDBCECAF 1=2=

15、3 BAC-1=ABC-2=ACB-3 即CAK=ABG=BCH 又AB=BC=CA， ABGBCHCAK AGB=BHC=CKA 即KGH=GHK=GKH 故GKH是等邊三角形2解：由于ABC與CDE均為等邊三角形，A、C、E三點共線，得知： CA=CB，CD=CE，ACD=BCE， 故ACDBCE ADC=BEC，AD=BE 又DM=AD，EN=BE， DCMECN DCM=ECN，CM=CN 又ECN+NCD=ECD=60°， NCM=MCD+NCD=60° CMN是等邊三角形3解：連結(jié)BP ABC與CDP均為等邊三角形， AC=BC，CD=CP，ACB=DCP=60

16、° 1=2， ADCBPC CBP=DAC=60° RBP=RBA+ABC+CBP=60°+60°+60°=180°， R、B、P三點共線 又RAQ=RAB+BAC+CAQ=60°+60°+60°=180°， R、A、Q三點共線 而AQ=AE=AD=BP， RQ=RA+AQ=RB+BP=RP 又R=60°，PQR是等邊三角形 故以P、Q、R為頂點的三角形是等邊三角形練習41解：SACB=SAPB+SAPC， 即AB·CF=AB·PD+AB·PE CF=PD

17、+PE2解：AC=AB，CAE=BAD，AE=AD， AECADB CE=BD 又BD=BC+CD=AC+CD CE=AC+CD3解：ABC和BDE均為等邊三角形 ABE=60°-EBC=CBD，AB=BC，BE=BD ABECBD AE=CD又AB=AC， AD=AC+CD=AB+AE練習51解：CAB=C=60°，AE=CD，AB=AC，ADCBEA，CAD=EBA 又BPQ=PAB+PBA=PAB+CAD=60°， 在RtPQB中，PBQ=30°， BP=2PQ 2解：延長CE交BA的延長線于F， 1=2，BEC=BEF=90°，BE=B

18、E， BECBEF BC=BF，CE=EF， CE=CF 又2+3=90°，4+5=90°，3=4， 2=5，且AB=AC RtAFCRtADB CF=BD故CE=BD3解：AB=AC，ADBC， BD=DC，DAC+C=90° 又BEAC，EBC+C=90° DAC=EBC 在AEH和BEC中， DAC=EBC，AE=BE AEH=BEC=90°， AEHBEC，AH=BC 又BC=2BD，故AH=2BD一、基礎(chǔ)訓練1如圖1，在ABC中，AB=AC，A=50°，BD為ABC的平分線，則BDC=_° （1） （2） （3）2

19、如圖2，是由9個等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長是a，則六邊形的周長是_3如圖3，一個頂角為40°的等腰三角形紙片，剪去頂角后，得到一個四邊形，則1+2=_度4如圖4，在等腰直角ABC中，B=90°，將ABC繞頂點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到ABC，則BAC等于_ （4） （5） （6）5如圖5，沿AC方向開山修渠，為了加快施工進度，要在小山的另一邊同時施工從AC上的一點B取ABD=135°，BD=520米，D=45°，如果要使A、C、E成一直線，那么開挖點E離D的距離約為_米（精確到1米）6等腰ABC的底邊BC=8cm，

20、腰長AB=5cm，一動點P在底邊上從點B開始向點C以0.25cm/秒的速度運動，當點P運動到PA與腰垂直的位置時，點P運動的時間應(yīng)為_7如圖6，等邊ABC，B點在坐標原點，C點的坐標為（4，0），點A關(guān)于x軸對稱點A的坐標為_8如圖7，在ABC中，AB=AC，BAD=20°，且AE=AD，則CDE=_ （7） （8） （9）9如圖8，在等腰三角形ABC中，AB=AC，A=44°，CDAB于D，則DCB等于（ ） A44° B68° C46° D22°10如圖9，要在離地面5m處引拉線固定電線桿，使拉線和地面成60°角，若考慮

21、既要符合設(shè)計要求，又要節(jié)省材料，則在庫存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四種備用拉線材料中，拉線AC最好選用（ ）AL1 BL2 CL3 DL411如圖10，在ABC中，AB=AC，D為AC邊上一點，且BD=BC=AD則A等于（ ）A30° B36° C45° D72° （10） （11）12同學們都玩過蹺蹺板的游戲如圖11所示，是一蹺蹺板的示意圖，立柱OC與地面垂直，OA=OB當蹺蹺板的一頭A著地時，OAC=25°，則當蹺蹺板的另一頭B著地時，AOA等于（ ） A25° B50° C60&#

22、176; D130°二、能力提升13如圖，已知等腰三角形一腰上的中線把三角形周長分為12cm和15cm兩部分，求它的底邊長14已知如圖ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長BC到E使CE=CD試判斷DB與DE之間的大小關(guān)系，并說明理由15如圖，ABC中，D、E分別是AC、AB上的點，BD與CE交于點O，給出下列三個條件：EBO=DCO；BEO=CDO；BE=CD（1）上述三個條件中，哪兩個條件可判定ABC是等腰三角形（用序號寫出所有情形）；（2）選擇第（1）小題中的一種情況，證明ABC是等腰三角形三、應(yīng)用與探究16如圖，ABC是等邊三角形，點D、E、F分別是線段AB、BC、CA上的點 （1）若AD=BE=CF，問DEF是等邊三角形嗎？試證明你的結(jié)論 （2）若DEF是等邊三角形，問AD=BE=CF成立嗎？試證明你的結(jié)論17、如圖，在ABC中，BAC=90°，ABAC，D是ABC內(nèi)一點，且DAC=DCA=15°，求證：BDBA18、如圖，已知在ABC