.武漢市中考數(shù)學(xué)壓軸題評析

1、武漢市中考數(shù)學(xué)壓軸題評析1試題如圖1,拋物線y=ax2-3ax+b經(jīng)過A(-1,0),C(3,2)兩點，與y軸交于 點D，與x軸交于另一點B.(1)求此拋物線的解析式；(2)若直線y=kx-1(k工0)將四邊形ABCD面積二等分，求k的值；(3)如圖2,過點E(1,-1)作EF丄x軸于點卩。將厶AEF繞平面內(nèi)某點旋轉(zhuǎn)180后得MNQ(點M , N , Q分別與點A,E,F對應(yīng))，使點M , N在 拋物線上，求M,N的坐標(biāo).2試題解析(1)如圖1,0 a 3a b,2 9a 9a b.拋物線y=ax2-3ax+b經(jīng)過A(-1,0),C(3,2)兩點.解得ab2,2.12y=- x2拋物線的解析式

2、(2)方法1:如圖1,由y=CD/AB133x21S梯形 ABCD=2(5+3)X2=82得B(4,0)、D(0,2).設(shè)直線y=kx-1分別交AB、CD于點H、T,則H(丄，0)、T( - ,2).kk1直線y=kx-1平分四邊形ABCD面積，S梯形AHTD=尹梯形ABCD=4.113444 ( 1+)x2=4- k= ,k=時，直線y=x-1將四邊形ABCD面積2k k333二等分.方法2:過點C作CG丄AB與點G.13由y=-x2x 2得B(4,0)、D(0,2).CD/AB22由拋物線的對稱性得四邊形ABCD是等腰梯形，SAODSBCG3設(shè)矩形ODCH的對稱中心為R,則R( - ,1)

3、.由矩形的中心對稱性知：過R點2任一直線將它的面積平分，過R點且與CD相交的任一直線將梯形ABCD面積平分.2.2當(dāng)直線y=kx-1經(jīng)過點R時，得 仁-k-1二k=-,23(3)方法1:如圖2,由題意知，四邊形AEMN是平行四邊形， 二AN/EM且AN=EM.- E(1,-1)、A(-1,0)設(shè)M(m,n),貝U N(m-2,n+1) M、N在拋物線上,123nmm 222n 1g(m 2)23-(m 2)222解得m 3, n1.M(3,2),N(1,3).方法2:如圖2,由題意知厶AEFMNQ .設(shè)M ( m,12 m3m2),N (n.12n3n2222m n2,123(1232) 1;

4、nn 2mm2222解得m3,M(3,2),N(1,3).n 1.MQ=AF=2,NQ=EF=1，/MQN=/AFE=90注：以上的解答是試題命題組給出的參考答案，以下的解法是筆者在試卷抽 樣中對學(xué)生的解法提煉出來的.這里沒有考慮新舊教材的區(qū)別，僅供同行研究方法3:如圖2,設(shè)旋轉(zhuǎn)中心P(m,n),TA(-1,0)E(1,-1),根據(jù)中點坐標(biāo)公式得M2nTM、N在拋物線上，二2nM(3,2),N(1,3).方法4:如圖2,由題意知，四邊形AEMN是平行四邊形，二NM/AE且MN=AE=5,111T直線AE的解析式為y= -x丄，可設(shè)MN的解析式為y=丄x+b,2 221消去y,整理得x2-4x-

5、4+2b=0(2m+1,2n)N(2m-1,2n+1)12 (2m1)2212-(2m1)22-(2m1)23(2m21)解得m 1,n 1.y聯(lián)立方程組-_ x212x2b,2.2設(shè)M（xi，yj、N（X2,y2）,由根與系數(shù)關(guān)系得x1x24,x1x2=2b-4(XiX2)2=(XIx2)2-4x1x2=32-8b而MN2=&1X2)2+(yiy2)2=(xi2112X2)+(wX1+b)-(-2X2+b)=5(XiX2)245(x1x2)2=532-8b=44解得b=72將吒代入方程組解得X13,屮1.X2y21,3.M（3,2）,N（1,3）.3.試題評價從試題的編擬來看，試題簡

6、潔, 選拔功能。整道試題閱讀量較小，文字表達簡練，不像有的壓軸題表述冗長，在 閱讀理理解題意上增加試題的難度。試題的第（1）問比較常規(guī)，學(xué)生比較容易上手，增加了學(xué)生解決綜合題和戰(zhàn)勝困難的信心；第（2）問出現(xiàn)的等腰梯形學(xué)生應(yīng) 該是比較熟悉的，這樣可以讓學(xué)生能夠心平氣和的思考問題，但在思維的層次上 作了一個適當(dāng)?shù)奶嵘瑢χ械绕碌膶W(xué)生設(shè)置了障礙，第（3）問是為一些優(yōu)秀學(xué)生提供了充分展示自己智力的平臺，讓這些學(xué)生能夠脫穎而出。這樣，逐步增加 試題思維的難度，達到通過壓軸題增加試卷區(qū)分度的目的。并且，在問題的設(shè)置 中，第（2）、（3）問是兩個并列式的問題，這里也體現(xiàn)了試題編擬中人性化的藝 術(shù)，學(xué)生如何

7、第（2）問不會做，不影響他們解決第（3）問，真正作到人盡其才, 試卷抽樣發(fā)現(xiàn)就有一部分學(xué)生做出了第（3）問，而第（2）問沒有做出來。從所考查的知識點和數(shù)學(xué)思想方法上看， 考點全面，涉及到初中數(shù)學(xué)中核心內(nèi) 容。本題以拋物線為載體，綜合了函數(shù)、方程、點的坐標(biāo)、直線方程、平行四邊 形、等腰梯形、圖形面積，圖形的對稱、平移與旋轉(zhuǎn)，還有三角形全等和勾股定 理等初中數(shù)學(xué)的主要知識點。在數(shù)學(xué)思想方法方面，滲透了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化等數(shù) 學(xué)思想，在第（2）問中，通過圖形的分割將等腰梯形轉(zhuǎn)化為一個矩形和兩個全等 的三角形，在第（3）問中將直線與拋物線的交點問題轉(zhuǎn)化為方程組的問題；考查 了待定系數(shù)法，第（1）是求二次函

8、數(shù)的解析式，第（2）是求一次函數(shù)的解析式。 考查了學(xué)生的思維能力、運算能力和創(chuàng)新意識，是一道具有一定思維深度的試題。從能力要求上看，對學(xué)生的解題能力提出了較高的要求。 首先，要求考生對圖 形的性質(zhì)能夠靈活運用。在第（2）問中，結(jié)合點的坐標(biāo)，推出四邊形ABCD是等 腰梯形。在此基礎(chǔ)上方法1:求出直線y=kx-1與梯形上下底的交點坐標(biāo)；方法2： 充分運用等腰梯形的對稱性進行圖形的分割。在第（3）問中靈活運用平行四邊形 對邊或?qū)蔷€的性質(zhì)。其次，要求考生對問題的條件進行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，能夠?qū)⒁?個陌生的問題轉(zhuǎn)化為自己熟悉的問題。在試卷抽樣過程中，發(fā)現(xiàn)大量學(xué)生在解決 第（3）問時，對問題中條件“將AEF繞

9、平面內(nèi)某點旋轉(zhuǎn)180后得MNQ，使 點M,N在拋物線上”有點不知所云，從而導(dǎo)致不能繼續(xù)思考。其實，從解答中設(shè)計的三個問題有層次性，體現(xiàn)了壓軸題的發(fā)現(xiàn)，這一條件就是等價于“在拋物線上分別找兩點M、N，使AEMN為平行四邊形”正是因為改變了問題的呈現(xiàn)方式，從而增加了試題的難度。對學(xué)生來說， 下一個障礙就是如何將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題了。可以說：數(shù)學(xué)解題過程就是 一個不停地轉(zhuǎn)化過程。從抽樣結(jié)果看，本題滿分為12分，學(xué)生實際均分為2.9分, 難度系數(shù)僅有0.25,可見此題對學(xué)生的能力要求是比較高的。從試題的解答來看，體現(xiàn)了關(guān)注差異、以人為本的新理念。學(xué)生個體差異表現(xiàn) 在認知方式與思維策略的不同，以及認

10、知水平和學(xué)習(xí)能力的差異。從試題的解析 中，我們可以看到在試題的編擬和設(shè)計中注重解決問題策略的多樣性，每一問學(xué) 生解題的入口寬，尊重了學(xué)生在解決問題過程中所表現(xiàn)出來的不同水平，給不同 的學(xué)生創(chuàng)造成功的機會。有利于增強學(xué)生進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心，體現(xiàn)了 人文關(guān)懷，凸現(xiàn)了以人為本的新理念。在第（2）問學(xué)生可以從代數(shù)和圖形特征兩 個角度進行思考；在第（3）問可以從平移、三角形全等、中點坐標(biāo)、一元二次方 程根與系數(shù)的關(guān)系等角度進行解決。比較幾種解法，方法的技術(shù)含量越高，顯得 解決過程（往往表現(xiàn)為計算過程或推理過程）越簡捷，例如第（3）問的方法1, 這里體現(xiàn)了新教材中新增內(nèi)容一一圖形變換的考查，這種方

11、法的運用也給學(xué)生的 創(chuàng)新意識提出了更高的要求。并且該問還考慮到不同學(xué)生的能力水平的差異，設(shè) 計了輔助厶AEF，達到讓部分學(xué)生能夠“跳起來就可以摘到桃子”的目的。從初中、高中教學(xué)的銜接上看，本題有很好的發(fā)展性和導(dǎo)向性。 從初中數(shù)學(xué)的 視角來看，如上所述，本題考查了初中階段所學(xué)的諸如函數(shù)、方程、變換、面積 等重要知識點。同時又要求學(xué)生有扎實的數(shù)學(xué)功底、較強的分析問題和解決問題 的能力，特別是問題的轉(zhuǎn)化和聯(lián)想能力。從高中數(shù)學(xué)的視角來看，本題為高中階 段進一步學(xué)習(xí)直線的斜率、向量的平移、直線與曲線的交點坐標(biāo)的求法等知識埋 下了“伏筆”。從追求完美來看，本題有一點小小的遺憾。從解答中，我們發(fā)現(xiàn)在（3）問中所求N點坐標(biāo)為（1,3），而E點坐標(biāo)是（1,-1），所以EN/y軸，從而發(fā)現(xiàn)條 件E點坐標(biāo)有點特殊（因為導(dǎo)致結(jié)果有點特殊）。于是在試卷抽樣中發(fā)現(xiàn)了如下的 “投機取巧”的方法。如圖3,延長EF交拋物線于N,再過D作DM丄NE,垂足為點Q,DQ交拋 物線于點M。再連MN、AN、EM、AM，并且AM與EN交于點P。很易求得N（1,3）、Q（1,2）、M（3,2）由坐標(biāo)知厶AEFMNQ AE=MQ/MNQ=/AEF AE/MQ四邊形AEMN是平行四邊形將厶AEF繞平行四邊形AEMN的中心P旋轉(zhuǎn)180后得到的厶MNQ，頂點M , N在拋物線上。 M（3,2）,N（1