重要函數(shù)難點突破(非常經(jīng)典)

1、34hans【易錯題】1.（教L1例2）用列舉法表示 提醒學生審題的規(guī)范，審題要慢，答題要快，草稿紙的合理利用以及答題的規(guī)范：取值集合一定要加大括號，定義域和值域，角度和弧度不能混用2.（教L2基7）集合，若，則實數(shù)的取值范圍是_ 分類討論的意識要加強3.（教L2例3）已知集合，滿足且，則實數(shù) 檢驗意識4.（2011屆高三蘇州期末考試19題改編）不等式的解集為_ 5.（教L3基6改編）命題“”的否定為_6.（教L3基8改編）函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)的取值集合為_ 7.（同心圓夢3）滿足的集合共_組 變式：滿足的集合共有_組 8.（教L3白皮書7）在中，是的_條件；（充要）在中，是的_條件；（充要）

2、在中，是為銳角三角形的_條件（必要不充分）【專題研究、方法梳理】專題1：整數(shù)型（整除性）問題研究類型1：方程型的整數(shù)型（整除性）問題引例1：已知二項式，其中，且，在其二項展開式中，若存在連續(xù)三項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，問這樣的n共有多少個？解：連續(xù)三項的二項式系數(shù)分別為、（），由題意，依組合數(shù)的定義展開并整理得，故，則，代入整理得，故的取值為，共42個（將所求參數(shù)求出，根據(jù)整數(shù)性質(zhì)加以研究，盡量出現(xiàn)分式、根式等形式）引例2：已知，問是否存在正整數(shù)m，n，且1mn，使得T1，Tm，Tn成等比數(shù)列？若存在，求出m，n的值，若不存在，說明理由？解： ， 成等比數(shù)列 ，所以又為正整數(shù)且，n16，且1&

3、lt;m<n，使得成等比數(shù)列類型2：不等型的整數(shù)型（整除性）問題引例3：已知數(shù)列的通項公式為，是其前n項的和，問是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對；若不存在，請說明理由解： ，由，得 當時，分母小于0恒成立，化簡可知不等式不可能成立，又因為是正整數(shù)，故 當時，由得，所以；當時，由得，所以或；當時，由得，所以或或，綜上可知，存在符合條件的所有有序?qū)崝?shù)對為：練習：1: 設(shè)均為大于的自然數(shù)，函數(shù)，若存在實數(shù)使得，則 （根據(jù)函數(shù)值域進行夾逼）2: 各項均為正偶數(shù)的數(shù)列a1，a2，a3，a4中，前三項依次成公差為d（d > 0）的等差數(shù)列，后三

4、項依次成公比為q的等比數(shù)列. 若，則q的所有可能的值構(gòu)成的集合為 3：已知等差數(shù)列的公差d不為0，等比數(shù)列的公比q為小于1的正有理數(shù)。若，且是正整數(shù)，則q等于 答案： 只能為84: 函數(shù)中，為負整數(shù)，則使函數(shù)至少有一個整數(shù)零點的所有的值的和為_ 整數(shù)型問題：-145. mN，若函數(shù)存在整數(shù)零點，則m的取值集合為 _解 當xZ，且x10時，Z若m=0，則x= -5為函數(shù)f(x)的整數(shù)零點若m0，則令f(x)=0，得m=N注意到-5x10，且N，得x1，6，9，10，此時m3，14，30故m的取值集合為0，3，14，305: 對任意兩個非零的平面向量和，定義. 若兩個非零的平面向量，滿足與的夾角，

5、且和都在集合中，則_0.5 專題2：集合與不等式恒成立問題研究引例：已知集合，集合（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求實數(shù)的取值范圍；（1）轉(zhuǎn)化為根的分布問題，答案為（2）轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題 總結(jié)：不等式恒成立問題的相關(guān)轉(zhuǎn)換策略，請分析下列恒成立的等價條件：1. =，其中ab0，有對一切xR恒成立2. 函數(shù)，對任意都有成立3. 函數(shù)，若在區(qū)間上是減函數(shù)，且對任意的，總有4. 已知函數(shù)，若存在，使得5. 已知，若對，6. 函數(shù)，若對任意的，總存在，使成立7. 上題中的條件改為“若存在，總存在，使成立”練習：1：已知函數(shù)，若對于任意的，均存在以為三邊長的三角形，求實數(shù)的取值范圍2. 函數(shù)定

6、義在區(qū)間a, b上，設(shè)“”表示函數(shù)在集合D上的最小值，“”表示函數(shù)在集合D上的最大值現(xiàn)設(shè) ，()；，()若存在最小正整數(shù)k，使得對任意的成立，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“第k類壓縮函數(shù)”（）若函數(shù)，試寫出、的解析式；（）若m>0，函數(shù)是上的“第3類壓縮函數(shù)”，求實數(shù)m的取值范圍（）由于，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增的最大值為3，（）由于，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 正整數(shù)k對x恒成立，當x0時，均成立；當時，恒成立，而，從而有；當時，恒成立，而，從而有；，函數(shù)是上的“第3類壓縮函數(shù)”，m>0 專題3：一類集合交集非空問題研究例：（教L2例4）已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是_ 鏈接：（

7、2011年江蘇高考14）設(shè)集合，若，實數(shù)范圍是_變式：設(shè)集, 若 則實數(shù)m的取值范圍是_.（考慮圓夾在兩條平行線間的情況）圓心滿足不等式或圓與兩條中的一條有公共點優(yōu)化方法：求出斜率為-1且和圓相切的兩直線的縱截距分別為和，而后分析：其充要條件是位于下方的直線的縱截距不大于，位于上方的直線的縱截距不小于，即得答案專題4：數(shù)列中取公共元素成新數(shù)列問題研究引例1：兩個集合和都各有100個元素，且每個集合中元素從小到大都組成等差數(shù)列，則集合中元素的最大值為規(guī)律結(jié)論：若兩等差數(shù)列公差分別為，則數(shù)列的公差為兩者的最小公倍數(shù)引例2：設(shè)等差數(shù)列an的前n項和是Sn，已知S39，S636（1）求數(shù)列an的通項公

8、式；（2）是否存在正整數(shù)m、k，使am，am5，ak成等比數(shù)列？若存在，求出m和k的值，若不存在，說明理由；（3）設(shè)數(shù)列bn的通項公式為bn3n2集合Axxan，nN*，Bxxbn，nN*將集合AB中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列c1，c2，c3，求cn的通項公式解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差是，由和，得得 ，（2）成等比數(shù)列等價于 等價于即：，是正整數(shù)所以存在正整數(shù)，使成等比數(shù)列和的值是 或 或 9分（3）因為 ，；所以 ，即：當時，；當，當時，當時， 所以的通項公式是即：專題5：數(shù)列中隔項成等差（等比）數(shù)列問題研究引例：（教L4例2）已知數(shù)列滿足，求證：數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是拓展：若數(shù)列

9、為公差為的等差數(shù)列，試探究數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件，并加以證明.引例：已知正項數(shù)列滿足，求證：數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件是.拓展：若正項數(shù)列滿足：數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，試探究數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件，并加以證明.練習：數(shù)列滿足，則的前項和為_專題6：復合函數(shù)方程的根的問題研究引例1：（教L4例4）已知函數(shù)，集合，. 若為單元素集，試求的值.引例2：（2012年江蘇高考）已知a，b是實數(shù)，1和是函數(shù)的兩個極值點（1）求a和b的值；（2）設(shè)函數(shù)的導函數(shù)，求的極值點；（3）設(shè)，其中，求函數(shù)的零點個數(shù)解：不妨令，則，由易得的示意圖，且極大值極小值分別為，時，同理可作出的函數(shù)圖象（和函數(shù)圖象相同)，當時

10、對應零點3個，當時對應零點2個，時，零點有5個；同理時，也有零點5個；當時，此時零點有3個，對應零點有9個。綜上當時各有個零點，當時有個零點練習： 1. 且 2. 0個 1. 函數(shù)方程有7個根的充要條件是_2. 關(guān)于的方程，給出下列四個命題：（1） 存在實數(shù)，使得方程恰有2個不同的實根；（2）存在實數(shù)，使得方程恰有4個不同的實根；（3）存在實數(shù)，使得方程恰有5個不同的實根；（4）存在實數(shù)，使得方程恰有8個不同的實根.其中假命題的個數(shù)為_3已知函數(shù)，關(guān)于的方程，給出下列四個命題： 存在實數(shù)，使得方程恰有2個不同的實根； 存在實數(shù)，使得方程恰有4個不同的實根； 存在實數(shù)，使得方程恰有5個不同的實根

11、； 存在實數(shù)，使得方程恰有8個不同的實根.其中真命題的序號為_專題 函數(shù)中相關(guān)問題的再研究 學習是一趟旅程，教師充當?shù)氖菍в蔚慕巧Ｔ诼贸涕_始前，何導游先介紹一下本次旅程我們要參觀的景點（相當于認知地圖Cognition-map），游覽前需要對我們本次要參觀的景點心中有數(shù)，游覽完本專題后再回頭審查這份認知地圖，看看能否對此次旅程的所有景點有較深刻的印象，如果能做到這一點，恭喜你，我們不虛此行！本專題的認知地圖，游覽完本景點，你應該了解：1. 含參三次函數(shù)的最值問題如何進行分類討論？討論三層次是指哪三個層次？2. 簡單的復合函數(shù)、含分式的復合函數(shù)、含根式的復合函數(shù)的值域分別怎么求解？3. 恒成立

12、問題中參數(shù)范圍如何進行局部縮小，以達到簡化問題的效果？4. 函數(shù)型方程（不等式）有哪些常見求解策略？5. 常見的類非基本初等函數(shù)分別如何研究？八類函數(shù)分別是：尖底平底型函數(shù)、型函數(shù)、牛頓三叉函數(shù)、含絕對值的復合函數(shù)、對數(shù)與絕對值函數(shù)的復合、指數(shù)與絕對值函數(shù)的復合、對數(shù)與雙曲線型函數(shù)的復合、對數(shù)與二次函數(shù)的復合？6. 含參二次函數(shù)綜合問題如何突破？7. 高中數(shù)學中具有將指數(shù)下移功能的運算方式有哪些？8. 函數(shù)與方程有三種等價語言可以相互轉(zhuǎn)化，是哪三種？遇到問題時該如何選??？【易錯題】1.（教L6練7）已知函數(shù)的定義域為，值域為，則的定義域為_；值域為_ （答案：；）2.（教L6練8）已知函數(shù)的圖

13、像與的圖像關(guān)于點對稱，則的解析式為_ （相關(guān)點法求函數(shù)（曲線）的解析式（軌跡方程）問題）3.（教L7基8）函數(shù)的值域為_；函數(shù)的值域為_；函數(shù)（）的值域為_；的值域是_答案：；4.（教L8基6改編）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為_；已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是_ 答案：和 （注意使用導數(shù)方法的檢驗）5.（教L9例3）設(shè)為函數(shù)的對稱中心，則必有恒等式_根據(jù)上述結(jié)論，寫出函數(shù)的一個對稱中心為_6.（雙對稱問題）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù).若方程在區(qū)間上有四個不同的根，則7.（教L9練5）已知函數(shù)若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是_ 變式1：已知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且通項公

14、式為則實數(shù)的取值范圍是_ 變式2：已知函數(shù)f(x)=在R不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是 變式3：已知函數(shù),其中. 若對任意的非零實數(shù),存在唯一的非零實數(shù),使得成立,求的取值范圍.變式4：已知函數(shù)f(x)=，無論t取何值，函數(shù)f(x)在區(qū)間(-，+)總是不單調(diào)則a的取值范圍是 a兩情形：或當時在上恒成立8.（教L12例3）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是_ 9. （教L14基3）已知函數(shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，若，則函數(shù)的零點個數(shù)為_ 0個或1個 10. 抽象函數(shù)雖然抽象，但總能從我們所學的基本初等函數(shù)中找到一個具體函數(shù)支撐抽象性質(zhì)，請各找出一個滿足下列條件的基本初等函數(shù)：（1）_；

15、（2）_（1）為二次函數(shù)；（2）為余弦函數(shù)11. （教L16練4）已知偶函數(shù)滿足，當時，則 12.求的最小值為_（多注重對結(jié)構(gòu)的認識）變式：已知滿足則的最大值_.0； 法一：，法二：；構(gòu)造函數(shù)：此函數(shù)為增函數(shù)，由得，即【專題研究、方法梳理】專題1：含參三次函數(shù)的最值問題及討論三層次研究引例1：（教L6練9）函數(shù)的圖像上有兩點，且軸，點，其中，（1）試寫出用點的橫坐標表示面積的函數(shù)解析式；（2）記的最大值為求解：（1）；（2）練習：已知函數(shù)，且（1）試用含有的式子表示；（2）求的單調(diào)區(qū)間.專題2：幾類函數(shù)的值域問題求解策略歸納第I類：簡單的復合函數(shù)（換元法）引例1：；第II類：帶分式的復合函數(shù)（

16、換元、部分分式法、反解（判別式法）、公式法）引例2：直接寫出函數(shù)的值域為_，曲線的對稱中心為_；若添加條件，則值域為_；直接寫出下列函數(shù)的值域：；引例3：求函數(shù)的值域 部分分式、換元 答案：變式：求函數(shù)的值域變式：求函數(shù)（）的值域（換元）引例4：求函數(shù)的值域 （部分分式、判別式）第III類：帶根式的復合函數(shù)（觀察、換元、平方法、三角換元）引例5：求函數(shù)的值域；思考：求一般根式函數(shù)的通法是什么？引例5：求函數(shù)的值域；變式1：求函數(shù)的值域（還可以用導數(shù)法研究）變式2：求函數(shù)的值域（平方法、三角換元法）變式3：求函數(shù)的值域（換元）變式4：求函數(shù)的值域（三角換元）一般的，求函數(shù)（其中）的值域如何研究？

17、第IV類：構(gòu)造法求函數(shù)的值域問題_（拓展：多元變量的最值問題）引例6：求函數(shù)的值域是_變式1：函數(shù)f(x)=的最大值與最小值的乘積是 解法1 當x0，±1時，f(x)=當>x時，f(x)，且當=2時，取“=”，故f(x)的最大值為又因為f(x)為奇函數(shù)，故f(x)的最小值為所以所求的乘積為解法2 令=0，得x2=函數(shù)f(x)的最大值應在x-x3>0，即0<x<1或x<-1時取得所以f(x)max=maxf()，f()=，下同解法1解法3 令x=tan，則g()=f(x)=，所求乘積為變式2：若關(guān)于x的方程x4+ax3+ax2+ax+1=0有實數(shù)根，則實數(shù)

18、a的取值范圍為 解法1 因x0，故將方程兩邊同除以x3，并變形得=0令g(t)=，t=原方程有實數(shù)根，等價于函數(shù)g(t)有零點因g(-1)= -1，故函數(shù)g(t)有零點，只須g(-2)0或g(2)0解g(-2)0，得a2；解g(2)0，得a所以，實數(shù)a的取值范圍為解法2 易知x=0不是方程的根，故x3+x2+x=0所以，a=，其中t=解法3 接解法2，a=，于是因=x2(x+1)2+(x+1)2+2x2>0，故由可解得x=1或-1當x>0時，a<0，且當x=1時，a取極大值，故此時a；當x<0時，a>0，且當x= -1時，a取極小值2，故此時a2綜上，實數(shù)a的取值

19、范圍為注 異曲同工之妙，它們都出現(xiàn)了x，x2，x3，x4，經(jīng)換元后，分別得到了只關(guān)于整體變量及的表達式，進而一舉解決了問題練習1：設(shè)實數(shù)，若不等式對任意都成立，則的最小值為 2：已知點到原點的距離為1，則的最大值為_首先點的運動軌跡方程為，可視為點與點的連線斜率；而的運動軌跡為圓，易得最大值為3：，對于任意實數(shù)，的最大值為_4：已知關(guān)于的實系數(shù)一元二次不等式的解集為，則的最小值是 8解析：分子分母同時除以，變形為（消元思想）（其中條件為），而后轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，易求得最小值為8專題3：恒成立問題中參數(shù)范圍的局部縮小策略引例1：（教L7例4）若函數(shù)的定義域與值域均為區(qū)間（），求實數(shù)的取值范圍.（局部

20、縮小策略，將問題的研究縮小到正實數(shù)區(qū)間和負實數(shù)區(qū)間兩種情況里，對于每種情況采用不同的處理方法；答案：）引例2：已知函數(shù)，其中是自然數(shù)的底數(shù)，.若在上是單調(diào)增函數(shù)，則的取值范圍為_練習1：設(shè)aR，若x > 0時均有(a-1)x-1(x2-ax-1)0，則a=_2：對于總有成立，則= 3：設(shè)f(x)奇函數(shù)，當時， f(x)2xx 2，若函數(shù)f(x)(xa，b)的值域為，則b的最小值為_ ，實數(shù)的取值集合為_ ；局部縮?。菏紫萢,b異號，一定不成立；則a,b同號，要求最小值，則只考慮小于0情形專題4：函數(shù)型方程（不等式）的常見求解策略 引例1：（天津高考）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是_ 引

21、例2：實數(shù)，函數(shù)，若，則= 練習1：函數(shù)f(x)=,則滿足不等式f(1x2)>f(2x)的x的范圍是_ (1,-1)2：已知，試求滿足的所有實數(shù)a解：情形1：當由解得矛盾情形2：當，此時，矛盾。情形3：當，此時所以情形4：當，此時矛盾。情形5：當，此時由矛盾。情形6：當a>0時，此時由綜上知，滿足的所有實數(shù)a為：解法二：數(shù)形結(jié)合也可易得答案： 3：函數(shù)則滿足不等式的的取值范圍是_答案：專題5：八類常見非基本初等函數(shù)的研究函數(shù)模型一：尖底平底型函數(shù)（且是等差數(shù)列）它的圖像是什么？一定是軸對稱圖像嗎？若是，對稱軸是什么？最小值何時取得？引例1：函數(shù)的最小值為_引例2：設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于直

22、線對稱，則的值為_練習：，且，則滿足條件的所有整數(shù)的和是_下列命題中真命題的序號是 _（1）是偶函數(shù)；（2）在上是增函數(shù)；（3）不等式的解集為；（4）方程有無數(shù)個實數(shù)解拓展：已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+|100x-1|，則當x= 時，f(x)取得最小值解 f(x)=，f(x)共表示為5050項的和，其最中間兩項均為x=，同時使第1項|x-1|與第5050項的和，第2項與第5049項的和，第3項與第5048項的和，第2525項與第2526項的和，取得最小值故所求的x為注 1一般地，設(shè)a1a2a3an(nN*)，f(x)=|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+|x

23、-an|若n為奇數(shù)，當x=時，f(x)取最小值；若n為偶數(shù)，則x時，f(x)取最小值函數(shù)模型二： 型函數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)如何研究？引例：函數(shù)的定義域是，若對任意的，都有，則實數(shù)的取值范圍是_ 練習：已知函數(shù)f(x)|ex|(aR)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是_函數(shù)模型三：牛頓三叉曲線在數(shù)學史上，成為牛頓三叉曲線.運用數(shù)學方法，總結(jié)“牛頓三叉”函數(shù)的圖像和性質(zhì)練習：1：已知函數(shù)在上為增函數(shù)，則的取值范圍為 變式：若條件改為上為減；上為增；上為減，結(jié)論分別如何？2：已知二次函數(shù)的圖像以原點為頂點，且過點（1，1），反比例函數(shù)的圖像與的兩個交點間的距離為8，。試判斷當時，關(guān)于的方程的

24、實數(shù)解的個數(shù)為 函數(shù)模型四：僅含絕對值的復合函數(shù)引例1：已知，函數(shù)（1）判斷函數(shù)的奇偶性，請說明理由；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（3）設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上既有最大值又有最小值，請分別求出的取值范圍（只要寫出結(jié)果，不需要寫出解題過程）解：（1）當時，則為奇函數(shù)；當時，且，則既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù) （2）當時，且當時，有； 當時，對稱軸，在增，； 當時，對稱軸，若， 若， 綜上所述：； （3）時，；時， 引例2：已知，函數(shù).求函數(shù)在區(qū)間1,2上的最小值.練習：1. 已知函數(shù)有最小值，則實常數(shù)的取值范圍是 變式：函數(shù)在上有最大值，則實數(shù)的取值范圍是_2. 已知函數(shù)，其中，且.（1）如果函數(shù)的值域是

25、，則實數(shù)的取值范圍為_；（2）如果函數(shù)的值域是，實數(shù)的最小值為_3. 已知函數(shù)（1）若函數(shù)在R上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）求所有的實數(shù)，使得對任意時，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的下方；（3）若存在，使得關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍解：（1）由在R上是增函數(shù)，則即，則范圍為；4分（2）由題意得對任意的實數(shù)，恒成立，即，當恒成立，即，故只要且在上恒成立即可，在時，只要的最大值小于且的最小值大于即可，而當時，為增函數(shù)，；當時，為增函數(shù)，所以； （3）當時，在R上是增函數(shù)，則關(guān)于x的方程不可能有三個不等的實數(shù)根； 則當時，由得時，對稱軸，則在為增函數(shù)，此時的值域為，時，對稱軸，

26、則在為增函數(shù)，此時的值域為，在為減函數(shù)，此時的值域為；由存在，方程有三個不相等的實根，則，即存在，使得即可，令，只要使即可，而在上是增函數(shù)，故實數(shù)的取值范圍為； 同理可求當時，的取值范圍為；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為 函數(shù)模型五：對數(shù)和絕對值函數(shù)的復合型函數(shù)引例：已知函數(shù),.（）當時,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（）若恒成立,求的取值范圍；（）對任意,總存在惟一的,使得成立,求的取值范圍.解：（）當,時,所以在 遞增,所以（）當時，恒成立, 當時，（i）當即時，在時為正數(shù)，所以在區(qū)間上為增函數(shù),故當時，且此時(ii)當,即時，在時為負數(shù)，在間 時為正數(shù),所以在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù),故當時，

27、且此時 (iii)當,即 時，在時為負數(shù)，所以在區(qū)間1,e上為減函數(shù)，故當時，綜上所述，函數(shù)的最小值為所以當時,得; 當()時,無解；當 （）時,得不成立. 綜上,所求的取值范圍是（）當時,在單調(diào)遞增,由,得 當時，在先減后增,由,得, 設(shè),yax所以單調(diào)遞增且，所以恒成立得當時,在遞增，在遞減，在遞增,所以由,得,設(shè),則,所以遞增，且,所以恒成立，無解. 當時，在遞增，在遞減，在遞增,所以由得無解 綜上,所求的取值范圍是函數(shù)模型六：指數(shù)和絕對值函數(shù)的復合型函數(shù)引例：（2008江蘇卷20）若，為常數(shù)，且（）求對所有實數(shù)成立的充要條件（用表示）；（）設(shè)為兩實數(shù)，且,若.求證：在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間

28、的長度和為（閉區(qū)間的長度定義為）【解析】本小題考查充要條件、指數(shù)函數(shù)與絕對值函數(shù)、不等式的綜合運用（）恒成立（*）因為所以，故只需（*）恒成立綜上所述，對所有實數(shù)成立的充要條件是：（）1°如果，則的圖象關(guān)于直線對稱因為，所以區(qū)間關(guān)于直線 對稱因為減區(qū)間為，增區(qū)間為，所以單調(diào)增區(qū)間的長度和為2°如果.（1）當時.，當，因為，所以，故=當，因為，所以，故=因為，所以，所以即當時，令，則，所以，當時，所以=時，所以=在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和=（2）當時.，當，因為，所以，故=當，因為，所以故=因為，所以，所以當時，令，則，所以，當時， ，所以=時，所以=在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的

29、長度和=綜上得在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為函數(shù)模型七：對數(shù)與雙曲線型函數(shù)的復合型函數(shù)引例：設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導函數(shù)為.如果存在實數(shù)和函數(shù)，其中對任意的都有>0，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì).（1）設(shè)函數(shù)，其中為實數(shù)。（i）求證：函數(shù)具有性質(zhì)； （ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知函數(shù)具有性質(zhì)。給定設(shè)為實數(shù)，且，若|<|，求的取值范圍.解：（1）(i)時，恒成立，函數(shù)具有性質(zhì)；(ii)（方法一）設(shè)，與的符號相同。當時，故此時在區(qū)間上遞增；當時，對于，有，所以此時在區(qū)間上遞增；當時，圖像開口向上，對稱軸，而，對于，總有，故此時在區(qū)間上遞增；（方法二）當時，對于， 所以，故此時在區(qū)間

30、上遞增；當時，圖像開口向上，對稱軸，方程的兩根為：，而 當時，故此時在區(qū)間 上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增。綜上所述，當時，在區(qū)間上遞增；當時，在上遞減；在上遞增。(2)（方法一）由題意，得：又對任意的都有>0，所以對任意的都有，在上遞增。又。當時，且， 綜合以上討論，得：所求的取值范圍是（0，1）。（方法二）由題設(shè)知，的導函數(shù)，其中函數(shù)對于任意的都成立。所以，當時，從而在區(qū)間上單調(diào)遞增。當時，有，得，同理可得，所以由的單調(diào)性知、，從而有|<|，符合題設(shè)。當時，于是由及的單調(diào)性知，所以|，與題設(shè)不符。當時，同理可得，進而得|，與題設(shè)不符。因此綜合、得所求的的取值范圍是（0，1）。（講評時對方法進行優(yōu)化）思考：（1）設(shè)函數(shù)