方法技巧專題28,極坐標與參數(shù)方程概念（解析版）

1、方法技巧專題28,極坐標與參數(shù)方程概念（解析版） 方法技巧專題 28 極坐標與參數(shù)方程的概念 解析篇 一、 極坐標與參數(shù)方程的概念知識框架 二、參數(shù)方程與普通方程的互化 1.例題 1 1 參數(shù)方程的概念： 設在平面上取定一個直角坐標系 xoy ，把坐標 y x, 表示為第三個變量 t 的函數(shù)： ， 如果對于 t 的每一個值( b t a £ £ )，式所確定的點 ) , ( y x m 都在一條曲線上；而這條曲線上任意一點 ) , ( y x m ，都可由 t 的某個值通過式得到，則稱式為該曲線的參數(shù)方程，其中 t 稱為參數(shù) 2 參數(shù)方程與普通方程的互化： 把參數(shù)方程化為普

2、通方程，需要根據(jù)其結構特征，選取適當?shù)南麉⒎椒ǔＲ姷南麉⒎椒ㄓ校捍胂?；加減消參法；平方和(差)消參法；乘法消參法等 把曲線 c 的普通方程 0 ) , ( = y x f 化為參數(shù)方程的關鍵：一是適當選取參數(shù)；二是確?；セ昂蠓匠痰牡葍r性 要注意方程中的參數(shù)的變化范圍 3 直線、圓、橢圓的參數(shù)方程： （1）經(jīng)過一定點) , (0 0 0y x p，傾斜角為 a 的直線 l 的參數(shù)方程為： ( t 為參數(shù))； （2）直線參數(shù)方程的一般形式為 （ t 為參數(shù)）； （3）圓的參數(shù)方程為 ( q 為參數(shù))； （5）橢圓 的參數(shù)方程為 (， r 為參數(shù)) îíì=)

3、() (t g yt f xb t a £ £îíì+ =+ =aasin, cos00t y yt x xîíì+ =+ =bt y yat x x00,îíì+ =+ =qqsin, cos00r y yr x x) 0 ( 12222> > = + b abyaxîíì=qqsin, cosb ya x q r q r sin , cos = = y x xyy x = + = q r tan ,2 2 2 【例 1】 在直角坐標系 xo

4、y 中，已知曲線1c 的方程為2 2110 6x y+ = ，曲線2c 的參數(shù)方程為1,2382x ty tì=ïïíï= - -ïî（ t 為參數(shù)）. （1）求1c 的參數(shù)方程和2c 的普通方程； （2）設點 p 在1c 上，點 q 在2c 上，求 pq 的最小值. 【解析】（1）由曲線1c 的方程為2 2110 6x y+ = ， 得曲線1c 的參數(shù)方程為10cos ,6sinxyqqì=ïí= ïî（ q 為參數(shù)）， 由曲線2c 的參數(shù)方程為1,2382x ty t&#

5、236;=ïïíï= - -ïî（ t 為參數(shù)）， 得曲線2c 的普通方程為3 8 0 x y + + = . （2）設 ( 10cos , 6sin ) p q q ，點 p 到直線2c 的距離為 d ， 則 pq 的最小值即為 d 的最小值， 因為( )30cos 6sin 86sin 82 2dq qq j+ + += =，其中 tan 5 j = ， 當 sin( ) 1 q j + = - 時， d 的最小值為 1，此時min1 pq = . 【例 2】已知直線 ) (23211: 為參數(shù) tt yt xlï

6、39;îïïíì=+ =, 曲線 ) (sincos:1為參數(shù) qqqîíì=yxc (1)設 l 與 相交于 兩點,求 ； (2)若把曲線 上各點的橫坐標壓縮為原來的21倍,縱坐標壓縮為原來的23倍,得到曲線 ,設點 是曲線上的一個動點,求它到直線 l 的距離的最小值 【解析】（1） l 的普通方程為 的普通方程為 聯(lián)立方程組 解得 l 與 的交點為 , ,則 . （2） 的參數(shù)方程為 為參數(shù)).故點 的坐標是 , 從而點 到直線 的距離是 , 由此當 時, 取得最小值,且最小值為 . 2.鞏固提升綜合練習 【練

7、習 1】在直角坐標系 xoy 中，曲線 c 的參數(shù)方程為2cos4sinx y = ìí=î，（ 為參數(shù)），直線 l 的參數(shù)方程為1 cos2 sinx t y t = + ìí= +î，（ t 為參數(shù)） （1）求 c 和 l 的直角坐標方程； （2）若曲線 c 截直線 l 所得線段的中點坐標為 (1,2) ，求 l 的斜率 【解析】（1）曲線 c 的直角坐標方程為2 214 16x y+ = 當 cos 0 a ¹ 時， l 的直角坐標方程為 tan 2 tan y x a a = × + - ， 當 cos 0

8、 a = 時， l 的直角坐標方程為 1 x= （2）將 l 的參數(shù)方程代入 c 的直角坐標方程，整理得關于 t 的方程 2 2(1 3cos ) 4(2cos sin ) 8 0 t t a a a + + + - = 因為曲線 c 截直線 l 所得線段的中點 (1,2) 在 c 內(nèi)， 所以有兩個解，設為1t ，2t ，則1 20 t t + = 又由得1 224(2cos sin )1 3cost ta aa+ = -+， 故 2cos sin 0 a a + = ， 于是直線 l 的斜率 tan 2 k a = =- 【練習 2】在平面直角坐標系 中,已知直線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù))

9、,以坐標原點 為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線 的極坐標方程為 . (1)寫出直線 的普通方程和曲線 的參數(shù)方程. (2)求曲線 上的點到直線 的最短距離. 【解析】(1)消去參數(shù) ,得直線 的普通方程為 , 由 ,可得 ,所以 ,整理得 , 所以曲線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)). (2)由(1)得 ,所以圓心 到直線 的距離 , 所以曲線 上的點到直線 的最短距離為 . 三、極坐標方程與直角坐標方程的互化 1.例題 【例 1】極坐標系中，曲線 c 的極坐標方程為 2 r = 以極點為原點，極軸為 x 軸建立平面直角坐標系 xoy，直線 l 的參數(shù)方程為3212x a ty t&#

10、236;= +ïïíï=ïî（t 為參數(shù)） （1）求曲線 c 的直角坐標方程以及直線 l 的普通方程； （2）若曲線 c 上恰有四個不同的點到直線 l 的距離等于 1，求實數(shù) a 的取值范圍 【解析】（1）依題意，24 r = ，代入公式2 2 2x y r = + ，得曲線 c 的直角坐標方程為2 24 x y + = ， 由直線的參數(shù)方程消去參數(shù) t，得直線 l 的普通方程為 3 0 x y a - - = ； （2）依題意可得，圓心 o 到直線 l： 3 0 x y a - - = 的距離 1 d < ， 所以| |11

11、3a<+，解得 2 2 a - < < 1 極坐標系的概念： 在平面內(nèi)取一個定點 o ， o 點出發(fā)的一條射線 ox ，一個長度單位及計算角度的正方向(通常取逆時針方向)，合稱為一個極坐標系 o 稱為極點， ox 稱為極軸 設 m 是平面內(nèi)任意一點，極點 o 與點 m 的距離 om 叫做點 m 的極徑，記作 r ；以極軸 ox 為始邊，射線 om 為終邊的角 xom 叫做點 m 的極角，記作 q ，有序數(shù)對 ） ， （ q r 叫做點 m 的極坐標一般情況下，約定 0 ³ r 2 極坐標系與直角坐標系的互化： 直角坐標化極坐標： q r cos = x ， q r

12、sin = y ； 極坐標化直角坐標： ， 2 2 2y x + = r ). 0 ( tan=/= xxyq 故實數(shù) a 的取值范圍為 ( 2,2)- 【例 2】 在平面直角坐標系 xoy 中，曲線 c 的參數(shù)方程為3 2cos1 2sinxyjjì= + ïí= + ïî（ j 為參數(shù)），以坐標原點 o為極點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標系. （1）求曲線 c 的極坐標方程； （2）在曲線 c 上取兩點 m ， n 與原點 o 構成 mon ，且2mon Ð = ，求 mon 面積的最大值. 【解析】（1）可知曲線 c 的普通方

13、程為2 2( 3) ( 1) 4 x y - + - = ， 所以曲線 c 的極坐標方程為22 3 cos 2 sin 0 r r q r q - - = ，即4sin( )3r q = + . （2）由（1）不妨設1( , ) m r q ，2( , )2n r q +1 2( 0, 0) r r > > ， 1 21 1 28|sin( )sin( )| 4|sin(2 )| 42 2 3 2 3 3mons om on r r q q q = = = + + + = + £， 所以 mon 面積的最大值為 4. 2.鞏固提升綜合練習 【練習 1】在平面直角坐標系 x

14、oy 中，已知曲線12 2cos:1 2sinx tcy t= - + ìí= +î（ t 為參數(shù)），以坐標原點 o 為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線:2c 0 1 sin cos 4 = + - q r q r . （1）求曲線1c 的普通方程與曲線2c 的直角坐標方程； （2）若點 p 在曲線1c 上， q 在曲線2c 上，求 | | pq 的最小值. 【解析】（1）由12 2cos:1 2sinx tcy t= - + ìí= +î消去 t 得 4 ) 1 ( ) 2 (2 2= - + + y x ， 因為 0

15、1 sin cos 4 = + - q r q r ，由直角坐標與極坐標的轉(zhuǎn)化公式可得 0 1 4 = + - y x . 所以曲線1c 的普通方程為 4 ) 1 ( ) 2 (2 2= - + + y x ，曲線2c 的直角坐標方程為 0 1 4 = + - y x . （2）由（1）知 :1c 4 ) 1 ( ) 2 (2 2= - + + y x 的圓心為 ) 1 , 2 (- ，半徑為 2， :2c 0 1 4 = + - y x ， | | pq 的最小值即為 ) 1 , 2 (- 到直線 0 1 4 = + - y x 的距離減去圓的半徑， 因為 ) 1 , 2 (- 到直線 0

16、1 4 = + - y x 的距離為1717 8) 1 ( 4| 1 1 4 2 |2 2=- + - ´ -= d，所以 | | pq 的最小值為21717 8-. 【練習 2】在直角坐標系 xoy 中，曲線 c 的參數(shù)方程為cos 3sin ,sin 3cosxya aa aì= +ïí= - ïî（ a 為參數(shù)）坐標原點 o 為極點， x 軸的正半軸為極軸，取相同長度單位建立極坐標系，直線 l 的極坐標方程為 cos( ) 36r qp- = （1）求曲線 c 的普通方程和極坐標方程； （2）設射線 :3ompq = 與曲線 c

17、 交于點 a ，與直線 l 交于點 b ，求線段 ab 的長 【解析】（1）由題意得2 2 2 2(cos 3sin ) (sin 3cos ) 4 x y a a a a + = + + - = ， 曲線 c 的普通方程為2 24 x y + = cos x r q = ， sin y r q = ，代入可得曲線 c 的極坐標方程為 2 r = （2）把3qp= 代入 cos( ) 36r qp- = 中，可得 cos( ) 33 6rp p- = ， 解得 2 3 r = 即 b 點的極徑 2 3br = ， 由（1）易得 2ar = ， | | 2 3 2a bab r r = - =

18、- 【練習3】在極坐標系中，已知圓的圓心 (6, )3cp，半徑 3 r = ， q 點在圓 c 上運動以極點為直角坐標系 原點，極軸為 x 軸正半軸建立直角坐標系 （1）求圓 c 的參數(shù)方程； （2）若 p 點在線段 oq 上，且 : 2:3 op pq = ，求動點 p 軌跡的極坐標方程 【解析】（1）由已知得，圓心 (6, )3cp的直角坐標為 (3,3 3) c ， 3 r = ， 所以 c 的直角坐標方程為2 2( 3) ( 3 3) 9 x y - + - = ， 所以圓 c 的參數(shù)方程為3 3cos3 3 3sinxyqq= + ìïí= + 

19、39;î（ q 為參數(shù)） （2）由（1）得，圓 c 的極坐標方程為26 (cos 3sin ) 27 0 r r q q - + + = ， 即212 sin( ) 276r r qp= + - ，設 ( ) , p r q ， ( )1 ,q r q ， 根據(jù) : 2:3 op pq = ，可得1: 2:5 r r = ， 將152r r = 代入 c 的極坐標方程，得225 120 sin( ) 108 06r r qp- + + = ， 即動點 p 軌跡的極坐標方程為225 120 sin( ) 108 06r r qp- + + = 四、參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義 1.例題 【

20、例 1】 以平面直角坐標系的坐標原點 o 為極點，以 x 軸的正半軸為極軸，以平面直角坐標系的長度為長度單位建立極坐標系. 已知直線 l 的參數(shù)方程為2 31 2x ty t= - ìí= - +î（ t 為參數(shù)），曲線 c 的極坐標方程為2sin 4cos r q q = . （1）求曲線 c 的直角坐標方程； （2）設直線 l 與曲線 c 相交于 a b 、 兩點，求 ab . 【解析】（1）由2sin 4cos r q q = ，即2 2sin 4 cos r q r q = ，得曲線 c 的直角坐標方程為24 y x = . （2）將 l 的參數(shù)方程代入2

21、4 y x = ，整理得24 8 7 0 t t + - =， 1 22 t t + = - ，1 274t t = - ， ( ) ( )2 221 2 1 2 1 23 2 13 4 13 4 7 143 ab t t t t t t = - + - = ´ + - = ´ + =. 【例 2】在平面直角坐標系 xoy 中，直線 l 的參數(shù)方程為1 cossinx ty taa= + ìí=î( t 為參數(shù)，0 a £ < )，在以坐標原點為極點，x 軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線 c 的極坐標方程為222.1 sinrq

22、=+ （1）求曲線 c 的直角坐標方程； （2）設點 m 的坐標為(1，0)，直線 l 與曲線 c 相交于 a，b 兩點，求1 1ma mb+的值. 【解析】（1）曲線2221 sinrq=+，即2 2 2sin 2 r r q + = ，2 2 2 , sinx y y r r q = + = ， 曲線 c 的直角坐標方程為2 22 2 x y + = ，即2212xy + = . 1、 、 直線參數(shù)方程： （1）注意必須是標準形式； （2）直線的參數(shù)方程 ( t 為參數(shù))中參數(shù) t 的幾何意義： t 表示直線上任一點 ) , ( y x m 到直線上定點 ) , (0 0 0y x m 的

23、距離； 2、 、 直線與二次曲線相交問題： 將直線的參數(shù)方程與曲線的普通方程聯(lián)立，通過判斷 d 的符號來確定交點的個數(shù)；若 0 > d ，則有兩個交點，此時的1t 、2t 分別表示交點 b a、 與直線所過定點 ) , (0 0 0y x m 的距離. îíì+ =+ =aasin, cos00t y yt x x （2）將1 cossinx ty taa= + ìí=î代入2 22 2 x y + = 并整理得2 2(1 sin ) 2 cos 1 0 t t a a + + - = ， 1 2 1 22 22cos 1,1

24、sin 1 sint t t taa a- + = - =+ +， 1 21 21 1 ma mb ab t tma mb ma mb ma mb t t+ - + = = =-， ( )221 2 1 2 1 22 2 2 24cos 4 2 24(1 sin ) 1 sin 1 sint t t t t taa a a- = + - = + =+ + +， 222 21 11 sin2 211 sinma mbaa+ + = =+. 【例 3】在直角坐標系 xoy 中，直線 l 的參數(shù)方程為1 cos1 sinx t xy t x= + ìí= - +î（ t

25、 為參數(shù)， 0 a < <p ），以 o 為極 點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 c 的極坐標方程為 (1 2cos2 ) 8cos r q q - = （1）判斷直線 l 與曲線 c 的公共點的個數(shù)，并說明理由； （2）設直線 l 與曲線 c 交于不同的兩點 , a b ，點 ( ) 1, 1 p - ，若1 1 4| |3 pa pb- =，求 tan a 的值 【解析】（1）由 ( ) 1 cos2 8cos r q q - = 得2sin 4cos r q q = ， 所以2 2sin 4 cos r q r q = ，即24 y x = ， 將直線 l 的參數(shù)方

26、程代入24 y x = ，得 ( ) ( )21 sin 4 1 cos t t a a - + = + ， 即 ( )2 2sin 2sin 4cos 3 0 t t a a a × - + × - = ， 由 0 a < <p 知2sin 0 a >， ( )222sin 4cos 12sin 0 d a a a = + + > ， 故直線 l 與曲線 c 有兩個公共點； （2）由（1）可設方程 ( )2 2sin 2sin 4cos 3 0 t t a a a × - + × - = 的兩根為1 2t t ， ， 則1 22

27、2sin 4cossina aa+ = t t ，1 2230sin a-× = < t t ， 故1 21 21 1 2 4| | sin 2cos3 3pa pb t tpa pb pa t ta a- +- = = = + =×， 2 2sin 4sin cos 4cos 4 a a a a + + =， 即24sin cos 3sin a a a =，4tan3a = 【例 4】在直角坐標系 xoy 中，曲線 c 的參數(shù)方程為 （t 為參數(shù)）以坐標原點 o 為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線 l 的極坐標方程為 （1）求 c 和 l 的直角坐標方程

28、； （2）求 c 上的點到 l 距離的最小值 【解析】（1）因為2211 11tt- < £+，且2 22 2 22 2 21 4( ) ( ) 12 1 (1 )y t txt t-+ = + =+ +， 所以c的直角坐標方程為221( 1)4yx x + = ¹ - l 的直角坐標方程為 2 3 11 0 x y + + = （2）由（1）可設c的參數(shù)方程為cos ,2sinxyaa= ìí=î（ a 為參數(shù)， a - < <） c上的點到 l 的距離為4cos( ) 11|2cos 2 3sin 11|37 7aa a-

29、 + += 當23a = - 時，4cos( ) 113a - + 取得最小值7， 故c上的點到 l 距離的最小值為 7 2.鞏固提升綜合練習 【練習 1】在直角坐標系 xoy 中，以原點 o 為極點， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓 c 的極坐標方程為212 cos 11 0 r r q + + = . （1）求圓 c 的直角坐標方程； （2）設 (1,0) p ，直線 l 的參數(shù)方程是1 cossinx ty taa= + ìí=î（ t 為參數(shù)），已知 l 與圓 c 交于 , a b 兩點，且34pa pb = ，求 l 的普通方程. 【解析】（1）將

30、2 2 2 , cosx y x r r q = + = 代入圓 c 的極坐標方程212 cos 11 0 r r q + + = ， 得2 212 11 0 x y x + + + = ，化為圓的標準方程為2 2( 6) 25 x y + + = . （2）將直線 l 的參數(shù)方程1 cossinx ty taa= + ìí=î（ t 為參數(shù)）代入圓 c 的直角坐標方程 ( )226 25 x y + + = 中， 2221141txttytì -=ïï+íï=ï+ î，2 cos 3 sin

31、11 0 r q r q + + = 化簡得214 cos 24 0 t t a + + =，設 , a b 兩點所對應的參數(shù)分別為1 2, t t ， 由根與系數(shù)的關系知1 2 1 214cos , 24 t t t t a + = - = ， 1 2, t t 同號，又34pa pb = ，1 234t t = ， 由可知12=3 2=4 2ttìïíï î或12= 3 2= 4 2ttì-ïí-ï î， 14cos 7 2 a - =或 14cos a - =7 2 -，解得2cos2a = ± ， tan 1 k a = =±， l 的普通方程為( 1) y x =± -. 【練習 2】在直角坐標系 xoy 中，直線1c 的參數(shù)方程為33623x ty t&#