高中文科數(shù)學平面向量知識點整1

1、高中文科數(shù)學平面向量知識點整1高中文科數(shù)學平面向量知識點整1高中文科數(shù)學平面向量知識點整理向量：既有大小，又有方向的量數(shù)量：只有大小，沒有方向的量有向線段的三要素：起點、方向、長度單位向量：長度等于1 個單位的向量平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量零向量與任一向量平行相等向量：長度相等且方向相同的向量相反向量：a=-b? b=-a ? a +b=0向量表示：幾何表示法；字母 a 表示；坐標表示： a=xi+yj=(x,y).向 量的模：設OA =a ,則有向線段OA的長度叫做向量a的長度或模，記作：|a |.|a |=a =|a |=x +y 2。(零向量：長度為 0的向量。a =

2、 O ? | a | = O.例 給出下列命題：若|a | =|b | ，則a =b ;若A , B , C , D是不共線的四點，則 AB = DC是 四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若 a =b , b = c ,則a =c ；a = b的充 要條彳t是|a | = |b |且a II b .其中正確的序號是判斷下列命題是否正確，不正確的請說明理由(1) 若向量 a 與 b 同向，且|a |>|b| ，則 a >b ；(2) 若|a | =|b | ，則a與b的長度相等且方向相同或相反；(3)若|a | =|b | ，且a與b方向相同，則a =b ;(4) 由于零向量的方

3、向不確定，故零向量不與任意向量平行；(5) 若向量 a 與向量 b平行，則向量a 與 b 的方向相同或相反；(6) 若向量 AB 與向量 CD 是共線向量，則A ， B ， C ， D 四點在一條直線上；(7) 起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量；2 、向量加法運算：三角形法則的特點：首尾相連.平行四邊形法則的特點：共起點.a -b =AC -AB=BC運算性質：交換律：a +b =b +a ;結合律：a +b +c =a +b +c ； a +0=0+a =a 坐標運算：設 a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2)，貝U a +b =(x 1+x 2, y 1+

4、y2 ). 例1:在 ABC中，中線AD , BE , CF 交于O ,求證： (1)AD +BE +CF =0.例2:在 ABC中，中線AD , BE , CF 交于O ,求證： AO +BO +CO =0.例2021 廣東卷若向量 AB =(1,2) , BC = (3,4),則 AC =()A (4,6) B ( 4，6) C ( 2，2) D (2,2)3 、向量減法運算：三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量.坐標運算：設 a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2) ，則 a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2).設 A、 B 兩點的坐標分別為(x

5、1, y 1)， (x 2, y 2) ，則 AB=(x 1-x 2, y 1-y 2)(1)AB +BC +CD =; AB -AD -DC = ; (AB -CD ) -(AC -BD ) = 若正方形 ABCD的邊長為1, AB =a , BC =b , AC =c ,則|a +b +c |=4、向量數(shù)乘運算：實數(shù)人與向量a的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘，記作 入a .入a =入a ；當人0時，入a的方向與a的方向相同；運算律：入(1 a尸(入！i)a ;(入+(! )a =入a +a ；入a +b =入a +入b .坐標運算：設 a =(x , y ) ，貝U入a =入(x , y

6、尸( 入x ,入y ).5 、向量共線定理：向量 a a W0與b共線，當且僅當有唯個實數(shù) 入，使(b W0) ? (a ?b ) 2=(|a 11b |)2。 b 二入 a.設 a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)【例題】若M ( -3 ， -2 )， N (6，-1)，且 MP =-MN ，則點P 的坐標為 _6 、向量垂直：a ±b ? a ?b =0 ? |a +b |=|a -b |? x 1x 2+y 1y 2=0.【例題】已知 OA =(-1,2), OB =(3,m ),若OA ±OB ,則m = 202 1 陜西卷設向量 a = (1 , c

7、os 0 )與 b = ( - 1,2cos 0 )垂直，則 cos2 0 等于()B. C .0 D . 1 222021 重慶卷設 x C R ,向量 a = (x, 1), b =(1 ,2)，且 a，b ,則 |a +b | =()A. 5 B. 10 C . 25 D . 10 2021 安徽卷設向量 a = (1,2m ), b =(m + 1,1),c = (2 , m )，若(a +c ) ，b ,則 |a | =.7 、平面向量的數(shù)量積：a ?b =a b cos 8 a w0, b w0,0&8W180 .零向量與任一向量的數(shù)量積為0.性質：設a和b都是非零向量，則

8、a ±b ? a ?b =0 .當a與b同向時，a ?b =a b ；當 a 與 b 反向時，a ?b =-a b ； a ?a =a 2=a 或 a =.a ?b <a b .運算律： a ?b =b ?a ；(入 a ) ?b =入 a ?b =a ?入 b ；a +b ?c =a ?c +b ?c 坐標運算：設兩個非零向量a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2) ，則 a ?b =x 1x 2+y 1y 2若 a =(x , y ) ，則 a =x 2+y 2 ，或 a =設 a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2) ，貝U a，b ? a

9、 b = 0? x 1x 2+y 1y 2 =0.則 a / b ? a =入 b (b w0) ? x 1y 2 = x 2y 1.設 a 、 b 都是非零向量，a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2), 0 是 a 與 b 的夾角，則cos e=(注 |a ?)| <|a |b |) a b【例題】(1) 4ABC 中，|AB |=3 , |AC |=4 ,|BC |=5 ，則 AB ?BC =(2) 2021 湖北卷已知向量a = (1,0) , b =(1,1)，則 與2a +b同向的單位向量的坐標表示為； 向量 b 3a 與向量 a 夾角的余弦值為(3) 2021 全國卷4ABC中， AB邊的高為 CD,若CB0, |a | =1,|b |=2,則 AD =()1122A. 3a 3b B. 3a 3 3344C. a b D. a 55558 、在上的投影：即|b |cos 0,它是一個實數(shù)，但不一定大于0o【例題】已知|a |=3 ， |b |=5 ，且 a ?b =12，則向量a 在向量b 上的投影為2021 課標全國卷已知向量a , b夾角為45° ,且|a | =1, 12a b |10 ,則|b | =【 2021 高考江西文12】