2020年廣東省茂名市高考數(shù)學(xué)二模試卷(文科)含答案解析

1、一.選擇題：本大題共 項是符合題目要求的2020年廣東省茂名市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有1 .已知全集 U=1, 2, 3, 4, 5,集合 A= （1, 2, 5, ?uB= （1, 3, 5,則 A AB=（）A. 2 B. 5 C. 1, 2, 4, 5 D. 3, 4, 52 .已知2=； （i為虛數(shù)單位），則Z的共軻復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.已知非零向量"a=(m2 * h n+1)與向量2）平行，則實數(shù)m的值為（A.1 或一二 C. - 1D.4. 執(zhí)行如圖

2、所示的程序框圖,輸出的 S值為（否是/輸出5/A. 1 B.C.1321610D-扇5. ABC的內(nèi)角A, B,C的對邊分別為a, b,c.若 a=2, c=bv c,A.7CTB.)JUC.兀2D.6.A.設(shè)數(shù)列an是的等差數(shù)列，4 B. 36 C. - 74 D.22L3Sn為其前n項和.若80S6=8S 3 , 33 35=8,則 a20=(7.設(shè)函數(shù)wjGl)f ( - 7) +f (log312)=()第4頁(共21頁)A.8.(7 B. 9 C, 11 D. 13若p是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為已知命題p：存在xC (1, 2)使得ex - a> 0, )A. ( 8, e

3、)B. ( 8, eC. (e2, +8)D. e2, +8)yr9 .已知函數(shù)f (x) =Asin ( wx+()GU, |巾|<匚1)的部分圖象如圖所示，TC I若將f (x)的圖象上所有點向右平移 個單位得到函數(shù)g (x)的圖象，則函數(shù) g (x)的單調(diào)增區(qū)間為()A.保江，k"<,叱Z B. k冗+，卜五號,kCZC. 作n，? kez D . kK - -, kTT丁, ke Z L £n-L41_L 口，>L 匚10 .如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為()*五星A. 317tB. 32 兀 C. 34 兀 D. 36兀11

4、 .算數(shù)書竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求困蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率L與高h,計算其體積 V的近似公式vG30L2h,兀近似取為3,那么，近似公式V $ r oL2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的 兀近似取為()A 2225157 . 355A- 7 B- S C- 50 > 11312.已知拋物線y2=4x的焦點為F, A、B為拋物線上兩點，若A? =3標(biāo)，O為坐標(biāo)原點,則4AOB的面積為(A烏BC.)±/3_3D.二、填空題

5、：本大題共 4小題，每小題5分，滿分20分.13.已知直線l過圓x2+ (y-3) 2=4的圓心，且與直線 x+y + 1=0垂直，則l的方程 是.14 .實數(shù)x, y滿足,式+y- ,貝U z=x+y+1的最大值為 . k+3y - 3 2 015 .設(shè) ABC的內(nèi)角A, B, C,所對的邊分別是 a, b, c.若(a+b- c) (a+b+c) =ab,則 角 C=.16 .設(shè)函數(shù)f' (x)是奇函數(shù)f (x) (xC R)的導(dǎo)函數(shù)，f (- 1) =0,當(dāng)x>0時，xf' (x)- f (x) < 0,則使得f (x) >0成立的x的取值范圍是 .三、

6、解答題：本大題共 5小題，滿分60分.解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟17 .等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且a2=4, S5=30,數(shù)列bn滿足bI+2b2+-+nbn=an (I )求 an；(n )設(shè)cn=bn?bn+1,求數(shù)列cn的前n項和Tn.18 . 2020年8月12日天津發(fā)生?；分卮蟊ㄊ鹿剩斐芍卮笕藛T和經(jīng)濟損失.某港口組織消防人員對該港口的公司的集裝箱進行安全抽檢，已知消防安全等級共分為四個等級(級為優(yōu)，二級為良，三級為中等，四級為差)，該港口消防安全等級的統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：等級一級二級三級四級頻率0.302mm0.10現(xiàn)從該港口隨機抽取了 n家公司，其中消防安全

7、等級為三級的恰有20家.(1)求m, n的值；(2)按消防安全等級利用分層抽樣的方法從這 n家公司中抽取10家，除去消防安全等級為 一級和四級的公司后， 再從剩余公司中任意抽取 2家，求抽取的這2家公司的消防安全等級 都是二級的概率.19 .如圖，三棱柱 ABCA1B1C1 中，CA=CB , AB=AA 1, / BAA 1=60°.(I )證明：AB ±AiC；(n)若AB=CB=1 ,求三棱錐 A-A1BC的體積.20 .如圖，圓C與x軸相切于點 T (2, 0),與y軸正半軸相交于兩點 M, N (點M在點N 的下方)，且|MN|=3.(I )求圓C的方程；22(n

8、 )過點M任作一條直線與橢圓三一+2一二1相交于兩點A、B,連接AN、BN,求證:84ZANM= / BNM .21 .已知函數(shù) f (x) =lnx+ax2+x, a R.(I )當(dāng)a=1時，求函數(shù)f (x)的圖象在點(1, f (1)處的切線方程；(n )討論函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(出)已知a<0,對于函數(shù)f (x)圖象上任意不同的兩點 A (xi, yi), B (x2, y2),其中 x2>xi,直線AB的斜率為k,記N (u, 0),若盛工人。1<卜<公，求證f' (u) v k.請考生在第22, 23, 24題題中任選一題作答，如果多做，則按所做

9、的第一題計分，作答時請在答題卡中用2B鉛筆把所選做題的后面的方框涂黑，并寫清題號再作答.選彳4-1:幾何證明選講22 .如圖所示，AC為。O的直徑，D為標(biāo)的中點，E為BC的中點.(I )求證：DE / AB ;(II )求證：AC?BC=2AD ?CD .選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程23 .已知曲線C的極坐標(biāo)方程是 p " -0) - 1=0 .以極點為平面直角坐標(biāo)l的參數(shù)方程是系的原點，極軸為 x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線(為(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲線C相交于A、B兩點，且|皿|二36，求直線的傾斜角 ”的值.選彳4-5 ;不等式選講2

10、4 .已知函數(shù)=- a |+ |x -y h x Ek(I)當(dāng),解不等式f (x) < x+10；a的取值范圍.(n )關(guān)于x的不等式f (x) > a在R上恒成立，求實數(shù)2020年廣東省茂名市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）參考答案與試題解析一.選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一 項是符合題目要求的.1 .已知全集 U=1, 2, 3, 4, 5,集合 A= （1, 2, 5, ?UB= （1, 3, 5,則 A AB=（）A. 2 B. 5 C. 1, 2, 4, 5 D. 3, 4, 5【考點】交集及其運算.【分析】求出集合B,然后根據(jù)

11、交集的定義和運算法則進行計算.【解答】 解：因為全集 U=1 , 2, 3, 4, 5, ?uB=1 , 3, 5,所以 B=2, 4,所以 AAB=2,故選：A.2 .已知2=盲；（i為虛數(shù)單位），則Z的共軻復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.【分析】把已知的等式變形，然后直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出 后，得到其 坐標(biāo)得答案.21 I【解答】解：.Z=£ （i為虛數(shù)單位），；二1 - i,對應(yīng)的點為（1, -1）在第四象限.故選：D.3 .已知非零向量- b 帚1）與向量-2）平行，則實數(shù)m的值為

12、（）A.1 或一二 C. - 1D.第7頁（共21頁）m的值.【考點】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示.【分析】根據(jù)平面向量共線定理的坐標(biāo)表示，列出方程解方程，求出 【解答】解：非零向量 £（6-L m+1）與向量良（1, 7）平行, - 2 （m2-1） TX （ m+1） =0, 解得m="1"或m= - 1 （不合題意，舍去） ，實數(shù)m的值為七.故選：D.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（）【分析】1321從框圖賦值入手，先執(zhí)行一次運算，然后判斷運算后的i的值與2的大小，滿足判斷框中的條件，則跳出循環(huán)，否則繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)，直到條件滿足為止.【解答】 解：

13、框圖首先給變量i和S賦彳1 0和1.執(zhí)行£二2+122X1+1 - 3,i=0 + 1=1;判斷1a2不成立，執(zhí)行占由13匕_ 2 Fl2/+1 以Ji=1 +1=2;判斷2>2成立，算法結(jié)束,跳出循環(huán)，輸出S的值為13215. ABC的內(nèi)角A, BC的對邊分別為a, b, c.若 a=2, c=,且 bv c,A.B.)JUC.兀2D.22L3JI,可得C3-余弦定理.由正弦定理可求sinC,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cocC=,又bvc, B為銳角，分類討論由三角形內(nèi)角和定理即可解得B的值.【解答】 解：在 ABC中，: a=2, c=2j3,與皿尸卷7T,a<

14、c,可得 A=_t_,cosA=.：，sinC=WWL=2Jl 乂彳=返，可得 cocc= 土工，即 C 為2L或g_L,- b<c, B為銳角，TT jrQ IT I.當(dāng)C=B=,矛盾，舍去，故 C=一, J乙，kJ兀B=兀A C=.&故選：A.6.設(shè)數(shù)列an是的等差數(shù)列，Sn為其前n項和.若S6=8S3,電-比=8,則a20=()A. 4 B. 36 C. - 74 D. 80【考點】等差數(shù)列的前n項和.【分析】利用等差數(shù)列前n項和公式和通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出a20-【解答】解：.數(shù)列an是的等差數(shù)列，Sn為其前n項和.若S6=8S3, a3-a5=8

15、,卜/拶#8><("詈d)解得 ai=2, d=- 4,，a20=ai+19d=2 4X 19=- 74.故選：C.7.設(shè)函數(shù)f (工)二，14log (2,WJ<K>1)d)，貝U f ( 7) +f (log312)=(A. 7 B. 9 C. 11 D. 13【考點】函數(shù)的值.【分析】 由-7V 1 , 1 Vlog312 求 f ( - 7) +f (log312)的值.【解答】 解：,- 7V 1, 1<log312,f ( 7) +f (log312)log12- 1=1+log39+7 =1+2+4=7, 故選：A.8.已知命題p：存在xC

16、 (1, 2)使得ex - a> 0,若p是真命題，則實數(shù) a的取值范圍為( )A.(-巴 e)B. (- 8, eC. (e2, +川D. e2, +8)【考點】 命題的真假判斷與應(yīng)用；命題的否定.【分析】寫出命題的否定命題，利用命題的真假關(guān)系，通過函數(shù)的最值求解即可.【解答】解：命題p：存在xC ( 1, 2)使得ex- a>0,則命題p為：任意x C (1, 2)使 得 ex - aw 0,因為p是真命題，所以ex-aw 0恒成立，即a>ex, ex< e2.可得a> e2.故選：D.9.已知函數(shù) f (x) =Asin ( cox+4)兀(心>0,j

17、巾的部分圖象如圖所示,若將f (x)的圖象上所有點向右平移TCF個單位得到函數(shù)g (x)的圖象，則函數(shù) g (x)的單調(diào)增區(qū)間為(12A.kCZ B. k冗十C. k兀女冗哈S -患k兀咤【考點】 【分析】y=Asin 區(qū)間.函數(shù) y=Asin ( wx+ 抄 利用 y=Asin ( wx+ 4)的圖象變換.的圖象特征，求出函數(shù)y=Asin (cox+(j)(cox+j)的圖象變換規(guī)律及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求得函數(shù)的解析式，再根據(jù)g (x)的單調(diào)增解：由圖可知 A=2, T=4 (TT12第9頁(共21頁)2兀.,.? =2TT.由圖可得點(7T12,2)在函數(shù)圖象上，可得：2sin (

18、2X7T12+ 4) =2,解得:JU2XI :+(j)=2kkC Z,兀2f (x)=2sin (2x).若將y=f(x)的圖象向右平移兀12個單位后，得到的函數(shù)解析式為：g (x) =2sin2 (x p-TT7T+y =2sin (2x+由2k兀兀V 2x+-v7T，k”，7T可得k兀-< x< k 7+kC Z,函數(shù)g (x)的單調(diào)增區(qū)間為：kLJCk。,kJ.10.如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積為（-二五莖第11頁（共21頁）A. 317tB. 32 兀 C. 34 兀 D. 36?！究键c】由三視圖求面積、體積.【分析】首先還原幾何體為底面邊長為 3的

19、正方形，高為4是四棱錐，明確其外接球的半徑， 然后計算表面積.【解答】解：由幾何體的三視圖得到幾何體是底面是邊長為3的正方形，高為4是四棱錐,所以其外接球的直徑為32+ 4 2=/方，所以其表面積為34兀；故選C.11 .算數(shù)書竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求困蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成,該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h,計算其體積 V的近似公式V，136L2h,它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率兀近似取為3,那么，近似公式VL2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的兀近似取為（A.227B.25C.15750D

20、.)355113棱柱、棱錐、棱臺的體積.根據(jù)近似公式V"A%，建立方程,即可求得結(jié)論.【解答】 解：設(shè)圓錐底面圓的半徑為 r,高為h,則L=2時參*圖（2"）2h，故選：B.正=3正，O為坐標(biāo)原點,12.已知拋物線y2=4x的焦點為F, A、B為拋物線上兩點，若 則 AOB的面積為（）A V3. D 隨° MA. 3 B. 3C, T» 3【考點】拋物線的簡單性質(zhì).【分析】根據(jù)拋物線的定義，不難求出，|AB| 二2|AE| ,由拋物線的對稱性，不妨設(shè)直線的斜率為正，所以直線 AB的傾斜角為60。，可得直線AB的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，求出A, B的坐標(biāo)

21、，即可求出 AOB的面積.【解答】解：如圖所示，根據(jù)拋物線的定義， 不難求出，|AB|二2|AE|,由拋物線的對稱性，不妨設(shè)直線的斜率為正，所以直線AB的傾斜角為60。，直線AB的方程為,聯(lián)立直線AB與拋物線的方程可得：，解之得：&（3, 2無）,l.y =4x所以 |AB |二"2仔二學(xué)，而原點到直線 AB的距離為所以$?。? Iae| x 邛 ,當(dāng)直線AB的傾斜角為120°時，同理可求. 23二、填空題：本大題共 4小題，每小題5分，滿分20分.13 .已知直線l過圓x2+ （y-3） 2=4的圓心，且與直線 x+y + 1=0垂直，則l的方程是 x - y+3

22、=0.【考點】 直線與圓的位置關(guān)系.【分析】由圓的方程求出圓心坐標(biāo)，由直線垂直的條件求出直線l的斜率，代入點斜式方程再化為一般式方程.【解答】解：由題意得，圓x2+ （y - 3） 2=4的圓心為（0, 3）,又直線l與直線x+y+1=0垂直，所以直線l的斜率是1,則直線l的方程是：y-3=x-0, IP x-y+3=0, 故答案為：x - y+3=0.14 .實數(shù)x, y滿足，/廠,貝U z=x+y + 1的最大值為4 .k+3y - 330【考點】簡單線性規(guī)劃.【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，進行求解即可.【解答】 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，由 z=x+y

23、+1,即 y= - x - 1+z,由圖象可知當(dāng)直線 y=-x-1+z經(jīng)過點B (3, 0),和直線x+y-3=0平行時，直線y= - x - 1+z的截距最大，此時z最大.代入目標(biāo)函數(shù) z=x+y+1得z=3 + 1=4.即目標(biāo)函數(shù)z=x+y+1的最大值為4.故答案為：4.第13頁(共21頁)15 .設(shè) ABC的內(nèi)角A, B, C,所對的邊分別是 a, b, c.若(a+b- c) (a+b+c) =ab,則角c=【考點】 余弦定理.【分析】利用已知條件(a+b - c) (a+b+c) =ab,以及余弦定理，可聯(lián)立解得cosB的值，進a2+b2 c2+2ab=ab一步求得角B.【解答】解：

24、由已知條件(a+b- c) (a+b+c) =ab可得 即 a2+b2 - c2= - ab2.1 2由余弦定理得：cosC=2ab2 JU又因為0vCv tt,所以C=.iJ1故答案為:16 .設(shè)函數(shù)f' (x)是奇函數(shù)f (x) (x C R)的導(dǎo)函數(shù)，f ( - 1) =0,當(dāng)x>0時，xf' (x)- f (x) <0,則使得f (x) >0成立的x的取值范圍是(-8, 1)u (0. 1).【考點】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.【分析】構(gòu)造函數(shù)g (x)利用g (x)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù) g (x)的單調(diào)性與奇偶性，畫出函數(shù)g (x)的大致圖象，結(jié)合圖形求出不

25、等式f (x) >0的解集.【解答】解：設(shè)g (x) =/1,則g (x)的導(dǎo)數(shù)為:室g' (x)=;當(dāng)x>0時總有xf'(x) < f (x)成立,即當(dāng)x>0時，g' (x)恒小于0, 當(dāng)x>0時，函數(shù)g (x) =£')為減函數(shù),田(一0-f (x) F(k)(x),又 g ( x) =g"K - X 乂，函數(shù)g (x)為定義域上的偶函數(shù)又g，函數(shù)(1)=F(T)g (x)的大致圖象如圖所示:數(shù)形結(jié)合可得，不等式 f (x) >0? x?g (x) >0f y>0 r(式心口或1式切? 0v

26、xv 1 或 xv - 1 .f (x) >0成立的x的取值范圍是(- 8, 故答案為：(-8, 1) U (0, 1).-1)U (0, 1).三、解答題：本大題共 5小題，滿分60分.解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且32=4, S5=30,數(shù)列bn滿足b1+2b2+nbn=an (I )求 an；(n )設(shè)Cn=bn?bn+1,求數(shù)列Cn的前n項和Tn.【考點】 數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項公式.【分析】(I)利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出；(II)利用遞推關(guān)系與 裂項求和”即可得出.【解答】解：(I)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d

27、, - a2=4, S5=30,解得 ai=d=2., " an=2 +2 ( n - 1) =2n .(11) . bi+2b2+.+nbn=an,當(dāng) n=1 時，bi=ai=2；當(dāng) n>2 時，bi+2b2+,+ (n 1) bni=ani,nbn=an an -1=2 ,解得bn=.n/加加+1=N，.=4吟一去).二數(shù)列 Cn的前 n 項和 Tn=4 ( L 上)+ d - ) + +)118 . 2020年8月12日天津發(fā)生?；分卮蟊ㄊ鹿?，造成重大人員和經(jīng)濟損失.某港口組 織消防人員對該港口的公司的集裝箱進行安全抽檢，已知消防安全等級共分為四個等級（一級為優(yōu)，二級

28、為良，三級為中等，四級為差），該港口消防安全等級的統(tǒng)計結(jié)果如下表所示： 等級一級二級三級四級頻率0.302mm0.10現(xiàn)從該港口隨機抽取了 n家公司，其中消防安全等級為三級的恰有20家.（1）求m, n的值；（2）按消防安全等級利用分層抽樣的方法從這 n家公司中抽取10家，除去消防安全等級為 一級和四級的公司后， 再從剩余公司中任意抽取 2家，求抽取的這2家公司的消防安全等級 都是二級的概率.【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；分層抽樣方法.【分析】（1）由已知先求出 m,由頻率 不索，能求出n.（2）由分層抽樣的方法得到消防安全等級為一級的有3家，二級的有4家，三級的有2家,四級的

29、有1家.記消防安全等級為二級的4家公司分別為 A, B, C, D,三級的2家公司分別記為a, b,從中抽取2家公司，利用列舉法能出抽取的2家公司的消防安全等級都是二級的概率.【解答】 解：（1）由已知可得：0.30+2m+m+0.10=1 , 解得：m=0.20.20 所以 n=100 .（2）由（1）知，利用分層抽樣的方法從中抽取10家公司，則消防安全等級為一級的有 3家，二級的有4家，三級的有2家，四級的有1家.記消防安全等級為二級的 4家公司分別為A, B, C, D,三級的2家公司分別記為a, b,則從中抽取2家公司，不同的結(jié)果為：(Aa), (Ab), (AB), (AC), (A

30、D), (BC), (BD), (Ba), (Bb), (CD), (Ca), (Cb), (Da), (Db), (ab),共 15 種，記 抽取的2家公司的消防安全等級都是二級 ”為事件M, 則事件 M 包含的結(jié)果有：(AB), (AC), (AD), (BC), (BD), (CD),共 6 種，所以 P (M) =/=/.15 519 .如圖，三棱柱 ABCAiBiCi 中，CA=CB , AB=AA 1, /BAAi=60°.(I )證明：AB ±AiC；(n)若AB=CB=1 ,cX" 求三棱錐 A-AiBC的體積.第17頁(共21頁)【考點】棱柱、棱

31、錐、棱臺的體積；棱柱的結(jié)構(gòu)特征.【分析】(I)取AB的中點O,連接CO, OAi, AiB,由CA=CB得COAB ,由AAAiB 是等邊三角形得 OAiAB,故ABL平面COAi,于是AB ±AiC;(II)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出 OC,OAi,由勾股定理逆定理得出 CO,OA1,求出S AC0A1 ,于是 V A-A1K=2V E-【解答】(I )證明：取AB的中點O,連接CO, OAi, AiB.-. CA=CB ,COXAB ,- AB=AA i, Z BAA i=60°. AiAB 為等邊三角形. OAiXAB ,OC AOAi=O又 OC?平面 COAi, OA

32、i?平面 COAi, .AB,平面 COAi.又 AiC?平面 COAi,.AB ±AiC,(n )解：AB=BC=AC=1 ,CO=-A1O圖- AB=AA 1=1 , / BAA 1=60 °, - AiC=乎，. CO2+AiO2=AiC2. .COXAiO. -S g/=»AD=g X曄乙id Z Z o V A-% 囪=2V A-A10C=2x SicOAi A0=2x- X Xy =i-20.如圖，圓C與x軸相切于點 T (2, 0),與y軸正半軸相交于兩點 M, N (點M在點N 的下方)，且|MN|=3.(I )求圓C的方程；(n)過點M任作一條直

33、線與橢圓相交于兩點A、B,連接AN、BN,求證:ZANM= / BNM .【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【分析】(I )設(shè)圓C的半徑為r (r>0),依題意，圓心坐標(biāo)為(2, r),根據(jù)| MN | =3,利 用弦長公式求得r的值，可得圓C的方程.(n )把x=0代入圓C的方程，求得 M、N的坐標(biāo)，當(dāng)AB，y軸時，由橢圓的對稱性可知 ZANM= / BNM ,當(dāng)AB與y軸不垂直時，可設(shè)直線 AB的方程為y=kx + 1,代入橢圓的方 程，利用韋達定理求得 Kab+Kbn=0,可得/ ANM= / BNM .【解答】 解：(I )設(shè)圓C的半徑為r (r>0),依題意，圓

34、心坐標(biāo)為(2, r).|MN|=3, 廠之二解得 J?”若!故圓C的方程為U- 2)&(¥-得)。善.(n)把 x=o 代入方程(k- 22+(y-|-)2HL,解得 y=i 或 y=4,即點 M (0, 1) , N (0, 4).(1)當(dāng)ABy軸時，由橢圓的對稱性可知/ANM= / BNM .(2)當(dāng)AB與y軸不垂直時，可設(shè)直線 AB的方程為y=kx +1 .r 尸聯(lián)立方程,9，消去y得，(1+2k2) x2+4kx - 6=0.Lx2-F2y =8設(shè)直線AB交橢圓rT A (xi, yi)、B (x2, y2)兩點,一 4kIf2l+2k2二0,. 4k x2 &quo

35、t; 2kMl町 + 工工), + A23 Kj耳苫2，/ ANM= ZBNM .綜上所述，/ ANM二ZBNM .21.已知函數(shù) f (x) =lnx+ax2+x, a R.(I )當(dāng)a=1時，求函數(shù)f (x)的圖象在點(1, f (1)處的切線方程；(n )討論函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(出)已知a<0,對于函數(shù)f(x)圖象上任意不同的兩點A (xi,y“，B(x2,對,其中x2>xi,直線AB的斜率為k,記N (u, 0),若蕊"。1式K<2),求證f' (u) v k.【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程.【分析】(I )

36、根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程，(n )先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，(出)要證:f' (u) V k.,只需證構(gòu)造函數(shù)令,通過討論函數(shù)的單調(diào)性，從而證出結(jié)論.g(t) =-Int【解答】解：(I )當(dāng)a=1時,f (x) =lnx +x2+x,當(dāng) a>0 時，f (x) > 0在當(dāng) av0 時，令 f (x) =0,(尸,2時, 4aF (耳)二十+2又十1,:.f (1) =4又f (1) =ln1 +12+1=2 ,函數(shù)f (x)的圖象在點(1, f (1)處的切線方程為：y-2=4(x-1), 即 4x - y - 2=0 .(n )

37、f (x)的定義域為(0, +oo)f, (k)= Lza+l 二+天+1 ，xI(0, +8)上恒成立，f (x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增; 解得，二尸,f (x) >0, f (x)單調(diào)遞增；f (x) <0, f (x)單調(diào)遞減;綜上，a。時，f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0, +8）；a0時，f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間為 S, 1 娟一£a）, f（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為Yn - 7i"-t-Xn - IflKi Xi（出）證明：k黃L二2 - K 1乂2 X 1nxe * In寰=+呂（芝 1 + 上亨）+1,K 2- K1N（u, 0）,yj，伙及？，巧），&a

38、mp;B 二 AN（1，2）, X2- X1= X （ u X1）,又F (亶=t+2已工十1,X-l)Ki(u)=-TT-7Tt11MO 一 1 ) X t九-.- a< 0, x2>x1, 1< K 2,島小入Q2ii)<0入In底-lnx1要證：f'(u) vk.,只需證一f_k<0耳二十兒一工J1T工2 一工K 5一 工) z_k2即證： kK- (Inxg _ 1門二X。，設(shè) t二>1叼H - IJx l勺/ 1 (t - 1).令晨t)="入一 1 一1山，,、- t，( k 2-2九十2)1 -(入- 1產(chǎn)則3 =；一；大,(

39、1+ X - 1)氣令 h (t) = - t2+ ( ?2 2 H2) t(入1) 2, t>1, 1&入0 22對稱軸旦1 h (t) vh (1) =0, g' (t) v 0,故g (t)在(1, +8)內(nèi)單調(diào)遞減，則 g (t) Vg (1) =0, 故 f' ( u) V k.請考生在第22, 23, 24題題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，作答時請在答題卡中用2B鉛筆把所選做題的后面的方框涂黑，并寫清題號再作答.選彳4-1:幾何證明選講22 .如圖所示，AC為。O的直徑，D為R的中點，E為BC的中點.（I ）求證：DE / AB ;（II ）求證：AC?BC=2AD ?CD .【考點】與圓有關(guān)的比例線段.【分析】（I）欲證DE/AB,連接BD,因為D為防的中點及E為BC的中點，可得DE， BC,因為AC為圓的直徑，所以/ ABC=90 °,最后根據(jù)垂直于同一條直線的兩直線平行即 可證得結(jié)論；口 AD（II）欲證AC?BC=2AD ?CD ,轉(zhuǎn)化為AD?CD=AC?CE,再轉(zhuǎn)化成比例式 黑喀.最后只須證明 DACs ECD即可.【解答】證明：（I）連接BD,因為D為標(biāo)的中點，所以BD=DC.因為E為BC的中點，所以DELBC.因為AC為圓的直徑，所以/ ABC=90