2020版高考理科數(shù)學(xué)大二輪專題復(fù)習(xí)新方略講義：4.2遞推數(shù)列及數(shù)列求和的綜合問(wèn)題Word版含解析

1、第2講 遞推數(shù)列及數(shù)列求和的綜合問(wèn)題考點(diǎn)1由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式(1)累加法:形如 an+i = an +f(n),利用 an=ai + (a2 ai) + (a3 a2) +(anOn 1),求其通項(xiàng)公式.(2)累積法：形如3二=f(n",利用一 =(02目,求其通 anai a2an i項(xiàng)公式.(3)待定系數(shù)法：形如 4+i=pan + q(其中p, q均為常數(shù)，pq(p- 1)?0),先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 an+i t=p(an t),其中t = -q-,再轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.1 p(4)構(gòu)造法：形如an+1 = pan + qn(其中p, q均為常數(shù),pq(p1)

2、#0), 先在原遞推公式兩邊同除以qn + 1,得* = 2號(hào) + 2,構(gòu)造新數(shù)列q q q qa«X|p 1bn其中bn=至J, 4#bn+1=f bn + 3接下來(lái)用待7E系數(shù)法求解.<q Jq q例1根據(jù)下列條件，確定數(shù)列an的通項(xiàng)公式：(1)a1=2, an+1 = an+n+ 1 jn 1(2)a1 =1, an = -n-an 1(n"2);(3)a1 = 1 , an+1 = 3an + 2.【解析】(1)由題意得，當(dāng)nA2時(shí)，an=a1 + (a2 a。+ (a3 a2) + + (an an 1)= 2+(2 + 3 +n) = 2+(nT22+n

3、»=又4=2= 1X(2+ 1)+ 1,符合上式，m nn(n+ 1) /因此 an = -2+ 1.n 1(2)/an=-an 1(n>2),n-2_1一n 1 ndn 2, a2 2己1.以上(n1)個(gè)式子相乘得12 n 1 a1 1an = a1 2 3" = n=n.當(dāng)n=1時(shí)，a1=1,上式也成立.1aan n.(3) . an+1 = 3an+ 2,.，,. an+1 + 1 c an +1 + 1 = 3(an + D, 1= 3 ,an + 1數(shù)列an+1為等比數(shù)列，公比q = 3,又 a1 + 1 = 2, .an+1=2 3n1, .an = 2

4、3n 1-1.囿技法領(lǐng)悟由數(shù)列遞推式求通項(xiàng)公式的常用方法!形如4二網(wǎng)所1十琳仍、加為常數(shù),pHL用#0）時(shí), ;構(gòu)造等比數(shù)列上形如求解內(nèi)l/（»） 1可求和）時(shí)，用累加法G形如=三才對(duì)（飲用可求積）時(shí),用累積法求解對(duì)接訓(xùn)練1.根據(jù)下列條件，確定數(shù)列an的通項(xiàng)公式:(1)ai =1(2)ai =1(3) ai =1an+1 = an+ 2n ； an +1 = 2“an；_ 2anan+1 = an+2.解析：(1)an = (an an 1) + (an 1 _ an 2) + + (a2 a1) + a1 = 2n 1 + 2n 2+ 2+ 112- = 2n- 1.1 2(2)胞

5、=2n,an.321，A2,，-an_ _ 2n 1 an 1將這n1個(gè)等式登乘,n（n+1）得電_ 21+2+ +（n 1）_ 2Qin（n-1）。-92 an 22an（3），/an+i=2,dn i4講g奧曰1 an+ 2 11取倒數(shù)得：=-= + ，3n + 1«n ，1113n+1 an 2'用=1, = 1, «i是以1為首項(xiàng)，；為公差的等差數(shù)列,CnJN11 n+1/.1+（n-1）5= .2a=n +(2n-1)3n+1 + 3(2n-1)3n+1 + 3_(2n1 )32+6/2 + 9*(n N ).考點(diǎn)2錯(cuò)位相減法求和錯(cuò)位相減法是在推導(dǎo)等比數(shù)列

6、的前 n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這 種方法主要用于求數(shù)列an bn的前n項(xiàng)和，其中an, 6分別是等差 數(shù)列和等比數(shù)列.例2 2019天津卷設(shè).是等差數(shù)列，6是等比數(shù)列，公比 大于 0.已知 ai = bi = 3, b2 = a3, bs= 4a2+ 3.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式;f1, n為奇數(shù)，(2)設(shè)數(shù)列Cn滿足cn = I小/田新求aiCi + a2c2+ - +b n為偶數(shù).a2nC2n(n Nj.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列a的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為 q-3q = 3+2d,d=3,d=-3,依題意，得2 _心 解得 或(舍)I3q所以 a£i+ a2c2+ 92

7、nQ2n= 3n?+ 6Tn = 3n2+ 3 x=15+4d,Lq=3,lq=-1,故 an = 3+3(n1) = 3n, bn=3X3n 1 = 3n.所以斗的通項(xiàng)公式為an=3n, 的通項(xiàng)公式為bn = 3n.(2) 3i Ci + a2c2+ + a2nC2n= (a1+a3 + a5+- + a2n 1) + (a2bl + a4b2+ a6b3 +, + a2nbh)=lnX3+n(n 1 - x 6 +(6X 31 + 12X32+18X33+ - + 6nX 3n)= 3n2+6(1 X31 + 2X 32+ - + nX3n).記 Tn= 1x31 + 2x32+ nX3n

8、,則 3Tn=lx 32 + 2x 33 + nX3n+: 一得，2Tn= 332333"十門(mén)><3»13( 1 3n) n+1 "+ n x 3n 1 =1-31. 四技法領(lǐng)悟,所謂“錯(cuò)位”，就是要找“同類項(xiàng)”相減.要注意的是相減后得 到部分，求等比數(shù)列的和，此時(shí)一定要查清其項(xiàng)數(shù).為保證結(jié)果正確，可對(duì)得到的和取n= 1,2進(jìn)行驗(yàn)證.對(duì)接訓(xùn)練2. 2019山東青島一模已知公比為q的等比數(shù)列an滿足2a-a3 = 3a2,且23+2是a2, a4的等差中項(xiàng).(1)求q的值；(2)若bn = aJog2an,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解析：(1)設(shè)等比數(shù)列

9、an的公比為q,依題意,2a1 + a3= 3a2,有s匕2+ a4=2(a3+ 2 ),(2 + q尸3a1q,即3 一 2，4la(q + q3 尸 2a1q2 + 4 ,由得q2-3q + 2= 0,解得q = 2或q=1.代入知q=1不成立，故舍去，所以q = 2.(2)由知a12,所以an = 2n,bn=anlOg2an=2nlOg22n= n 21所以 Sn = 2 + 2X 22 + 3X23 + -+ nx 2n,所以 2s=22+ 2X 23+ 3X 24+-+ (n-1)X2n+nX 2n+1, 兩式相減得一Sn = 2 + 22+-+ 2n-n 2n+1=(1 n)2n

10、+12, 所以 & = (n1)2n+1 + 2.考點(diǎn)3裂項(xiàng)相消法求和裂項(xiàng)相消法是指把數(shù)列和式中的各項(xiàng)分別裂開(kāi)后，某些項(xiàng)可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于?或(其中4為等差 、anan+1j Cnan+2j數(shù)列)等形式的數(shù)列求和.例3 2019湖南省湘東六校聯(lián)考已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足點(diǎn)n = ISL +1(n>2, n6N*),且 aL(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；12 ,、(2)記bn =, Tn為bn的前n項(xiàng)和，求使4二成立的n的最an an+1n小值.【解析】(1)由已知有照一4S二=1(n>2, n6N*),數(shù)列芯 為等差數(shù)列，又 有=返=1, .遍=

11、n,即&=n2.當(dāng) n42 時(shí)，an= Sn-Sn 1= n2 (n 1)2 = 2n 1.又a1 = 1也滿足上式，.二an = 2n 1.(2)由(1)知,bn=1_(2n 1 (2n+ 1 廣1 z 11T7T:22n 1 2n+1/1 1 1 3+3-5+1 _1 1_( _ 1 )_n_2n- 1 2n+1 1 2J 2n+ 1y-2n+ 1.由 Tnn2得 n2n4n+ 2,即(n 2)2A6,n45,n的最小值為5.L 同技法領(lǐng)悟.更 1利用裂項(xiàng)相消法求和的注意事項(xiàng)(1)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng);(2)將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)

12、整前面的系數(shù)，使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等.如：若1an是等差數(shù)列，則anan+11 一=_1 S 上 anan+ 2 2dn an+2.>對(duì)接訓(xùn)練3. 2019安徽池州期末已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為0, an=2S.+36 N*).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；一1設(shè)" = dlog3an+1 + dlog3» + 2,求數(shù)列bn的刖 n 項(xiàng)和 Tn.21 31解析：(1)由 an=3& + 3；可得 Sn = 2an2，.31 一當(dāng) nA2 時(shí)，= 1=2an 12,則313133an= SI Si 1 =2去一2 !- 12an1 2 尸 2an

13、24 1'整理倚 an = 3an311(n，2),而 a = S1 = 2a1 2，即 a1=1, 所以數(shù)列an是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列，則an=1X3n 1=3n 1.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=3n 1.（2）由（1）得 bn =yiog3an + 1 +,log3an+ 2log33n 1 + 1 + log33n 1 + 2 fn + .n + 1= y/n+ 1 - Vn，所以 Tn=b1 + b2+b3+ - + bn =（V2-1）+（V3-V2）+（V4-73） + + Ojn+ 1 Vn） = Jn+ 1 1.考點(diǎn)4分組轉(zhuǎn)化求和分組求和法一個(gè)數(shù)列既不是等差數(shù)列

14、，也不是等比數(shù)列，若將這個(gè)數(shù)列適當(dāng) 拆開(kāi)，重新組合，就會(huì)變成幾個(gè)可以求和的部分即能分別求和，然后 再合并.例4 2019天津南開(kāi)附中期中已知數(shù)列an是等比數(shù)列，滿足 a1 = 3, a4=24,數(shù)列bn是等差數(shù)列，滿足b2= 4, b4=a3.(1)求數(shù)列 an和 bn的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)Cn = anbn,錄數(shù)列g(shù)的前n項(xiàng)和.【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由題意，得q3=a4=23= 8,解得q = 2,an的通項(xiàng)公式為 an = a1qn 1 = 3X2n 1,.a3=12.設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d,. b2=4, b4 = a3= 12, b4=b2+2d,.12 = 4+2d

15、,解得 d=4. bn=b2+ (n-2)d=4+(n-2) 乂 4=4n-4.故bn的通項(xiàng)公式為bn = 4n 4.(2)由(1)知 an=3x 2n 1, bn=4n 4,. Gn= an-bn=3x 2n 1 - (4n 4).從而數(shù)列Cn的前 n 項(xiàng)和 Sn = 3X20 + 3X21 + -+ 3X2n 1-0 + 41-2n n(4n-4)°°+ 8 + -+ (4n-4) = 3X，工一=3X2n-3-n(2n-2)=3X 2n1 22-2n2+2n-3.,一S)技法領(lǐng)悟工 )1 .若一個(gè)數(shù)列由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列組成，則求和時(shí)可用 分組轉(zhuǎn)化法分別求和再相

16、加減.形如an = ( 1)nf(n)類型，可采用相鄰兩項(xiàng)并項(xiàng)(分組)后，再分組求和.2 .分組求和中的分組策略根據(jù)等差、 等比數(shù)列分組;(2)根據(jù)正號(hào)、負(fù)號(hào)分組.對(duì)接訓(xùn)練4. 2016高考全國(guó)卷HS為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且ai=1, S7=28.記bn = lgan,其中因表示不超過(guò)x的最大整數(shù),如0.9 = 0, lg 99 = 1.(1)求 bi, bii, bi0i；(2)求數(shù)列bn的前1 000項(xiàng)和.解析：(1)設(shè)an的公差為d,據(jù)已知有7+21d = 28,解得d=1.所以an的通項(xiàng)公式為an=n.b1 = lg 1=0, bn = lg 11 = 1, b101 = lg 1

17、01=2.(2)因?yàn)?bn=<1,2,3,1 < n<10, 10<n<100, 100<n<1 000, n=1 000,所以數(shù)歹U bn的前 1 000 項(xiàng)和為 1X90 + 2X900+ 3X 1=1 893.課時(shí)作業(yè)10遞推數(shù)列及數(shù)列求和的綜合問(wèn)題1. 2019湖北華中師大一附中期中已知數(shù)列an滿足ai = 2, n(an + 1n 1)= (n+ 1)(an + n)(n N*).(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)設(shè)6 = 用一15,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和0.一析:(1)癥明：: n(an+1 n1) = (n+1)(an +

18、n)(n6 N*),an+1 a nan+1 (n+1)an = 2n(n+1),.言一an = 2,數(shù)列an;是等差數(shù)列，其公差為2,首項(xiàng)為2,2 + 2(n- 1)= 2n.(2)由(1)知 an=2n2,. 4 =病15 = 2n15,貝U數(shù)歹！J bn的前 n 項(xiàng)和 Sn = nI32n = n214n.2. 2019重慶市七校聯(lián)合考試已知等差數(shù)列an的公差為d,且 關(guān)于x的不等式a1x2-dx-3<0的解集為（一1,3）.（1）求數(shù)列%的通項(xiàng)公式；an + 1若bn = 2一萬(wàn)一+an,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解析：（1）由題意知，方程a1x2 dx3=0的兩個(gè)根分別為1和

19、3.1=2則a1 3as3d = 2,解得 . .a1= 1故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an = a1 + (n-1)d=1 + (n-1)X2 = 2n-1. an+ 1(2)由(1)知 an=2n1,所以 = 2-2+ an=2n+(2n1),所以 Sn = (2 + 22 + 23+ 2n) + (1 +3+5+-+ 2n- 1)=2n1 + n2 -2.3. 2019江西七校第一次聯(lián)考設(shè)數(shù)列an滿足：a=1而2團(tuán)=1,2 an 1 + an+1-且a = a a (n>2).anan 1an + 1求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；1.,、(2)設(shè)數(shù)列bn的刖 n 項(xiàng)和為 Tn,且 bi=2，4

20、bn = an ian(n42),求Tn.解析：. Oraa；(n>2)，*六+±(n>2)-又 ai = 1,3a2 ai= 1,工=i工=3ai 八 a2 2'.111a2 a1 2'；是首項(xiàng)為1,公差為g的等差數(shù)列.LanJ21/11云=1+2(n1)=2(n+1),即an =2n+ 1.(2) - 4bn = an 1an(nA2),Abn=-=1- n n n+ 1 n1nZ1(n>2)11 1.Tn = b1+b2+ bn = 2+ 5 3+ET L n n+1； n+14. 2019昆明市診斷測(cè)試已知數(shù)列an是等比數(shù)列，公比q<1

21、, 前n項(xiàng)和為0,若a2=2, 0 = 7.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)m6Z,若Sn<m恒成立，求m的最小值.aq=2解析：(1)由 a2=2, S3=7 得：+2 7a1 = 4解得 1lq = 2所以an = 4卜a11或12 (舍去).斗：葉382).a1 1 q(2)由(1)可知，Sn=-1Tq- =1-2/1 1=8 1 - 2n <8.因?yàn)閍n>0,所以Sn單調(diào)遞增.又 S3=7,所以當(dāng) nA4 時(shí)，S6(7,8).又Sn<m恒成立，m6Z,所以m的最小值為8.5. 2019浙江諸暨中學(xué)期中設(shè)數(shù)列an滿足ai + 3a2 + 34 n 1(1+n)(1

22、 + n)a3+ - + 3n 1an =4，n 6 N .3(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;n(2)設(shè) bn= 1n為奇數(shù)，n為偶數(shù)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解析：(1)ai +3a2+32a3+31an = n ，3一cn 1當(dāng) n n 2 日寸，a + 3a2 + 3 a3 + + 3 an 1 = ,31 1一，得 3an = 3(n>2),即 an = 3i;，一，1，八當(dāng)n=1時(shí)，a1 = o,符合上式.3. 一一 ,，1所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=3n.in,(2)由(1)知 bn=3nn為奇數(shù)，n為偶數(shù),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),n 19J-9X+1-9n2 + 2n+1 9+ 8(3n 1-1).十 (n 1) + 3n =當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn=1 + 32+3+ 34 +1).1+(n1 In 9(1-92) n2 922+=z+8(3所以數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和 S =n2+ 2n+ 14n2 94 + 81n1T),n為奇數(shù),n1), n為偶數(shù).6. 201