一元二次方程集體備課

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載一元二次方程集體備課一.教學(xué)內(nèi)容：復(fù)習(xí)目標(biāo)：（輔導(dǎo)時(shí)各位老師要學(xué)生掌握的點(diǎn)，每節(jié)課可以視情況鞏固兩點(diǎn)）了解一元二次方程的有關(guān)概念.能靈活運(yùn)用直接開平方法、配方法、公式法、？因式分解法解一元二次方程.會(huì)根據(jù)根的判別式判斷一元二次方程的根的情況.知道一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，并會(huì)運(yùn)用它解決有關(guān)問題.能運(yùn)用一元二次方程解決簡單的實(shí)際問題.了解數(shù)學(xué)解題中的方程思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想和整體思想.二.基礎(chǔ)知識(shí)回顧1 .方程中只含有?個(gè)未知數(shù)，？并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 , ?這樣的 的方程叫做一元二次方程，通常可寫成如下的一般形式： （）其中二次項(xiàng)系數(shù)是 , 一次項(xiàng)系數(shù)是 ,常數(shù)項(xiàng)是

2、.例如：一元二次方程 7x 3=2x2化成一般形式是 ?其中二次項(xiàng)系數(shù)是 、 一次項(xiàng)系數(shù)是 、常數(shù)項(xiàng)是 .2 .解一元二次方程的一般解法有;?; ?？求根公式法，？求根公式是學(xué)習(xí)必備歡迎下載解與根有關(guān)的證明題（判斷三角形的形狀，某一恒等式證明） 舉例如下：4 . 一元二次方程根與系數(shù)的應(yīng)用很多：已知方程的一根，不解方程求另一根及參系數(shù)；已知方程，求含有兩根對(duì)稱式的代數(shù)式的值及有關(guān)未知數(shù)系數(shù)；已知方程兩根， 求作以方程兩根或其代數(shù)式為根的一元二次方程.5 .能夠列出一元二次方程解應(yīng)用題.能夠發(fā)現(xiàn)、提出日常生活、生產(chǎn)或其他學(xué)科中可以 利用一元二次方程來解決的實(shí)際問題，并正確地用語言表述問題及其解決

3、過程.6 .本章解題思想總結(jié)：轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學(xué)最常見的一種思想方法.運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想可將未知數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問 題.在本章中，將解一元二次方程轉(zhuǎn)化為求平方根問題，將二次方程利用因式分解轉(zhuǎn)化為一次方程等.從特殊到一般的思想從特殊到一般是我們認(rèn)識(shí)世界的普遍規(guī)律，通過對(duì)特殊現(xiàn)象的研究得出一般結(jié)論，如從用直接開平方法解特殊的問題到配方法到公式法，再如探索一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等.（對(duì)于理解力好的學(xué)生， 可以要求其掌握公式法的求根公式的由來，以及怎樣用兩根推導(dǎo)根與系數(shù)的關(guān)系）分類討論的思想一元二次方程根的判別式體現(xiàn)了分類討論的思想（在目前單元測試的壓軸性題目

4、中出現(xiàn)的頻率較高）.舉例如下：四.易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)撥易錯(cuò)點(diǎn)1:對(duì)一元二次方程的定義的理解.判斷一個(gè)方程是否一元二次方程，關(guān)鍵是將整式方程化簡后只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2,特別地，當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)用字母表示時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)不為零不能漏掉（雖簡單，但極易被學(xué)生忽略）.易錯(cuò)點(diǎn)2: 一元二次方程的一般形式.在確定一元二次方程的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)時(shí)，一定要將一元二次方程化為一般形式（注意同類項(xiàng)的合并與等號(hào)右邊不為零的情況）.易錯(cuò)點(diǎn)3:關(guān)于解一元二次方程時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn).是在解形如“ x2 =x”這樣的方程時(shí)，千萬不能在方程左右兩邊都除以X ,從而造成方程丟根（告知學(xué)生原因，即當(dāng)x=0時(shí)，兩邊是不能同時(shí)除

5、以 0的，無意義）；學(xué)習(xí)必備歡迎下載用配方法時(shí)，當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)不為1時(shí)，應(yīng)將二次項(xiàng)系數(shù)化為 1,再將方程左邊配成完全平方式；利用公式法求一元二次方程的解時(shí)，要先判斷b2-4ac必須非負(fù)才能求解；舉例如下：利用因式分解法求一元二次方程的解時(shí)，方程右邊一定要變?yōu)? .易錯(cuò)點(diǎn)4：在用一元二次方程解決有關(guān)實(shí)際問題時(shí)，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，如圖形問題中,如何通過平移，旋轉(zhuǎn)等變換把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形.另外，對(duì)于增長率問題，要把握基礎(chǔ)數(shù)與總數(shù)的關(guān)系. 特別地，一元二次方程的兩個(gè)解，一定要會(huì)判斷檢驗(yàn)其是否符合實(shí)際意義（兩個(gè)解并非必須有一個(gè)是增根，二者都合適的情況也是存在的）【典型例題】考點(diǎn)1： 一元二次

6、方程的概念及一般形式相關(guān)知識(shí)：只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程，并且都可以化為ax方程1x =5x的一次項(xiàng)的系數(shù)是 .【評(píng)注】概念性的問題關(guān)鍵是抓住概念的本質(zhì).一元二次方程必須符合三個(gè)條件：是整式方程；化簡后只含一個(gè)未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)為2.考點(diǎn)2: 一元二次方程的解相關(guān)知識(shí)：使一元二次方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做一元二次方程的解， 或叫做一元二次方程的根.復(fù)習(xí)策略：要判斷一個(gè)值是否是一元二次方程的解，只要將這個(gè)值代入一元二次方程， 看看方程左右兩邊是否相等即可.相等，則是方程的解；反之，則不是.2 c2例2.如果關(guān)于x的一元二次方程（m2）x +3x+m 4 = 0有一個(gè)解是0,求m

7、的值.【評(píng)注】已知方程的解確定方程中的待定系數(shù)的值，是逆向思維的運(yùn)用，有時(shí)將方程的解代入方程中，可能還會(huì)出現(xiàn)含兩個(gè)待定系數(shù)的方程，這時(shí)要注意整體思想方法的運(yùn)用.考點(diǎn)3： 了解方程并判定方程根的情況2.相關(guān)知識(shí)：一兀一次萬程根的判別：當(dāng) b -4ac0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；，, 2， 、一一 ，, 2當(dāng)b -4ac = 0時(shí)，萬程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b -4ac0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根. 反之也成立.復(fù)習(xí)策略：要掌握一元二次方程根的判別式的應(yīng)用：不解方程判別根的情況；根據(jù)方程解的情況確定系數(shù)的取值范圍；求解與根有關(guān)的綜合題. + bx+c=0 （a、b、c為常數(shù)，？aw0）的形式，這樣的方

8、程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0 （aw0）.復(fù)習(xí)策略：準(zhǔn)確理解一元二次方程的定義，一元二次方程首先是整式方程，然后是經(jīng)過化簡后能得到一元二次方程的一般形式的方程才是一元二次方程.例1.下列方程是關(guān)于 x的一元二次方程的是（）1 1 C C2 2 二 0A. 3（x 1） =2（x 1）b. x2 x222C. ax +bx+c = 0d. x +2x=x -1學(xué)習(xí)必備歡迎下載2例3.（ 2007巴中市）一兀二次萬程 x 2x1 = 0的根的情況為（）A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D.沒有實(shí)數(shù)根 2.（2007安徽瀘州）若關(guān)于x

9、的一元二次方程x - 2x+m = 0沒有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是（）A. m 1 C. m l D. m 0）或（mx n） 2= a （m w 0, a0）的方程，可根據(jù)平方根 的意義，用直接開平方的方法求解.如果一元二次方程缺少常數(shù)項(xiàng)，或方程的右邊為0,左邊很容易分解因式，可考慮用因式分解法.當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1, 一次項(xiàng)的系數(shù)是偶數(shù)時(shí)，可考慮使用配方法.如果用以上幾種方法都不易求解時(shí)，可考慮用公式法求解.例4.解下列方程：1（x+ 1） 2= 2（2x + 1） （3x1） = 12x （x+2） + 1 = 0 16 x2 4x=03 （x 2） 2=x （x 2）

10、由以上解析可以這樣來總結(jié)：解一元二次方程，首先要把原方程變形為一般形式，然后計(jì)算b2-4ac,最后考慮用何種方法求解.如果b24ac是完全平方數(shù)，則用因式分解法，如果b2-4ac不是完全平方數(shù)且大于零，則用公式法，配方法實(shí)際是公式法的推導(dǎo)過程，因 此，除題目要求，一般不用配方法.2例5.解萬程：（2007北東）解萬程：x +4x1=0.（2007浙江嘉興）解方程：x2 + 3=3 （x+ 1）.考點(diǎn)5:根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值2相關(guān)知識(shí)：一兀二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若一兀二次方程ax +bx + c=0 （a、b、b c2 x1 x 2 ,x 1x2c為已知數(shù)，aw0,

11、 b2 -4ac0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1,x2 ,則12 a 1 2 a .即：一元二次方程兩個(gè)根的和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)的商的相反數(shù)；兩個(gè)根的積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)的商.復(fù)習(xí)策略：根與系數(shù)的關(guān)系存在的前提是： aw0,即方程一定是一元二次方程； b2 -4ac0,即方程一定有實(shí)數(shù)根.根據(jù)新課標(biāo)的要求，在課改實(shí)驗(yàn)區(qū)的中考試題中，運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的 考題主要是求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值的題型.例6.（2007山東淄博）若關(guān)于 x的一元二次方程x2 +kx+4k2 -3 = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分 別是x ,x2 ,且滿足x1 +x2 =x1x2 .則k的值為（）3 3（

12、A） 1 或 4（B） 1（C） 4（D）不存在學(xué)習(xí)必備歡迎下載（2007四川德陽）閱讀材料：設(shè)一元二次方程ax2+bx+c = 0的兩根為xi, x2,則bcXi X2x1x2兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系：a, 1 2 a.根據(jù)該材料填空：x2 xi 2已知x1 , x2是萬程x +6x+3 = 0的兩實(shí)數(shù)根，則 xi x2的值為【評(píng)注】不解方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求兩個(gè)代數(shù)式的值關(guān)鍵是把所給 的代數(shù)式經(jīng)過恒等變形，化為含 xi+x2, Xi .X2的形式，然后把Xi+x2, Xi X 2的值代入， 即可求出所求代數(shù)式的值.常見的代數(shù)式變形有：22/、2- XiX2 =(Xi X

13、2) -2XiX211x1 x2 Xi x2XiX22(Xi X2) -2xiX22(-2)2X2 Xi （xi X2） - 2X1X2 += Xi X2Xi X2考點(diǎn)6:xi - x2=J（Xi +X2）2 _4平2二次方程的應(yīng)用相關(guān)知識(shí)：應(yīng)用在日常生活實(shí)踐中， 許多問題都可以通過建立一元二次方程這個(gè)模型來進(jìn)行求解，然后回到實(shí)際問題中去進(jìn)行解釋和檢驗(yàn).首先要把實(shí)際問題加以分析， 抽象成數(shù)學(xué)問題，然后用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決它. 應(yīng)用一元二次方程 解決實(shí)際問題的步驟可歸結(jié)為：“設(shè)、找、歹h解、驗(yàn)、答”：設(shè)：是指設(shè)未知數(shù)，可分為直接設(shè)和間接設(shè).所謂直接設(shè)，就是指問什么設(shè)什么； 在直接設(shè)未知數(shù)比較難列出方

14、程或者列出的方程比較復(fù)雜時(shí)，可考慮間接設(shè)未知數(shù).找：是指讀懂題目，審清題意，明確已知條件和未知條件，找出它們之間的等量關(guān) 系.列：就是指根據(jù)等量關(guān)系列出方程.解：就是求出所列方程的解.驗(yàn)：分為兩步.一是檢驗(yàn)解出的數(shù)值是否是方程的解，二是檢驗(yàn)方程的解是否符合 實(shí)際情況.答：就是書寫答案，一定要遵循“問什么答什么，怎么問就怎么答”的原則.以上幾個(gè)步驟中，審題是基礎(chǔ)，找出等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，能否恰當(dāng)設(shè)元直接影響著列方程和解方程的難易，所以要根據(jù)不同的具體情況把握好解題的每一步.復(fù)習(xí)策略：i. 一元二次方程解應(yīng)用題應(yīng)注意：寫未知數(shù)時(shí)必須寫清單位，用對(duì)單位；列方程時(shí)，方程兩邊必須單位一致；答必須寫

15、 清單位.注意語言和代數(shù)式的轉(zhuǎn)化，要把用語言給出的條件用代數(shù)式表示出來.2.常見的應(yīng)用題：幾何圖形的面積問題：這類問題的面積公式是等量關(guān)系，如果圖形不規(guī)則，應(yīng)分割或組合成規(guī)則圖形，找出各部分面積之間的關(guān)系，再運(yùn)用規(guī)則圖形的面積公式列出方程.平均增長（降低）率問題：此類問題是在某個(gè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上連續(xù)增長（降低）兩次得22到新的數(shù)據(jù)，解這類問題需牢記公式 a（i+x） =b或a（i-x） =b，其中a表示增長（降低） 前的數(shù)據(jù)，x表示增長或降低率，b表示后來得到的數(shù)據(jù)，“ + ”表示增長，“”表示降低.方法規(guī)律：解此類問題所列的方程，一般用直接開平方法求解.增長率不能為負(fù)數(shù)，降低率不能大于i.學(xué)習(xí)必

16、備歡迎下載營銷問題：解決此類問題首先要清楚幾個(gè)名稱的意義，如成本價(jià)、售價(jià)、標(biāo)價(jià)、打折、利潤、利潤率等以及它們之間的等量關(guān)系.梳理總結(jié):此類問題常見的等量關(guān)系是：“總利潤=總售價(jià)一總成本”或“總禾帆=每利潤率=售價(jià)M100%件商品的利潤X銷售數(shù)量，進(jìn)價(jià)”例7.據(jù)報(bào)道，我省農(nóng)作物秸桿的資源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%,大部分秸桿被直接焚燒了，假定我省每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸桿總量不變，且合理利用量的增長率相同，要使 2008年的利用率提高到 60%,求每年的增長率.（取72=1.41）例8. 一塊矩形耕地大小尺寸如圖 1,如果修筑同樣寬的兩條“之”字形的道路，如圖 1 所示，

17、余下的部分作為耕地.要使耕地的面積為540m2,道路的寬應(yīng)是多少？分析：在面積問題中有一些計(jì)算題，如采用平移的方法適當(dāng)改變圖形的形狀，可以給解決問題帶來意想不到的美妙效果.此題如不采用“平移法” ，很難人手.若把“之”字道路 平移一下位置，變?yōu)閳D 2,則此題即可迎刃而解.*-32m- 圖132 m 圖220m考點(diǎn)7: 一元二次方程中考閱讀理解題例析與一元二次方程相關(guān)的閱讀理解問題，是近幾年的一種新題型，由于這類問題有助于培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能力、創(chuàng)新意識(shí)，而備受大家的關(guān)注，現(xiàn)略舉幾例與同學(xué)們共賞析.例9. （2006年福建晉江市）閱讀下面的例題：解方程：x2|x|-2=0解：（1）當(dāng)x0時(shí)，原方

18、程化為x2-x-2=0,解得：x1=2, X2 = 1 （不合題意，舍學(xué)習(xí)必備歡迎下載(2)當(dāng)x 0時(shí)，原方程化為x2+x2=0,解得：xi= 1 (不合題意，舍去)，X2 = 2，原方程的根是 x1=2, x2 = -2.請(qǐng)參照例題解方程 x2一|x3|3=0,則此方程的根是 .例10. (2006年廣東茂名市)先閱讀，再填空解題：(1)方程 x2 x 12= 0 的根是：x1 = 3, x2=4,則 x1+x2=1, x1,x2=12;173(2)方程 2x27x + 3=0 的根是：x1= 2 , x2 = 3,則 x1 + x2= 2 , x1 , x2= 2 ；(3)方程 x23x+

19、1 = 0 的根是：x1 =, x2 =.貝U x1+x2=, x1 , x2=;根據(jù)以上(1) (2) (3)你能否猜出：如果關(guān)于x的一元二次方程 mx2+nx+p=0 (mw0且m、n、p為常數(shù))的兩根為 x1、x2,那么x + x2、x1 x2與系數(shù)m、n、p有什么關(guān)系？請(qǐng)寫出來你的猜想并說明理由.分析：本題首先請(qǐng)同學(xué)們閱讀兩個(gè)一元二次方程的兩根之和、兩根之積與系數(shù)之間的關(guān)系，再通過第3個(gè)方程的兩根之和、 兩根之積與系數(shù)之間的關(guān)系特點(diǎn)，歸納猜想出一元二次方程的兩個(gè)根與系數(shù)的關(guān)系.【中考再現(xiàn)】學(xué)習(xí)必備歡迎下載【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）一、選擇題21、（2007巴中市）一元二次萬程

20、x 2x-1 =0的根的情況為（）A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D.沒有實(shí)數(shù)根2.2、（2007安徽瀘州）若關(guān)于 x的一元二次方程 x - 2x + m = 0沒有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是（）A. m 1 C. ml D. m 1B. mv 2 C. m 0D. m 07、（2007湖北武漢）如果 2是一元二次方程 x2=c的一個(gè)根，那么常數(shù) c是（）A. 2 B. -2C. 4 D. -4、填空題21、（2007重慶）已知一元二次方程2x 3x1=0的兩根為x1、x2,則x1x2 -2、（2007四川眉山）關(guān)于 x的一元二次方程 x2+bx+c= 0

21、的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為 1和2,貝 U b =； c =.23、（2007浙江溫州）方程 x 2x = 0的解是;24、（2007湖南懷化）已知方程 x -3x+k =0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則 k=5、（2007四川成都）已知 x是一元二次方程x2+3x 1=0的實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式x-35（x 2 -）3x -6xx-2的值為6、（2007江蘇淮安）寫出一個(gè)兩實(shí)數(shù)根符號(hào)相反的一元二次方程： 7、（2007安徽蕪湖）已知2 一，5是一元二次方程x24x + c = 0的一個(gè)根，則方程的另 一個(gè)根是.三、解答題21、（2007湖南株州）已知 x= 1是一元二次方程ax +bx 40 = 0的一個(gè)解，且a#b,2-2a -b求2a -2b的值.2、（2007湖北天門）已知關(guān)于 x的一元二次方程 x2+4x+m1=0。請(qǐng)你為m選取一個(gè)合適的整數(shù)，使得到的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；設(shè)“、3是（1）中你所得到的方程的兩個(gè)實(shí)