壓軸題解題策略：梯形的存在性問(wèn)題

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題解題策略梯形的存在性問(wèn)題解題策略20XX年9月23日星期三專(zhuān)題攻略解梯形的存在性問(wèn)題一般分三步：第一步分類(lèi)，第二步畫(huà)圖，第三步計(jì)算.一般是已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，在某個(gè)圖象上求第四個(gè)點(diǎn)，使得四個(gè)點(diǎn)圍成梯形.過(guò)三角形的每個(gè)頂點(diǎn)畫(huà)對(duì)邊的平行線(xiàn)，這條直線(xiàn)與圖象的交點(diǎn)就是要探尋的梯形的頂點(diǎn).因?yàn)樘菪斡幸唤M對(duì)邊平行，因此根據(jù)同位角或內(nèi)錯(cuò)角，一定可以構(gòu)造一組相等的角，然后根據(jù)相似比列方程，可以使得解題簡(jiǎn)便.例題解析例？ 如圖 1-1,四邊形 ABCD 是直角梯形，AD/BC, Z B=90° , AD = 24cm, BC = 28cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)

2、Q從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以3cm/s的速 度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).從運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，經(jīng)過(guò) 多長(zhǎng)時(shí)間，四邊形 PQCD成為平行四邊形？成為等腰梯形？【解析】這一道題目中蘊(yùn)含了一個(gè)經(jīng)典的判斷題：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形嗎？回答是否定的.可能是平行四邊形，也可能是等腰梯形，區(qū)別在于另一組對(duì)邊是否平行.如圖1-2,如果四邊形 PQCD是平行四邊形，那么 PD=QC.所以24t=3t.解得t=6.如圖1-3,如果四邊形 PQCD是等腰梯形，作 PM ±BC, DN± BC,垂足分別為 M、N, 那么 QM = CN.所以 t(28 3

3、t) = 4.解得 t = 8.圖1-2白圖1-3例？ 如圖2-1,在RtAABC中，/ C=90° , AC = 3, AB= 5.點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿 CA 以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn) A勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn) Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng) 的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn) P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) Q也隨之停止.伴隨著 P、Q的 運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直平分 PQ, DE交BC于點(diǎn)E.設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t>0）,在運(yùn) 動(dòng)的過(guò)程中，四邊形 QBED能否成為直角梯形？若能，求出 t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】在四邊形 QBED中，/QDE是直角.如果要成為梯形,存在DE/QB和

4、DQEB兩種情況.站在梯形的外部看梯形，問(wèn)題就迎刃而解.如圖2-2,廣當(dāng)DEQB時(shí)，/ DQB=90° ,此時(shí) AQP是直角三角形.廣AQP是直角三角形.如圖2-3,當(dāng)DQEB時(shí)，四邊形 DECP是矩形,這樣就轉(zhuǎn)化為解RtAAQP 了 .已知 AP= 3 t ,AQ = t, cos A如圖 2-2, JAQAP解題時(shí)，只需要畫(huà)出圖圖2-22-4和圖2-5這樣的示意圖就好了.臼O圖2-3圖2-4圖2-53時(shí)，解得t 9 .如圖58a混13時(shí)，解得t 1558A例？如圖，已知A、2 B是雙曲線(xiàn)y 上的兩個(gè)點(diǎn)，A、B的橫坐標(biāo)分別為 2和一1, BC，x軸，垂足為C.在雙曲線(xiàn)上是否存在點(diǎn)

5、D,使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是梯形?如果存在，求出點(diǎn) D的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖3-1【解析】 ABC是確定的，過(guò)“每個(gè)頂點(diǎn)畫(huà)對(duì)邊的平行線(xiàn)，與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)就是要求的如圖如圖A(2,1), B(-1-2), C(-1,0).設(shè) D(x/). x3-2,過(guò)點(diǎn)A作BC的.平行線(xiàn)，不存在點(diǎn) D.AE3-3,當(dāng) BDAC 時(shí)，/ ACE=Z DBF ,所以 CEDFBF解方程12,得-1或x=6.此時(shí)D(61). x 13如圖AN3-4,當(dāng) CD/AB 時(shí)，/ ABN = / DCM ,所以-AN BNDMCM23,得 x=1 或 x= 2.此時(shí) D(1,2)或(一2, 1).x 1

6、 3解方程A圖3-2從上面的解題過(guò)程我們可以感受到： 等角的正切值相等列方程比較簡(jiǎn)便.在圖畫(huà)圖可以快速找到目標(biāo),圖3-4計(jì)算可以準(zhǔn)確定位.根據(jù)3-4中，解方程還達(dá)到了 “一石二鳥(niǎo)”的目的.例？如圖4-1 ,已知拋物線(xiàn)y 3x283-x 3與x軸的父點(diǎn)為A、D （A在D的右側(cè)），與 4y軸的交點(diǎn)為以 A、B、C、C,設(shè)點(diǎn)C關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 B,在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn) P,使得P為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.CB圖4-1過(guò) ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別畫(huà)對(duì)邊的平行線(xiàn)，與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)就是點(diǎn)P.3 c 3易知 A(4, 0), D( 2, 0), C(0,-3)

7、, B(2,-3).設(shè) P(x,x2 -x 3).84PEXBC,P就是點(diǎn)如圖4-2,當(dāng)AP/BC時(shí)，點(diǎn)如圖4-3,當(dāng)CPBA時(shí)，作D,此時(shí) P(2, 0).AF± BC,垂足分別為 E、F.PE AF(3x2 3x根據(jù) PE AF ,得-84-3) ( 3)CE BF32.解得 x=6.此.時(shí) P(6, 6).如圖4-4,假設(shè)BP/AC,那么吧 ”.所以PG CF4-2圖例？角邊OB、解得x=2.此時(shí)點(diǎn)如圖5-1，把兩個(gè)全等的 OD在x軸上.已知點(diǎn)RtAAOB和RtACOD分別置于平面直角坐標(biāo)系中，使直A（1, 2）.拋物線(xiàn) y=ax2+bx+c 經(jīng)過(guò) 0、A、C 三點(diǎn).(1)(2

8、)求該拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式；點(diǎn)P為線(xiàn)段“OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P作y軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn) M ,交x軸于點(diǎn)N,問(wèn)是否存在這樣的點(diǎn)P,使得四邊形 ABPM為等腰梯形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.般根據(jù)(1)(2)如圖5-4,如果梯形ABPM是等腰梯形，那么 AM = BP',因此yA yM yp yB.直線(xiàn)OC的解析式為y解方程2 ( ?x2 7x) 221 一2，1x，21設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,-x）,那么M （x,2圖5-1【解析】在等腰梯形中，構(gòu)造輔助線(xiàn)常見(jiàn)的方法，就是把等腰梯形分割為一個(gè)矩形和兩個(gè)全等的直角三角形.如圖5-2,圖5-3,在坐標(biāo)平面內(nèi)，如果梯形

9、的兩底與坐標(biāo)軸平行，BE=FC列方程.在圖5-2中，xaxb=xcxd； 在圖 5-3 中，yByA=yDyC.拋物線(xiàn)的解析式為y 3x2 7x.22x= 2的幾何意義是P與C重合，此時(shí)梯形不存在.所以 PC2,1） 3 3M （或點(diǎn)事實(shí)上，我們事先并不知道點(diǎn) M （或點(diǎn)P）的準(zhǔn)確位置在哪里？甚至不知道點(diǎn)P）在AB的右側(cè)還是左側(cè)？但這不影響我們解題，先假設(shè)，再列方程，然后根據(jù)方程的解 驗(yàn)證位置.圖5-2圖5-3圖5-4例？ 如圖f-1,在矩形ABCD中，AB=3, BC = 4,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn)A出發(fā)沿對(duì)角線(xiàn) AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)P作PE/DC,交AC于點(diǎn) 巳 動(dòng)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度都是每秒 1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí) 停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 x秒，當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形 PQBE為梯形？圖6-1【解析】按照四邊形