微積分與矩形面積

1、百度文庫-讓每個人平等地提升自我11百度文庫-讓每個人平等地提升自我/ LJ 0一 333積分1）問題的提出一一求曲邊梯形的面積 可以用矩形面積近似取代曲邊梯形面積.顯然，小矩形越多,A =?o 口b a（圖一）圖二中用四個小矩形逼近僅）* / V矩形總面積越接近曲邊梯形面積.22百度文庫-讓每個人平等地提升自我（圖三）曲邊梯形面積的近似值為:蝸3-1當等分間隔無窮多時：（圖四）2）定積分的定義33百度文庫-讓每個人平等地提升自我上式的這個極限稱為函數/ （工）在區(qū)間上的定積分，記為:積分和/(x)rZv = Inn Yf(x.)x7-1一li”出積分區(qū)間積分變量被積表達式眼積函數3）定積分的

2、幾何意義曲邊梯形的面積：?。?1 /加=且（圖五）曲邊梯形的面積的負值：圖五中曲線與坐標軸所圍區(qū)域的面積為：，（氏）而=4一4+4 -A口4）定積分的性質44百度文庫-讓每個人平等地提升自我i 當口 = b時，J f（x）dx = 0；ii，當時，/（x）ctx =f （x）dx.畝 f （、）奴*依=，/（、*）士鳳工）的iv J/vf（A4）rfr= Jtj/（x）rfx （k為常數）v0 假設 e 0）1rlM是其在區(qū)間+0j內的原函數.原函數并非唯一,如:（盤口及+ C） = cosz , C為任意常數不定積分的定義：在區(qū)間內，函數/（月的帶有任意常數項的原函數稱為 ，（刈在區(qū)間，內的

3、不定積分, 記為S/55百度文庫-讓每個人平等地提升自我G住意常數 )- 工F(積分變量 央/ 公被積表達式 X7 / (X被積函數 一積分號6）積分的基本計算i。由不定積分的定義可知，尋找原函數是計算的關鍵例如:微分運算與求不定積分的運算是 互逆的，因此可以根據求導公式得出積分公式kdx =般4匚（提;常數）;犬產1六=+C -1);*+1= lnx+C;1 xii 定積分是特殊條件下的不定積分門白冰=芹F0中:例1：求圖6這稱為牛頓一萊布尼茨公式例2:求f1十產解：66百度文庫-讓每個人平等地提升自我= arctan x + C. 1 + ?例3:求GQ3齊+ 51門工一11彰解:原式，二

4、 2sinxcozxx結束語:飆的幾何意義厘,K二小圍成的曲邊梯形的面積（代數和）。矩形方法就是用小矩形面積代替小曲邊梯形的面積，然后求和以獲得定積分的近似值（見圖）。試選擇一個簡單的定積分題目利用 定積分近似計算的矩形公式計算之，觀察后者隨著節(jié)點的增多，計算值與準確值的誤差變化。應用實驗圖1定積分的幾何意義本實驗研究轉售機器的最佳時間問題。1.定積分定義面積問題（資料）在極限部分我們已經討論拋物線下的面積問題?，F(xiàn)在我們討論一個更一般的面積問題。設函數f（x）在區(qū)間a，b上是連續(xù)的，且是非負的，如圖1所示。如何求由曲線y f（x） 與直線x a,x b與x軸所圍成的區(qū)域的面積呢？我們現(xiàn)在有兩個

5、問題要解決，一是給出面積的定義，一是找出計算面積的方法。微積分77發(fā)展獨立思考和獨立創(chuàng)新的一般能力，應當始終放在首位，而不應當把知識放在首位。如果一個人掌握了他的學科的基礎理論，并且學會了獨立思考與工作，他必定會找到自己的道路。而且比起那些主要以獲取細節(jié)知識為其 訓練內容的人來，他一定會更好適應進步和變化.愛因斯坦7.定積分的基本思想是化整為零、以不變代變，積零為整，再取極限四個部分。百度文庫-讓每個人平等地提升自我的巨大功績就在于用干凈利落的方法同時解決了這兩問題。由圖1所示的圖形稱為曲邊梯形。 求曲邊梯形的面積的方法與求拋物線下的面積的方法 是一樣的。八處,Sbu.徵曲一研圖1曲邊梯形把區(qū)

6、間a,b分成n份，分點為aX0x1小區(qū)間的長度分別為Xn 1Xnb,XoX1Xo, XiX2Xi,XiXi 1Xi,Xn 1XnXn 1.過各分點作平行于y軸的直線，這些直線把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，設第i個小曲邊梯形的面積為Si (i 0,1,2, ,n 1).在每個小區(qū)間xi ,xi1上，任取一點即Xiixi1.過點i引平行于y軸的直線,交曲線y f(X)于點Pi,點pi的縱坐標為f( i).過Pi作平行于X軸的直線，與直線X為？為1交成一個小矩形，如圖2中的陰影部分所示，這個小矩形的面積為f( i).y88a 當 x2百度文庫-讓每個人平等地提升自我圖2小矩形面積f( i).xiSi

7、S f( 0) X0f( 1)Xif ( n i) Xnf( i) XiS的一個近似值:把n個小矩形的面積加起來，就得到曲邊梯形面積n 1.f( i) X.=i 0n 1Sn. f( i) Xi 0符號”為希臘字母，念作“西格瑪”，它表示一種求和運算。/ 當分點無限增多，即 n無限增大，而小區(qū)間的長度Xi無限縮小時，如果和 Sn的極限存在，我們就很自然地定義曲邊梯形的面積為和的極限：n 1S lim f ( i) Xi.Xi 0i 0、由此我們提出的問題也就解決了。因為我們已經給出了曲邊梯形面積的定義，并且給出了計算面積的方法， 但是在一般情況下， 用求極限的方法去計算面積是太困難了，我們還需

8、要找出更為簡便的方法，這將在后面給出。定積分概念的起源與應用定積分的概念起源于求平面圖形的面積和其他一些實際問題。定積分的思想在古代數學家的工作中，就已經有了萌芽。比如古希臘時期阿基米德在公元前 240年左右，就曾用求和的方法計算過拋物線弓形及其他圖形的面積。公元 263年我國劉徽提 出的割圓術，也是同一思想。在歷史上，積分觀念的形成比微分要早。但是直到牛頓和萊布尼茨的工作出現(xiàn)之前(17世紀下半葉)，有關定積分的種種結果還是孤立零散的，比較完整的定積分理論還未能形成，直到牛頓-萊布尼茨公式建立以后，計算問題得以解決，定積分才迅速建立發(fā)展起來。牛頓和萊布尼茨對微積分的創(chuàng)建都作出了巨大的貢獻，但兩

9、人的方法和途徑是不同的。牛頓是在力學研究的基礎上，運用 幾何方法研究微積分的；萊布尼茲主要是在研究曲線的切線和面積的問題上，運用分析學方法引進微積分要領的。牛頓在微積 分的應用上更多地結合了運動學，造詣精深；但萊布尼茲的表達形式簡潔準確，勝過牛頓。在對微積分具體內容的研究上，牛 頓先有導數概念，后有積分概念；萊布尼茲則先有積分概念，后有導數概念。雖然牛頓和萊布尼茲研究微積分的方法各異，但 殊途同歸。各自獨立地完成了創(chuàng)建微積分的盛業(yè)，榮耀應由他們兩人共享。定積分概念的理論基礎是極限。人類得到比較明晰的極限概念，花了大約 2000年的時間。在牛頓和萊布尼茨的時代，極限 概念仍不明確。因此牛頓和萊布

10、尼茨建立的微積分的理論基礎還不十分牢靠，有些概念還比較模糊，由此引起了數學界甚至哲 學界長達一個半世紀的爭論，并引發(fā)了 “第二次數學危機”。經過十八、十九世紀一大批數學家的努力，特別是柯西首先成功地建立了極限理論，魏爾斯特拉斯進一步給出了現(xiàn)在通用的極限的()定義，極限概念才完全確立，微積分才有了堅實的基礎，也才有了我們今天在教材中所見到的微積分?，F(xiàn)代教科書中有關定積分的定義是由黎曼給出的。一、從阿基米德的窮竭法談起【引例】從曲線了 一邑與直線工二口，=2 ,5一所圍圖形的面積叢99百度文庫-讓每個人平等地提升自我2如圖：在區(qū)間0Z上插入底個等分點、二I=。、),得曲線上點過這些點分別向 關軸，

11、軸引垂線，得到階梯形。它們的面積分別為:nnn打=2-十(e2 + (臣十十(日)”壽_ 2_ 國% 1 -(2* ) _ 2 .。- d.叼即 一丁 丁 -n (1 - e lirn 甯0 一/”) 令乙=1 lini二 一2E-WfjS Q寸 02”/)-2-4、 月 4女 t；m)1010百度文庫-讓每個人平等地提升自我2故可得到面積值為二一二.1為了便于理解阿基米德的思想，我們先引入曲邊梯形的概念。設連續(xù)函數了（又）20川），求由曲邊y=/直線=0，工二以及w軸所圍成的曲邊梯形的面積，-iiii所謂曲邊梯形是指這樣的圖形，它有三條邊是直線段，其中兩條是平行的，第三條與前兩條垂直叫做底邊

12、，第四條邊是一條曲線弧叫做曲邊，這條曲邊與任意一條垂直于底邊的直線至多只交于一點。根據這一定義，引例所求圖形的面積便是一個曲邊梯形的面積。運行程序，可更深刻地了解阿基米德窮竭法思想。月基索德的做法將曲邊梯形的面積計肆化歸為 由多個用形狀的階梯形的面積之和. fit看小矩形的個卦的禊增多,最 終得到曲邊梯形的面枳.借助計算機，能更好堆展示目 基米錯的這一思蝮的重要貢獻.由圖形可看出4T大是的單 調下降函數，前4用小是雙的單調 上升函數,它們同時逼近某個面幟侑、曲邊梯形的面積計算百度文庫-讓每個人平等地提升自我y = /（-V）豌=如圖，在區(qū)間【凡3上任意地插入網+1個分點3=X。 X 式21-1

13、 / 4筮 0三、變速直線運動的路程設某物體作直線運動，已知速度n =期是時間間隔172上的連續(xù)函數，且v（，） ,求物體在時間間隔內所經過的路程。在時間間隔 凡0 內任意地插入月+1個分點馬=珀 5 ，一4_ & 將分劃成個時間區(qū)間各時間區(qū)間的長度依次為&1 = t） 一而修=方一”位1=工=*H 記各時間區(qū)間內物體運動所經過的路程依次為A5Aj八巴在時間間隔叁-L力，物體所經過的路程位的近似值為（V點3）1=12內上的速度視為不變的，以 “切來近似代替。很自然地，當間間隔段很短時，這種近似是合理的。這一時于是可給出的近似值工二1i -1一 中 幻一, Aa（ A外, , At公為得到上的精確值，只需讓每個小時間間隔段的長度 1 上工理均趨向于零