初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題17直角三角形中的比例線段

1、專題 17 直角三角形中的比例線段閱讀與思考借助相似三角形法研究直角三角形，我們會得到許多在解題中應(yīng)用極為廣泛的結(jié)論如圖，在 RtABC中，A=900，ADBC于 D，則1圖中角的關(guān)系： B=DAC， C=DAB； 2同一三角形中三邊平方關(guān)系： AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2；BC2=AB2+AC2 3三角形之間的關(guān)系：ABD CAD CBA，由此得出的線段之間的關(guān)系： AD2=BD?DC，AB2=BD?BC，AC2=CD?BC由此得出的等積式在計算與證明直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似， 中應(yīng)用極為廣泛，其特點(diǎn)是：一線段是兩個三角形的公共邊；另兩條線段

2、在同一直線上例題與求解【例 1】如圖， RtABC中， CD為斜邊 AB上的高， DECB于E若BE=6，CE=4，則 AD=（上海市競賽試題） 解題思想： 圖中有兩個基本圖形，恰當(dāng)選取相應(yīng)關(guān)系式求出AD例 2 題圖例 2】如圖，在RtABC中，C=900，CDAB，下列結(jié)論： CD?AB=AC?BC； BACC22BC2ADBD ；11 2 2AC 2 BC2 其中正確的個數(shù)是A 4 個1CD2(）B3個AC+BCCD+ABC 2 個D 1 個江蘇省競賽試題）解題思路： 綜合運(yùn)用直角三角形性質(zhì)逐一驗(yàn)證，從而作出判斷【例 3】如圖，在等腰 RtABC中， AB=1， A=900，點(diǎn) E為腰 A

3、C的中點(diǎn)，點(diǎn) F在底邊 BC上，且 EF BE，求 CEF的面積（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）1解題思想 ：欲求 EFC的面積，由于 EC= ，只需求出 EFC中 EC邊上的高，或求出 EC邊上的高2與 EC 的關(guān)系本例解法甚多，同學(xué)們的解題思路，自由探索與思考，尋求更多更好的解法例 4】如圖，直線 OB是一次函數(shù) y 2 x的圖象，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 （0，2），在直線 OB上找一點(diǎn) C，使江蘇省競賽試題）ACO為等腰三角形，求點(diǎn) C 的坐標(biāo)解題思想： 注意分類討論能力訓(xùn)練1如圖，在兩個直角三角形中，A級ACB= ADC=900，AC= 6 ，AD=2，當(dāng) AB=時，這兩個直角三角形相似D第 2 題

4、圖）第 3 題圖）2如圖，在 RtACB中，CDAB于點(diǎn) D，A的平分線 AF交 CD于 E，過 E引 EG AB交 BC于G，若 CE= 3 ，則 BG 的長為 （上海市競賽試題）3如圖， ABCD為矩形， ABDE為等腰梯形， BD=20， EA=10，則 AB=（“五羊杯”競賽試題）沿 CB方向滑動 y 米，則 x 與 y的大小關(guān)系是（）A x yB x yC x y4如圖，梯子 AB 斜靠在墻面上， AC BC，AC=BC，當(dāng)梯子的頂端A沿 AC方向下滑 x米時，梯足 BD不確定（江蘇省競賽試題）AB第 4 題圖）A7B515 C21 D22226在 ABC 中，AD 是高，且 AD2

5、BD CD ，那么BAC的度數(shù)是（）A小于 900B 等于 900C大于 900D不確定（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）5如圖，矩形 ABCD中， AB= 3 ，BC=3， AE BD于 E，則 EC等于（）7如圖，在 ABC中，已知 C=900，AD是CAB的角平分線，點(diǎn) E在 AB上， DECA， CD=12， BD=15，求 AE， BE 的長（上海市中考試題）第 7 題圖）8如圖，在矩形 ABCD中，E是 CD的中點(diǎn)，BEAC交 AC于 F，過 F作 FGAB交 AE于G，求證：AG2=AFFC （西安市中考試題）9如圖，在 RtABC中， ACB=900，CDAB，DEAC，DFBC，D，E

6、，F(xiàn)分別為垂足，求證： CD3=ABAEBF（ 四川省中考試題 ）第 9 題圖）10如圖，在 RtABC中， ACB=900，AD平分 CAB交 BC于點(diǎn) D，過點(diǎn) C作 CE AD于點(diǎn) E，CE 的延長線交 AB于點(diǎn) F，過點(diǎn) E作 EGBC交AB于點(diǎn) G，AEAD=16，AB=4 5 求證： CE=EF； 求 EG 的長（河南省中考試題）第 10 題圖）11如圖，在 ABC 中，已知 ACB=90 PE AC于 E，PF BC于 F，BC=kAC，CDAB于點(diǎn) D，點(diǎn) P為 AB邊上一動點(diǎn)，當(dāng) k =2時，則CEBF當(dāng) k =3時，連結(jié) EF， DF，求 EF 的值；DF當(dāng) k =EF 2

7、 3時， DF 3 （直接寫出結(jié)果，不需證明）B級1如圖，在 RtABC中，A=900，ADBC，P為 AD的中點(diǎn)， BP交 AC于E，EFBC于 F，AE=3， EC=12，則 EF=黃岡市競賽試題）C第 2 題圖）第 1 題圖）2如圖，在 RtABC中，兩條直角邊 AB，AC的長分別為 1厘米， 2厘米，那么直角的角平分線的 長度等于 厘米（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）3如圖， EFGH是矩形 ABCD的內(nèi)接矩形，且 EF：FG=3： 1，AB：BC=2： 1，則 AH：AE=（上海市競賽試題）第 3 題圖）E D B 第 4 題圖）A第 5 題圖）4如圖，ABC中，ACB=900，CD和 CE

8、分別是底邊 AB上的高和 C的平分線， 若 CED ABC， 則 ECD等于 （）A18B20C 22.5D30山東省競賽試題）5如圖， 在 ABC中，D，E 分別在 AC，BC上，且 ABAC，AEBC，BD=DC=EC=1，則 AC=（）A 2 B 3C 3 2D 3 3E 4 3（美國高中統(tǒng)一考試題）6如圖，在等腰Rt ABC中， F為 AC邊的中點(diǎn)， ADBF求證： BD=2CD（武漢市競賽試題）8ABC中，BC=a，AC=b，AB=c若 C=900，如圖第 7 題圖）1，根據(jù)勾股定理，則a2+b2=c2若 ABC 不是直角三角形，如圖 2、圖 3，請你類比勾股定理，試猜想a2+b2與

9、 c2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論圖1B圖39已知 AOB=900，在 AOB 的平分線 OM 上有一點(diǎn)C，將一個三角形的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它7如圖， P， Q分別是正方形 ABCD的邊 AB，BC上的點(diǎn)，且 BP=BQ，過 B 點(diǎn)作 PC的垂線，垂足為H求證：DHHQ（“祖沖之杯”邀請賽試題）的兩條直角邊分別與 OA， OB（或它們的反向延長線）相交于點(diǎn)D， E當(dāng)三角形繞點(diǎn) C旋轉(zhuǎn)到 CD與 OA垂直時，如圖 1，易證： OD+OE= 2 OC當(dāng)三角形繞點(diǎn) C旋轉(zhuǎn)到 CD與 OA不垂直，如圖 2，圖 3 這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立？ 若成立， 請給予證明； 若不成立， 線段 OD，OE，OC之間， 又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想， 不需證明B10如圖 1，在 ABC中，點(diǎn)D，E，Q 分別在 AB，AC，BC上，且 DEBC，AQ交