14.2乘法公式講義學(xué)生版

1、14.2乘法公式教學(xué)目標(biāo)(1) 經(jīng)歷探索平方差公式，完全平方公式的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號感和推理能力、歸納能力.(2) 會推導(dǎo)平方差公式，完全平方公式并掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的計算.(3) 了解平方差公式，完全平方公式的幾何背景，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法.重難點(diǎn)分析教學(xué)重點(diǎn)：公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、幾何解釋，靈活應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：用公式的結(jié)構(gòu)特征判斷題目能否使用公式.理解公式的結(jié)構(gòu)特征，并靈活應(yīng)用公式知識點(diǎn)一：平方差公式(朿點(diǎn))(1) 平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差.(a+b) (a-b) =a2-b2(2) 應(yīng)用平方差公式計算時，應(yīng)注意以下幾

2、個問題：二左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)：二右邊是相同項的平方減去相反項的平方；:公式中的。和b可以是具體數(shù)，也可以是單項式或多項式；二對形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘的算式，都可以運(yùn)用這個公式計算，且會比用多項式乘以多項式法則簡便.【例題】下列算式能用平方差公式計算的是()A. (2a+b) (2b - a)B. (-2x-l)(-2x-l)C. (3x - y) (- 3x+y)D. ( - m - n) ( - m+n)【變式1】已知(滬$是方程fax+by=12的解,則(妣)(a_b)的值為()(y=l (bxay=3A. 25 B 45 C. -2

3、5D-45【變式 2】lL知 a2 - 4b2=12,且 a - 2b= - 3 > 則 a+2b=知識點(diǎn)二：完全平方公式（重點(diǎn)）（1 ）完全平方公式：（a±b ） 2=a2±2ab+b2可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放“.（2）完全平方公式有以下幾個特征：二左邊是兩個數(shù)的和的平方；二右邊是一個三項式，其中首末兩項分 別是兩項的平方，都為正，中間一項是兩項積的2倍：其符號與左邊的運(yùn)算符號相同.（3）應(yīng)用完全平方公式時，要注意：公式中的a, b可是單項式，也可以是多項式：匚對形如兩數(shù)和（或 差）的平方的計算，都可以用這個公式：二對于三項的可以把英中的兩項看做一

4、項后，也可以用完全平方公 式.【例題】已知實(shí)數(shù)a、b滿足a+b=2, ob弓，則a-b=（）A. 1 BC±1 D臣2 2【變式1】將9.52變形正確的是（）A 9.5L92+0.52 B 9.52= （10十0.5） （10-0.5）C 9.52=102 2x10x0.5+0.52 D 9.52=92+9x0.5+0.52【變式2】我國古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列，如南宋數(shù)學(xué)家楊輝（約13世紀(jì)）所著的詳 解九章算術(shù)一書中，用如圖的三角形解釋二項式乘方（a+b） 11的展開式的各項系數(shù)，此三角形稱為“楊輝 三角二根據(jù)s楊輝三角"請計算（a+b） °4的展

5、開式中第三項的系數(shù)為（）（a+bf a訕 3+bp 心尸” ） A. 2016 B. 2017 C. 2018 D 2019知識點(diǎn)三：添括號法則(難點(diǎn))(1) 去括號法則：如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同；如果括號 外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反.(2) 去括號規(guī)律：匚a+ (b+c) =a+b+c,括號前是"+"號，去括號時連同它前而的"+”號一起去掉，括號內(nèi)各 項不變號：匚a- (b-c) =a-b+c,括號前是號，去括號時連同它前而的'號一起去掉，括號內(nèi)各項都要變 號.說明：二去括號法則是

6、根據(jù)乘法分配律推岀的：二去括號時改變了式子的形式，但并沒有改變式子的值.(3) 添括號法則：添括號時，如果括號前而是正號，括到括號里的各項都不變號，如果括號前而是負(fù)號, 括號括號里的各項都改變符號.添括號與去括號可互相檢驗.【例題】下列變形中，不正確的是()A a - b - ( c-d )=a-b-c-d Ba(b - c+d ) =a - b+c - dC a+b - ( - c - d ) =a+b+c+d D a+ (b+c - d ) =a+b+c - d【變式1】已知a - b= - 3» c+d=2,則(b+c) - (a - d)的值為()A1 B5 C-5 D-1【

7、變式2】在橫線內(nèi)填上恰當(dāng)?shù)捻棧篴x - bx - ay+by= (ax - bx) - ().拓展點(diǎn)一：乘法公式的應(yīng)用【例題】利用乘法公式計算：9&【變式1】利用平方差公式計算：30 1x29,9.【變式2】寫出計算結(jié)果：(x- 1) (x+1) =(X- 1) (x2+x+l) =(X- 1) (x3+x2+x+l) =根據(jù)以上等式進(jìn)行猜想，可得：(X-1)(X吟X】+X+1)=拓展點(diǎn)二：完全平方公式的變形應(yīng)用【例題】已知x+y=10 xy=5,求Q+y2的值.【變式1】已知x2 - 3x+l=0,求(1)討丄；x【變式2】已知x+l=4,求x 丄的值.拓展點(diǎn)三：數(shù)形結(jié)合問題【例題】

8、如圖1所示，從邊長為a的正方形紙片中剪去一個邊長為b的小正方形，再沿著線段AB剪開，把 剪成的兩張紙拼成如圖2的等腰梯形（其而積二寺（上底+下底）X高）.圖1醫(yī)12（1）設(shè)圖1中陰影部分面枳為Si,圖2中陰影部分面積為Sy請直接用含a. b的式子表示Si和S2;（2）請寫出上述過程所揭示的乘法公式.9【變式1】已知一個長方體的長為2乩寬也是2a,髙為h(1) 用a、h的代數(shù)式表示該長方體的體積與表而積.(2) 當(dāng)a=3, h兮時，求相應(yīng)長方體的體枳丐表面積.(3) 在(2)的基礎(chǔ)上，把長增加x,寬減少x,英中0<x<6,問長方體的體積是否發(fā)生變化，并說明理由.【變式2】如圖所示，邊

9、長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形.a 1(1) 請用字母a和b表示岀圖中陰影部分的而積：(2) 將陰彫部分還能拼成一個長方形，如圖乙這個長方形的長和寬分別是多少？表示出陰影部分的面積:(3) 比較(1)和(2)的結(jié)果，可以驗證平方差公式嗎？請給予解答.拓展點(diǎn)四：乘法公式的實(shí)際應(yīng)用【例題】已知一塊''十字型''紙板如圖，請畫岀一個而積和這塊紙板而積相等的長方形，并指岀此長方形的長 和寬.【變式1】原有長方形綠地一塊，現(xiàn)進(jìn)行如下改造.將長減少2m,將寬增加2m,改造后得到一塊正方形綠 地，它的而積是原綠地而枳的2倍，求改逍后正方形綠地的而積.【變式2】如圖

10、：邊長為a, b的兩個正方形，邊保持平行，如果從大正方形中剪去小正方形，剩下的圖形 可以分割成4個大小相等的梯形.請你計算出兩個陰彫部分的面積，同時說明可以驗證哪一個乘法公式的 幾何意義b易錯點(diǎn)一：平方差公式中沒有找準(zhǔn)"與方【例題】已知：x12, x+y=3,求2x2 - 2xy的值.【變式 1】計算：(x-2) 2 - (x+3) (x-3)【變式2】運(yùn)用乘法公式計算：(a-b-3) (a-b+3).易錯點(diǎn)二：完全平方公式中某些系數(shù)漏掉平方【例題】如果a2-2 (k- 1) ab+9Z是一個完全平方式，那么k=.【變式1】一個二次三項式的完全平方式是4x4+4x3+ax2 - 6x+b,求這個二次三項式.【變式2】如果36x?+ (m+1) xy+25y2是一個完全平方式，求m的值.易錯點(diǎn)三：運(yùn)用完全平方公式時丟掉中間乘積或系數(shù)“2倍”【