高中數(shù)學(xué)第1章三角函數(shù)1.2.2同角三角函數(shù)關(guān)系講義蘇教版必修4

1、高中數(shù)學(xué)第1章三角函數(shù)1. 2. 2同角三角函數(shù)關(guān)系講義蘇教版必修41.2.2同角三角函數(shù)關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)(教師獨(dú)具)1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：Sinc «+COS2 « =I. Sin a通過學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容提升學(xué)生的數(shù)學(xué)1' tan "co（重點(diǎn)）2.能正確運(yùn)用上述關(guān)系式進(jìn)行化簡、求值和證明.(重運(yùn)算和邏輯推理核心素養(yǎng).點(diǎn)、難點(diǎn)):L新知初探同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1. 平方關(guān)系：sin"+COSIo=12商數(shù)關(guān)系：ran <<a k +=, Z.思考：Sin ÷cos2y9 = 1恒成立嗎？提示不一泄.口5初試身

2、手1 思考辨析(1)對(duì)任意角sin'3 o ÷cos-3 o = 1 都成立.（）(2)對(duì)任意角aSIn T （】=tan可都成立.COS T -若 Sin =g 則 COS =爭.（）解析(1) 丁符合冋角三角函數(shù)的關(guān)系.aSInTaX 等式=tan亍的條件是CoS T-COSG0*即 a +2A &Z(3)X因?yàn)榈姆稁壊幻鞔_，故CoSa = ±Ql-si? a =答案(I)J (2)×(3)×2. 已知是第二象限角，且CoS則tan Sin aZn "=兀齊4 ,C rillcos o 5Sin3已知V 則応丁石7石7 由

3、tan =2 知 COS a HO,所以COS3cosa 5Sina ÷sina 1 5tan a9 -_ a3+ tan a5*合作探究。堆素養(yǎng)HEZUOTA NF【CTl S UY A N G利用同角基本關(guān)系式求值3【例1】 已知Sin o求COS S tan。的值;已知 Sin。+2COS。=0,求 2sin OCOS o cos' 的值.思路點(diǎn)撥3Sin：（】+cos' =1 求cos o討論&所在的象限求COS a , tan a(2)先由已知條件求出tan a,再將式子化成關(guān)于Sn。的形式，代入求解，也可直接 代入，利用平方關(guān)系化簡.解(1)因?yàn)镾

4、in <0t Sin <b所以“是第三或第四象限角.由 sin: a +cos' =1 得COS: a =I-Sin= =1如果。是第三象限角，那么CoS。<0于是COS a =43如果。是第四象限角，那么CoS O=F tan =-(2)法一：由 Sina ÷2cos o =0,得 tan o = -2.所以 2sin COS=2sin cos acos'。 2tan a141a COS asin' o ÷cos- otan' ÷14+1法二：由 Sin +2cos。=0 得 2cos G=-Sin所以 2sin

5、 "cos a cos" = sin: a cos2 a = (Sin- o ÷cos" o) = 1MHP方仏1. 求三角函數(shù)值的方法(1)已知Sin (或CoS )求tan 常用以下方式求解CoftJ =lin, O加力二3"黑丿已知tan 求Sin (或CoS )常用以下方式求解法一xin* +co" =I0, Cc6?0當(dāng)角的范羽不確立且涉及開方時(shí),常因三角函數(shù)值的符號(hào)問題而對(duì)角分區(qū)間(象限)討論2. 已知角(】的正切求關(guān)于Sin S CoS &的齊次式的方法(1) 關(guān)于Sin ", COS "的齊

6、次式就是式子中的每一項(xiàng)都是關(guān)于Sin ", COS 的式子 且它們的次數(shù)之和相同，設(shè)為”次，將分子、分母同除以COS "的m次幕，其式子可化為關(guān) 于tan "的式子，再代入求值.(2) 若無分母時(shí)，把分母看作1,并將1用Sin= ÷cos=來代換，將分子、分母同除以 cos2 ,可化為關(guān)于tan "的式子，再代入求值.跟腳Il修.1已知tan 0=2,求Sin 、COS a的值.解法一：Vtan o = 2<0"為第二或第四象限角，且Sin = -2cos ",又 Sin' G+cos'O= 1,由消去

7、 Sin a、得(2COS。)' + cos'“ =1,即 cos" =g；當(dāng)"為第二象限角時(shí)，COS a=-也,代入得Sin G=孌: 0當(dāng)0為第四彖限角時(shí)，COSa =誓,代入得Sin法二：Ttan o = -2<0, o為第二或第四象限角由tanSIn aa =COS a 兩邊分別平方，得tan-¾又 Sirf U ÷cos " =1,Sin- o , Sin"+cosP1.tan" U +1=:I=:=cos" aCOS aCOS a即 COS=i÷7當(dāng)。為第二象限角時(shí)，CO

8、S <0,.cos1÷tan2 a1_ 5÷(-2y-5 'sin o =tan o COS a = ( 2) ×=刃15當(dāng)(】為第四象限角時(shí)，COS a0.cos " =N TTk=寸e=習(xí)'Z 、525.sin =tan CI COS o = (2) × g 三角函數(shù)式的化簡、求值(2)若角是第二象限角，化簡：tan思路點(diǎn)撥：(1)|利用平方關(guān)系代換“V I 開方構(gòu)造完全平方IJ化簡求值I切化弦I 一I化簡求值解(1)原式=tsifl30 2Sin 130' COS 130+cosJ30' Sirl 1

9、30° + 寸 COS'130Sin 130° cos 130_Sin 130 cos 130' _Sin 130j ÷ COS 13(T Sin 130j cos 130(2)原式= tan asirf°cos- o Sin a、 COS aSirfa =tan 叫贏而=rTX 藥F-,因?yàn)閍是第二Sin a COS a Sin a COS a 象限角，所以 Sin ">0, COS "<0,所=7×-1.O化簡三角函數(shù)式的常用方法：(1) 切化弦，即把非正弦、余弦函數(shù)都化成正弦、余弦函數(shù)，從而

10、減少函數(shù)種類以便化簡.(2) 對(duì)含有根號(hào)的，常把根號(hào)下式子化成完全平方式，然后去根號(hào)達(dá)到化簡的目的.(3) 對(duì)于化簡高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或用"1”的代換，以降低函數(shù)次 數(shù)，達(dá)到化簡目的提醒：在應(yīng)用平方關(guān)系式求Sin "或COS "時(shí)，其正負(fù)號(hào)是由角"所在的象限決泄，不可憑空想象.2.化簡：(1)COS 36u jl-cos"36jQi 2Sin 36° COS 36°Sirl 一costan 1解COS 36' Qsif36"÷cos236J 2sin 36u COS 36&qu

11、ot;COS 36" sin 36j y(cos 36u sin 36-):COS 36u sin 36COS 36 sin 36'COS 36一sin 36COS 36j sin 36(2)原式=Sin "cosSin 0COS 01COS "(sin 0 -COS )_Sin (f cos O0.三角函數(shù)式的證明 l÷2sin .cos X 1 + tan X【例3】求證: - COS-X sin'-r1 tan X思路點(diǎn)撥：從左邊利用“1 = Sin+cosY'及平方差公式推右邊便可.解 V (Sirl -v÷co

12、s Ar)'=l + 2Sin XCOS X、:j力=(Sin x+cos x)："J (COS -÷sin -Y)(COS -rsin -Y)Sin x+cos XCOS X-Sin Xl÷tan X1 tan X=右邊.在計(jì)算、化簡或證明三角恒等式時(shí)，常用的技巧有：減少不同餌的三角函數(shù)，或化切為 弦，或化弦為切（如：已知tan ",求關(guān)于Sin a, COS "的齊次式的問題）；"1”的代換（1 = Sin+cos Cos a 1+cos a Sin a Sin U Sin a '左邊=右邊，等式恒成立. (J&#

13、39;.ij Rin a+(cos -I)J sin o -(COS -I)J）;多項(xiàng)式運(yùn)算技巧的運(yùn)用（如因式分解、通分、整體代換等）：條件或結(jié)論的 重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函數(shù)式的應(yīng)用.3. 證明下列三角恒等式：t&ntan莎OSin a tan o+sin a asin a tan Sin a2sin OCOS a1 + cos a o +cos o 1)(Sin G-COS "+1) Sin a *證明Sin o Sln aCOS a(1)左邊=SIn asin" aCOS1 cos a.Sin o sin a cos a Sin O(I-C

14、OS a)Sln a1 + cos a右邊=SIrI a tan a2sin OCOS &Sin a2sin COS a2sin o COS asin2 o -(COS a1)' Sirra cosa l+2cos a2sin acos a _ Sin U2cos O(I-COS ")1cos aSin "(1 + cos a)(1 cos a)(l + cos a)_Sirl G(I+ cos a) Silr a1 + cos aSirI a=右邊.所以原等式成立."sin o ±cos o M 同"sin o COS?！?間

15、的關(guān)系探究問題1. 已知Sin o ÷cos d的值，能求Sin OCOS a的值嗎？反之呢？提示： 設(shè) Sin a ±cos a =尬、貝IJ (Sin o ±cos ")=zEWl±2sin a COS o =j, 所以 Sin COS =±反之也可以，利用(Sin ±cos C=l±2sin "cos a,開方便可.2. 已知 Sin "+cos 0 的值，如何求 Sin cos?；?COS asin “ 的值? 提示：設(shè) Sin a +cos a = t、則 1 + 2Sin COS a

16、 = t從而 2sin o COS o = f lf 1 2sin o COS a =2F,從而(Sin o cos o)z=2 f 1對(duì)上式開方便可得岀“sin a cos a”或“cos a sin a"的值. 卜例曰已知Sin a+cos a=；且OVa兀.求：(1) Sin o COS a 的值：(2) 求 Sin o cos a 的值.平方1思路點(diǎn)撥： Sin a +cos a =二 求Sin OCOS UO構(gòu)造完全OVuVji 求(Sin o cos Oy fc平方差公式求Sin acos U解(1) VSin a +cos1' (Sirl a +cosA l&#

17、247;2sin a COS125,E!卩 Sin OCOS12(2) V (Sin ccos ")'=1-2Sin COS (】25*25 25,又 TOVaVH,且 Sin OCoS OV0,.sino>0, COSASin o cos >0,Asin7 acos (J =-.母題探究(變條件)若本例中變?yōu)椤耙阎狢OS (1 Sin a =IM ,那么COS "sin “的值為多少？解因?yàn)?COS « sin Ci =|,所以 COS o sin (I= ±cos a +cos a=±×I=ifI -i>

18、1. 已知Sin "±cos "求Sin OCOS ",只需平方便可.2. 已知Sin Ocos 求Sin "±cos 時(shí)需開方，此時(shí)要根據(jù)已知角的范圍，確 Sin 0 +cos 的正負(fù).7堂小結(jié)廠教師獨(dú)具1. 本節(jié)課的重點(diǎn)是利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求值以及Sin "±cos 與Sin cos 關(guān)系的應(yīng)用.難點(diǎn)是三角函數(shù)式的化簡與證明.2. 要掌握Sin 土COS 與Sin OCoS 之間的轉(zhuǎn)換(1) (Sin” + cos)要掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的三個(gè)應(yīng)用(1) 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值；(2) Sin 土CoS 與 Sin "cos 關(guān)系的應(yīng)用.(3) 三角函數(shù)式的化簡與證明的方法. 本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求Sin “、COS "的值時(shí)，易忽視 對(duì)角"所處象限的討論，造成Sin "、COS "漏解或多解的錯(cuò)誤.=I+2Sin"cosO;(2) (SinO cos0)&