《數(shù)字信號處理》第三版課后習題答案

1、數(shù)字信號處理課后答案1.2 教材第一章習題解答1. 用單位脈沖序列 (n)及其加權和表示 題 1 圖所示的序列。 解：2n 5, 4 n 12. 給定信號： x(n) 6,0 n 40,其它( 1)畫出 x(n) 序列的波形，標上各序列的值；(2) 試用延遲單位脈沖序列及其加權和表示 x(n) 序列；(3)令 x1(n) 2x(n 2) ，試畫出 x1(n) 波形；(4)令 x2(n) 2x(n 2) ，試畫出 x2(n) 波形；(5)令 x3(n) 2x(2 n) ，試畫出 x3(n) 波形。 解：(1) x(n) 的波形如 題 2解圖(一) 所示。(2)(3) x1(n)的波形是 x(n)

2、 的波形右移 2 位，在乘以 2，畫出圖形如 題 2 解圖 (二) 所示。(4) x2(n)的波形是 x(n) 的波形左移 2位，在乘以 2，畫出圖形如 題 2 解圖 (三) 所示。(5) 畫 x3(n)時，先畫 x(-n) 的波形，然后再右移 2 位， x3(n)波形如 題 2 解 圖(四) 所示。3. 判斷下面的序列是否是周期的，若是周期的，確定其周期(1) x(n) A cos( 3 n )，A 是常數(shù)；781(2) x(n) ej(8n )。解：( 1) w 3 ,2 14 ，這是有理數(shù)，因此是周期序列，周期是 T=14； 7w3(2) w 1,2 16 ，這是無理數(shù)，因此是非周期序列

3、。 8w5. 設系統(tǒng)分別用下面的差分方程描述， x(n) 與 y(n) 分別表示系統(tǒng)輸入和輸出，判斷系統(tǒng)是否是線性非時變的。1)y(n)x(n)2x(n1) 3x(n 2) ；3)y(n)x(nn0)，n0為整常數(shù)；5)y(n)x2(n)7)y(n)nx(m) 。m0解：(1)令：輸入為 x(n n0) ，輸出為 y'(n) x(n n0) 2x(n n0 1) 3x(n n0 2) ' y(n n0 ) x(n n0) 2x(n n0 1) 3x(n n0 2) y'(n) 故該系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。(3) 這是一個延時器，延時器是一個線性時不變系統(tǒng)，

4、下面予以證明。 令輸入為 x(n n1) ，輸出為 y'(n) x(n n1 n0) ，因為 故延時器是一個時不變系統(tǒng)。又因為故延時器是線性系統(tǒng)。( 5)y(n) x (n)令：輸入為 x(n n0) ，輸出為 y'(n) x2(n n0) ，因為故系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。又因為因此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。7)y(n) x(m)m0n令：輸入為 x(n n0) ，輸出為 y'(n)x(m n0 ) ，因為m0故該系統(tǒng)是時變系統(tǒng)。又因為 故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。6. 給定下述系統(tǒng)的差分方程， 試判斷系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定系統(tǒng)， 并說明理由。1N1(1) y(n) 1 x(n k) ；Nk0n

5、n0(3) y(n)x(k) ；k n n0(5) y(n) ex(n) 。解：(1) 只要 N 1，該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)，因為輸出只與 n時刻的和 n 時刻以前的輸入有關。如果 x(n) M ，則 y(n) M ，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。n n0(3)如果 x(n) M ， y(n) x(k) 2n0 1M ，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)是非 k n n0因果的，因為輸出還和 x(n) 的將來值有關 .(5)系統(tǒng)是因果系統(tǒng)， 因為系統(tǒng)的輸出不取決于 x(n) 的未來值。如果 x(n) M ，則 y(n) ex(n) ex(n) eM ，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。7. 設線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應 h(n) 和

6、輸入序列 x(n)如題 7 圖所示，要求 畫出輸出輸出 y(n) 的波形。解： 解法( 1): 采用圖解法圖解法的過程如 題 7 解圖所示解法( 2) : 采用解析法。按照 題 7 圖 寫出 x(n) 和 h(n) 的表達式 :因為x(n)* (n) x(n) x(n)* A (n k) Ax(n k)1y(n) x(n)*2 (n) (n 1) (n 2)所以 2 12x(n) x(n 1) x(n 2) 2將 x(n) 的表達式代入上式，得到8. 設線性時不變系統(tǒng)的單位取樣響應 h(n) 和輸入 x(n) 分別有以下三種情況， 分別求出輸出 y(n) 。(1)h(n)R4(n), x(n)

7、R5(n) ；(2)h(n)2R4(n),x(n)(n) (n 2) ；(3)h(n)0.5n u(n), xnR5(n) 。解：(1) y(n) x(n)* h(n)R4(m)R5(n m)m先確定求和域，由 R4(m)和 R5(n m)確定對于 m的非零區(qū)間如下：根據(jù)非零區(qū)間，將 n 分成四種情況求解： n 0,y(n) 0n 0 n 3,y(n) 1 n 1m03 4 n 7, y(n) 1 8 nmn4 7 n, y(n) 0最后結果為y(n) 的波形如 題 8解圖(一) 所示。2) y(n) 的波形如 題 8解圖(二) 所示.3)y(n) 對于 m的非零區(qū)間為 0 m 4,m nn0

8、,y(n) 00nn 4,y(n) 0.5n 0.5 mm01 0.5 n 111 00.5.5 1 0.5(1 0.5 n 1)0.5n 2 0.5n1 00.55 1 0.5n 31 0.5n5n 4 m 1 n, y(n) 0.5n 0.5 mm0最后寫成統(tǒng)一表達式： 11. 設系統(tǒng)由下面差分方程描述：11y(n) 21 y(n 1) x(n) 12x(n 1)；設系統(tǒng)是因果的，利用遞推法求系統(tǒng)的單位取樣響應。解： 令： x(n) (n)歸納起來，結果為12. 有一連續(xù)信號 xa (t) cos(2 ft ), 式中， f 20Hz, 21)求出 xa(t) 的周期。2)3)用采樣間隔

9、T 0.02s對 xa (t )進行采樣，試寫出采樣信號 xa(t)的表達式。畫出對應 xa(t)的時域離散信號 (序列) x(n) 的波形，并求出 x(n) 的周期。第二章教材第二章習題解答y(n) AH(ejw ) cosw0n(w0) 。1. 設 X(ejw)和Y(ejw)分別是 x(n)和 y(n)的傅里葉變換，試求下面序列的傅里葉變換：(1) x(n n0) ；(2) x( n) ；(3) x(n)y(n) ；(4) x(2n) 。解：(1)FTx(n n0)令 n'n n0,n n'(2)FTx*(n)n(3)FTx( n)令 n'n，則(4)證明：令 k=

10、n-m，則2. 已知 X(ejw)njwnx(n n0 )enn0，則jwnx* (n)ex(n) ejwn * X*(e jw)nx(jwnn)eFTx(n)* y(n) X(ejw)Y(ejw )x(n)* y(n)x(m)y(n m)1,w0,w0w0w求 X(ejw)的傅里葉反變換 x(n) 。w0w0jwnsin w0ne dw 0 n3. 線性時不變系統(tǒng)的頻率響應 ( 傳輸函數(shù) ) H(ejw) H(ejw)解：x(n)ej (w),如果單位脈沖響應 h(n) 為實序列，試證明輸入 x(n) Acos(w0n ) 的穩(wěn)態(tài)響應為解：假設輸入信號 x(n) ejw0，系統(tǒng)單位脈沖相應為

11、h(n) ，系統(tǒng)輸出為jw 0ny(n) h(n)* x(n)h(m)ejw0 (n m)ejw0nmh(m)e jw0m H (ejw0)e上 式說明，當輸入信號為復指數(shù)序列時，輸出序列仍是復指數(shù)序列，且頻率相同，但 幅度和相位決定于網(wǎng)絡傳輸函數(shù)，利用該性質解此題。上式中 H(ejw) 是 w的偶函數(shù)，相位函數(shù)是 w的奇函數(shù)， 4. 設x(n) 10,n其它0,1將x(n)以 4為周期進行周期延拓， 形成周期序列 x(n)，畫出x(n) 和 x(n) 的波形，求出 x(n) 的離散傅里葉級數(shù) X (k )和傅里葉變換。解：畫出 x(n) 和x(n)的波形如 題 4解圖所示。3j24 knx(

12、n)e 4X (k) DFS x(n)j kn2e j2ke j 4k(e 4 e4 ) 2cos( k)?e4j4kX(k)以 4為周期，或者X(k) en0j kn21 e j k1e2j1 k j 1 k e 2 (e2j1 k j 1 k e 4 (e4j 12 ke2)j 14 ke4)1j1 k sin k e j14 k sin21 k sin 1 k 4X(k)以 4為周期5. 設如圖所示的序列x(n)的 FT用X(ejw)表示，不直接求出 X (e jw ) ，完成下列運算：1) X(ej0) ；2) X(ejw)dw ；(5) X(ejw ) dw解：7(1) X(ej0)

13、x(n) 6n32) X(ejw)dw x(0) ? 2 45)2X(ejw ) dw2 x(n) 2 n3286. 試求如下序列的傅里葉變換11(2) x2(n) 2 (n 1) (n) 2 (n 1)；(3) x3(n) a nu(n),0 a 1 解：2)3)X3(ejw)nanu(n)ejwnn jwnaen0jw ae7. 設 :(1) x(n) 是實偶函數(shù)，(2) x(n) 是實奇函數(shù)，分別分析推導以上兩種假設下， x(n) 的傅里葉變換性質。 解： 令 X(ejw ) x(n)e jwnn1)x(n) 是實、偶函數(shù)， X(ejw)x(n)e jwnn兩邊取共軛，得到 因此 X(e

14、jw) X* (e jw)上式說明 x(n) 是實序列， X (e jw )具有共軛對稱性質。由于 x(n) 是偶函數(shù)， x(n)sinwn 是奇函數(shù)，那么因此 X(ejw)x(n) cos wnn該式說明 X ( ejw )是實函數(shù)，且是 w的偶函數(shù)?？偨Y以上 x(n) 是實、偶函數(shù)時，對應的傅里葉變換 X(ejw )是實、偶函數(shù)。(2) x(n) 是實、奇函數(shù)。上面已推出，由于 x(n) 是實序列， X (ejw )具有共軛對稱性質，即由于 x(n) 是奇函數(shù)，上式中 x(n)cos wn 是奇函數(shù)，那么x(n)coswn 0n因此 X(ejw) j x(n)sin wnn這說明 X(e

15、) 是純虛數(shù)，且是 w 的奇函數(shù)。cosw列為10. 若序列 h(n) 是實因果序列，其傅里葉變換的實部如下式 : HR(ejw) 1求序列 h(n)及其傅里葉變換 H(ejw) 。解：12. 設 系 統(tǒng) 的 單 位 取 樣 響 應 h(n) anu(n),0 a 1 ， 輸 入 序x(n) (n) 2 (n 2) ，完成下面各題：( 1)求出系統(tǒng)輸出序列 y(n) ；( 2)分別求出 x(n) 、 h(n)和 y(n)的傅里葉變換。解：(1)(2) 13. 已知 xa(t) 2cos(2 f0t)，式中 f0 100Hz ，以采樣頻率 fs 400Hz 對xa(t)進行采樣，得到采樣信號 x

16、a(t)和時域離散信號 x(n) ，試完成下面各題：1)寫出 xa(t)的傅里葉變換表示式 Xa( j )；(2)寫出 xa(t) 和 x(n) 的表達式；(3) 分別求出 xa(t)的傅里葉變換和 x(n) 序列的傅里葉變換。 解：1) 上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在，引入奇異函數(shù) 函數(shù)，它的傅里葉變換 可以表示成：(2)x?a(t)xa (t) (t nT) 2cos( 0nT) (t nT)nn(3)式中 s 2 fs 800 rad / s式中 w0 0T 0.5 rad上式推導過程中， 指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在， 只有引入奇異函數(shù)函數(shù)， 才能寫出它的傅里葉變換表達式。14.

17、求以下序列的 Z 變換及收斂域：( 2) 2 nu( n 1)；(3)2 nu( n)；(6)2 nu(n) u(n 10)解：2)ZT2 nu(n)nn2 nu(n)znnn01 2 1z 1, z6) 16. 已知 :求出對應 X ( z)的各種可能的序列的表達式 解： 有兩個極點，因為收斂域總是以極點為界，因此收斂域有以下三種情況：三種收斂域對應三種不同的原序列。1)當收斂域0.5時，令F(z) X(z)zn 1 (1 0.55z 17)(z1 2z 1)z5z 7 n z (z 0.5)(z 2)n 0 ，因為 c 內(nèi)無極點， x(n)=0 ；n 1，C 內(nèi)有極點 0，但 z=0 是n

18、 階極點，改為求圓外極點留數(shù)，圓外極點有 z1 0.5, z2 2 ，那么2)當收斂域 0.52時，n 0，C內(nèi)有極點 0.5 ；n 0，C內(nèi)有極點 0.5 ，0，但 0是一個 n階極點，改成求 c 外極點留數(shù)， c 外 極點只有一個，即 2，最后得到 x(n) 3 (1)nu(n) 2 2nu( n 1)(3) 當收斂域 2 z 時，n 0，C內(nèi)有極點 0.5 ，2； n<0，由收斂域判斷，這是一個因果序列，因此 x(n)=0 。或者這樣分析， C內(nèi)有極點 0.5 ，2，0，但 0是一個 n階極點，改成求 c 外極 點留數(shù)， c 外無極點，所以 x(n)=0 。最后得到17. 已知 x

19、(n) anu(n),0 a 1，分別求：1)x(n)的 Z變換；2)nx(n) 的 Z 變換；3)a nu( n) 的 z 變換。c 外沒有極點 , 因此 x(n)0, 最后得到解：1)X(z) ZTanu(n)u(n)z n 1 1az 1,z2)ZTnx(n)zddzX(z)az(111 2, z az )3)ZTa nu(n) a nzn00anzn 1 1az,z18. 已知 X(z)3z 12 5z 1 2z分別求：1)收斂域 0.5 z 2對應的原序列 x(n) ；2)收斂域 z2對應的原序列 x(n) 。解：1)當收斂域 0.52時， n 0， c內(nèi)有極點 0.5 ，x(n)

20、ResF(z),0.5 0.5n 2 n, n 0,c 內(nèi)有極點 0.5,0, 但 0 是一個 n 階極點 , 改求 c 外極點留數(shù) ,c 外極點只有 2,x(n)Re s F ( z), 2 2n,最后得到2(當收斂域2時，n 0,c 內(nèi)有極點 0.5,2,0,n 0,c 內(nèi)有極點 0.5,2,但極點 0是一個 n階極點,改成求 c外極點留數(shù) ,可是25. 已知網(wǎng)絡的輸入和單位脈沖響應分別為x(n) anu(n),h(n)bnu(n),0a 1,0 b1，試：1)用卷積法求網(wǎng)絡輸出 y(n) ；2)用 ZT法求網(wǎng)絡輸出 y(n) 。解：1)用卷積法求y(n)y(n)h(n)x(n)bmu(m

21、)anmu(n m) ，0,ny(n) am0mmbnnm0mmn 1 n 1 ab1 a * 1bn 1 n 1 ab aby(n) 0最后得到2)用 ZT 法求 y(n)zn 1(z a)(z b)令F(z) Y(z)zn az 1 1 bz 1n1zn 0,c 內(nèi)有極點 a,b因為系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，0, y(n) 0 ，最后得到28. 若序列 h(n) 是因果序列，其傅里葉變換的實部如下式： 求序列 h(n)及其傅里葉變換 H(ejw) 。解：求上式 IZT，得到序列 h(n) 的共軛對稱序列 he(n)。因為 h(n) 是因果序列， he(n) 必定是雙邊序列，收斂域?。篴z1a。n 1

22、時，c 內(nèi)有極點 a,n=0時， c 內(nèi)有極點 a,0 ，所以又因為所以3.2 教材第三章習題解答1. 計算以下諸序列的 N點 DFT,在變換區(qū)間 0 nN 1 內(nèi), 序列定義為2)x(n)(n)；4)x(n)Rm ( n),0 m N ；6)x(n)cos(2 nm),0 m N8)x(n)sin(w0n)?RN(n)；10)x(n)nRN (n) 。N；解：2)X(k)N1(n)WNknn0N1(n)1,k 0,1,Nn04)X(k)N1WNknn0WNkmkN11 WNj k(m1) sin(N mk)e N N ,ksin( m)N0,1, ,N 16)X(k)N 1 20cos 2N

23、 mn ?WNknN 1 21 j mnN n 0 2(e N n 0 22j mn e j N mnj2 kn )e j N kn8)解法直接計算所以解法 2因為由 DFT的共軛對稱性求解112jjw0N ej( w0 2 k)1 e 0 N1ejw0 N(1j(we 2 (N k) )j(w0(N k)1 e 0 N1 ejw0N2 2j 1 ej(w0 2N k)1 ejw0N1 j(ew 2 k) ) j(w0 2 k) e 0 N結果與解法 1 所得結果相同。此題驗證了共軛對稱性。( 10)解法 1 上式直接計算較難，可根據(jù)循環(huán)移位性質來求解 X(k) 。 因為 x(n) nRN (

24、n)所以 x(n) x(n 1)N ?RN (n) N (n) RN(n) 等式兩邊進行 DFT得到X(k)N (k) 11 WNkk 1,2,N 1當 k 0 時，可直接計算得出 X( 0) 這樣， X(k)可寫成如下形式：解法 2k 0 時，k 0 時，所以，即2. 已知下列 X(k)，求 x(n) IDFT X (k);Nje ,k m2N(1) X(k)e j ,k N m;0,其它kNjje ,k m2(2) X(k)N je j ,k N m20,其它k解：(1)(2)3. 長度為 N=10的兩個有限長序列 作圖表示 x1(n)、 x2(n)和 y(n) x1(n) x2(n)。

25、解：x1(n)、 x2(n)和 y(n) x1(n) x2( n)分別如題 3解圖( a)、(b)、(c)所示。 14. 兩個有限長序列 x(n) 和 y(n) 的零值區(qū)間為 :對每個序列作 20點 DFT,即 如果試問在哪些點上 f (n) x(n)* y(n) ，為什么？ 解：如前所示，記 f(n) x(n)* y(n)，而 f(n) IDFT F (k) x(n) y(n)。 fl(n) 長度為 27， f ( n)長度為 20。已推出二者的關系為 只有在如上周期延拓序列中無混疊的點上，才滿足 f (n) fl (n)所以 15. 用微處理機對實數(shù)序列作譜分析 , 要求譜分辨率 F 50

26、Hz ，信號最高頻率為 1kHZ，試確定以下各參數(shù)：( 1)最小記錄時間 Tpmin ；(2)最大取樣間隔 Tmax ；(3)最少采樣點數(shù) Nmin ；( 4)在頻帶寬度不變的情況下，將頻率分辨率提高一倍的N值解：1)已知F 50HZ2)Tmax1 1 13 0.5msf 2f 2 103 min max3)NminTp0.02s 403T 0.5 10 3( 4)頻帶寬度不變就意味著采樣間隔T 不變，應該使記錄時間擴大一倍為0.04s 實現(xiàn)頻率分辨率提高一倍( F變?yōu)樵瓉淼?1/2 )18. 我們希望利用 h(n)長度為 N=50的 FIR 濾波器對一段很長的數(shù)據(jù)序列進行 濾波處理，要求采用

27、重疊保留法通過 DFT來實現(xiàn)。所謂重疊保留法，就是對輸 入序列進行分段(本題設每段長度為 M=100個采樣點)，但相鄰兩段必須重疊 V個點，然后計算各段與 h(n)的 L 點(本題取 L=128)循環(huán)卷積，得到輸出序 列 ym(n) ，m表示第 m段計算輸出。最后，從 ym(n) 中取出個，使每段取出的 個采樣點連接得到濾波輸出 y(n) 。( 1)求 V；( 2)求 B；(3)確定取出的 B個采樣應為 ym(n) 中的哪些采樣點。解：為了便于敘述，規(guī)定循環(huán)卷積的輸出序列ym(n) 的序列標號為 0，1， 2，,127先以h(n)與各段輸入的線性卷積 ylm(n)考慮， ylm ( n)中，第

28、 0點到 48點(共 49個點)不正確，不能作為濾波輸出，第 49 點到第 99點(共 51個點)為正 確的濾波輸出序列 y( n)的一段，即 B=51。所以，為了去除前面 49 個不正確點， 取出 51 個正確的點連續(xù)得到不間斷又無多余點的 y(n) ，必須重疊 100-51=49 個點，即 V=49。下面說明，對 128點的循環(huán)卷積 ym(n) ，上述結果也是正確的。我們知道 因為 ylm (n) 長度為N+M-1=50+100-1=149所以從 n=20 到 127區(qū)域， ym(n) ylm(n)，當然，第 49 點到第 99 點二者亦相 等，所以，所取出的第 51 點為從第 49 到

29、99 點的 ym(n) 。 綜上所述，總結所得結論V=49,B=51選取 ym(n)中第 4999 點作為濾波輸出。5.2 教材第五章習題解答1. 設系統(tǒng)用下面的差分方程描述：311y(n) y(n 1) y(n 2) x(n) x(n 1) ，483試畫出系統(tǒng)的直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型結構。解： 將上式進行 Z 變換(1) 按照系統(tǒng)函數(shù) H ( z) ，根據(jù) Masson公式，畫出直接型結構如 題 1解圖(一) 所示。(2) 將 H (z)的分母進行因式分解按照上式可以有兩種級聯(lián)型結構：1 1z 1 1(a) H(z) 31 ? 111 1 1 1(1 2z ) (1 4z )畫出級聯(lián)型結構如

30、 題 1 解圖(二)(a)所示1 1 1z 113(b) H(z) (1 12z1) (1 14z1) 畫出級聯(lián)型結構如 題 1 解圖(二)(b)所示(3)將 H (z)進行部分分式展開 根據(jù)上式畫出并聯(lián)型結構如 題 1 解圖(三) 所示。2. 設數(shù)字濾波器的差分方程為y(n) (a b)y(n 1) aby(n 2) x(n 2) (a b)x(n 1) 試畫出該濾波器的直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型結構。 解： 將差分方程進行 Z 變換，得到( 1)按照 Massion 公式直接畫出直接型結構如 題 2 解圖( (2)將 H (z) 的分子和分母進行因式分解： 按照上式可以有兩種級聯(lián)型結構：(a)

31、 畫出級聯(lián)型結構如 題 2 解圖(二)(b) 畫出級聯(lián)型結構如 題 2 解圖(二)3. 設系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為abx( n) ，) 所示。H1(z)1za1 az 1a)所示H1(z)z 1 a1 bz 1b)所示。1 1 2H(z) 4(1 z 21132 z z48)(1 1.414 z 1 z 2) ，H(z) (1 0.5z 1)(1 0.9z 1 0.18z 2)試畫出各種可能的級聯(lián)型結構。解：由于系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母各有兩個因式，可以有兩種級聯(lián)型結構。1)H1(z)4 1 z1 ，1 0.5z 1 ，畫出級聯(lián)型結構如 題 3 解圖( a)所示。2)H1(z)121 1.414 z 1

32、z 21 0.5z 1畫出級聯(lián)型結構如 題 3 解圖( b)所示。4.圖中畫出了四個系統(tǒng)， 試用各子系統(tǒng)的單位脈沖響應分別表示各總系統(tǒng)的單位脈沖響應，并求其總系統(tǒng)函數(shù)。 圖 d解：(d)h(n) h1(n) h2(n) h3(n) h4(n) h5(n)5. 寫出圖中流圖的系統(tǒng)函數(shù)及差分方程。 圖 d解：(d)H(z) 1 r cosr sin ?z 111?z r cos ?zr2 sin2 ?z 2r 2 cos2 ?z 26. 寫出圖中流圖的系統(tǒng)函數(shù)。圖f解：(f)H(z)2 1z 1?2411321 z z482 1z 1(n 4) ，試用頻率采8已知 FIR 濾波器的單位脈沖響應為

33、h(n) (n) (n 1)樣結構實現(xiàn)該濾波器。設采樣點數(shù) N=5，要求畫出頻率采樣網(wǎng)絡結構，寫出濾 波器參數(shù)的計算公式。解：已知頻率采樣結構的公式為式中， N=5 它的頻率采樣結構如 題 8 解圖所示。6.2 教材第六章習題解答1. 設計一個巴特沃斯低通濾波器，要求通帶截止頻率fp 6kHz ，通帶最大衰減 ap 3dB ，阻帶截止頻率 fs 12kHz ，阻帶最小衰減 as 3dB 。求出濾波器歸一 化傳輸函數(shù) Ha(p)以及實際的 Ha(s) 。解：( 1)求階數(shù) N。將 ksp 和 sp值代入 N的計算公式得所以取 N=5(實際應用中，根據(jù)具體要求，也可能取 N=4，指標稍微差一點，

34、但階數(shù)低一階，使系統(tǒng)實現(xiàn)電路得到簡化。 )(2)求歸一化系統(tǒng)函數(shù) Ha(p)，由階數(shù) N=5直接查表得到 5 階巴特沃斯歸一化 低通濾波器系統(tǒng)函數(shù) Ha(p) 為或Ha(p) (p2 0.618 p 1)(p2 1.618 p 1)(p 1)當然，也可以按( 6.12 )式計算出極點 :按( 6.11 )式寫出 Ha(p)表達式代入 pk 值并進行分母展開得到與查表相同的結果。(3) 去歸一化(即 LP-LP 頻率變換)，由歸一化系統(tǒng)函數(shù) H a( p)得到實際濾波器系統(tǒng)函數(shù) Ha(s) 。由于本題中 ap 3dB，即 c p 2 6 103 rad / s ，因此對分母因式形式，則有如上結果

35、中， c 的值未代入相乘，這樣使讀者能清楚地看到去歸一化后， 3dB 截止頻率對歸一化系統(tǒng)函數(shù)的改變作用。2. 設計一個切比雪夫低通濾波器，要求通帶截止頻率f p 3kHz，通帶最在衰減速 ap 0.2dB ，阻帶截止頻率 fs 12kHz ，阻帶最小衰減 as 50 dB 。求出歸一化 傳輸函數(shù) Ha(p) 和實際的 Ha(s) 。解：(1) 確定濾波器技術指標：ap 0.2dB ， p 2 fp 6 103 rad /s( 2)求階數(shù) N和 ：為了滿足指標要求，取 N=4。(2)求歸一化系統(tǒng)函數(shù) Ha (p)其中，極點 pk(3)將 Ha(p) 去歸一化，求得實際濾波器系統(tǒng)函數(shù) Ha(s)

36、其中skppk6103 pk , k1,2,3,4 ，因為p4p1,p3p2，所以 s4s 1,s3s 2。將兩對共軛極點對應的因子相乘， 得到分母為二階因子的形式， 其系數(shù)全為實 數(shù)。4. 已知模擬濾波器的傳輸函數(shù) Ha (s)為：(1) H a(s)sa22 (s a) b(2) Ha(s)b2 2 。式中， a,b 為常數(shù)，設 H a (s)因果穩(wěn)定，試采用脈沖響應(s a) b不變法，分別將其轉換成數(shù)字濾波器 H(z) 。解：該題所給 Ha(s) 正是模擬濾波器二階基本節(jié)的兩種典型形式。所以，求解該題 具有代表性，解該題的過程，就是導出這兩種典型形式的Ha (s)的脈沖響應不變法轉換公式，設采樣周期為 T。1) Ha (s)sa(s a)2 b2Ha(s)的極點為： s1 a jb ， s2 a jb將 H a ( s) 部分分式展開(用待定系數(shù)法) ： 比較分子各項系數(shù)可知：A、 B應滿足方程：解之得所以按照題目要求，上面的 H(z) 表達式就可作為該題的答案。 但在工程實際中， 一般用無復數(shù)乘法器的二階基本結構實現(xiàn)。由于兩個極點共軛對稱，所以將 H ( z) 的兩項通分并化簡整理，可得 用脈沖響應不變法轉換成數(shù)字濾波器時， 直接套用上面的公式即可， 且對應結