2020年陜西省咸陽市高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(有解析)

1、2020年陜西省咸陽市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）一、單項選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1. 已知集合 M =%G7V|-5 <x<4. N =一2,0, 2, 4, 6,則 M C N =()A. 0,2, 4B. -2,0, 2 C. 2D. 0,22. 若復(fù)數(shù)z = g,貝lz =()A. 1B. 1C. iDi3. 如圖是2017年1-11月汽汕、柴油價格疋勢圖(單位：元/噸)，拯此下列說法錯誤的是()A從1月到11月，三種汕里而柴汕的價格波動最大B. 從7月份開始，汽油、柴油的價格都在上漲，而且柴油價格漲速最快C. 92#汽汕與95#汽油價格成正相關(guān)D. 2月份以后

2、，汽油、柴汕的價格同時上漲或冋時下跌4. 在正項等比數(shù)列aj中，已知勺，%成等差數(shù)列，則黒 =（）A. 1B.2C.4D. 85. 他界數(shù)學(xué)史簡編的封而有一圖案（如圖），該圖案的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，圓內(nèi)有一內(nèi)接正三角形，在此圖案內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取 自陰影部分的概率為（）A.7T3V34疋B.n3V3IC.7T3詣4D.n3V3286. 設(shè)a, “是兩個不同的平面，加是一條直線，給出下列命題：若m丄a, mu伏貝Ija丄氏 若 m/a9 a丄/?,則m丄/?則()A.都是假命題B.是真命題，是假命題C.是假命題，是真命題D.都是真命題7. 已知雙曲線石書=l(a >0,b >0)

3、的一個焦點為F(2,0),且雙曲線的漸近線與圓(% - 2)2 +y2 = 3相切，則雙曲線的方程為()9.)A"】B.H圓O中，弦P0滿足|PQ| = 2,貝IJPQA.2B. 1D.410. 已知四棱錐P -力BCD的底而是正方形，PA丄底而AC. PA = 2AD = 2,則它外接球表而枳為()A. >J6nB. 6nC. -nD. n2311. 已知函數(shù)f(x) = cos(x + f)sin x,貝l()A. 函數(shù)/'(x)的最小正周期T = 2nB. 函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(右-乎)對稱c.函數(shù)mo在區(qū)間(o,彳)上為減函數(shù)D.函數(shù)/'(x)的圖像

4、關(guān)于直線 =有對稱12. 函/(x) = ax2+bx + Inx在點(1,/(1)處的切線方程為y = 4x-2,貝肪一a =()A. -1B. 0C. 1D. 2二、填空題(本大題共3小題，共15.0分)13. 已知向雖方=(一1,3), b = (x, 2)»若向Ma +K與匸垂直，貝収=.14. (2% + 1)(% - 2尸的展開式中含以項的系數(shù)為.915. 在4EC中，a, b, c分別是"，乙B,乙C的對邊，若siriA =3sinO, c = 岳 msC =匚，貝肪=J三' 多空題(本大題共1小題，共5.0分)16. 某電動車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)電動

5、車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛.本年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本.若每輛車投入成 本增加的比例為x(0<x< 1),則出廠價相應(yīng)提高的比例為0.75x,且當(dāng)x不超過0.5時，預(yù)計年 銷售量增加的比例為0.6x,而當(dāng)x超過0.5時，預(yù)訃年銷售量不變.已知年利潤=(出廠價-投入成 本)X年銷售量.則本年度預(yù)汁的年利潤y與投入成本增加的比例X的關(guān)系式為:為使本年度利潤比上年有所增加，投入成本增加的比例x的取值范鬧為四、解答題(本大題共7小題，共82.0分)17. S”表示等差數(shù)列aj的前"項的和，且S4 = S9,

6、= -12(1) 求數(shù)列的通項On及Sn;(2) 求和 7； = |a1| + |a2| + -+|an|18. 眼保健操是一種眼睹的保健體操，主要是通過按摩眼部穴位，調(diào)整眼及頭部的血液循環(huán)，調(diào)節(jié)肌肉，改善眼的疲勞，達(dá)到預(yù)防近視等眼部疾病的目的.某學(xué)校為了調(diào)查推廣眼保健操對改善學(xué)生視力的效果，在應(yīng)屆髙三的全體800名學(xué)生中隨機(jī)抽取了 100名學(xué)生進(jìn)行視力檢査，并得 到如圖的頻率分布直方圖.(1) 若直方圖中后三組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計全年級視力在5.0以上的人數(shù)：(2) 為了研究學(xué)生的視力與眼保健操是否有關(guān)系，對年級不做眼保健操和堅持做眼保健操的學(xué)生 進(jìn)行了調(diào)査，得到表中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)

7、，能否在犯錯的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為視 力與眼保健操有關(guān)系？是否做操是否近視不做操做操近視4432不近視618(3) 在(2)中凋查的100需學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取8人，進(jìn)一步調(diào)查他們良 好的護(hù)眼習(xí)慣，在這8人中任取2人，記堅持做眼保健操的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù) 學(xué)期望.K2k0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19. 如圖所示，在菱形ABCD中，對角線AC, BD交于E點,F, G分別為AD, BC的中點，AB = 2f乙D43 = 60。

8、，沿對角線BD將力BD折起，使得M =屈(1) 求證：平而丄平而BCD；(2) 求二而角F - DG - C的余弦值.20. 如圖所示，已知橢圓：C G (0,7T)的離心率為;，右準(zhǔn)線方程是直線f:.r = 4，點P為直線/上 的一個動點，過點P作橢圓的兩條切線P彳、PB,切點分別為M、(點力在x軸上方，點 在X軸下方).v(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(2)求證：分別以PM、PB為直徑的兩圓都恒過定點C：若AC = -CB.求直線PC的方程.21 設(shè)函數(shù)/(%) =(/)求函數(shù)產(chǎn)«的單調(diào)區(qū)間：(“)若當(dāng)x>2時，f(x) > af (x)恒成立,求實數(shù)“的取值范圍.22.

9、以原點0為極點小軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點M的極坐標(biāo)為(2“)，曲線C的極坐標(biāo)方 程為p = 2sin0, 6 G 0,2tt).(1) 求曲線C的直角坐標(biāo)方程：(2) 過極點0和點M的直線與曲線C相交所得弦長為齒，求/?的值及此時直線0M將曲線C分 成的兩段弧長之比23. 已知函f(x)=x2+ 2x-l(1) 求不等式f(x) >字的解集；(2) /(%)的最小值為 N,且a + b + c = N,(ab c 6 R)求證:yja2 + b2 + y/b2 + c2 + >Jc2 + a2 >x/2-【答案與解析】1.答案：D解析：本題考查了描述法、列舉法的左義，交

10、集的泄義及運算，考査了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.可以求出集合M,然后進(jìn)行交集的運算即可.解：M = O,1, 2, 3, N = -2,0, 2, 4, 6,.MCN = 0,2.故選：D.2答案：C解析：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)的計算題.利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由共軌復(fù)數(shù)的概念得答案.解析：解："z = = (=-i,z = i.故選：C.3.答案：D解析：本題考查折線圖等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考査數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.由2017年月汽油、柴油價格走勢圖,得4月份到5月份，92#汽油與95#汽油價格上漲，此時 柴油的價格

11、下跌可得D錯誤，結(jié)合走勢圖可知A、B、C正確，故可得結(jié)果.解：由2017年1-11月汽油、柴汕價格走勢圖，得：在A中，從1月到11月，三種油里面柴油的價格波動最大，故A正確：在B中，從7月份開始，汽汕、柴油的價格都在上漲，而且柴油價格漲速最快，故B正確：在C中，92#汽油與95#汽汕價格成正相關(guān)，故C正確；在D中，4月份到5月份,92#汽油與95#汽油價格上漲,此時柴油的價格下跌,故D錯誤.故選D4答案：A解析：本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的通項公式，根據(jù)題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的 通項公式可求得護(hù)的值，進(jìn)而即可求得結(jié)果.W：等比數(shù)列5中，吋Y成等差數(shù)列， 2a3 =+ a5

12、>即 = a】+ aLq4 因此 2q2= 1 + q4,解得q2 = l,所以需二需瓷F=1.故選A 5答案：A解析：本題考查了幾何槪型的概率計算問題，是基礎(chǔ)題.根據(jù)題總計算陰影部分的而積與正方形的面積比即可.解：設(shè)正方形的邊長為2心則正方形內(nèi)切圓的半徑為心圓內(nèi)接正三角形的邊長為辰, S陰彫=S例一 S疋三角形="2 一（辰）2S沅60。= ttQ 一學(xué)q2,c所求的概率為卩=旦=%方形故選：A.6答案：B解析：解：由面而垂直的判左，可知若m丄a, mcz/?,為真命題：如圖m/a, a丄”與/?不垂直，故是假命題. 故選：B.由而面垂直的判左為真命題；若m/a, a丄/?,

13、加與/?不垂直，考査直線與平面、而與面的位置關(guān)系，解決此題問題，可以把圖形放入長方體中分析，體現(xiàn)了數(shù)形 結(jié)合的思想，屬于中檔題.7. 答案：D解析：解：雙曲線的漸近線方程為bx±ay = O,雙曲線的漸近線與圓(x - 2尸+y2 = 3相切，= V3,b = V3a»焦點為 F(2,0),a2 + b2 = 4,a = 1, b = /3»雙曲線的方程為F 一斗=故選：D.由題意可得雙曲線的漸近線方程，根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑得;:=逅,求出""的關(guān)系.vo+as結(jié)合焦點為F(2,0),求出"，b的值，即可得到雙曲線的方程.本題

14、考查點到直線的距離公式，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，求岀"，的值， 是解題的關(guān)鍵.8. 答案：D解析：本題考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以排除A,又因為/(l) = e-i eVO.即可得到答案.解：因為函數(shù)/Xx)為奇函數(shù)，所以排除A，又因>j/(l) = e-1-e<0.故選D9. 答案：A解析：解：如圖，設(shè)厶QPO = X 作0M丄PQ、貝IJPM = PQ = 1.a PQ F3 = VQ POcosO = 2 X PM = 2.故選：A.如圖，設(shè)厶QPO = X作OM丄PQ,利用垂徑住理可得PM =|P（? = 1

15、.再利用數(shù)量積和投影的意義即 可得出.本題考查了垂徑左理、數(shù)量積和投影的意義，屬于中檔題.10答案：B解析：解：把四棱錐P - ABCD補(bǔ)成一個長方體，可知：此長方體的對角線為四棱P-ABCD的外 接球的直徑2R.（2R）2 = 22+ 12 + I2 = 6t它外接球表而枳S = 4nR2 = 6n.故選：B.把四棱錐P-ABCD補(bǔ)成一個長方體，可知：此長方體的對角線為四棱LP-ABCD的外接球的直徑 2R.利用勾股泄理即可得出.本題考查了四棱錐的性質(zhì)、長方體的外接球、球的表面積，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔 題.M答案：D解析：本題主要考査三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性以及它

16、的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性以及它的圖象的對稱性,得出結(jié)論.解：函 數(shù)f(x) = cos(x + -)sinx = (7cosx sinx) sinx = -sin2x _ 寧丄 “山=亍(sfn2x + cos2%)-亍=f sin(2x +)-牛故它的最小正周期為y =故A不正確, 令咒=?求得f（有）=扌一手=¥，為函數(shù)張）的最大值，故函數(shù)張）的圖象關(guān)于直線"中對稱, 且fU)的圖象不關(guān)于點對稱，故B不正確，84在區(qū)間(0冷)上，2x + MG，9, /(x)=|sm(2x + )-y為增函數(shù)，故C不正

17、確，故選D.12答案:B解析：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，屬于基礎(chǔ)題.求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜 率和切點，解方程可得a = b = l,進(jìn)而得到結(jié)論.解：尸(x) = 2ax + b+?在點(1,/(1)處的切線斜率為k = 2a + b + 1,由切線方程為y = 4x-2,可得2a + b + 1 = 4,又/(I) = a + b = 2,解得a = b = 1,則 b-a = 0,故選B.13.答案；16解析：解：a + b = (x 1,5): a + 了與2垂直;(a + b) - a = (% 1) + 15 = 0：x = 16.故答案為：16.可求出H

18、+ K=(x-1,5)，根據(jù)(a + b)丄匸即可得出(a + b)-a = 0,進(jìn)行數(shù)疑積的坐標(biāo)運算即可求出X.考査向量垂直的充要條件，以及向量加法和數(shù)量積的坐標(biāo)運算.14答案：18解析：解：(2%+1)(%-2)3的展開式中含/項的系數(shù)二項式( - 2尸由通項公式可得= C我3"(_2) J當(dāng)(2x + 1)提供一個x時，可得r = 2,系數(shù)為2 X Cf X (-2)2 = 24. 當(dāng)(2x + 1)提供常數(shù)項時，可Wr = 1.系數(shù)為C扛一2)1 = -6 合并可得(2x + l)(x - 2尸的展開式中含以項的系數(shù)為：18.故答案為：18.利用通項公式即可求解.本題主要考查

19、二項式定理的應(yīng)用，注意分情況考慮，屬于基礎(chǔ)題.15答案：害 解析：解： sinA = 3sinBsin4 a=3sinB ba = 3b,2又v c2 = a2 + b2 labcosC c = V3» cosC =二,33 = 9b2 +護(hù)一 6b2勺3 b =纟2故答案為:孚 先通過正弦泄理及s九4 = 3如3求的a = 3b,代入余弦左理即可求出b的值.本題主要考查余弦左理的應(yīng)用它是解決三角形中邊、角問題常用方法，故應(yīng)重點掌握.16答案：y =-60%2 + 20% + 200,0 < % < 0.5-100% +200,0.5 < % < 11（

20、76;乜）解析：本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系、不等式的性質(zhì)和解法等內(nèi)容，考查運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能 力.根據(jù)若每輛車投入成本增加的比例為x(0 < x < 1),則出廠價相應(yīng)的提髙比例為0.75x,同時預(yù)計年銷售疑增加的比例為0.6x和年利潤=(出廠價-投入成本)X年銷售量.建立利潤模型，要注意左義 域.(2)要保證本年度的利潤比上年度有所增加，只需今年的利潤減去的利潤大于零即可，解不等式可求 得結(jié)果，要注意比例的范用.解：根據(jù)題意得,=一6°" + 20x + 200,0 < % < 0.5一 t-100x + 200,0.5 <x &l

21、t;1要保證本年度的利潤比上年度有所增加，當(dāng)且僅當(dāng)： -1)x 1000 > 0-60%2 + 20% > 0 0 < % < 1.故答案為：y =-60%2 + 20% + 200,0 < x < 0.5 七 -100%+ 200,0.5 <x < 1 八呵 17答案：解:(1) Sq = Sy ai = 12, 4 X (-12) + 6d = 9 X (-12) + 36d解得d = 2(3分) an = 12 + 2(n 1) = 2n 14, Sn = 12n + n(n 1) = n2 13n (7分)(2)當(dāng)n < 6時，an

22、 < 0, an =Tn = (5 + a2 HF an) = Sn = 13n n2 = 13n n2> (10分)當(dāng)n»7時，an >0,Tn = -(aL + a2 + + a6) + (a7 + + a J = Sn - 2Se = n2 - 13n + 84=Sn 2(ax + a2 + + a6)=n2 13n + 84 . (14分)解析：(1)由已知結(jié)合等差數(shù)列前“項和公式，構(gòu)造關(guān)于公差的方程，求出公差后，可得數(shù)列的通 項4及S”；(2)由(1)中數(shù)列的通項公式，可得數(shù)列前6項為負(fù)，故可分nS6和nN 7時兩種情況，結(jié)合等差數(shù)列 前"項和公

23、式求幾.本題考查的知識點是等差數(shù)列的通項公式和前"項公式，英中(2)由于耳的表達(dá)式中出現(xiàn)絕對值，故 要分析各項符號.18.答案：解：由直方圖可知，第一組m00 X 0.15 X 0.2 = 3(人)，第二組有100 X 0.35 X 0.2 = 7(A),第三組有100 X 1.35 X 0.2 = 27(A):因為后三組的頻數(shù)成等差數(shù)列，共有100 -(3 + 7 + 27) = 63(人)，所以后三組頻數(shù)依次為24, 21, 18：所以視力在5.0以上的頻率為0.18,估計全年級視力在5.0以上的人數(shù)約為800 X 0.18 = 144(人)：(2) 由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計算K2 =

24、 100X(44X18-32X6)= = 150 y > 仙' 750X50X76X2419所以能在犯錯的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為視力與眼保健操有關(guān)系：(3) 在(2)中調(diào)査的100名學(xué)生中，不近視的學(xué)生有24人，從中抽取8人，抽樣比例為冷=扌，這8人中不做眼保健操和堅持做眼保健操的分別有2人和6人, 所以堅持做眼保健操的學(xué)生人數(shù)X可能取值為0, 1, 2：計算玖x = 0)=晉二右P(X = 1) =誓=孑昭=2)=誓=尋所以X的分布列為;X012p128371528數(shù)學(xué)期望為 E(X) = 0X+lXy+2X= 1.5.解析：(1)由直方圖求出第一、二、三組的人數(shù)，再

25、求后三組頻數(shù)和頻率，由此估計總體數(shù)據(jù)：(2) 由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)計算K2,對照臨界值得出結(jié)論；(3) 利用分層抽樣法求出抽取的人數(shù)，得出隨機(jī)變量X的可能取值，計算對應(yīng)的概率值，寫出分布列，求得數(shù)學(xué)期望值.本題考查了頻率分布直方圖與獨立性檢驗應(yīng)用問題，也考查了離散型隨機(jī)變疑的分布列與數(shù)學(xué)期望 問題，是中檔題.19答案：(1)證明：在菱形ABCD中，AB = 2.乙043 = 60。，MED, CBD為等邊三角形，E是 BD 的中點,:.AE 丄 3D, AE = CE =屆. AC = AE2 + CE2 = AC2,AE 丄 EC, BD CEC = E, BD、EC u平而 BCD,:.AE丄平

26、而BCD,又 AE u平面ABD,平而丄平而BCD；(2)解：易知EC丄8D,由(1)可知建立以E為原點，EC所在直線為x軸，ED所在直線為y軸，EA 所在直線為Z軸的空間直角坐標(biāo)系E - xyz,則D(OJ, 0), 5(0,-1,0), C(V3,0, 0),F(0,扌，弓)，G俘，一扌,0),平面CDG的一個法向量為九=(0,0, 1),設(shè)平而FDG的法向Mn = (x,y, z),麗=(0, 扌,亭), 訂=(-多1，弓)，-y + z = 027 2V3 ., V3 /Tx+y+yz=0 令z = 1,得 = 3, y = /3t故平而FDG的一個法向量為芫=(3,V3,1)，丄t

27、.mnV13.COS55X 麗=百所求二面角為鈍二而角， 二而角F -DG- C的余弦值為一.13解析：本題考査面而垂直，考查平而與平而所成的角，考査向量知識的運用，考査學(xué)生分析解決問 題的能力，屬于中檔題.(1) 證明力E丄平而BCD,即可證明平而丄平而BCD；(2) 建立以E為原點，EC為x軸，ED為y軸，E4為z軸的空間直角坐標(biāo)系E-xyz,求岀平而CDG的一個法向量、平而FDG的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求二而角F - DG - C的余弦值.Ia 2(a = 2竺=4，解得：U = V3a2 = b2 + c2©1則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為召+于=1(2)設(shè)切點4(xo,7

28、o)«則可證切線AP：號+警=1所以點P(4,辻嚴(yán)以 AP 為直徑的圓：(% 一 x0)(x - 4) + (y - y0)(y -牛嚴(yán))=0由對稱性可知泄點在x軸上，令y = 0得* -(4 + Xq)x + 3 + % = 0, 所以過左點C(l,0)同理，以BP為直徑的圓過泄點C(l,0).設(shè)4(心1), B(x2,y2) C(l,0)因為C2所以住二：】又因為瞪十心I431 2 ' I 43所以址,竽)8(4,-等)所以直線C3 + 0-2 S “ + °的方程為y = 跡咒+込55解析：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及圓，向量的綜合問題.(1) 由題意得出

29、"，b，C的方程組，求解即可：(2) 設(shè)切點4(xo,y°),求岀圓的方程，即可求岀泄點：設(shè)4(X1，%), 8(>2, y2)，C(1,O),因為 C2 +c”_i <cL + c”，所以；打；®，求解出 A, B 坐標(biāo), 寫岀直線方程.21. 答案：解：(I)函數(shù)的定義域是(8,l)U(l,+8),ex(x-2)(f由 /x)> 0,解得：x>2.由 fx) < 0,解得：%<2jix¥=l, 故/Xx)在(2,4-00)遞增，在(-00,1), (1,2)遞減；(U)由題意得：x>2時，學(xué)器藝蘭恒成立，即x-2>a(x-l)恒成立，解得：。<迂，令能)=譽(yù)，(心2),貝>W) = >0,故g(x)在2,+oo)遞增，故g(x) > g(2) = 0,故"的范圍是(一8,0.解析：(I)先求函數(shù)的泄義域，再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性；(U)對于恒成立的問題，轉(zhuǎn)化為求關(guān) 于參數(shù)的最值問題.本題考查函數(shù)恒成立問題，著重考查等價轉(zhuǎn)化思想與構(gòu)造函數(shù)思想、考查基本不等式的應(yīng)用與運算 求解能力，屬于中檔題.22. 答案：解：曲線C的極坐標(biāo)方程為