不等式在數(shù)學問題中的應(yīng)用畢業(yè)論文

1、不等式在數(shù)學問題中的應(yīng)用 摘要 數(shù)學的常用不等式包括均值不等式、不等式、不等式等，它們在解決數(shù)學問題中有重要的應(yīng)用，如求極限、求最值、證明不等式等，本文總結(jié)了均值不等式、不等式、不等式及不等式等在數(shù)學中的應(yīng)用。 關(guān)鍵詞 不等式、數(shù)學、應(yīng)用1不等式在數(shù)學中的應(yīng)用不等式 設(shè)為任意實數(shù)，則，其中等號當且僅當與成比例時成立，上式稱為不等式1.1不等式在數(shù)學分析中的應(yīng)用1.1.1最值問題例1 如果那么當且僅當時，的最小值是證明：即 當且僅當即時的最小值是例2 設(shè)，求的最小值解：由不等式得當且僅當時，取等號。1.1.2證明不等式例3 設(shè)且，求證：證明：由不等式得故得證。例4 證明：證明：由不等式得 整理得

2、得證1.2 不等式在幾何中的應(yīng)用1.2.1利用不等式推導(dǎo)點到直線、點到平面距離公式點到直線距離公式：設(shè)施直角坐標系內(nèi)任意一點，直線的方程為，點為直線上的一點，表示到直線的距離。由不等式可得：？因為，若均不為，當且僅當時等式成立，所以,則，對于約束條件，則表示過點垂直于直線的直線。若任一為，則情形更簡單。1.2.2點到平面距離公式設(shè)為空間上任一點，平面，為平面上的一點，表示點到；平面的距離，由不等式可得： ？，因為 ，所以 ，當且僅當時，此條件表示過點垂直于平面的直線，故，若至多二者為，情形更簡單。1.3不等式在代數(shù)中的應(yīng)用例5 在實數(shù)集內(nèi)解方程解：由不等式得所以 又因為 從而由不等式中等號成立

3、的條件知，當且僅當時，不等式中等號成立，它與聯(lián)立得2 不等式在數(shù)學中的應(yīng)用不等式的積分形式稱為不等式，它可以通過積分定義，直接由不等式推得。不等式：若在上可積，則，若在上連續(xù)，其中等號當且僅當存在常數(shù)使得時成立。例6 已知在上連續(xù)，為任意實數(shù)，求證： 證明：式左端第一項應(yīng)用不等式 同理， 式即得式。例7 1）設(shè)在上連續(xù)，證明不等式；設(shè)是上的正值連續(xù)函數(shù)，求證證明： 根據(jù)不等式，得證由于是上的正值連續(xù)函數(shù)，根據(jù)不等式，3 均值不等式在數(shù)學中的應(yīng)用均值不等式：若則，是正數(shù)：和或積為定值：當且僅當時，取等號。在運用均值不等式解題時，必須滿足“一正、二定、三相等”的條件3.1均值不等式在數(shù)學分析中的應(yīng)

4、用3.1.1利用均值不等式解決極限問題例8 證明重要極限的存在性證明：先證數(shù)列單調(diào)遞增令，則由均值不等式得即，所以數(shù)列單調(diào)遞增再證數(shù)列有上界先證不等式：當時，設(shè)，由均值不等式所以 ，因此 其次由，有，因此 當時，任取一個正整數(shù)，均是數(shù)列的上界。又數(shù)列單調(diào)遞增，因此，當時，不等式仍然成立。因此，對于數(shù)列，恒有為正整數(shù)。任意選定一個值，均是數(shù)列的上界。因此，數(shù)列單調(diào)有界，由單調(diào)有界定理，數(shù)列極限存在。設(shè)極限值為，即例9 求極限解：利用均值不等式因為，有，故3.1.2利用均值不等式解決最值問題例10 求函數(shù)型的最小值解：將項平均分為項，項平均分為項，項平均分為項，其中不能同時相等，則要滿足均值不等式

5、的條件，應(yīng)將各項中的變量約掉，即當且僅當時，例11 若，求函數(shù)的最小值解 ，但滿足的值不存在，故須對各項重新均差由例11知，則取，則，因此當且僅當時例12 已知且，求的最大值。解：由均值不等式知， 即 下面將其推廣：且由均值不等式得 即 3.1.3利用均值不等式證明不等式例13 設(shè)正值函數(shù)在上連續(xù)，試證：證明 由條件知，在上可積，將等分，作積分和，所以由均值不等式，故得證4不等式在數(shù)學中的應(yīng)用不等式：設(shè)，為實數(shù)：，則當， 當 其中等號成立當且僅當與成比例。不等式的積分形式：設(shè)并使得所論的積分有意義，為共軛實數(shù)，則當時， 當時， 若連續(xù)，則其中等號成立當且僅當與成比例，即不全為零，使得。例14

6、試證明證： 令，于是原式左端5.不等式在數(shù)學中的應(yīng)用不等式：設(shè)在連續(xù)遞增，表示的反函數(shù)，則 其中等號成立當且僅當。例15 證明：當時不等式成立。證明 ：連續(xù)，因，應(yīng)用不等式=所以成立，得證例16 設(shè)試證：。證明： 因故連續(xù)（當時），應(yīng)用不等式有6不等式在數(shù)學中的應(yīng)用()不等式的基本形式：對于任意實數(shù)以及有當時， ， 當時， ， 其中等號成立當且僅當成比例即不全為零使得。式又稱為距離不等式，時，式表示中三角形任一邊小于另兩邊之和，因此式又稱三角不等式。() 不等式的積分形式：設(shè)在上有定義。使下面積分有意義，則當時， 當時， () 元不等式：對于任意實數(shù)及有當時， 當時，等號成立當且僅當與成比例。

7、() 元不等式積分形式：當時， 當時， 應(yīng)用舉例！7 對數(shù)不等式 當時，等號當且僅當時成立例17 試證 當時證明 令，則 在上單調(diào)遞減所以即所以得證例18 設(shè)那么的極限存在并且的極限大于0.這個極限稱為常數(shù)待添加的隱藏文字內(nèi)容3證明： 首先證明極限的存在性由對數(shù)不等式得 將式從到進行相加，得到從而，即有下界。又由對數(shù)不等式可得，于是單調(diào)減少有下界，從而極限存在。接下來證明的極限大于設(shè) 顯然由 及對數(shù)不等式可知，故是一個單調(diào)增加的正數(shù)列，并且有關(guān)系，因此的極限大于8. 貝努利不等式 設(shè)，實數(shù)都大于，并且他們都有著相同的符號，則成立，；特別地，當，且，成立，例20 設(shè)都是正實數(shù)，且，則成立；證明：

8、 由條件，得；根據(jù)貝努利不等式，得，由，得出從而，得，故式成立，得證例21 設(shè)，對任一正整數(shù)，成立；對任意，對任一正整數(shù)，成立證明： 不妨設(shè)，由得，取得，從而得；在式中取，即得到，得證9積分不等式在數(shù)學中的應(yīng)用積分不等式：設(shè)為非負常數(shù)，函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)非負，且滿足不等式，則 ，特別是，有，推出，因為非負，推出，例22 已知初值問題，有解，證明其解唯一證明：初值問題的等價積分方程是。設(shè)是初值問題的解，假若還有另一解為，則因有 其中為李氏數(shù)，由積分不等式得， 即，因此 ，.同理可證，.10不等式在數(shù)學中的應(yīng)用不等式：設(shè)為非負常數(shù)，函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)非負，且滿足不等式， ，則有， 例23 證明：（

9、解的唯一性定理） 設(shè)是矩形域上的連續(xù)函數(shù)，如果在上連續(xù)且關(guān)于滿足李氏條件，則方程 存在唯一的解，定義于區(qū)間上，連續(xù)且滿足初始條件這里。利用不等式來證明解得唯一性。假設(shè)方程除了解之外，還另有解，下面要證明：在上，有，事實上，因為，將這兩個恒等式作差，并利用李氏條件來估值，有令，由不等式可知，在上，因為，所以從而有，即參考文獻【1】裴禮文，數(shù)學分析中的典型問題與方法，高等教育出版社，2009年5月【1】梁薇，均值不等式求最值的轉(zhuǎn)化技巧，柳州師專學報，第15卷第1期2000年3月【2】李毅，一類用均值不等式求最大值問題的推廣，西安教育學院學報，第3期1999年9月10日【3】章國風，均值不等式在高等數(shù)學中的應(yīng)用，廣西教育學院學報，2008年第5期（總第97期）【4】黃衛(wèi)，柯西不等式證明及應(yīng)用，赤峰學院學報（自然科學版），第27卷第4期2011年4月【5】唐燕貞，淺談柯西不等式的應(yīng)用，寧德師專學報（自然科學版），第15卷第4期2003年11月【7】洪順剛，柯西不等式的證明及其應(yīng)用，皖西學院學報，第20卷第2期2004年4月【8】杜廣環(huán)，王佳秋，關(guān)于對數(shù)不等式的變換及其應(yīng)用，高師理科學刊，第32卷，第3期，2012年5月【9】邢家省，付傳