2020年蘇州市中考數(shù)學(xué)大題突破之實(shí)驗(yàn)探究題(含詳解)

1、2020年蘇州市中考數(shù)學(xué)大題突破之實(shí)驗(yàn)探究題1.已知C為線段AB中點(diǎn)，/ AC申a. Q為線段BC上一動點(diǎn)(不與點(diǎn) B重合)，點(diǎn)P 在射線 CM上，連接PA, PQ記BQ= kCP.(1) 若 a= 60 , k = 1, 如圖1,當(dāng)Q為BC中點(diǎn)時(shí)，求/ PAC的度數(shù)； 直接寫出PA、PQ的數(shù)量關(guān)系；(2) 如圖2,當(dāng)a= 45時(shí).探究是否存在常數(shù) k,使得中的結(jié)論仍成立？若存在，解：(1)如圖1，在CM上取點(diǎn)D,使得CD= CA連接ADB/ ACI= 60, ADC為等邊三角形./ DAC= 60.C為AB的中點(diǎn)，Q為BC的中點(diǎn),AC= BC= 2BQ/ BQ= CP,AC= BC= CD=

2、 2CP. AP平分/ DAC/ PAC=Z PAD= 30 ADC是等邊三角形,/ ACP= 60,/ PC= CQ/ PQC=/ CPQ= 30,/ PAC=Z PQC= 30, PA= PQ(2)存在k2，使得中的結(jié)論成立.證明：過點(diǎn)P作PC的垂線交AC于點(diǎn)D./ AC申 45,/ PDC=Z PCD= 45. PC= PD, / PDA=Z PCQ= 135. CD T2pc， BQ J2PC - CD= BQ/ AC= BC, AD= CQ PADA PQC( SAS. PA= PQ2如圖1,將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中C 90 ,B E 30 .(1 )操

3、作發(fā)現(xiàn)如圖2，固定VABC，使VDEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空： 線段DE與AC的位置關(guān)系是 ; 設(shè)VBDC的面積為3 , VAEC的面積為S2，則S與S2的數(shù)量關(guān)系是 (2)猜想論證當(dāng)VDEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想 1中S與S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了 VBDC和VAEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜 想.（3）拓展探究已知/ ABC=60 ,點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，BD CD 4 , DE/AB交BC于點(diǎn)E（如圖4） 若在射線BA上存在點(diǎn)F，使Sadcf Sx bde，請求出相應(yīng)的 BF的長.3【詳解】解：（1）操作發(fā)現(xiàn)：DE/ AC理

4、由如下: ACB DCE 90 , B DEC 30/ BAC=90 -Z B=60，/ EDC=90 -Z DEC=60點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)， CA=CD CAD為等邊三角形 Z DCA=60 Z EDCZ DCA DE/ AC故答案為：DE/ ACS = 3，理由如下DE/ AC根據(jù)平行線之間的距離處處相等-S XDAC= S2在 Rt ABC中，Z B=30 AB=2AC/ CAD為等邊三角形 AC=AD AB=2AD點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)S DA C=S1 Si = S2故答案為：S, = S2 .(2) 猜想論證：Si = S2仍然成立，證明如下/ AN DM分別是 ACE BCD邊上的

5、高/ ANCM DMC=9/ ACNFZ NCB=90，/ DCM-Z NCB=90/ ACNM DCM在厶 ACN 和 DCM中ANC DMCACN DCMCA CD ACNA DCMAN=DM/ EC=BC ACE和厶BCD等底等高- Si = S2(3) 拓展探究：延長 CD交AB于點(diǎn)H,過點(diǎn)E作EGL BD于G,/ ABC=60，點(diǎn) D是角平分線上一點(diǎn)，BD CD 4 ,1/ HBDM CBD= / ABC=302/ BD CD 4/ DCBM DBC=30/ BHC=180 -Z HBC-Z DCB=901 ,在 Rt BDH 中，HD=BD 2 , BH=.、BD2 HD 22.3

6、/ DE/AB Z EDBZ HBD=30/ EBD=/ EDB EB=ED BG=1 BD=22在 Rt BEG中，設(shè) GE=x BE=2GE=2xgE+ bG=bE根據(jù)勾股定理可得: 即 x 2 + 22= (2x)解得：x=2!3 GE=2 33(i )當(dāng)點(diǎn)F在線段BH上時(shí),Sa dcfSa bde , BD CD 4 FH=GE=2 33 BF=BH- FH3 ;3(ii )當(dāng)F在線段BH的延長線上時(shí)同理可得F h= GE=33B F =BH+ F H=-33綜上所述：BF=1 或 口333 .數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室:圖1圖2S3備目圖制作4張全等的直角三角形紙片(如圖1),把這4張紙片拼成以弦長

7、 c為邊長的正方形構(gòu)成“弦圖”(如圖 2)，古代數(shù)學(xué)家利用“弦圖”驗(yàn)證了勾股定理.探索研究:(1) 小明將“弦圖”中的 2個(gè)三角形進(jìn)行了運(yùn)動變換，得到圖 3,請利用圖3證明勾股定理；數(shù)學(xué)思考:(2) 小芳認(rèn)為用其它的方法改變“弦圖”中某些三角形的位置，也可以證明勾股定理請你想一種方法支持她的觀點(diǎn)(先在備用圖中補(bǔ)全圖形，再予以證明)【詳解】丙7 TlZ tAZ-t TTTTXn、f fa2 b22 -ab2a2 b2 ab,圖形的面積表小為：圖形的面積也可表示：e2 2 -ab e22ab,. 2 2 2- a b ab c ab,. 2 , 2 2- a be(2)解：如圖4所示,04大正方形

8、的面積表示為：a b 2,大正方形的面積也可以表示為:1ab c2ab,(a b)2 c2 2ab ,. 2 2 2- a b 2ab c 2ab,. 2 , 2 2- a b c ；4. (1)如圖1,將矩形ABCD折疊，使BC落在對角線BD上，折痕為BE,點(diǎn)C落在點(diǎn)C處，若/ ADB=54，則/ DBE的度數(shù)為 .(2) 小明手中有一張矩形紙片 ABCD AB=4, AD=9.(畫一畫)如圖2,點(diǎn)E在這張矩形 紙片的邊AD上，將紙片折疊，使 AB落在CE所在直線上，折痕設(shè)為 MN (點(diǎn)M, N分別 在邊AD, BC上),利用直尺和圓規(guī)畫出折痕 MN(不寫作法，保留作圖痕跡，并用黑色 水筆把

9、線段MN描清楚)；(3) (算一算)如圖3，點(diǎn)F在這張矩形紙片的邊 BC上，將紙片折疊，使 FB落在射線FD上，折痕為GF,點(diǎn)A, B分別落在點(diǎn)A , B處，若AG=7，求BD的長；3(4) (驗(yàn)一驗(yàn))如圖4，點(diǎn)K在這張矩形紙片的邊 AD上, DK=3,將紙片折疊，使 AB落 在CK所在直線上，折痕為 HI，點(diǎn)A, B分別落在點(diǎn)A , B處，小明認(rèn)為BI所在直線 恰好經(jīng)過點(diǎn)D,他的判斷是否正確，請說明理由.【詳解】解：(1 )四邊形ABCD是矩形， AD/ BC/ ADB=Z DBC= 54,(2)如圖2中，折痕MN為所求： 四邊形ABCD是矩形， AD/ BC,/ DG1 BFG由翻折不變性

10、可知，/ BFG=Z DFG/ DFG=Z DGF由翻折不變性可知，/ DB呂/ EBC= 故答案為27.dm dg=,3/ CD= AB= 4，/ C= 90,在 Rt CDF中，CF= DFDC2163 BF= BGCF= 9- 16=11,33由翻折不變性可知， FB= FB113r,2011 DB = DBFB=33(4)小明的判斷不正確.理由：如圖 4中，連接ID，在 Rt CDK中，T DK= 3, CD= 4,CK= . 32 425，/ AD/ BC / DKC=Z ICK,/ IB C= 90=Z D CDKo IB C,CD DKCK 測435，即IBBCICIBBCIC由

11、折疊可知，/ A B I =Z B= 90,設(shè) CB = 3k, IB = 4k, IC = 5k,由折疊可知，IB = IB = 4k, BC= BI + IC = 4k + 5k = 9,CBIB IC = 5, IB = 4, B C= 3,DCIC在 Rt ICB中，tan / B IC = 連接 ID，在 Rt ICD 中，tan / DIC= tan / B IC 豐 tan / DIC, / B IC 仁 DIC, Bl所在的直線不經(jīng)過點(diǎn)D.5 綜合與實(shí)踐背景閱讀 早在三千多年前，我國周朝數(shù)學(xué)家商高就提出：將一根直尺折成一個(gè)直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、

12、股四、弦五”.它被記載于我國古代著名數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)中，為了方便，在本題中，我們把三邊的比為3: 4: 5的三角形稱為(3,4, 5)型三角形，例如：三邊長分別為9, 12, 15或3.2，4,2，5,2的三角形就是(3, 4, 5)型三角形，用矩形紙片按下面的操作方法可以折出這種類型的三角形.實(shí)踐操作 如圖1，在矩形紙片 ABCD中，AD=8cm AB=12cm第一步：如圖2,將圖1中的矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)D落在AB上的 點(diǎn)E處，折痕為AF,再沿EF折疊，然后把紙片展平.第二步：如圖3，將圖2中的矩形紙片再次折疊，使點(diǎn) D與點(diǎn)F重合，折痕為GH然后 展平，隱去AF.第三步

13、：如圖4，將圖3中的矩形紙片沿 AH折疊，得到 AD H,再沿 AD折疊，折痕 為AM AM與折痕EF交于點(diǎn)N,然后展平.和亂郅圖斗問題解決(1) 請?jiān)趫D2中證明四邊形 AEFD是正方形.(2) 請?jiān)趫D4中判斷NF與ND的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3) 請?jiān)趫D4中證明 AEN( 3, 4, 5)型三角形；探索發(fā)現(xiàn)(4) 在不添加字母的情況下，圖 4中還有哪些三角形是(3, 4, 5)型三角形？請找出 并直接寫出它們的名稱.試題解析：解：(1)v四邊形 ABCD是矩形，/ D=Z DAE=90 .由折疊知：AE=AD/ AEF=/ D=90，/ D=Z DAEM AEF=90，四邊形AEFD是矩形

14、.丁 AE=AD矩形AEFD是正方形.(2) NF=ND .證明如下:連結(jié) HN 由折疊知：/ AD H=Z D=90 , HF=HD=HD.D F C四邊形 AEFD是正方形，/ EFD=90 ./ AD H=90，/ HD N=90 .在 Rt HNF和 Rt HND 中，/ HN=HN HF=HD, Rt HNFRt HND, NF=ND.（3） ：四邊形 AEFD是正方形， AE=EF=AD=8cm由折疊知：AD =AD=8cm EN=EF-NF= （8-x ）cm.在 Rt AEN 中，由勾股定理得： AN2 AE2 EN 2，即（8 x）2 82 （8 x）2，解 得：x=2,.

15、AN=8+x=10（cm） , EN=6（cm） , AN=6 8: 10=3: 4: 5AEN是（3, 4, 5）型三角形.（4） 圖4中還有 MFN MDMDA是（3, 4, 5）型三角形.CF/ AEMFNAAEN/ EN AE AN=3: 4 : 5, FIN MF: CN=3 4 : 5,.A 皿卩“是（3, 4, 5）型三角形； 同理， MD H,A MDA是（3, 4, 5）型三角形.6 .如果兩個(gè)角之差的絕對值等于60,則稱這兩個(gè)角互為互優(yōu)角”，（本題中所有角都是指大于0且小于180的角）.（1）若/I和/2互為“互優(yōu)角”，當(dāng)/ 1=90時(shí)，則/ 2=; 如圖1,將一長方形紙片

16、沿著 EP對折（點(diǎn)P在線段BC上，點(diǎn)E在線段AB上）使點(diǎn)B 落在點(diǎn)若與互為“互優(yōu)角”，求/ BPE的度數(shù)； 再將紙片沿著PF對折（點(diǎn)F在線段CD或 AD上）使點(diǎn)C落在C: 如圖2,若點(diǎn)E、C、P在同一直線上，且 B PC與 EPF互為“互優(yōu)角”，求/ EPF 的度數(shù)（對折時(shí)，線段落在/ EPF內(nèi)部）; 若/ B PC與/ EPF互為“互優(yōu)角”，則/BPE求/ CPF應(yīng)滿足什么樣的數(shù)量關(guān)系 （直 接寫出結(jié)果即可）.DC解：（1 ）v/l和/2互為“互優(yōu)角I Z1 - / 2|=60/ 1 = 90 90 - / 2=60 或 90 - / 2=-60解得：/ 2=30 或 150故答案為：30或150.(2) vZ EPB與/BPC 互為“互優(yōu)角”當(dāng)/ EPBZ BPC 時(shí)，Z BPC- Z EPB=60,可得Z EPB=80故Z EPB的值為40或80;(3) 由題意得：點(diǎn) E、C、P在同一直線上，Z BPC與Z EPF互為“互優(yōu)角 Z BPCZ EPF Z EPF - Z BPC=60 =Z BPF Z B