【提高版】初一寒假第11講平方根、立方根(含答案)

1、平方根與立方根輔導(dǎo)教案學(xué)生姓名年級(jí)初_學(xué)科數(shù)學(xué)上課時(shí)間教師姓名課題平方根與立方根教學(xué)目標(biāo)1. 了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的 平方根、立方根.2. 理解開方與乘方互為逆運(yùn)算，會(huì)用平方運(yùn)算求非負(fù)數(shù)的平方 根，會(huì)用立方運(yùn)算求數(shù)的立方根，會(huì)用計(jì)算器求平方根和立方根.教學(xué)過程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)(©復(fù)習(xí)檢查1. 如圖,己知 AB、CD 相交于 0, 0E丄CD 于 0, ZA0C=30° ,則ZB0E=( )10A. 30°B 60°C. 120°D. 130°)2.如圖,直線1,丄1“ Zl=44° ,那么Z2

2、的度數(shù)(A. 46°B. 44° C. 36r° D. 22°問題定位1. 已知X與y互為相反數(shù)，m與n互為倒數(shù)，lx+y 1+ (a-1) 2 = 0,求 a2-(x+y+mn)a+(x+y)2<xw+(-mn)2010 的值.2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，44o原因分析1此題考查了有理數(shù)中相反數(shù)、倒數(shù)與絕對(duì)值，解答題目的關(guān)鍵在丁學(xué)生需要清楚 這三個(gè)定義，知道互為相反數(shù)和為0,互為倒數(shù)積為1,絕對(duì)值的計(jì)算取值等。2. 本題考查了有理數(shù)的乘方：“一看底數(shù)，二看指數(shù)”，當(dāng)?shù)讛?shù)是正數(shù)時(shí)，結(jié)果為 正；當(dāng)?shù)讛?shù)是0,指數(shù)不為0時(shí)，結(jié)果是0；當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，再看指數(shù)，若指數(shù)

3、 為偶數(shù)，結(jié)果為正；若指數(shù)是奇數(shù)，結(jié)果為負(fù)。精準(zhǔn)突破知識(shí)點(diǎn)一、平方根要點(diǎn)一、平方根和算術(shù)平方根的概念1算術(shù)平方根的定義如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于"，即疋=°,那么這個(gè)正數(shù)x叫做“的算術(shù)平方根（規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0）: d的算術(shù)平方根記作需，讀作“a的算術(shù)平方根", “叫做被開方數(shù).【注意】當(dāng)式子麗有意義時(shí)，。一定表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，即需NO, «>0.2平方根的定義如果疋=0,那么X叫做"的平方根求一個(gè)數(shù)"的平方根的運(yùn)算，叫做開平方.平方與開半方互為逆運(yùn)算.“（"N0）的平方根的符號(hào)表達(dá)為土77（6/>0），其中心

4、 是"的算術(shù)平方根.要點(diǎn)二.平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1. 區(qū)別：（1）定義不同：（2）結(jié)果不同：±奶和需2. 聯(lián)系：（1）平方根包含算術(shù)平方根：（2）彼開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)：（3）0的平方根和算術(shù)平方根均為0.【注意】（1）正數(shù)的半方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，其中正的那個(gè)叫它的算術(shù)半方根; 負(fù)數(shù)沒有平方根.（2）正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫出它的另一 個(gè)平方根因此，我們可以利用算術(shù)平方根來研究平方根.要點(diǎn)三.平方根的性質(zhì)a a>0cr =1 a 1= v 0 a = 0-a a <0要點(diǎn)四.平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向

5、右或者向左移動(dòng)2位，它的算術(shù)半方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地 向右或者向左移動(dòng)1位例如：62500 = 250 , >/625 = 25, 725=2.5, 70625 =0.25.知識(shí)點(diǎn)二、立方根要點(diǎn)一、立方根的定義如果一個(gè)數(shù)的立方等于"，那么這個(gè)數(shù)叫做"的立方根或三次方根這就是說， 記作揚(yáng)表示，其中d是被開方數(shù)，3是根指數(shù).符號(hào)“曠"讀作“三次根號(hào)”求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方.【注意】開立方和立方互為逆運(yùn)算.要點(diǎn)二、立方根的特征立方根的特征：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0.【注意】任何數(shù)都有立方根，一個(gè)數(shù)的立方根有IL只有一個(gè)，并且

6、它的符號(hào)與 這個(gè)非零數(shù)的符號(hào)相同.兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù).要點(diǎn)三、立方根的性質(zhì)/-« =-/« .= a .（亦）="【注意】第一個(gè)公式可以將求負(fù)數(shù)的立方根的問題轉(zhuǎn)化為求正數(shù)的立方根的問 題.要點(diǎn)四、立方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)3位，它的立方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右 或者向左移動(dòng)1位例如，$0.000 216=0.06 ,前邁&0.6, 216=6 , “216000 =60.類型一、平方根和算術(shù)平方根的概念例丄.若2加一4與3加一1是同一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根，求加的值.例2x為何值時(shí)，下列各式有意義？(1) :(2

7、) Jx 4 ；(3) Jx + + J_ x :例3使代數(shù)式J7丁有意義的x的取值范圍是類型二、利用平方根解方程例4.求下列各式中的x.(1) x2-361=0;(2) (x + 1)2 =289；(3) 9(3x + 2)2-64 = 0例S求下列各式的值.(l)V25-24Te73T+42 ；(2)2oJ-|>/O36-|>/9OO.類型三.平方根的應(yīng)用例6.要在一塊長方形的土地上做囚間試驗(yàn)，其長是寬的3倍，面積是1323平方米.求長和寬各是多少米？類型四.立方根的概念例7.下列結(jié)論正確的是()A. 64的立方根是±4C.立方根等于本身的數(shù)只有0和1B冷是V的立方根

8、D. 27 =-27例8求下列各式的值：(2) V11x43+52(4)療？ + J(_3)亍一習(xí)匚T(5)類型五.立方根的計(jì)算類型六.利用立方根解方程例彳 求下列各式中的X值.(1) 21 x 1000(x + 1)3=-27：(4) -(2x-3)3=54.4 = 8:(2) (x-2)3 + 1 = 0；類型七、立方根實(shí)際應(yīng)用例在做物理實(shí)驗(yàn)時(shí)，小明用一根細(xì)線將一個(gè)正方體鐵塊拴住，完全浸入盛滿 水的圓柱體燒杯中，并用一量筒量得鐵塊排出的水的體積為64cF,小明乂將鐵塊 從水中提起，量得燒杯中的水位下降了 cm .請(qǐng)問燒杯內(nèi)部的底面半徑和鐵塊 的棱長各是多少？鞏固練習(xí)1下列說法中正確的有（）

9、只有正數(shù)才有平方根.-2是4的平方根.皿的平方根是±4/的算術(shù)平方根是（一6）2的平方根是一6厲= ±3.A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)2. 若/?/ = >/40 -4,貝IJ估計(jì)加的值所在的范圍是（）A. 1< 加 <2<3C.3<m <43. 試題下列說法中正確的是（）A.4是8的算術(shù)平方根B.16的平方根是4C石是6的平方根D-a沒有平方根D. 4< m <54. 能使x-3的平方根有意義的兀值是（）A. x>0 B x>3C x>0D. x>35. 有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如下:當(dāng)輸入

10、的x=64時(shí)，輸出的y等于()A.2B.8C.3 邁D.2V26. 若x與y的立方根互為相反數(shù)，則x與y的關(guān)系是.7. 一個(gè)數(shù)的平方等于64,則這個(gè)數(shù)的立方根是8. 如果774=4,那么(«-67)3的值是.9. (x-1)3 = -8,則兀=.10. x為何值時(shí)，下列各式有意義？后；(2) 口; (3)歸； (4) Vv-1.11己知7?二T和頁互為相反數(shù)，且XHO,求丄的值.色總結(jié)優(yōu)化©效果驗(yàn)證1. 若八y為實(shí)數(shù)，且lx + 11+J戸 =0,則- 的值是（）3丿A.OB.lC.-lD.-20112. 下列說法中正確的有（）個(gè).49R9負(fù)數(shù)沒有平方根，但負(fù)數(shù)有立方根才的

11、平方根是±三,2的立方根是±蘭93273如果x2=（-2）那么x=-2.算術(shù)平方根等于立方根的數(shù)只有1.A1B2C3D43. x是（一厲的平方根，y是64的立方根，則x+y=（）A. 3B. 7C.3, 7 D. h 74若 710404 = 102,則 Jl .0404 =5. 如果一個(gè)正方形的面積等于兩個(gè)邊長分別是3cm和5cm的正方形的面積的和，則這個(gè)正方形的邊長為6. 下列各數(shù)：81, , 1.44, 2丄，網(wǎng)的平方根分別是:算術(shù)254平方根分別是.強(qiáng)化提升1. 下列各式中，正確的是（）A.V16=±4 B. J（_5）2 =_5C. -近=口D.-V10

12、 = -in02. 有如下命題：負(fù)數(shù)沒有立方根；一個(gè)實(shí)數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；一個(gè)正數(shù)或負(fù)數(shù)的立方根與這個(gè)數(shù)同號(hào)：如果一個(gè)數(shù)的立方根是這個(gè)數(shù)本身, 那么這個(gè)數(shù)是1或0,其中錯(cuò)誤的是（）A.B.C.D.®3. （1） 5?的平方根是；（2）（-5）2的平方根是,算術(shù)平方根是:（3）疋的平方根是,算術(shù)平方根是；（4）（x + 2）2的平方根是,算術(shù)平方根是.4. 若實(shí)數(shù)兀、，滿足JTT7+（y 5）2=0,則F的值為.5若（兀+1）2 = 2,則兀=.6. 一個(gè)長方體的長為5cm,寬為2cm,高為3cm,而另一個(gè)正方體的體積是它的2 倍，求這個(gè)正方體的棱長a.（結(jié)果精確到0.01cm

13、）7. 已知5x4-19的立方根是4,求2x4-7的平方根.I8若頃二T和MP喬互為相反數(shù)，求絲的值.參考答案復(fù)習(xí)檢查1-【答案】C2. 【答案】A問題走位1.【思路點(diǎn)撥】(1)若有理數(shù)X與y互為相反數(shù)，則x+y=O,反過來也成立(2) 若有理數(shù)m與n互為倒數(shù)，則mn=l,反過來也成立.【答案與解析】因?yàn)閤與y互為相反數(shù)，m與n互為倒數(shù)，(a-1) 2>0, 所以 x+y=O, mn = lt a = l,所以 a2- (x+y+mn) a+ (x+y)2009+ (-mn)2010= a2-(0+1) a+02009+ (-1)2010= a2-a+l Va = l,原式=12-1+1

14、=1【總結(jié)升華】要全而正確地理解倒數(shù)，絕對(duì)值，相反數(shù)等概念.2.【答案】0精準(zhǔn)突破類型一.平方根和算術(shù)平方根的概念例1.【思路點(diǎn)撥】由于同一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，由此可以得到21,1 -4 =-(3加一 1),解方程即可求解.【答案與解析】解：依題意得2m -4=- (3m 一1),解得TH =1:Im的值為1.【總結(jié)升華】此題主要考査了平方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反 數(shù).例2【答案與解析】解：（1）因?yàn)閤2>0,所以當(dāng)大取任何值時(shí)，都有意義.（2）由題意可知：x-4>0,所以x>4時(shí)，JE有意義.（3）由題意可知：X+ -解得：-l<x<

15、; 1所以-l<x< 1時(shí)Jx + 1 +Jl-xl-x>0有意義.fx-l>0（4）由題意可知：,解得x>l且XH3X 3H0所以當(dāng)%>1且XH3時(shí)，口有意義.x-3【總結(jié)升華】（1）當(dāng)被開方數(shù)不是數(shù)字，而是一個(gè)含字母的代數(shù)式時(shí)，一泄要討論，只 有當(dāng)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)時(shí)，式子才有意義.（2）當(dāng)分母中含有字母時(shí)，只有當(dāng)分母不為 0時(shí)，式子才有意義.例3.【答案】x$l；【解析】x+lMO,解得x>-l.【總結(jié)升華】當(dāng)式子&有意義時(shí)，a泄表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，即苗$0, 020.類型二、利用平方根解方程例4【思路點(diǎn)撥】表而上看本題是一元二次方程，但是本題

16、可以通過開平方的方法（2） 小題將（x + 1）看作一個(gè)整體，（3）小題將（3x + 2）看作一個(gè)整體，求岀它們的解后， 再求廠【答案與解析】解：（1） V x2-361=0:.x2 =361:.x = ±>j36l=±9（2） V（x + 1）2=289A x + l = ±>/289x+l = ±17x=16或入=一18(3) V9(3x + 2)2-64 = 0.(3x + 2)2=罟99【總結(jié)升華】本題的實(shí)質(zhì)是一元二次方程，開平方法是解一元二次方程的最基本方法. （2） （3）小題中運(yùn)用了整體思想分散了難度.例5【思路點(diǎn)撥】（1）首先

17、要弄淸楚每個(gè)符號(hào)表示的意義.（2）注意運(yùn)算順序.【答案與解析】解： J25? - 24? 后 +4亍=網(wǎng)爐= 7x5 = 35 ：【總結(jié)升華】（1）混合運(yùn)算的運(yùn)算順序是先算平方開方，再乘除，后加減，同一級(jí)運(yùn)算 按先后順序進(jìn)行.（2）初學(xué)可以根據(jù)平方根、算術(shù)平方根的意義和表示方法來解，熟練 后直接根拯= a（a > 0）來解.類型三.平方根的應(yīng)用例6.【答案與解析】解：設(shè)寬為X,長為3X, 由題意得，x 3x =13233 x2 =1323x = ±21 x=-21（舍去）答：長為63米，寬為21米.【總結(jié)升華】根據(jù)面積由平方根的定義求出邊長，注意實(shí)際問題中邊長都是正數(shù).類型四、

18、立方根的概念例7.【答案】D：【解析】64的立方根是4： 一丄是-丄的立方根：立方根等于本身的數(shù)只有0和±1.2 8I【總結(jié)升華】一個(gè)非零數(shù)與它的立方根符號(hào)相同；口=-斬（2） V11x43 * * * * 8+52類型五.立方根的計(jì)算 例&【答案與解析】 解：J2劣432二“11x64 + 25 =729=9（4）V + J（_3）2=3 + 3 +1=1一應(yīng)F+頁+J(-嚴(yán)(x + l)' =2710001013x =-10(23)3=2162x-3 = 6x=4.5【總結(jié)升華】本題是用開立方的方法解一元三次方程，(2) (3) (4)小題中運(yùn)用了整 體思想，分散

19、了難度.類型七.立方根實(shí)際應(yīng)用 例10.【思路點(diǎn)撥】鐵塊排岀的64cF水的體積，是鐵塊的體積，也是高為燒9龍 杯的體積.【答案與解析】解：鐵塊排出的的水的體積，是鐵塊的體積.設(shè)鐵塊的棱長為y c/n ,可列方程y'=64,解得y = 4設(shè)燒杯內(nèi)部的底而半徑為兀cm ,可列方程v2x= 64,解得x = 6.9兀答：燒杯內(nèi)部的底而半徑為6c/n ,鐵塊的棱長牡7“【總結(jié)升華】應(yīng)該熟悉體積公式，依題意建立相等關(guān)系(方程)，解方程時(shí)，常常用到 求平方根、立方根，要結(jié)合實(shí)際意義進(jìn)行取舍本題體現(xiàn)與物理學(xué)科的綜合.鞏固練習(xí)1. 【答案】A：【解析】只有是正確的.2. 【答案】B；【解析】6<

20、>/40<7,所以 2<>/40-4<3 .3. 【答案】C：【解析】A. V4是16的算術(shù)平方根，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤：B. V16的平方根是土4,故選 項(xiàng)B錯(cuò)誤：C. V V6是6的一個(gè)平方根，故選項(xiàng)C正確：D.當(dāng)dWO時(shí)，一 d也有平方根，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.4. 【答案】D；2【解析】要使x-3的平方根有意義，.兀一3鼻0,即X23.5. 【答案】D：【解析】根據(jù)圖中的步驟，把64輸入，可得其算術(shù)平方根為8, 8再輸入得英算術(shù) 平方根是2血，是無理數(shù)則輸岀.6. 【答案】x+y = O：【解析】兩個(gè)互為相反數(shù)的實(shí)數(shù)的立方根也互為相反數(shù).7. 【答案】2或-2；【解析】T

21、64的平方根是±8, ±8的立方根是±2,.這個(gè)數(shù)的立方根是±2.8. 【答案】一343；【解析】"+4=64, a =60, a 67=7, (一7)'= -343.9. 【答案】兀=1；【解析】X 1 = 2, x = 1.10. 【解析】解：(1) 2x0,解得x20；(2) -xQ9 解得兀 W0：(3) x2>0,解得x為一切實(shí)數(shù);(4) x-120,解得xl.11. 【解析】解：兩個(gè)非負(fù)數(shù)互為相反數(shù)則只能均為0,于是 y -1=0, l-2x =0,求得 y=l,x2©效果驗(yàn)證/ 2()131. 【答案】C：

22、【解析】X +1=0, y -1=0,解得x =1；2. 【答案】A：【解析】只有正確.算術(shù)平方根等于立方根的數(shù)有0和1.3. 【答案】D：【解析】Tx是(一厲的平方根，y是64的立方根，.x=±3, y=4則x+y = 3+4=7 或 x + y = -3+4 = 1.4. 【答案】1.02：【解析】被開方數(shù)向左移動(dòng)四位.算術(shù)平方根的值向左移動(dòng)兩位.5. 【答案】/34 cm :【解析】這個(gè)正方形的邊長為V32+52 =>/34.4 3436. 【答案】±9： ±-： ±1.2： ±-； ±3： 9； -； 1.2： -； 35 252強(qiáng)化提升1. 【答案】D：【解析