概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)B考試大綱(帶公式)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)B考試大綱第2章描述統(tǒng)計(jì)學(xué) 1. 樣本均值、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算；2. 樣本中位數(shù)、分位數(shù)；先對(duì)數(shù)據(jù)按從小到大排序。如果np不是整數(shù)，則第np+1個(gè)數(shù)據(jù)是100p%分位數(shù)。如果np是一個(gè)整數(shù)，那么100p%分位數(shù)取第np和第np+1個(gè)值的平均值。特別地，中位數(shù)是50%分位數(shù)。3. 樣本相關(guān)系數(shù)。，第3章概率論基礎(chǔ) 1. 樣本空間，事件的并、交、補(bǔ)，文圖和德摩根律；，2. 概率的定義、補(bǔ)事件計(jì)算公式、并事件計(jì)算公式；對(duì)于任何的互不相交事件序列，3. 等可能概型的計(jì)算，排列和組合；4. 條件概率、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式；，4. 事件獨(dú)立性及其概率的計(jì)算。第4章 隨機(jī)

2、變量與數(shù)學(xué)期望 1. 隨機(jī)變量的分布函數(shù)及其性質(zhì)；2. 離散型隨機(jī)變量的概率質(zhì)量函數(shù)及其性質(zhì)，有關(guān)概率的計(jì)算；離散型隨機(jī)變量：取值集合有限或者是一個(gè)數(shù)列xi, i=1,2, 。概率質(zhì)量函數(shù)：， 3. 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)及其性質(zhì)，有關(guān)概率的計(jì)算；連續(xù)型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量的可能的取值是一個(gè)區(qū)間。概率密度函數(shù)f(x)：對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)集B有 , , 4 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)、聯(lián)合質(zhì)量函數(shù)、聯(lián)合密度函數(shù)，有關(guān)概率的計(jì)算；, , 5. 隨機(jī)變量的獨(dú)立性，有關(guān)概率的計(jì)算；隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立: ;分布函數(shù) 離散型 連續(xù)型 6. 怎樣求連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)（先求分布函數(shù)，再求導(dǎo)）；Y=g

3、(X)7. 數(shù)學(xué)期望（離散型，連續(xù)型），函數(shù)的數(shù)學(xué)期望（離散型，連續(xù)性）；離散型 連續(xù)型 8. 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，當(dāng)X與Y獨(dú)立時(shí)，EXY=EX EY9. 方差和它的性質(zhì)；當(dāng)X與Y獨(dú)立， ，10 協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)，有關(guān)性質(zhì)；Corr(X,Y)=1或-1，當(dāng)且僅當(dāng)X和Y線性相關(guān)，即P(Y=a+bX)=1 (當(dāng)b>0, 相關(guān)系數(shù)為1; 當(dāng)b<0, 相關(guān)系數(shù)為-1)當(dāng)X與Y獨(dú)立時(shí)，X與Y不相關(guān)，即 .11. 切比雪夫不等式，弱大數(shù)定律，概率的頻率意義。切比雪夫不等式弱大數(shù)定律：樣本均值趨向于總體均值頻率趨向于概率第五章 特殊隨機(jī)變量1 伯努利實(shí)驗(yàn)和伯努利分布，數(shù)學(xué)期望和方差；伯努利(Bern

4、oulli)試驗(yàn)：在一次試驗(yàn)中，其結(jié)果可以歸為成功和失敗兩類。xi01EX=pVar(X)=p(1-p)pi1-pp2. 二項(xiàng)分布：應(yīng)用背景，概率質(zhì)量函數(shù)，單調(diào)性，伯努利分解，可加性，數(shù)學(xué)期望和方差；應(yīng)用背景：伯努利試驗(yàn)“成功”的概率每次都為p, 這樣獨(dú)立進(jìn)行n次，那么“成功”的總次數(shù)X服從參數(shù)為(n, p)二項(xiàng)分布 ，記為XB(n,p)。單調(diào)性：P(X=i)當(dāng)i<(n+1)p遞增，當(dāng)i>(n+1)p遞減。二項(xiàng)分布的伯努利分解：設(shè)XB(n, p)，那么 , 其中Xi相互獨(dú)立，且為相同的伯努利分布.可加性: 如果X與Y獨(dú)立, 且XB(n, p)，YB(m,p)，那么X+YB(n+m,

5、 p) 。3. 泊松分布：應(yīng)用背景，概率質(zhì)量函數(shù)，單調(diào)性，數(shù)學(xué)期望和方差，可加性，二項(xiàng)分布的泊松近似；應(yīng)用背景: 根據(jù)二項(xiàng)分布的泊松近似，一段時(shí)間內(nèi)某種隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)。單調(diào)性： i < l時(shí)遞增， i > l時(shí)遞減。泊松分布的可加性: 設(shè)X1和X2為相互獨(dú)立的泊松隨機(jī)變量，它們的均值分別為l1和l2, 那么X1+X2為均值是l1+l2的泊松隨機(jī)變量。二項(xiàng)分布的泊松近似：設(shè)XB(n, p) 。當(dāng)n很大p很小時(shí)，其分布近似于參數(shù)為l =np的泊松分布4. 均勻分布：應(yīng)用背景，概率密度函數(shù)，數(shù)學(xué)期望和方差，二維均勻分布，有關(guān)概率的計(jì)算；應(yīng)用背景：隨機(jī)變量X在區(qū)間a, b上等可能取值概

6、率密度函數(shù)：，二維均勻分布：5. 正態(tài)分布：應(yīng)用背景，概率密度函數(shù)及其對(duì)稱性，數(shù)學(xué)期望和方差，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化和概率計(jì)算，線性性質(zhì)，獨(dú)立和的性質(zhì)，分位數(shù)及其對(duì)稱性；應(yīng)用背景：根據(jù)中心極限定理，大量獨(dú)立隨機(jī)變量的和近似服從正態(tài)分布。密度函數(shù)：X N(m, s2), EX=m, Var(X)=s2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)：線性性質(zhì)：正態(tài)隨機(jī)變量的線性函數(shù)仍是正態(tài)分布。設(shè)X N(m, s2), 那么對(duì)任意a, b¹0, Y=a+bXN (a+bm, b2s2). 特別地，。假設(shè) 相互獨(dú)立，且 ，則。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Z的100(1- a)%(下)百分位數(shù)Za：。對(duì)稱性：

7、 z1-a= - za6. 指數(shù)分布：應(yīng)用背景，概率密度函數(shù)，數(shù)學(xué)期望和方差，無(wú)記憶性，有關(guān)概率的計(jì)算；應(yīng)用背景：如果單位時(shí)間內(nèi)“事件發(fā)生”數(shù)是參數(shù)l泊松分布（稱為泊松過(guò)程），那么兩次“發(fā)生”之間的間隔時(shí)間長(zhǎng)度就是參數(shù)l的指數(shù)分布。概率密度函數(shù)：無(wú)記憶性7. 卡方分布：定義，可加性，分位數(shù)；定義：若Z1, Z2, , Zn相互獨(dú)立, 且都服從N(0,1) ，則稱其平方和服從自由度n的 c2（卡方）分布?？杉有裕寒?dāng)X1和X2分別為自由度為n1 和n2的 c2隨機(jī)變量且相互獨(dú)立時(shí)，則X1+X2服從自由度為n1+n2的 c2分布.100(1- a)%百分位數(shù) c2a,n：8. t-分布：定義，對(duì)稱性

8、，與N(0,1)的關(guān)系，分位數(shù)；設(shè)ZN(0,1), Xc2n ，Z和X獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量服從自由度n的t-分布。當(dāng)n ®¥，Tn®N(0,1)，9. F分布：定義，分位數(shù), 倒數(shù)性質(zhì)。設(shè)X和Y分別服從自由度為n和m的c2分布，且相互獨(dú)立，稱服從自由度為n和m的F-分布。， 第六章 統(tǒng)計(jì)抽樣的分布 1. 總體、樣本及其觀測(cè)值、統(tǒng)計(jì)量；樣本：若X1, X2, , Xn是獨(dú)立隨機(jī)變量, 且具有相同的分布F, 則稱它們構(gòu)成來(lái)自分布F的一個(gè)樣本. n稱為樣本容量。樣本的觀測(cè)數(shù)據(jù)稱為樣本觀測(cè)值x1, x2, , xn。統(tǒng)計(jì)量：不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)。2. 樣本均值：定義，數(shù)學(xué)

9、期望和方差；設(shè)總體X(不一定是正態(tài)分布), EX=m, Var(X)=s2。樣本X1, X2, , Xn。樣本均值 ，3. 中心極限定理：基本定理，二項(xiàng)分布的正態(tài)近似，樣本均值的近似分布；基本定理： 設(shè)X1, X2, , Xn為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列, 并均具有均值m和方差s2(無(wú)論分布類型是什么), 則對(duì)充分大的n （30以上），X1+X2+ + Xn 近似服從正態(tài)分布N(nm,ns2)。二項(xiàng)分布的正態(tài)近似：設(shè)XB(n,p), 對(duì)充分大的n（30以上）, X近似服從正態(tài)分布N(np, np(1-p)樣本均值的近似分布: 設(shè)總體X(不一定是正態(tài)分布), EX=m, Var(X)=s2。樣本X

10、1, X2, , Xn。當(dāng)n充分大（30以上），近似有 4. 樣本方差：定義，數(shù)學(xué)期望；樣本方差 , 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 5. 正態(tài)總體：樣本均值按N(0,1)（方差已知時(shí)）或t-分布（方差未知時(shí)），樣本方差按卡方分布，樣本均值與樣本方差獨(dú)立.定理: 設(shè)總體XN(m,s2)。樣本X1, X2, , Xn。則(1) , (2) , (3)與S2獨(dú)立，(4) 。第七章 參數(shù)估計(jì) 1. 估計(jì)量與估計(jì)值參數(shù)估計(jì)：設(shè)總體分布為Fq，其中q為未知參數(shù)。樣本X1, X2, , Xn ，獨(dú)立且與總體同分布。需要估計(jì)q。估計(jì)量：用來(lái)估計(jì)未知參數(shù)q的統(tǒng)計(jì)量，記為估計(jì)值：估計(jì)量的觀察值 無(wú)偏估計(jì)量：2. 極大似然估計(jì)：定義

11、，似然函數(shù)，對(duì)數(shù)似然方程；似然函數(shù)：若總體的密度函數(shù)（或質(zhì)量函數(shù))為f(x|q), 其聯(lián)合概率函數(shù)(稱為似然函數(shù))極大似然估計(jì): 求使得 對(duì)數(shù)似然方程 3. 伯努利分布、泊松分布、正態(tài)分布的極大似然估計(jì)；貝努里分布：p的極大似然估計(jì)是觀測(cè)數(shù)中成功的比例。泊松分布極大似然估計(jì) 。正態(tài)分布N(m,s2)的極大似然估計(jì)：正態(tài)分布方差s2的無(wú)偏估計(jì) 4. 置信區(qū)間的定義；參數(shù)q的100(1-a)%置信區(qū)間滿足5. 正態(tài)總體均值的雙側(cè)置信區(qū)間（方差已知）；6. 正態(tài)總體方差的雙側(cè)置信區(qū)間.第八章 假設(shè)檢驗(yàn) 1. 假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念：原假設(shè)與備擇假設(shè)，拒絕域構(gòu)造原理，顯著性水平，兩類錯(cuò)誤；原假設(shè)H0, 備擇假設(shè)H1；顯著性檢驗(yàn)：H1是否顯著，以至于可以拒絕H0；第一類錯(cuò)誤拒絕了正確的假設(shè)，第二類錯(cuò)誤接受了錯(cuò)誤的假設(shè)；顯著性水平a=P(樣本觀測(cè)值落入拒絕域|H0真)=犯第一類錯(cuò)誤的概率。2. 方差已知時(shí)正態(tài)總體均值的Z檢驗(yàn)(雙側(cè)，右側(cè)，左側(cè));雙側(cè)檢驗(yàn)(臨界值法或p值法) 左側(cè)檢驗(yàn)(臨界值法或p值法) 右側(cè)檢驗(yàn)(臨界值法或p值法)3. 置信區(qū)間與拒絕域的關(guān)系；若原假設(shè)落在未知參數(shù)的100(