淺談線性變換的對角化問題

1、目 錄摘 要1Abstract2引 言31 線性變換41.1 線性變換的定義41.1.1 線性變換的概念41.1.2 線性變換的矩陣及矩陣表示41.2 矩陣的相似對角化問題51.2.1 相似對角化問題51.2.2 矩陣的特征值與特征向量52 線性變換的對角化72.1 線性變換的對角化72.1.1 線性對角化的提出72.1.2 線性對角化的定義72.2 線性變換的特征值與特征向量72.2.1 線性變換的特征值與特征向量的概念72.2.2 線性變換的特征多項(xiàng)式72.3 線性變換對角化與矩陣對角化之間的聯(lián)系82.3.1 特征值與特征向量的聯(lián)系82.3.2 線性變換對角化與矩陣相似對角化之間的關(guān)系92

2、.3.3 線性變換可對角化的充要條件及推論92.3.4 求線性變換對角化的方法和步驟103 線性對角化問題的相關(guān)題目14總 結(jié)16參考文獻(xiàn)17致 謝18 摘 要線性變換是貫穿高等代數(shù)的重要內(nèi)容之一，其研究價(jià)值不言而喻。本文嘗試通過探討矩陣對角化的知識點(diǎn)類比線性變換對角化的知識點(diǎn)，再通過矩陣的特征值與特征向量，以線性對角化問題為主要線索，著手研究線性變換特征值與特征向量的求解步驟以及線性對角化的基本條件，并且總結(jié)說明線性變換的對角化與矩陣對角化的聯(lián)系，更進(jìn)一步的，加深了解矩陣對角化與線性對角化的內(nèi)容及要點(diǎn)。關(guān)鍵詞：線性變換的對角化問題；矩陣；特征值；特征向量AbstractLinear tran

3、sformation is an important part of higher algebra through its research value is self-evident. This paper attempts to explore the matrix diagonalization by knowledge points of analog linear transformation diagonalization knowledge, and through the eigenvalues and eigenvectors of the matrix, linear di

4、agonalization problem as the main clue, started studying linear transformations eigenvalues and eigenvectors steps to solve the basic conditions and linear keratosis, and summary description of the linear transformation matrix diagonalization diagonalization with links to further deepen understandin

5、g of linear matrix diagonalization diagonalization content and points.Keywords: Changing existing diagonalization；Matrix；Eigenvalues；Eigenvectors引 言線性變換的對角化問題作為重要的數(shù)學(xué)課程，在高等代數(shù)的地位不言而喻，高等代數(shù)是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)最主要的基礎(chǔ)課之一，它在初等代數(shù)的基礎(chǔ)上對研究對象進(jìn)行進(jìn)一步的擴(kuò)充，并引進(jìn)了許多新的概念以及與通常情況很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空間等。在線性變換的對角化問題中，本文提出矩陣相似對角化問題，給

6、出矩陣的特征值與特征向量等概念，在此之后總結(jié)它們與矩陣特征值和特征向量之間的關(guān)系,并把線性變換與矩陣對角化問題之間的密切關(guān)系探究清楚。充分應(yīng)用探究的結(jié)論，最后使我們通透掌握線性變換的對角化與矩陣相似對角化的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別。嘗試將整個(gè)內(nèi)容貫穿在一條主線，以分析線性變換和矩陣的特征值、特征向量與特征多項(xiàng)式為重點(diǎn)，總結(jié)說明在這幾方面的聯(lián)系，并且歸納求解線性變換特征值與特征向量的方法步驟，使整個(gè)內(nèi)容清晰簡潔，做到一目了然。將線性變換的對角化與矩陣對角化之間的關(guān)系梳理更加清晰，易于掌握與通透理解。1 線性變換1.1 線性變換的定義1.1.1 線性變換的概念定義1 設(shè)是數(shù)域上的線性空間，是到自身的一個(gè)映射

7、，即對于中的任意元素均存在唯一的與之對應(yīng)，則稱為的一個(gè)變換或算子，記為,稱為在變換下的象，為的原象。若變換還滿足 稱為的線性變換。1.1.2 線性變換的矩陣及矩陣表示定義2 設(shè)是數(shù)域上一個(gè)維向量空間，令是的一個(gè)線性變換。取定的一個(gè)基，令 這里就是關(guān)于基的坐標(biāo)。令階矩陣那么這個(gè)階矩陣叫做線性變換關(guān)于基的矩陣。矩陣的第列的元素就是關(guān)于基的坐標(biāo)。1.2 矩陣的相似對角化問題1.2.1 相似對角化問題1 對角矩陣設(shè)是數(shù)域上的矩陣，形如的矩陣，我們把叫做對角矩陣。2 相似矩陣對于階方陣和, 若有可逆矩陣使得,則稱相似于, 記作，稱為由到的相似矩陣。 3.矩陣相似對角化定義3 設(shè)是數(shù)域上一個(gè)階矩陣。如果存

8、在數(shù)域上一個(gè)階可逆矩陣使得為對角矩陣，那么矩陣可對角化。1.2.2 矩陣的特征值與特征向量定義4 設(shè)是一個(gè)階方陣，是一個(gè)數(shù)，如果方程存在非零解向量，則稱為的一個(gè)特征值，相應(yīng)的非零解向量稱為屬于特征值的特征向量。如果是矩陣的屬于特征值的一個(gè)特征向量，那么我們有即，其中。 定義5 設(shè)是數(shù)域上的階矩陣，是參數(shù)，的特征矩陣的行列式稱為矩陣的特征多項(xiàng)式。它是數(shù)域上的一個(gè)次多項(xiàng)式，記為。的根(或零點(diǎn)) 稱為的特征值（根），而相應(yīng)于方程組的非零解向量稱為的屬于特征值的特征向量。2 線性變換的對角化2.1 線性變換的對角化2.1.1 線性對角化的提出設(shè)是數(shù)域上的維線性空間（記為），是線性空間的一個(gè)線性變換，任

9、取的一組基，設(shè)在這組基下的矩陣為。那能否找到的一組基，使得在這組基下的矩陣是一個(gè)對角陣呢？接下來，我們就來尋找這組基，由此引出線性變換對角化的問題。 假設(shè)這組基存在，我們不妨把它設(shè)為使得，可見，滿足方程，即滿足線性對角化。2.1.2 線性對角化的定義定義1 設(shè)是維線性空間的一個(gè)線性變換，如果存在的一個(gè)基，使在這組基下的矩陣為對角矩陣，則稱線性變換可對角化。2.2 線性變換的特征值與特征向量2.2.1 線性變換的特征值與特征向量的概念定義2 設(shè)是數(shù)域上線性空間的一個(gè)線性變換，如果對于數(shù)域中的任一數(shù)，存在一個(gè)非零向量，使得 則稱為的一個(gè)特征值，而稱為屬于特征值的一個(gè)特征向量。2.2.2 線性變換的

10、特征多項(xiàng)式定義3 設(shè)是數(shù)域上的一個(gè)線性變換，是上的階矩陣，是一個(gè)數(shù)，線性變換關(guān)于矩陣的行列式稱為線性變換的特征多項(xiàng)式，這是數(shù)域上的一個(gè)次多項(xiàng)式。2.3 線性變換對角化與矩陣對角化之間的聯(lián)系2.3.1 特征值與特征向量的聯(lián)系定理5 設(shè)是數(shù)域上一個(gè)線性空間, 是的一個(gè)線性變換，在的一個(gè)基下的矩陣為，如果，那么：是的特征值是矩陣的特征值；是的屬于特征值的特征向量是矩陣的屬于特征值的特征向量。證明：由假設(shè)，及又在基下的坐標(biāo)為。表明在基下的坐標(biāo)為。因此，當(dāng)是的特征值時(shí)，。 聯(lián)系：由于故是非零向量，這說明是矩陣的特征值。是矩陣的屬于特征值的特征向量。如果是矩陣的特征值，而是的屬于的特征向量，那么。且，即與

11、在基下的坐標(biāo)是一樣的。所以。又，所以是的特征值，而是的屬于特征值的特征向量。線性變換在數(shù)域中某一組基下的矩陣是，如果是線性變換的特征值，那么一定是矩陣的特征多項(xiàng)式的一個(gè)根；反過來，如果是矩陣的特征多項(xiàng)式在數(shù)域中的一個(gè)根，即，那么就是線性變換的一個(gè)特征值。2.3.2 線性變換對角化與矩陣相似對角化之間的關(guān)系如果線性變換可對角化，線性空間在的一組基下的矩陣為，且存在線性空間使的一組基,若有的可逆矩陣,使得。則有 =即可相似對角化。反之，如果可相似對角化，則存在可逆矩陣，使得：。令 =則是的一組基，且在基下的矩陣，即可對角化。2.3.3 線性變換可對角化的充要條件及推論 定理5 令是數(shù)域上維向量空間

12、的一個(gè)線性變換，可以對角化的充要條件是：（1）的特征多項(xiàng)式的根全在內(nèi)；（2）對于的特征多項(xiàng)式的每個(gè)根，本征子空間的維數(shù)等于的重?cái)?shù)。 證明 設(shè)上述條件（1）（2）成立。令是一切不同本征值。重?cái)?shù)分別是有： 在每個(gè)本征子空間里選取一個(gè)基，我們知道線性無關(guān)，所以構(gòu)成V的一個(gè)基?？梢约僭O(shè)這個(gè)基是，于是的特征多項(xiàng)式。所以但。因此=。推論 設(shè)是數(shù)域上一個(gè)階矩陣?？梢詫腔某湟獥l件是：(1) 的特征根全在內(nèi)；(2) 對于的每個(gè)特征根，秩，其中是的重?cái)?shù)5。例1 矩陣不能夠?qū)腔?，因?yàn)榈奶卣鞲莻€(gè)二重根，而。若一個(gè)階矩陣可以對角化，則存在可逆矩陣使得或2.3.4 求線性變換對角化的方法和步驟 （1）在線性空間中

13、取定一組基,并且寫出在這組基下的矩陣； （2）求出矩陣的特征多項(xiàng)式在數(shù)域中的全部的特征值； （3）把所求出的特征根逐個(gè)代入方程組，并對于的每一個(gè)特征值，解出其對應(yīng)方程組的一組基礎(chǔ)解系，這組基礎(chǔ)解系就是屬于該特征值的線性無關(guān)的特征向量在基下的坐標(biāo)，這樣就求出了線性變換中屬于每個(gè)特征值的全部線性無關(guān)的特征向量，從而判定是否可以對角化，最后進(jìn)行驗(yàn)證。總結(jié) 設(shè)是數(shù)域上維向量空間的一個(gè)線性變換，它關(guān)于的一個(gè)基的矩陣是。要求出的特征值，只要求出矩陣的特征多項(xiàng)式，設(shè)是矩陣的一個(gè)特征值，這時(shí)齊次線性方程組有非零解，每一個(gè)非零解都是屬于在基下的坐標(biāo)。例2 設(shè),現(xiàn)有的線性變換：，求的特征值與特征向量，并判斷能否對

14、角化。解 （1）取的一個(gè)基，求出在這個(gè)基下的矩陣。由：得（）=，這里（2）由的特征多項(xiàng)式得的特征值：。所以的特征值為。（3）矩陣的屬于的特征向量為，所以的屬于特征值的特征向量為矩陣的屬于的特征向量為所以的屬于的特征向量為矩陣的屬于的特征向量為所以的屬于特征值的特征向量為所以的屬于特征值的特征向量為由于線性無關(guān)，所以有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，從而可對角化。驗(yàn)證結(jié)果如下：（）=。 例3 設(shè)線性變換在基下的矩陣是,求的特征值與特征向量。 解 特征多項(xiàng)式為令特征多項(xiàng)式為零，解得=5，=-1。將=5代入，解得屬于=5的一個(gè)線性無關(guān)的特征向量是 ，將=-1代入，解得屬于=-1的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量是 ，。

15、3 線性對角化問題的相關(guān)題目1.已知是數(shù)域上一個(gè)線性變換，是的一個(gè)矩陣，其中=判斷矩陣能否對角化。解 矩陣的特征多項(xiàng)式是可知特征值是2，2，-4。對于特征值-4，求出齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。對于特征值2，求出齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。由于基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)都等于對應(yīng)的特征值的重?cái)?shù)，所以可以對角化。2已知矩陣，判斷該矩陣能否對角化？解 先求矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值為,當(dāng)時(shí)，解方程組得矩陣屬于特征值的線性無關(guān)特征向量為。當(dāng)時(shí)，解方程組得矩陣屬于特征值的線性無關(guān)特征向量為。矩陣有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量。因此矩陣可對角化。總 結(jié)本課題在高等代數(shù)中占得比重較大，所以是我們必須要

16、熟練掌握的知識要點(diǎn)，其中線性變換貫穿高等代數(shù)后期的大部分內(nèi)容，所以研究線性變換的意義深遠(yuǎn)。本文首先提出解決線性變換的工具-矩陣，介紹了矩陣的相關(guān)知識，具體分析相似矩陣的對角化問題，接著類比研究了線性變換的對角化問題。通過這種逐一類比的方法，從他們兩者之間的定義、特征值、特征向量與特征多項(xiàng)式進(jìn)行仔細(xì)研究分析，歸納出它們之間存在的聯(lián)系，最后總結(jié)了線性變換的特征值與特征向量的求解步驟，并且通過舉例說明，使得更加牢固理解求解步驟的應(yīng)用，便于我們更簡單直接的理解并掌握線性變換的對角化問題。參考文獻(xiàn)1 北京大學(xué)幾何代數(shù)研究代數(shù)小組，高等代數(shù)M.北京：高等教育出版社，1999.2 徐仲，陸全.高等代數(shù)研究教

17、案M.西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2006.3 丘維聲，高等代數(shù)：上、下冊M.北京：高等教育出版社，1996.4 丘維聲，高等代數(shù)：上、下冊M.北京：高等教育出版社，2002.5 張禾瑞，郝炳新。高等代數(shù)M.北京：高等教育出版社，2002.6 安希忠，陳超英,魏福義等.國家教育部04-6-7項(xiàng)目成果線性代數(shù)，北京中國農(nóng)業(yè)出版社，2000.12.7 李仁所,張洪謙.農(nóng)林院校大學(xué)數(shù)學(xué)系列教材大學(xué)數(shù)學(xué)線性代數(shù)，高等教育出版社，2009.9.8 王來生.線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)，中國農(nóng)業(yè)大學(xué)出版社，2005.10.9 盧剛.面向21世紀(jì)課程教材線性代數(shù)（第三版），高等教育出版社，2009.3.致 謝歷時(shí)幾個(gè)月的論文，從選題到準(zhǔn)備最后初稿雛形漸現(xiàn)，經(jīng)歷了很多事，遇到了許多的困難與障礙，都在同學(xué)與老師的熱情幫助下逐一克服，尤其感謝我的論文指導(dǎo)老師xx老師，她嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，一絲不茍的