一元二次方程應(yīng)用題的題型

1、一元二次方程的應(yīng)用（一）二次三項(xiàng)式的因式分解（1）形如ax2bxc(a0)的多項(xiàng)式叫做x的二次三項(xiàng)式（2） 二次三項(xiàng)式因式分解的公式 ax2bxc=a(xx1)(xx2)(a0)說(shuō)明：(a)在此公式中x1、x2是對(duì)應(yīng)的一元二次方程ax2bxc=0的兩個(gè)根(b)任何二次三項(xiàng)式，當(dāng)對(duì)應(yīng)的一元二次方程=b24ac0時(shí)，能分解因式；當(dāng)=b24ac0時(shí)，不能分解因式當(dāng)=0時(shí)，二次三項(xiàng)式ax2bxc是完全平方式(c)對(duì)于二次三項(xiàng)式的因式分解，能用前面學(xué)過(guò)的方法分解的，用前面學(xué)過(guò)的方法較簡(jiǎn)便借助一元二次方程分解的，主要是指那些用前面學(xué)過(guò)的方法不能因式分解的二次三項(xiàng)式(3) 因式分解二次三項(xiàng)式的步驟(a)求二

2、次三項(xiàng)式ax2bxc所對(duì)應(yīng)的一元二次方程ax2bxc=0的兩根x1、x2(b)將求得的x1、x2的值代入因式分解的公式ax2bxc=a(xx1)(xx2) (4) 難點(diǎn)/混淆點(diǎn)： (a)在二次三項(xiàng)式的因式分解時(shí)，注意不要丟掉公式中的二次項(xiàng)系數(shù)a(b)要注意公式中x1、x2前面的符號(hào)和x1、x2本身的符號(hào)不要混淆(c)把x1、x2的值代入公式后，能化簡(jiǎn)整理的可以化簡(jiǎn)整理(5) 常見(jiàn)例題 - 4y28y1解：對(duì)應(yīng)的方程為4y28y1=0根的判別式：=8*8-4*（-4）*（-1）=480所以它有兩個(gè)不等的實(shí)根。它的兩根是：?jiǎn)⑹荆?a)解方程時(shí)，如果二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，一般可將其化為正數(shù)再解，這樣可提

3、高解方程的準(zhǔn)確性，如解4y28y1=0可化為4x28y1=0再解；(b)把4分解為2×2，兩個(gè)2分別乘到每個(gè)括號(hào)內(nèi)恰好能去掉兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的分母，從而使分解式得到簡(jiǎn)化(6) 拓展：形如Ax2BxyCy2的因式分解 這樣的多項(xiàng)式叫做關(guān)于x,y的二元二次多項(xiàng)式，一般將其中一個(gè)變?cè)鳛槲粗獢?shù)，另一個(gè)就看作已知數(shù)，這樣一來(lái)，可看作關(guān)于x或y的二次三項(xiàng)式. (7) 綜合題：二次三項(xiàng)式3x24x2k，當(dāng)k取何值時(shí)，(a)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解；(b)不能分解；(c)能分解成一個(gè)完全平方式，這個(gè)完全平方式是什么？解：=(4)24×3×2k=1624k(a)當(dāng)0時(shí)，即1624k0，時(shí)，二

4、次三項(xiàng)式3x24x2k在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能分解因式；(b)當(dāng)0時(shí)，即1624k0，時(shí)，3x24x2k不能分解因式；(c)當(dāng)=0時(shí)，即1624k=0，時(shí)，3x24x2k是一個(gè)完全平方式當(dāng)時(shí)，（二）列一元二次方程解應(yīng)用題（1）解應(yīng)用題步驟 即：1審題；2設(shè)未知數(shù)，包括直接設(shè)未知數(shù)和間接設(shè)未知數(shù)兩種；3找等量關(guān)系列方程；4解方程；5判斷解是否符合題意；6寫出正確的解（2）常見(jiàn)類型1、傳播問(wèn)題有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人 可傳染人數(shù) 共傳染人數(shù)第0輪 1（傳染源） 1第1輪 x x+1 第2輪 x(x+1) 1+

5、x+ x(x+1) 列方程 1+x+ x(x+1)=121 解方程，得 X1=10，X2=-12 X2=-12不符合題意，所以原方程的解是x=10答：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人。 類似問(wèn)題還有樹枝開叉等。2、循環(huán)問(wèn)題又可分為單循環(huán)問(wèn)題，雙循環(huán)問(wèn)題和復(fù)雜循環(huán)問(wèn)題a參加一次足球聯(lián)賽的每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行一場(chǎng)比賽，共比賽45場(chǎng)比賽，共有多少個(gè)隊(duì)參加比賽？b.參加一次足球聯(lián)賽的每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行兩次比賽，共比賽90場(chǎng)比賽，共有多少個(gè)隊(duì)參加比賽？c.一個(gè)正八邊形，它有多少條對(duì)角線？3、平均率問(wèn)題最后產(chǎn)值、基數(shù)、平均增長(zhǎng)率或降低率、增長(zhǎng)或降低次數(shù)的基本關(guān)系：   M=a(1±x)n&

6、#160; n為增長(zhǎng)或降低次數(shù)    M為最后產(chǎn)量，a為基數(shù)，x為平均增長(zhǎng)率 或降低率 平均率和時(shí)間相關(guān)，必須弄清楚從何年何月何日到何年何月何日的增長(zhǎng)或降低率。（a）平均增長(zhǎng)率問(wèn)題某電腦公司2000年的各項(xiàng)經(jīng)營(yíng)收入中，經(jīng)營(yíng)電腦配件的收入為600萬(wàn)元，占全年經(jīng)營(yíng)總收入的40%，該公司預(yù)計(jì)2002年經(jīng)營(yíng)總收入要達(dá)到2160萬(wàn)元，且計(jì)劃從2000年到2002年，每年經(jīng)營(yíng)總收入的年增長(zhǎng)率相同，問(wèn)2001年預(yù)計(jì)經(jīng)營(yíng)總收入為多少萬(wàn)元？解：設(shè)每年經(jīng)營(yíng)總收入的年增長(zhǎng)率為a. 列方程， 600÷40%×(1+a)2=2160解方程， a1=0.2 a2=-2.2

7、，(不符合題意，舍去)每年經(jīng)營(yíng)總收入的年增長(zhǎng)率為0.2 則 2001年預(yù)計(jì)經(jīng)營(yíng)總收入為：600÷40%×(1+0.2)=600÷40%×1.2=1800答：2001年預(yù)計(jì)經(jīng)營(yíng)總收入為1800萬(wàn)元.（b）平均下降率問(wèn)題從盛滿20升純酒精的容器里倒出若干升，然后用水注滿，再倒出同樣升數(shù)的混合液后，這時(shí)容器里剩下純酒精5升問(wèn)每次倒出溶液的升數(shù)？剖析：第一次倒出的是純酒精，而第二次倒出的就不是純酒精了若設(shè)每次倒出x升，則第一次倒出純酒精x升，第二次倒出純酒精（·x）升根據(jù)20升純酒精減去兩次倒出的純酒精，就等于容器內(nèi)剩下的純酒精的升數(shù)20x·

8、x54、商品銷售問(wèn)題常用關(guān)系式：售價(jià)進(jìn)價(jià)=利潤(rùn) 一件商品的利潤(rùn)×銷售量=總利潤(rùn) 單價(jià)×銷售量=銷售額）（a）給出關(guān)系式1.某商店購(gòu)進(jìn)一種商品，進(jìn)價(jià)30元試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量P(件)與每件的銷售價(jià)X(元)滿足關(guān)系：P=100-2X銷售量P，若商店每天銷售這種商品要獲得200元的利潤(rùn)，那么每件商品的售價(jià)應(yīng)定為多少元？每天要售出這種商品多少件？ (b)一個(gè)“+” 一個(gè)“”3.某水果批發(fā)商場(chǎng)經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克?，F(xiàn)該商品要保證每天盈利6000元，同時(shí)又要

9、使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？5、面積問(wèn)題例3:如圖121，在寬20米，長(zhǎng)32米的矩形耕地上，修筑同樣寬的三條路(兩條縱向，一條橫向，并且橫向與縱向互相垂直)，把這塊耕地分成大小相等的六塊試驗(yàn)田，要使試驗(yàn)田的面積是570平方米，問(wèn)道路應(yīng)該多寬?剖析：設(shè)路寬為x米，那么兩條縱路所占的面積為2·x·2040x（米2），一條橫路所占的面積為32x(米2)縱路與橫路所占的面積都包括兩個(gè)小正方形ABCD、EFGH的面積，所以三條路所占耕地面積應(yīng)當(dāng)是(40x32x2x2)米2，根據(jù)題意可列出方程32×20（40x32x2x2）570解：設(shè)道路寬為x米，根據(jù)題意，得3

10、2×20（40x32x2x2）570整理，得x236x350解這個(gè)方程，得x11，x235x235不合題意，所以只能取x11答：道路寬為1米說(shuō)明：本題的分析中，若把所求三條路平移到矩形耕地邊上(如圖122)，就更易發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系列出方程如前所設(shè)，知矩形MNPQ的長(zhǎng)MN(322x)米，寬NP(20x)米，則矩形MNPQ的面積為：(322x)(20x)而由題意可知矩形MNPQ的面積為570平方米進(jìn)而列出方程(322x)(20x)570，思路清晰，簡(jiǎn)單明了6、銀行問(wèn)題王明同學(xué)將100元第一次按一年定期儲(chǔ)蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出，并將其中的50元捐給“希望工程”，剩余的又全部

11、按一年定期存入，這時(shí)存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時(shí)年利率的一半，這樣到期后可得本金利息共63元，求第一次存款時(shí)的年利率解：設(shè)第一次存款時(shí)的年利率為x，根據(jù)題意，得100（1x）50（1x）63整理，得50x2125x130解得x1，x2x2不合題意，x10答：第一次存款時(shí)的年利率為10說(shuō)明：要理解“本金”“利息”“利率”“本息和”等有關(guān)的概念，再找清問(wèn)題之間的相等關(guān)系7、圖表信息問(wèn)題14某開發(fā)區(qū)為改善居民的住房條件，每年都新建一批住房，人均住房面積逐年增加（人均住房面積，單位：平方米/人）該開發(fā)區(qū)1997年至1999年，每年年底人口總數(shù)和人均住房面積的統(tǒng)計(jì)結(jié)果分別如圖124，請(qǐng)根據(jù)兩圖中所提

12、供的信息解答下面的問(wèn)題：（1）該區(qū)1998年和1999年兩年中，哪一年比上一年增加的住房面積多？多增加多少萬(wàn)平方米?答：_年比上一年增加的住房面積多，多增加_萬(wàn)平方米（2）由于經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，預(yù)計(jì)到2001年底，該區(qū)人口總數(shù)將比1999年年底增加2萬(wàn)，為使到2001年年底該區(qū)人均住房面積達(dá)到11平方米/人，試求2000年和2001年兩年該區(qū)住房總面積的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)達(dá)到百分之幾？14(1)1999，74(2)108、行程問(wèn)題：1、A、B兩地相距82km，甲騎車由A向B駛?cè)ィ?分鐘后，乙騎自行車由B出發(fā)以每小時(shí)比甲快2km的速度向A駛?cè)?，兩人在相距B點(diǎn)40km處相遇。問(wèn)甲、乙的速度各是多少?9、工程

13、問(wèn)題：1、某公司需在一個(gè)月（31天）內(nèi)完成新建辦公樓的裝修工程如果由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合做，12天可完成；如果由甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)做，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用10天完成（1）求甲、乙兩工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程所需的天數(shù)（2）如果請(qǐng)甲工程隊(duì)施工，公司每日需付費(fèi)用2000元；如果請(qǐng)乙隊(duì)施工，公司每日需付費(fèi)用1400元在規(guī)定時(shí)間內(nèi)：A請(qǐng)甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程出B請(qǐng)乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程；C請(qǐng)甲、乙兩隊(duì)合作完成此項(xiàng)工程以上三種方案哪一種花錢最少？10、數(shù)學(xué)問(wèn)題：例1：一個(gè)兩位數(shù)，十位上數(shù)字與個(gè)位上數(shù)字之和為5；把十位上的數(shù)字與個(gè)位上數(shù)字互換后再乘以原數(shù)得736，求原來(lái)兩位數(shù)剖析：設(shè)原來(lái)兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為(5x)，原來(lái)的兩位數(shù)就是：10(5x)x新的兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)字為(5x)，十位上的數(shù)字為x，新的兩位數(shù)就是：10x(5x)可列出方程：10（5x）x10x(5x)736解：設(shè)原來(lái)兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)字為x，則十位上的數(shù)字為(5x)根據(jù)題意，得 10（5x）x10x(5x)736整理，得x25x60，解得x12，x23當(dāng)x2時(shí)，5x523；當(dāng)x3時(shí)，5x532答：原來(lái)的兩位數(shù)是32或23說(shuō)明：解