第2章 信號描述與分析

1、機械工程測試技術(shù)機械工程測試技術(shù)第二章第二章 信號描述及其分析信號描述及其分析本章學(xué)習(xí)內(nèi)容：本章學(xué)習(xí)內(nèi)容：n信號定義與分類信號定義與分類n 周期信號與離散頻譜周期信號與離散頻譜n 傅里葉變換及非周期信號的傅里葉變換及非周期信號的 頻譜頻譜n 數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理機械工程測試技術(shù)機械工程測試技術(shù)信號的定義信號的定義：物理角度，物理角度，數(shù)學(xué)角度，數(shù)學(xué)角度，工程角度。工程角度。信號就是承載某種或某些信息的物理量的變化歷程。信號就是承載某種或某些信息的物理量的變化歷程。信號就是函數(shù)，就是某一變量隨時間或頻率或其他變信號就是函數(shù)，就是某一變量隨時間或頻率或其他變量而變化的函數(shù)。量而變化的函數(shù)。信號

2、表現(xiàn)為一組數(shù)據(jù)或波形，這組數(shù)據(jù)通常是由某一信號表現(xiàn)為一組數(shù)據(jù)或波形，這組數(shù)據(jù)通常是由某一檢測儀器，如傳感器，從某一物理系統(tǒng)上檢測得到的，檢測儀器，如傳感器，從某一物理系統(tǒng)上檢測得到的，以數(shù)據(jù)的形式記錄在紙上，或存儲在某種磁性介質(zhì)上，以數(shù)據(jù)的形式記錄在紙上，或存儲在某種磁性介質(zhì)上，或以波形形式顯示在儀器的顯示屏上?；蛞圆ㄐ涡问斤@示在儀器的顯示屏上。1 1、信號定義與分類、信號定義與分類1.1 1.1 信號定義信號定義 n 如如心電圖心電圖，就是利用儀器從人體上獲得的心臟跳動的數(shù)，就是利用儀器從人體上獲得的心臟跳動的數(shù)據(jù)，通常顯示在儀器上供醫(yī)生診斷之用，或記錄在紙上據(jù)，通常顯示在儀器上供醫(yī)生診斷之

3、用，或記錄在紙上作為病人病例記錄。作為病人病例記錄。1.11.1、信號定義、信號定義n 再比如飛機上的再比如飛機上的黑匣子黑匣子，就是將各種傳感器采集，就是將各種傳感器采集下來的有關(guān)飛機下來的有關(guān)飛機飛行狀態(tài)飛行狀態(tài)、發(fā)動機、發(fā)動機工作狀態(tài)工作狀態(tài)等數(shù)等數(shù)據(jù)記錄下來，以備將來分析事故之用。據(jù)記錄下來，以備將來分析事故之用。1.11.1、信號定義、信號定義 為深入了解信號的物理實質(zhì)，將其進(jìn)行分類研究為深入了解信號的物理實質(zhì)，將其進(jìn)行分類研究是非常必要的，從不同角度觀察信號，可分為：是非常必要的，從不同角度觀察信號，可分為： -從信號描述上分從信號描述上分-確定性信號確定性信號與與非確定性信號非確

4、定性信號；-從信號的幅值和能量上從信號的幅值和能量上-能量信號能量信號與與功率信號功率信號；-從分析域上從分析域上-時域時域與與頻域頻域；1.2 1.2 信號分類信號分類 1 1、信號定義與分類、信號定義與分類-從連續(xù)性從連續(xù)性-連續(xù)時間信號連續(xù)時間信號與與離散時間信號離散時間信號；-從可實現(xiàn)性從可實現(xiàn)性 -物理可實現(xiàn)信號物理可實現(xiàn)信號與與物理不可實現(xiàn)信號物理不可實現(xiàn)信號。1.1.2 2 信號分類信號分類 (1) (1) 確定性信號確定性信號 可以用明確數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的信號可以用明確數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的信號稱為稱為確定確定性信號性信號。不能用數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的信號不能用數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的信號稱為稱為非

5、確非確定性信號定性信號。1.1.2 2 信號分類信號分類 a)a) 周期信號：經(jīng)過一定時間可以重復(fù)出現(xiàn)的信號周期信號：經(jīng)過一定時間可以重復(fù)出現(xiàn)的信號 x ( t )x ( t ) = = x ( t + nT )x ( t + nT )簡單周期信號簡單周期信號復(fù)雜周期信號復(fù)雜周期信號1.1.2 2 信號分類信號分類 b) b) 非周期信號：在不會重復(fù)出現(xiàn)的信號。非周期信號：在不會重復(fù)出現(xiàn)的信號。 準(zhǔn)周期信號準(zhǔn)周期信號: :由多個周期信號合成，但各信號頻率不成由多個周期信號合成，但各信號頻率不成公倍數(shù)。如：公倍數(shù)。如：x(t) = sin(t)+sin(2.t)x(t) = sin(t)+sin

6、(2.t)瞬態(tài)信號瞬態(tài)信號:持續(xù)時間有限的信號，持續(xù)時間有限的信號， 如如 x(t)= e-Bt . Asin(2*pi*f*t)1.1.2 2 信號分類信號分類 （2 2）隨機信號：不能用數(shù)學(xué)式描述，其）隨機信號：不能用數(shù)學(xué)式描述，其幅值幅值、相位相位變化不可預(yù)知變化不可預(yù)知，所描述物理現(xiàn)象是一種隨機過程。，所描述物理現(xiàn)象是一種隨機過程。 噪聲信號噪聲信號(平穩(wěn)平穩(wěn))統(tǒng)計特性變異統(tǒng)計特性變異噪聲信號噪聲信號(非平穩(wěn)非平穩(wěn))1.1.2 2 信號分類信號分類 (3) (3) 連續(xù)時間信號與離散時間信號連續(xù)時間信號與離散時間信號 a) a) 連續(xù)時間信號連續(xù)時間信號: :在所有時間點上有定義在所有

7、時間點上有定義 b)b)離散時間信號離散時間信號: :在若干時間點上有定義在若干時間點上有定義采樣信號采樣信號1.1.2 2信號分類信號分類 (4) (4) 能量信號與功率信號能量信號與功率信號 a)a)能量信號能量信號 在所分析的區(qū)間（在所分析的區(qū)間（-，），），能量為有限能量為有限值的信號值的信號稱為稱為能量信號能量信號，滿足條件：，滿足條件： dttx)(2一般持續(xù)時間有限的瞬態(tài)信號是能量信號。一般持續(xù)時間有限的瞬態(tài)信號是能量信號。1.1.2 2 信號分類信號分類 2.1 時域描述時域描述0220)()()(000tTATtAtxnTtxtx時域描述時域描述：直接觀測或記錄到的信號，以：

8、直接觀測或記錄到的信號，以時間時間為獨為獨立變量的，稱其為信號的時域描述。立變量的，稱其為信號的時域描述。 2 2、周期信號與離散頻譜、周期信號與離散頻譜(1)(1)周期周期T T，頻率，頻率f=1/Tf=1/T(2) 峰值峰值PAtT PPp-p(3) 峰峰值峰峰值Pp-p2.1 時域描述時域描述(4) (4) 均值均值TTTxdttxtxE01)(lim)( 均值均值Ex(t)Ex(t)表示信號平均值或表示信號平均值或數(shù)學(xué)期望值數(shù)學(xué)期望值。均值：反映了信號變化的中心趨勢，也稱之均值：反映了信號變化的中心趨勢，也稱之為為直流分量直流分量或或固定分量固定分量。x2.1 時域描述時域描述(5)

9、(5) 均方值均方值 信號的均方值表達(dá)了信號的強度，稱為信號的均方值表達(dá)了信號的強度，稱為平均平均功率功率；其正平方根值，又稱為；其正平方根值，又稱為有效值有效值(RMS)(RMS)，也，也是是信號平均能量信號平均能量的一種表達(dá)。的一種表達(dá)。 22120 xTTTE xtxt dt ( )lim( )2.1 時域描述時域描述(6) (6) 方差方差方差：反映了信號繞均值的方差：反映了信號繞均值的波動程度波動程度。 信號信號x(t)x(t)的方差定義為：的方差定義為： 22120 xTTxTE x tE x tx tdt ( ( ) ( ) lim( ( )大方差大方差 小方差小方差 2.1 時

10、域描述時域描述示例：示例：2.1 時域描述時域描述案例：案例：汽車速度測量汽車速度測量:2.1 時域描述時域描述案例：案例：旅游索道鋼纜檢測旅游索道鋼纜檢測超門限報警超門限報警 2.1 時域描述時域描述頻域描述頻域描述：以：以頻率作為自變量頻率作為自變量的，稱其為信號的頻的，稱其為信號的頻域描述。域描述。周期信號的頻域描述周期信號的頻域描述2.2 頻域描述頻域描述2 2、信號的時域與頻域描述、信號的時域與頻域描述 信號頻域分析是采用信號頻域分析是采用傅立葉變換傅立葉變換等方法將時域信等方法將時域信號號 變換為頻域信號變換為頻域信號 ，從而幫助人們從另一個，從而幫助人們從另一個角度來了解信號的特

11、征。角度來了解信號的特征。 )(tx)( fX)2sin()(nfttx2.2 頻域描述頻域描述 信號頻譜信號頻譜 X(f) 代表了信代表了信號在不同頻率分量成分的大號在不同頻率分量成分的大小，能夠提供比時域信號波小，能夠提供比時域信號波形更直觀，豐富的信息。形更直觀，豐富的信息。 時間時間幅值幅值頻率頻率時域分析時域分析頻域分析頻域分析2 2、信號的時域與頻域描述、信號的時域與頻域描述2.3 時域描述與時域描述與頻域描述關(guān)系頻域描述關(guān)系 時域分析只能反映信號的時域分析只能反映信號的幅值隨時間的變化情幅值隨時間的變化情況況，除單頻率分量的簡諧波外，很難明確揭示，除單頻率分量的簡諧波外，很難明確

12、揭示信號信號的頻率組成的頻率組成和和各頻率分量大小各頻率分量大小。 圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號 2.3 時域描述與時域描述與頻域描述關(guān)系頻域描述關(guān)系時域和頻域的對應(yīng)關(guān)系時域和頻域的對應(yīng)關(guān)系131Hz147Hz165Hz175Hz 頻域參頻域參數(shù)對應(yīng)于設(shè)數(shù)對應(yīng)于設(shè)備備轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速、固固有頻率有頻率等參等參數(shù)，物理意數(shù)，物理意義更明確。義更明確。2.3 時域描述與時域描述與頻域描述關(guān)系頻域描述關(guān)系案例：大型空氣壓縮機傳動裝置故障診斷案例：大型空氣壓縮機傳動裝置故障診斷2.3時域描述與時域描述與頻域描述關(guān)系頻域描述關(guān)系2.4.2 傅里葉級數(shù)的復(fù)指數(shù)展開式ttetsi

13、njcosj)(21cosjjtteet)(2 j1sinjjtteet歐拉公式：歐拉公式：2.2.4 4 周期信號的頻譜周期信號的頻譜nnnncc, 復(fù)指數(shù)函數(shù)形式的頻譜為雙邊譜復(fù)指數(shù)函數(shù)形式的頻譜為雙邊譜(-(- ,+,+ ) )，三角函數(shù)形式，三角函數(shù)形式的頻譜為單邊譜的頻譜為單邊譜(0,+(0,+ ) )。 兩種頻譜的各諧波幅值之間兩種頻譜的各諧波幅值之間, ,有有| |c cn n|=|=A An n/2, /2, c c0 0= =a a0 0 雙邊幅值譜為偶函數(shù)，雙邊相位譜為奇函數(shù)，即：雙邊幅值譜為偶函數(shù)，雙邊相位譜為奇函數(shù)，即：三角函數(shù)展開式與復(fù)指數(shù)展開式的關(guān)系2.2.4 4

14、周期信號的頻譜周期信號的頻譜周期信號頻譜的特點 周期信號的頻譜是周期信號的頻譜是離散離散的的； 每個譜線只出現(xiàn)在每個譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍基波頻率的整數(shù)倍上；上； 諧波幅值隨諧波次數(shù)的增高而諧波幅值隨諧波次數(shù)的增高而減小減小。因此，可以。因此，可以忽略高次諧波分量。忽略高次諧波分量。2.2.4 4 周期信號的頻譜周期信號的頻譜3.1 概述 準(zhǔn)周期信號準(zhǔn)周期信號 :兩個或兩個以上的正、余弦信號疊加，如果任兩個或兩個以上的正、余弦信號疊加，如果任意兩個分量的頻率比不是有理數(shù)，或者說各分量的周期沒有意兩個分量的頻率比不是有理數(shù)，或者說各分量的周期沒有公倍數(shù)公倍數(shù) 瞬變信號瞬變信號 :除了準(zhǔn)周期

15、信號以外的非周期信號稱為瞬變信號。除了準(zhǔn)周期信號以外的非周期信號稱為瞬變信號。 ( )sin()sin()sin()112233x tA2tA3tA2 7t 圖圖 瞬變信號的波形瞬變信號的波形 a)a)電容放電時電壓的變化電容放電時電壓的變化 b)b)初始位移為初始位移為A A質(zhì)量塊的阻尼自由振動質(zhì)量塊的阻尼自由振動 c)c)受拉的弦突然拉斷受拉的弦突然拉斷3 3 、非周期信號的頻譜、非周期信號的頻譜 3. 2 瞬變信號的頻譜瞬變信號的頻譜傅里葉變換傅里葉變換 tntnTTnntnnTetetxTectx00000jj2/2/0j)d)(1()(dd)(21)d)(1lim)(lim)(jjj

16、2/2/j0000000tttnnTTtnTTTetetxetetxTtxtx 周期信號可以寫成周期信號可以寫成瞬變信號可以看成周期無窮大的周期信號，即瞬變信號可以看成周期無窮大的周期信號，即3 3、 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜 周期信號幅值譜周期信號幅值譜| |c cn n| |的量綱即為信號幅值的量綱，的量綱即為信號幅值的量綱，瞬變信號幅值譜瞬變信號幅值譜| |X X( (f f)| )| 為信號在單位頻寬上的幅值。為信號在單位頻寬上的幅值。所以所以 | |X X( (f f)| )| 是頻譜密度函數(shù)，工程測試中仍稱為頻是頻譜密度函數(shù)，工程測試中仍稱為頻譜。譜。 | |c cn n|

17、 |是離散的，是離散的，| |X X( (f f)|)|是連續(xù)的。是連續(xù)的。周期信號與瞬變信號幅值譜的區(qū)別：3 3、 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜2021)(TtTttw例例 矩形窗函數(shù)的頻譜矩形窗函數(shù)的頻譜 )( csin)sin(d )2cos(2d)2sin(j)2cos(d)()(2/02/2/2 jfTTfTfTTtfttftfttetwfWTTTft其中其中森克函數(shù)森克函數(shù)：sincsincx x=sin=sinx x/ /x x。隨著隨著x x的增加，森克函數(shù)以的增加，森克函數(shù)以2 2 為周期作衰減振蕩；它是偶函數(shù)，為周期作衰減振蕩；它是偶函數(shù)，并且在并且在n n ( (n

18、n= = 1, 1, 2, 2, ) )處為處為0 0。解解:3 3、 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜矩形窗函數(shù)及其頻譜瞬變信號頻譜的特點：瞬變信號頻譜的特點：瞬變信號的頻譜是瞬變信號的頻譜是連續(xù)連續(xù)的，幅值隨著頻率的增加而的，幅值隨著頻率的增加而衰減衰減。3 3、 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜3. 3 傅里葉變換的主要性質(zhì)傅里葉變換的主要性質(zhì)1.奇偶虛實性奇偶虛實性tetxfXftd)()(2 j)(j)(d)2sin()(jd)2cos()(IRfXfXtfttxtfttx顯然，可以根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷實頻譜和虛頻譜的奇偶性。顯然，可以根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷實頻譜和虛頻譜的奇偶性。3

19、3、 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜2.線性疊加性質(zhì)由傅里葉變換的定義容易證明，若由傅里葉變換的定義容易證明，若 ，有，有式中：式中： 為常數(shù)。為常數(shù)。)()(, )()(fYtyfXtx)()()()(fbYfaXtbytaxa b , 3.3.對稱性質(zhì)對稱性質(zhì))()(fXtx則有則有 )()(fxtX若若 證明：證明：fefXtxtfd)()(2j以以- -t t替換替換t t，有，有fefXtxftd)()(2j將將t t與與f f互換，得互換，得)(tX的傅里葉變換的傅里葉變換tetXfxftd)()(2j)()(fxtX3 3、 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜 對稱性質(zhì)表明傅里葉

20、變換與傅里葉逆變換之間存在對稱關(guān)系，對稱性質(zhì)表明傅里葉變換與傅里葉逆變換之間存在對稱關(guān)系，即信號的波形與信號頻譜函數(shù)的波形有互相置換的關(guān)系。利即信號的波形與信號頻譜函數(shù)的波形有互相置換的關(guān)系。利用這個性質(zhì)，可以根據(jù)已知的傅里葉變換得出相應(yīng)的變換對。用這個性質(zhì)，可以根據(jù)已知的傅里葉變換得出相應(yīng)的變換對。 圖圖 對稱性示例對稱性示例 3 3、 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜4. 時間尺度改變性質(zhì))0()(1)(kkfXkktx即時域時間壓縮即時域時間壓縮k k倍，則頻域的擴展和幅值的降低均為倍，則頻域的擴展和幅值的降低均為k k倍。倍。證明：當(dāng)信號證明：當(dāng)信號x x( (t t) ) 的時間尺度

21、變?yōu)榈臅r間尺度變?yōu)?kt kt 時，有：時，有：)(1)(d)(1d)()(2j2jkfXkktektxktetxktkfft在信號在信號x x( (t t) ) 幅值不變的條件下，有：幅值不變的條件下，有：3 3、 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜時間尺度改變性質(zhì)舉例時間擴展時間擴展k k=1/2=1/2 k k=1=1時間壓縮時間壓縮k k=2=23 3、 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜5 時移和頻移性質(zhì)時移和頻移性質(zhì)當(dāng)時域信號延遲當(dāng)時域信號延遲t t0 0時，其頻譜函數(shù)乘因子時，其頻譜函數(shù)乘因子 ，因此因此會改變相頻譜，而幅頻譜不變。會改變相頻譜，而幅頻譜不變。 ,時移性質(zhì)時移性質(zhì)若若

22、F F x x( (t t)=)=X X( (f f) )，并且并且t t0 0為常數(shù)，則有：為常數(shù)，則有：02 j0)()(ftefXttx00)02 j02 j(2 j02 j0)()(d)(d)(tfftttfftefXtteettxtettx證明：證明：02 jfte3 3、 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜頻移性質(zhì)tfetxffX02 j0)()(若頻譜沿頻率軸右移一個常值若頻譜沿頻率軸右移一個常值f f0 0，對應(yīng)的時域函數(shù)將乘因?qū)?yīng)的時域函數(shù)將乘因子子 。tfe02 j與時移性質(zhì)同理，有：與時移性質(zhì)同理，有：證明證明: :)j (j j j ()d()d()( )0002 f t

23、 t2 ft2 ft0002 ftx tt etx tt eettX fe3 3、 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜6.微分和積分特性微分和積分特性 微分特性微分特性:若若 積分特性積分特性:若若)()(fXtx)(2jd)(dffXttx)()2 j (d)(dfXfttxnnn)()2 j(d)(dtxtffXnnn)(2 j1d)(fXfttxt)()(fXtx微分與積分特性在信號處理中很有用。在振動測試中，如微分與積分特性在信號處理中很有用。在振動測試中，如果測得位移、速度或加速度中任一參數(shù)，便可用傅里葉變果測得位移、速度或加速度中任一參數(shù)，便可用傅里葉變換的微分或積分特性求其它參數(shù)的

24、頻譜。換的微分或積分特性求其它參數(shù)的頻譜。 3 3、 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜7 卷積性質(zhì)卷積性質(zhì) d )()(d )()()()(122121txxtxxtxtx兩個函數(shù)兩個函數(shù)x x1 1( (t t) )和和x x2 2( (t t) )的卷積定義為的卷積定義為 卷積定理：卷積定理：)()()()(2121fXfXtxtx)(*)()()(2121fXfXtxtx時域的時域的卷積卷積對應(yīng)于頻域的對應(yīng)于頻域的乘積乘積；時域的時域的乘積乘積對應(yīng)于頻域的對應(yīng)于頻域的卷積卷積。3 3、 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜3.4 幾種典型信號的頻譜3.4.1 單位脈沖函數(shù)(-函數(shù))1單位脈沖

25、函數(shù)(-函數(shù)) 的定義)(lim)(0tt1d)(d)(0, 00,)(lim0ttttttt即即單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)矩形脈沖函數(shù)矩形脈沖函數(shù)若延遲到若延遲到t t0 0時刻，有時刻，有()000tttt0tt3、 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜2-函數(shù)的采樣性質(zhì))0(d)()0(d)()(xttxtttx)(d )()(d )()(0000txttttxttttx于是，在脈沖發(fā)生點采集到函數(shù)于是，在脈沖發(fā)生點采集到函數(shù)x x( (t t) )的值。的值。3 3-函數(shù)與其它函數(shù)的卷積函數(shù)與其它函數(shù)的卷積)(d )()()()(txtxttx)(d)()()()(000ttxttxtttx

26、3.4 3.4 幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜-函數(shù)卷積性質(zhì)的應(yīng)用:函數(shù)函數(shù)x x( (t t) )與與-函數(shù)卷積的結(jié)果，就是把函數(shù)卷積的結(jié)果，就是把x x( (t t) ) 的圖形從坐標(biāo)原點平移到脈沖的圖形從坐標(biāo)原點平移到脈沖函數(shù)發(fā)生的坐標(biāo)位置。函數(shù)發(fā)生的坐標(biāo)位置。 函數(shù)函數(shù)x x( (t t) )與與-函數(shù)的卷積函數(shù)的卷積3.4 3.4 幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜4-函數(shù)的頻譜1d)()(02 j2 jfftetetffetftd1)(2j-函數(shù)具有等強度、無限寬廣的頻譜，這種頻譜常稱為函數(shù)具有等強度、無限寬廣的頻譜，這種頻譜常稱為“均勻譜均勻譜”或或“白色譜白色譜”。是理

27、想的白噪聲信號。是理想的白噪聲信號。-函數(shù)的頻譜函數(shù)的頻譜3.4 3.4 幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜02j0)(ftett)(02 j0ffetf1)(t)(1f根據(jù)傅里葉變換的時移、頻移性質(zhì)，還可以得到以下傅里葉變根據(jù)傅里葉變換的時移、頻移性質(zhì)，還可以得到以下傅里葉變換對：換對：3.4 3.4 幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜3.4.2單邊指數(shù)函數(shù)信號的頻譜 單邊指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式: 000, 0)(tatetxat其傅里葉變換: 22220)j2(j20j2)2(2j)2(j21ddd)()(faffaafateteetetxfXtfaftatft22)2(1)(fafX)2a

28、rctan()(aff圖 單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜a)時域表示 b)幅值譜圖 c)相位譜圖3.4 3.4 幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜3.4.3 正、余弦函數(shù)信號的頻譜因為正、余弦函數(shù)不滿足絕對可積條件，所以不能直接進(jìn)行傅因為正、余弦函數(shù)不滿足絕對可積條件，所以不能直接進(jìn)行傅氏變換。氏變換。正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的頻譜可用傅里葉級數(shù)描述。正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的頻譜可用傅里葉級數(shù)描述。由由歐拉公式，有：歐拉公式，有：tftftftfeetfeetf00002j2j02j2j0212cos2j2sin于是，有：于是，有：)()(212cos)()(2j2sin000000fffftfFfffftfF3

29、.4 3.4 幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的頻譜圖3.4 3.4 幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜3.4.4周期矩形脈沖函數(shù)信號的頻譜 周期在一個周期內(nèi)函數(shù)表達(dá)式 ,()( ),(),()T0t22x t1t22T0t22 圖 周期矩形脈沖函數(shù)j/j/( )ddsin()sin (),000ntT 2nT 2nt22jnt2200001cx t etT1etT1 eTjnn22Tnncn012T2 周期矩形脈沖函數(shù)周期矩形脈沖函數(shù)信號傅里葉級數(shù)信號傅里葉級數(shù)3.4 3.4 幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜 周期矩形脈沖函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式為: sin (),

30、nnCcn012TT ( )sin (),00jntjntnnnnx tC ecen012TT若設(shè)T=4,周期矩形脈沖函數(shù)的頻譜 圖2-18周期矩形脈沖信號的頻譜（T=4 ) a) 幅值頻譜 b)相位頻譜3.4 3.4 幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜周期矩形脈沖信號的周期相同、脈寬不同的頻譜?？梢钥吹剑捎谛盘柕闹芷谙嗤?，因而信號的譜線間隔相同。如果信號的周期不變而脈沖寬度變小時，信號的頻譜幅值變小。圖圖 周期矩形脈沖信號脈沖寬度與頻譜的關(guān)系周期矩形脈沖信號脈沖寬度與頻譜的關(guān)系3.4 3.4 幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜當(dāng)信號的脈沖寬度相同而周期不同時，當(dāng)周期變大時，信號譜線的間

31、隔便減小。若周期無限增大，原來的周期信號便變成非周期信號，此時，譜線變得越來越密集，最終譜線間隔趨近于零，整個譜線便成為一條連續(xù)的頻譜。當(dāng)周期增大而脈沖寬度不變時，各頻率分量幅值相應(yīng)變小。圖圖 周期矩形脈沖信號周期與頻譜的關(guān)系周期矩形脈沖信號周期與頻譜的關(guān)系3.4 3.4 幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜圖圖 周期矩形脈沖信號周期與頻譜的關(guān)系周期矩形脈沖信號周期與頻譜的關(guān)系3.4 3.4 幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜3.4.5符號函數(shù)信號的頻譜符號函數(shù)信號的數(shù)學(xué)表達(dá)式 10( )sgn( )0010tx tttt傅里葉變換的微分性質(zhì) )()(fXtx)(2 jd)(dffXttx符

32、號函數(shù)微分 dsgn( )2 ( )dttt dsgn( )2 ( )2dtFtt3.4 3.4 幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜dsgn( )2sgn( )ddsgn( )2 ( )21dsgn( )222FtjfFttFtFttFtjfjfjfj f21sgn( ) tjj f3.4 3.4 幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜圖圖 單位符號函數(shù)及其信號頻譜圖單位符號函數(shù)及其信號頻譜圖a) a) 單位符號信號單位符號信號 b) b) 單位符號信號的幅值譜單位符號信號的幅值譜 c) c) 單位符號信號相位譜單位符號信號相位譜3.4 3.4 幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜3.4.6階躍函數(shù)信號的頻譜階躍信號數(shù)學(xué)表達(dá)式 10( )( )00tx tu tt任何信號都可以分解為偶信號與奇信號之和。按單位階躍信號可分解為偶信號與奇信號之和。1( )( )( )1 sgn( )2eou tx tx tt11( )( )211( )( )( )2F u tfj fx tu tfj f3.4 3.4 幾種典型信號的頻譜幾種典型信號的頻譜圖圖 單位階躍信號及其頻譜單位階躍信號及其頻譜a)