1.3.1函數(shù)的單調(diào)性例題

1、1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性 題型一、利用函數(shù)的圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 例 11作出下列函數(shù)的圖象，并寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 （1 1）y y = = x2 _1 ; ; （2 2）y = X2+2X+3; （3 3） y = x+l| + （x2）2 ； （4 4） y =培x26x+9+lx2+6x + 9 相應(yīng)作業(yè) 1 1:課本 P32P32 第 3 3 題. . 題型二、用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性 用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性步驟：取值 作差變形一定號(hào) f 下結(jié)論 取值，即 _ ； 作差變形，作差 _ ,變形手段有 _ 、 _ 、 _ 、 _ 等; 定號(hào)，即 _ ； 下結(jié)論，即 _ 。 例 22用定

2、義法證明下列函數(shù)的單調(diào)性 （1 1）證明： f （x -x3 1在-：，=上是減函數(shù) 定義法證明單調(diào)性的等價(jià)形式 ： 設(shè) Xp X2 三 a,b , x1 - x2, ,那么 (洛、2)圧(兀)-f(X2)l 0= f(Xl) 一 f(X2)0= X1 X2 (X! X2)f (xj 一 f(X2) l：0= U：:：0 = Xi X2 證明：f (x) = . x2 1 -x在其定義域內(nèi)是減函數(shù)； 1 (3 3)證明：f(x) 2在-：,0上是增函數(shù); X 法一：作差f (x)在 la,b la,b 上是增函數(shù); f (x)在a,b 上是減函數(shù). . 法二：作商 (4 4)已知函數(shù)y=f(x

3、)在0,= 上為增函數(shù)，且f(x)：0(x .0)，試判斷F(x)_ 1在 一 f(X) 0,；上的單調(diào)性，并給出證明過(guò)程； 方法技巧歸納判斷函數(shù)單調(diào)性的方法： 1 1、 直接法：熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等；如，練習(xí)冊(cè) P27P27(2 2)P31P31 (上 5 5、1 1) 2 2、 圖象法； 3 3、 定義法； 4 4、 運(yùn)算性質(zhì)法： 當(dāng)a 0時(shí)，函數(shù)af (x)與f (x)有相同的單調(diào)性； 當(dāng)a : 0時(shí)，函數(shù)af (x)與f (x)有相反的單調(diào)性； 當(dāng)函數(shù)f (x)恒不等于零時(shí)，f (x)與 匚 單調(diào)性相反； f(x)f(x) 若f (x) _0，則f(x)與.f

4、(x)具有相同的單調(diào)性； 若f(x)、g(x)的單調(diào)性相同，則 f(x) g(x)的單調(diào)性與之不變； 即：增+ +增= =增 減+ +減= =減 若f(x)、g(x)的單調(diào)性相反，則f(x)-g(x)的單調(diào)性與f (x)同. . 即：增- -減= =增 減- -增= =增 注意：(1 1)可熟記一些基本的函數(shù)的單調(diào)性， 一些較復(fù)雜的函數(shù)可化為基本函數(shù)的組合形式， 再利用上述結(jié)論判斷； 2 ax 相應(yīng)作業(yè) 2 2： (1 1 )討論函數(shù)f(x)二二 在-1,1上的單調(diào)性(a = 0)； x -1 k ( 2 2)務(wù)必記住“對(duì)勾”函數(shù) f(X)= X (k 0)的單調(diào)區(qū)間(見(jiàn)練習(xí)冊(cè) P29P29

5、探究之窗 X 探究 1 1) 知識(shí)拓展一一復(fù)合函數(shù)單調(diào)性(難點(diǎn)) 一、 復(fù)習(xí)回顧： 復(fù)合函數(shù)的定義：如果函數(shù)y = f (t)的定義域?yàn)?A A,函數(shù)t = g(x)的定義域?yàn)?D D，值域?yàn)?C C， 則當(dāng)C5A時(shí)，稱函數(shù)y = f(g(x)為f與g在 D D 上的復(fù)合函數(shù)，其中t叫做中間變量， t二g(x)叫內(nèi)層函數(shù)，y=f(x)叫外層函數(shù)。 二、 引理 1 1 已知函數(shù) y=f y=f g(x)g(x):. .若 t=g(x)t=g(x)在區(qū)間(a,b)(a,b)上是增函數(shù)，其值域?yàn)?c (c , d)d), 又函數(shù) y=f(t)y=f(t)在區(qū)間(c,d)(c,d)上是增函數(shù)，那么，

6、原復(fù)合函數(shù) y=f y=f : g(x)g(x)在區(qū)間(a,b)(a,b)上是增 函數(shù) 引理 2 2 已知函數(shù) y=f y=f g(x)g(x):. .若 t=g(x)t=g(x)在區(qū)間(a,b)(a,b)上是減函數(shù)，其值域?yàn)?c (c , d)d)，又 函數(shù) y=f(t)y=f(t)在區(qū)間(c,d)(c,d)上是減函數(shù)，那么，復(fù)合函數(shù) y=f y=f g(x)g(x)在區(qū)間(a,b)(a,b)上是增函數(shù). . 引理 1 1 的證明： 重要結(jié)論 1 1：復(fù)合法則 若 t =g(x) y = f (t) 則 y = f b(x)】 增 增 增 減 減 增 增 減 減 減 增 減 規(guī)律可簡(jiǎn)記為“

7、_ ”(四個(gè)字) 重要結(jié)論 2 2:若一個(gè)函數(shù)是由多個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成的，則此復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由簡(jiǎn)單函 數(shù)中減函數(shù)的個(gè)數(shù)決定： 若減函數(shù)有偶數(shù)個(gè)，則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)； 2 f(x)g(x)與丄 的單調(diào)性不能確定. . g(x) 若減函數(shù)有奇數(shù)個(gè)，則復(fù)合函數(shù)為減函數(shù) 1 規(guī)律可簡(jiǎn)記為“ _ 題型三、求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 例 3.3.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. . （1） y = . 7 - 6x - X2 3 小結(jié)： 1 1、 注意： （1 1）求單調(diào)區(qū)間必先求定義域； 單調(diào)性的應(yīng)用 題型四、比較函數(shù)值的大小 2 單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集； 3 寫(xiě)多個(gè)單調(diào)區(qū)間時(shí)，區(qū)間之間不能用“ ”并起來(lái)，應(yīng)用“

8、，”隔開(kāi). . 2 2、判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性步驟： 求函數(shù)的定義域； 將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)： y = f （t）與t = g（x）； 確定兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性； 由復(fù)合法則“同増異減”得出復(fù)合函數(shù)單調(diào)性 相應(yīng)作業(yè) 3 3:求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. . ” （四個(gè)字） 1 x2 2x 3 (1)y = j8-2x-x2 ：X2-2X-3 例 44已知函數(shù)y二f(x)在0,：;心上是減函數(shù)，試比較 f()與f(a?-a 1)的大小. . 4 題型五、已知單調(diào)性，求參數(shù)范圍 例 55已知函數(shù) f (x) = x2 - 2(x - a)x 2 (1 1 )若f(x)的減區(qū)間是 - ：,41,求實(shí)數(shù)a的

9、值； (2 2 )若f(x)在-：,4 1上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù) a的取值范圍 例 66若函數(shù)f(x)(2b j j)x)x+b+b- -1,x：0在R上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍 廠x2 +(2 b)x,x 蘭0 題型六、利用單調(diào)性，求解抽象不等式 例 77已知函數(shù)y = f(x)是1,1上的減函數(shù)，且f (1 _a) . f (a? _1)，求實(shí)數(shù)a的取值范 圍 x 例 88已知f(x)是定義在0, ：上的增函數(shù)，且f( ) = f(x)-f(y)，且f(2)=1，解不 y 等式 f (x) - f (二)_ 2 . . x 3 相應(yīng)作業(yè) 4 4：已知f (x)是定義在 0, :上的增函數(shù)，

10、且f (xy) = f (x) f (y)，且 f (2) =1，解不等式 f (x) f(x -2)乞 3. . 題型七、抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷一一定義法 解決此類問(wèn)題有兩種方法： 湊”，湊定義或湊已知條件，從而使用定義或已知條件得出結(jié)論； 賦值法，給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系，有時(shí)可能要進(jìn)行多次嘗試 例 99已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f (x y)二f (x) f (y)，且當(dāng)x . 0時(shí) f(x) 0，求證：f (x)在 R R 上單調(diào)遞增 例 10.10.已知定義在 上的函數(shù)f(x)對(duì)任意x、y三10,=,恒有 f (xy f (x) f (y)，且當(dāng) 0 ： x : 1

11、時(shí) f(x) 0 ,判斷 f (x)在 0,：；3 上單調(diào)性 相應(yīng)作業(yè) 5 5：定義在0,-上的函數(shù)f (x)對(duì)任意x、yw0,亠,滿足 f (m n)二 f(m) f( n)，且當(dāng) x 1 時(shí) f (x) 0. . (1 )求f (1)的值； (2)(2) 求證： f (m)二 f (m) - f (n)； n (3)(3) 求證：f (x)在0, ：上是增函數(shù)； (4)若 f(2) =1，解不等式 f(x 2)-f(2x) 2 ； 1 1 函數(shù)的最大(小)值定義 2 2、利用單調(diào)性求最值常用結(jié)論 (1) 若函數(shù)y二f(x)在閉區(qū)間a,b上單調(diào)遞增，則ymin二f(a) , ymax二f (

12、b)； (2) 若函數(shù)y = f(x)在閉區(qū)間a,b 1上單調(diào)遞減，則ymin = f(b)，ymax二f(a)； (3) 若函數(shù)y = f (x)在開(kāi)區(qū)間a,b上單調(diào)遞增，則函數(shù)無(wú)最值，但值域?yàn)?f(a), f (b)； (4) 若函數(shù)y = f (x)在閉區(qū)間la,b上單調(diào)遞增，在閉區(qū)間 b,cl上單調(diào)遞減，那么函數(shù) y = f (x)， x a, c 在 x = b處有最大值，即 ymax 二 f (b)； (5)若函數(shù)y二f (x)在閉區(qū)間a,b 1上單調(diào)遞減，在閉區(qū)間 b,c 1上單調(diào)遞增，那么函數(shù) y = f(x)， a,c 在 x=b 處有最小值，即 ymin=f(b). . 題

13、型八、單調(diào)性法求函數(shù)最值(值域) 例 1111、( 1 1)函數(shù)f(x)= 在1,5】上的最大值為 _ , ,最小值為 _ 2x _1 (2)(2) _函數(shù)y = 2x刊在2,4】上的最大值為 ,最小值為 _ x+1 (3)函數(shù)y =2x-J1 -2x的值域?yàn)?_ (4)(4) _ 函數(shù) y y =仮的值域?yàn)?_1 +x (6)函數(shù)y =藥的值域?yàn)?_ 函數(shù)的最大(小)值 (5)函數(shù) y x -2 1 x 2的值域?yàn)?二次函數(shù)的區(qū)間最值的求法 二次函數(shù)在給定區(qū)間 m, n 1上求最值，常見(jiàn)類型: (1)定軸定區(qū)間：對(duì)稱軸與區(qū)間 m, n 1均是確定的; (2) 動(dòng)軸定區(qū)間： (3) 定軸動(dòng)區(qū)間

14、： (4) 動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間： 1 1 定軸定區(qū)間 可數(shù)形結(jié)合，較易解決，注意對(duì)稱軸與區(qū)間位置關(guān)系。 例 1212當(dāng)- 2_x_2時(shí)，求函數(shù)y = x2-2x-3的最值. . 相應(yīng)作業(yè) 6 6:求函數(shù)y = -x2 4x - 5在1,5 1上的最值. . 2 2、動(dòng)軸定區(qū)間 例 13.13.已知函數(shù)f(x) =x2 2ax 2，求f (x)在L 5,5上的最值. . 動(dòng)軸定區(qū)間問(wèn)題一般解法：對(duì)對(duì)稱軸在區(qū)間左側(cè)、右側(cè)、 內(nèi)部三種情況進(jìn)行討論，從而確 定最值在區(qū)間端點(diǎn)處還是在頂點(diǎn)處取得 . . 相應(yīng)作業(yè) 7 7：求函數(shù)f (x) = x2 - 2ax-1在0,2】上的最值. . 3 3、定軸動(dòng)區(qū)間 例 14.1