《現(xiàn)代控制理論》(劉豹_唐萬生)

1、第1章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式1-1試求圖127系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，并建立其狀態(tài)空間表達式E1-27M統(tǒng)方塊結(jié)構(gòu)區(qū)系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下:X = X2 K1Knp八"1pXy =X3Xa H 心 X6A丿丿廠右6xs = -Kr + KX& K. K Kx6 =_-x _ x6 + uKn Kn Knppp令&(s)=y,則y = %i所以，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式及輸出方程表達式為3luo o o o ol-心- 一+1 2 3 4 5 6 rxlxEIXZIXLX如/lo17 01 2 3 4 5 6 rxlxr 尢IXLX-1-1-2有電路如圖1-28所示。以電壓&quo

2、t;(r)為輸入量，求以電感中的電流和電容上的電 壓作為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程，和以電阻&上的電圧作為輸出量的輸出方程。R1L1L2圖128電路圖解：由圖，令 ii =X19i2 =Uc =X3 輸出量 y = 2X2有電路原理可知：R1X1 + Li%! +x3 = u%1 = %2 + C%3既得 玄=一一»3 +右UL1 L1 L1 Z?21兀2 =廠卷+廠無3 1 1戀=_嚴+嚴y = & 兀 2寫成矢量矩陣形式為：r RiniiXlurr.1I-兀20&1人1%2+匚厶2如.011-0-%3- cc0y = 0 R2 0 %21-3有機械系統(tǒng)如圖1. 2

3、9所示,Ml和M2分別受外力fl和f2的作用.求以Ml和M2 的運動速度為輸出的狀態(tài)空間表達式.yiCl/> fl(t)解：以彈簧的伸長度幾兀 質(zhì)量塊加勺速率56作為狀態(tài)變量 即 Xi二y” x2=y2, x3=cx, x5=c2根據(jù)牛頓定律,對Mi有:%等二fHUyyJ-B】(6-C2)對 有：Mi 善二企+匕(yi-y：) +BX (c-c2) - k 莎-B 心將 Xi, x=, X3, Xt 代入上面兩個式子，得 M：x3=f-ki (x】-xj -Bi (x3-x.)M:%4=f2+k1 (x】一 xj +B：(X3-x J -k2x2-B2xl整理得 %1=X3無2二X注X-

4、m25輸岀狀態(tài)空間表達式為y產(chǎn)5二X31-4兩輸入嗎，"2,兩輸出為，卩2的系統(tǒng)，其模擬結(jié)構(gòu)圖如圖1-30所示，試求其狀解：系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式如下所示:(si -A)=00s«4-1s + a±00 -1s + a3.上%(s) = (s)TB =%(s) = C(sZ 礦=1.0-100 -10O'+ 50a6S00S-100%a4 s+.0b2 S-100 -10O'S + Q0X0-10s-100.0«4s + a3_.0b2i00.s-105-100a2 s + a 0 a6-105-10 a5 a4 5 + «31-

5、5系統(tǒng)的動態(tài)特性由下列微分方程描述(l)y + Sy + 7y + 3y = ii + 2u(2)y + 5y + 7y + 3y = u + 3u + 2u列寫其相應(yīng)的狀態(tài)空間表達式，并畫岀相應(yīng)的的模擬結(jié)構(gòu)圖。(1)解：由微分方程得：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為w (s)=-壬S +5s +7S + 3 010 %11込=0C1卜2 +-3-7乂 T-5bdy =210無2転相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下：則狀態(tài)空間表達式為:0'0 u1.11239(2)解：由微分方程得：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為W(s)二一S +5s+7s + 3則狀態(tài)空間表達式為：1-6 Xi=00-3+uy = 2 3相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下:

6、0'0_101X】1 “已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)(1)W(S)=總豈(2)")=6(s+l)s(s+2)(s+3)2,試求岀系統(tǒng)的約旦標準型的實現(xiàn)，并畫出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖(本題答案方法不對，正確思路：使用教材P41方法，專門用來把傳遞函數(shù)轉(zhuǎn) 化為約旦標準型)解：(1)由"(S)=量:d可得到系統(tǒng)表達式為X1'01x2=00.0-30'0 u丄%1'y = -10 io o %2jc3.求得A的特征矢量1 1 pl =-1.1 .,p2 =-3.9 .則可構(gòu)成變換矩陣T0.0.1 0' -3090.'1T = pl 卩 2 p3 = 1

7、.1求得T的逆矩陣M31-311634133-計算得到變換都各矩陣分別為1107=0 0L0 0 -3J 1-2MXB =161 3 -CXT = -20-400100'耳O-300兀2+10-20X31000.1.(s+3)2U+ s+3 +10 1sy= -410T1'3.無2兀3A.1-7給定下列狀態(tài)空間表達式010 'pi01無2=-2-30兀2+1-11-3.73.2y = o 01兀2転（1）畫岀其模擬結(jié)構(gòu)圖（2）求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解:1'(s + 3)25 + 30o叱“ ($) = (si- A)-1 B =；-一 2(5 + 3)s(s + 3)

8、01(s + 3)($ + 2)($ +1)-5-55 1(5 + i)(5 + 2)2 j(s/ i4)(s+3)(s+2)(s+1)1G + 3)G + 2)G + 1)Wq(s) = C(s/A)Tb = 0 0($ + 3)1 s(s + 3)(25 +1)(5 + 3)1G + 3)G + 2)(s + l)s 1(2) "(s)= 一4) = 2 s + 3s + 3.1 -1sI-A =s(s + 3)2 + 2(s + 3) = (s + 3)(s+2)(s+ 1)(s + 3)2 s + 302(s + 3) s(s + 3)0s 5 s 1 (s + l)(s +

9、 2)G + 3)+ 3)(2$+ 1)($+ 3)(25 + 1)一 G + 2)(s + l)求下列矩陣的特征矢量:解之得：久=1丿2 = 2丿3 = 一3解：A的特征方程：AI-A=A 寸 2_1 1=22 + 42 + 5=01+ 2-解之得：久1二-2+j,久2二一2-j ;當(dāng)心-2+j 時，；開；=(-2+嚼解得：P11=-JP2V 4-Pn=b 得當(dāng) A2-j 時，匚(-2-J) j解得：際一嘰，令叱1，得專(2) A二0 16 5-解：A的特征方程：HI嗆E片+ W0解之得：九二-2, A2=3 ;當(dāng)九二-2時,0 1-6 -5 “21rPni二一 2ViiP21.解得：卩21

10、 二一2pm 令P11 二 1，得P二1-2-當(dāng)久2二7時,0 1-6 -5卩22rPi2i二一 3P12P22.解得：卩22二一3p令卩12二1，得卩2二1-3-0 1o -(3) A =302-12-76.解：A的特征方程XI-A =-A-3-10 '-2=A3 4- 6A2 + 11A + 6 = 0.127A + 6.01o -卩山P11當(dāng)九=一1時,302P21P21-12-76.P31.加解得：P21 = P31 P11令 Pll = 1(或令 Pll = -1，P11-rP21=1如.1.得幾= -2 時,2 2 212 3 衛(wèi)P衛(wèi)1 O72 2 212 3 衛(wèi)P衛(wèi)解得：

11、卩22 = 2卩12*卩32 =212令 P12 = 2T12P22P32.P2 =2 '-41 .P12(或令P12 =得卩2= P22'1 '-2 )解得:'1 '-3.3 .03-12P3210-71令P132026P23 = 3p13,P33 = 313'12-1'(4) A =-10-1.445 .A - 1-2解：A的特征方程XI A =1A.-4-4解之得:久1 = 1,久2 =5+西丿221 '1= A3 - 6A2 + 15A -10 = 0A 5.1當(dāng)1時，-1-rPii'-1P215 .嘰丿3 =20

12、4卩1T =P21卩31.111 p 令12 3 rppLP當(dāng)；（2 = 5八両時,解得:令 P22 = 1解得:時，-i令卩23 = 14r i411-9試將下列狀態(tài)空間表達式化成約旦標準型。(1)x2i L1 lxl _ 2y=l 0x解：A 的特征方 A=A2 + 4久 + 3=0解得久=-1或久二-3解之得 PxFPzu 令 Ph=i，得 PfJ-21解之得P滬一P切故 T=；丄則廠W1-L12-12-1-003ZB 二2-12,CT=1故約旦標準型為Z二才_° z，y二11，1Z(2)ryii.212123%2Lx3JL51'7 u3.解：A 的特征方程|加川二滬7

13、A2 + 15A - 9二(久-3)(2 3)(2 1)=0Pnriii21二 3卩21卩31-22341當(dāng)九二3時特征向量：101 -11 解之得比二戸21=卩3”令Pll=l 得Pi二1.1.肖入二3時的廣義特征向量,41» 11'1 0 2P22二 3卩22111-13.P32 -卩32.1.1解之得 P/Px+l， P=二P3" 令 P/1，得匕二 0OP13P13卩23二卩23卩33-33 -2241當(dāng);(3二1 時 101 -1O 解之得P孑o, P滬2P如令P33=l,的P3二2.1.310'-27廠】AT二030廠】B二49.001.-3-1

14、5.CT 二3L214'03.1 1 0'0 1 0 故T二10 2,T-1 二-111.1 0 1.2 -2 -1.10' 27 '30X+49U01.-3-15.3故約旦標準型為Z二0.04'1-10J.已知兩子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣WjlG)和”2(s)分別為：W1G)=s+11+2s+1試求兩子系統(tǒng)吊聯(lián)連接時系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，并討論所得結(jié)果。解：兩子系統(tǒng)串聯(lián)聯(lián)接時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣W(s) = W2(s)lV1(s),得W(s) =15 + 31-S + l11s+10s+2s+1s+2二15 + 401(s+l)(s+3)(s+2)(s+3)(s+4)

15、I(s+l)2(s+l)(s+2)s2+5s+7兩子系統(tǒng)并聯(lián)聯(lián)接時,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣W(s)二W(S) +%(S),得1 11 1s+1s+2+s+3s+4cS+l11八0 0s+2.S+lW(s) =s+l2s+42s+6(s+l)(s+3)(s+2)(s+4)s+1 s+2串聯(lián)聯(lián)接時，山于前一環(huán)節(jié)的輸出為后一環(huán)節(jié)的輸入，串聯(lián)后等效非線性環(huán)節(jié)特性與兩環(huán)節(jié)的先后次序有關(guān)，故改變向后次序等效特性會發(fā)生改變。并聯(lián)聯(lián)接時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為兩系統(tǒng)單獨作用后的疊加。1-11已知如圖122(見教材47頁)所示的系統(tǒng)，其中子系統(tǒng)1、2的傳遞函數(shù)陣分別1 _ 1 s+lS0 2s+2為昭G)=”2(S)=L

16、O求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)陣。解:1s + 21.001.1s + 201/+ lVi(S)"2(S)= /+ * +0s ri1 Lo01.s + 2s + 2s + 31 -ss + 2s + 1-s + 1VV(5)= /+(5)VV2(5)P(5)=5 + 31'"1s + 15 + 1(s + 2)(s + l)sS + 2s(s + 3)5 + 301015+1s + 301 -ss + 3s + 2S + 1 s(s + 3)s + 2s + 3 -£ 1S 5 + 15 + 2 s5 + l_ .1-12已知差分方程為:y(k + 2) + 3

17、y(k + 1) + 2y(fc) = 2u(fc + 1) + 3u(k) 試將其用離散狀態(tài)空間表達式表示，并使驅(qū)動函數(shù)u的系數(shù)b (即控制列陣)為fo(l)g1(2)b =1解：由差分方程得傳遞函數(shù)”(刃=島去=士+三化為并聯(lián)型：x(k + 1) = -1 為 x(k) + J u(k)y(fc) = i i斑町化為能控標準型：x(k + 1) = _°2 J3 x(k) + ； u伙)y(k) = 3 2x(fc)第2章 控制系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的解2-1試證明同維方陣A和B,當(dāng)AB=BA時，疋eBt=e缶廠t,而當(dāng)aBhBA時, eBt 0(0)=才：=I。證明：由矩陣指數(shù)函數(shù)

18、 u(t) = I(t)=I + At+ A2t2 + - + Aktk + - 可得：e(A+B)t=I+ (aB) t +(A+B)2t2 +CA+B?t3 +=1 + (A+B )t (A2 +AB + BA+B2 ； t2 + 2!+ + (A3 + A2B + ABA + AB2 + BA2 + BAB + B2A + B3 ) t3 + 3!eBt=(Z + AtA2t2 + A3t3 + Bt+B2t2 + B2t3 + )二 /+ (A+B) t CA2 +AS + M+52 > t2 +2!+ 4+ >12B + ABA + AB2 + BA2 + BAB + B

19、2A + B2 ) t2 + 3!將以上兩個式子相減，得：q (A+B)t-eAf eBt-右(BA - AB)t2 + 專(BA2 + ABA + B2A + BAB - 2A2B + 2AB2>)A3t3 + - 顯然，只有當(dāng)AB = BA時，才有e骯二o,即“+b幾二護叫否則e <A+B)teAteBt.2-2試證本章2.2節(jié)中兒個特殊矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)式(2.17),式(2.18),式(2.19)和式(2.20)成立。證明：(1)式(2. 17)由矩陣指數(shù)函數(shù)訛)=Z(t)=Z +血+討2以+掃3" + .可得：u(t) = /(t>7 + >lt+

20、A2t2+A3t3 + -2蕩存忙V001Lk=0A2Z即得證。(2) 式(2. 18)由矩陣指數(shù)函數(shù) u(t) = Z(t)=Z + At+j；A2t2 +A2t3 + 可知，若存在非奇異變換陣T,使得T1AT = A,則A = TAT1,且兀心，九是 特征根可知p=4AtkV001 )k,kQAt二丁乙k=0/l2cT_'二躍。訥T即得證。(3) 式(2. 19)"1 A 10若力為約旦矩陣，A =J =久"0A 1 丿曲矩陣指數(shù)函數(shù) U(r) = Z(t)=Z + At+A2t2 +A3t2 + 3 3OO2 -I3oooO : oo : o3.14-oo2A

21、器o2ii40n-1焉nA?-2nA?-1兀礦371礦200Aw =00nA?-1 090000ko000 ；1將以上所求得的4、月？代入(*)式,令肚。詁汁邛，則笫i塊的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：(ed(f>d2(f>0(E_丄dAt2!dAf(m-l)!財嚴0ed(f>d(m-2fqM-dXi(m-2)!筋廣2000 (m-3)!筋匸-彳lo0 0 0 /teAit eAitf.m-1A rAit(1t21嚴-1c,.bt22(m-l)!0eAitteAitt.m-2_trt01t1嚴2(m-2)!(m-2)!00ax；t3 ZU0011y.m-3p 1.K (m-3)!C(加一3)

22、! 000. 0e1 /000i /即得證。(4) 式(2.20)拉式反變換法證明：由4 =(O-0):)得:-0)s - a1 - 21-2;+ -1-2J1 i 2+ +則狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為:山歐拉公式得:(±(護+-0)=eaty_±(e>tcos cot sina)t-smo)t cos a)t 丿即得證。2-3；)-5 4/試用拉氏反變換法求(與例2-3、例2-7的結(jié)果驗證)解:由"宀厲y轉(zhuǎn)化成部分分式為：s2 一 4s + 522ss 4 1 s(s - 4) s -5s + 2 s2一幻+ s2+ + 5-1s-2+ s-2亠+丄+二 (s-l)2

23、s-1s-23 n + + (s-1)2s-1s-2亠+丄+蘭 (s-l)2s-1s-2二+丄+丄(s-1)2 s-1s-2(s-1)2 s-1s-2(s-1)25-2/7乂山拉氏反變換得:L(s/- 4 尸(-2et + e2f=(-2tet - 2，+ 2e2tV-2tefc - 4ef + 4e2t3tef + 2ef - 2e2t3tet + 5et - 4e2t3tef + 8ef 一 8e2f-tef + et + e2t -tef - 2ef + 2e2t j -tet - 3ef + 4尹丿2-4用三種方法計算以下矩陣指數(shù)函數(shù)0。(1) A=(J -1) (2) A=(：解：(

24、1)方法一：約旦標準型由A二C 7)'令1引一仆0，即I ； ； = °得護+ 4 = 0,解得久1二2i,久2 = 2iAP = AP 可得 當(dāng)A1 = 2i時，設(shè)Pi=（；：）由礎(chǔ)=砧-得C 7）（；：） = 21 （；：），解略;：二當(dāng)即人=（_2i） 當(dāng)X2 = -21時，設(shè)卩2=（；：）由朋2 = 5,得（：7）（畫）=-2臨）,解得；：二訥P2 =（2i）則，矩陣指數(shù)函數(shù)eAt = TeAtT1= （_；：(ei2t 0方法二：定義法山已知fi 0)s -P+（0 1丿<4 0丿7l-2r+-r4+.32 3一/ + 廣 +.34/-/' +.1一2

25、尸+?*+.33方法三：凱萊-哈密頓定理A<J J，令F 仆X 1-4 A=0,得” +4 = 0,解得：特征根久1二21、久2 =皿則（纖C益H爲則，eAt = a0I + a1?l=(|el2f + /i(ei2t-e-i2t) L(ei2t-ei2t) l扛嚴宀)軋嚴+ e®)丿 方法四：拉氏反變換法214i0、1214i)c冷處+ 土 ©一2 2Lei2t_Le-i2t4i4i/ -)(0 -1 t ) 40（2）方法一：約旦標準型由甘（：），令卜/一力|二0,即二/= °，得A2-4 = 0,解得久產(chǎn)3, A2 = -l曲力P = 可得 當(dāng)血=3時

26、，設(shè)B二（；：）由侶=砧,得（:M；：卜璐：）,解得；：；即（J 當(dāng)久2 = -1時,設(shè)卩2二（；）由碼=仍，得（：7）（畫）=-（畫），解得；：二即§ =（匕 變換矩陣T = （P P2） = g則，矩陣指數(shù)函數(shù)eAt=TeAtT方法二：拉式反變換法 由si A 二（爲：），得:s-1(s-3)(s+l)(s-3)(s+l)(s-3)(s+l)s-1(s3)(s+l)則，矩陣指數(shù)函數(shù)eAt = lT1（sI-AY1 =s 1(s - 3)(s + 1) V -4 s2。一 3S+174。一3+ -( s- 3 s+12、s-3卩+222e2t + e_t方法三：凱萊-哈密頓定理由

27、A二（:：），令sI-A=0, 即久2 = _15八4就»七4則3 (;則，矩陣指數(shù)函數(shù)= a0I + a.Aie3t + ie-fc2 2e3t +41 311 t-e e 44丄汙+丄尸2 2)(:下列矩陣是否滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件，如果滿足，試求與之對應(yīng)的A陣。1)0 (t)0sint-cost0cos tsint小100 (t)昇)+ e2t二 (2e_t _ e2t 2e - 2e2t I e y 一 e-2t 2g y 一 e-2t ) -扌(小+殲八 皆+戶)丿e（o）=解:因為壬1,所以該矩陣不滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件(2)因為0(0) =1001-=1，所以該矩陣滿足

28、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件00(3) 因為u(t)=Z(t),所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件 則%(t) = <#>(t)x(0) +t) Bu(r)dT丿0(4)因為。(0)=1.001.=1，所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件則2-6A = t=Q1 3 3f = e_t +-e2t2 2e_t + 3e3tt=o求下列狀態(tài)空間表達式的解:<0ro>y 二(1o)x初始狀態(tài)尢(0) = (：),輸出u(t)是單位階躍函數(shù)。 解：系統(tǒng)矩陣：A = ( J) 特征多項式為:sI-A = -1)a心 I1)1 1'.41.因為 B = (；) , u(t) = Z(t)所

29、以 x(t) = <P(t)x(0) + 石 t) Bu(T)dT72-7試證明本章2. 3節(jié)，在特定控制作用下，狀態(tài)方程式(2. 25)的解、式(2. 30)、 式(2.31)和式(2. 32)成立。證明：(1)采用類似標量微分方程求解的方法，則有：x - Ax = Bu等式兩邊同乘廣加，得：eAt x Ax = eAtBu(t)即= eAtBu(t)對上式在®,t上積分，有：整理后可得式：x(t) = ex(t-t°)x(t0) +Bu(r)dT(2)脈沖響應(yīng)：u(t) =K5(t), x(0_) = xo時，由狀態(tài)方程解為：x(t) = "(Io)X(

30、S) + J； "(I) Bu(T)dT把to =0-帶入，有x(t) = eAtx(0_) + f gA(tY)Bu(r)dT丿o_帶入u(t) = k5(t),有x(t) = e4t%(0_) +e4(t_T)BkSdi = eAtx0 + eAtBk (考慮到5函數(shù)的特點)(3) 階躍響應(yīng)：山狀態(tài)方程解為：x(t) = ex(t-to)x(to) +Bu(r)dT把to = 0_帶入，有x(t) = ext%(0_) 4-咼 /(i)Bu(r)dT = eAtx0 + eAt 建(/ - A® + 守一.)dQB/c,積分，由上式得： x(t)二“ + 曲("

31、;一竽+ 穿二"儀o +(獷1)(廠加-I)Bk=eAtx0 + Ar(eAt - I)Bk(4) 斜坡響應(yīng)：山狀態(tài)方程解為：x(t) = e4(t_to)x(to) + J； eA('tT) Bu(j)diro把S = 0_, u(t) = kt x l(t)代入，有x(t) = extx(O_) + 咼 eA(t-T)idiBk =eAtx0 + eAt 們(Z Ar +.)t diBk二/% + 嚴("2 一訴3+警)以=eAtx0 + A2(eAt -I - At)Bk=eAtx0 + A2eAt -I)- ArrtBk2-8訃算下列線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩

32、陣0（t, 0）和0一1億0）。解：由題意知：門必二'：（； g）dT二（斗。浮0V0八 0 0/-t30”寸 oU（T）dT力（0即：心和J：力（0）血是可以交換的由：°（r,0） = expJ：A（T）d©得：2go） =expfA（T）dT =（； ；）+（巧滬（彳+.二（1 + 扌產(chǎn) + If4 + °）由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣e（缸o）的基本性質(zhì)：0（t,to）二h（to，t）,得: 0_1（t,O） =0（0, t） =expfA（T'）dT 而小（T）dT=f；（； °） dT =（- I'" J） 如伽）Z:卅-尹

33、町彳訂加九)如(0即：力(0和A(l)dT是可以交換的由：0_1(t,O) = explfAdr-1 得：0_1(f>O) = 旳JA(e)血尸二旳J；4(®)dT =0(0, t)2=e ?)<f W A=(1-期 + »4 + 0)(2)由題意知:J0(T)dTT ；)血11_oA J(T)dT =(/-X0>B|J：月(t)和j：力必是可以交換的由:0(t, 0) = expA(r)dT得:0(匚 0)二explfAdT山狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣0(t,t0)的基本性質(zhì)：。(缸o)二0一1仏江)，得:0_1(t,O) =0(0, t) =expfA(ry)dT而

34、心伽眉二打0 口Yr 0丿/e_t(l - el)0 r0=(tt )=/. A(i)dTA(t)即：心)和fA(r)dT是可以交換的由：0_1(t,O) = expf(T)dT_1 得:0_1(tO) = exp J(T)dT_1=expf t°4(T)dT =0(0, t)0 el-l1 - eT0-1 + - -|e_2t + -JA Jt°i4(T)dT 二0 e_t- 1l-eT 01 0J0 e-l0 1)V - e-T 0 1+尹_匕-2七+ .2 21一小+e-t72-9有系統(tǒng)如圖22所示，試求離散化的狀態(tài)空間表達式。設(shè)采樣周期分別為T二0. Is 和1S,

35、而均和地為分段常數(shù)。解：f K/(s+I)<?9-圖2.2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：將此圖化成模擬結(jié)構(gòu)圖7列寫狀態(tài)方程為：(x± = ku± - x1“2 =1-U2y = %2 + 2%i可表示為：x =(7 °)x+(； JX；) 八(2°C：)則離散化的時間狀態(tài)空間表達式為：x(k + 1) = G(T)x(k) + H(T)u(k)y(k) = cx(fc) + Du(fc)由 G(T)=嚴和 H(T) = J； eAtdtB 得: 系統(tǒng)的個矩陣為：A = (-1 J)“27( (k(l eT)U(T - l + e-T)k0"七=厶T(s/

36、 - A)-1 = L-1 (s二 1k 0) = (0 -V 0> c匚1 - eT 0T-l + e-T T)p 一011 - e'01當(dāng) T二0.1s 時，有 x(k + 1)=(L = ©5)(k<0;)訛)+(/c(l-e-01)0 .L(e-01-0.9) O.J"()y仇+ 1) = (2 l)x(k)當(dāng)T*時，有砍+ 1)叫二f/cCl-e-1)V ke10-13y(k +1) = (2 l)%(fc)2-10有離散時間系統(tǒng)如下，求尢伙)1/%i(k + 1)2x2(k + 1)7118%i(0) = -1, %2(0) =3輸入嗎伙)是

37、斜坡函數(shù)r采樣而來，u2(t)是從廠七同步釆樣而來。解：山題易得8(斫J<812>將G變換為對角型令：a(K) = Tx(K)可得.x(k +1) = T-lGJx(k)+T-lHU(K)Rn . & (k) =(t“gt)k£8=0檢) = <J)(K)列 O) +壬叫)T-7/U(K-J-l)A-特征方程3-G)= j28分別令 P=GP P2 =GP2可得特征矢量即轉(zhuǎn)移矩陣為V_rf1 乍 T221-1 1 丿11<22>T =r ip/< （、r3、02_2281 181111-11 丿一o5<22><82>

38、VI8>A = TGT ="3、K(3 K、80F00508J8>(K) =設(shè) x(K)= m + nm = <I>(7C)x(0)= 0(/C)T-'x(O)=女一in “加（K-j-l） =工丿（）5kF£2£2(-23宀5kV 0 8丿fl2_1_2：1 0)-y-r0工11(01丿f(KT-l)8y丿122 >7 '可得x(K)= Tx(K)= 0( K)x(O)+工(K-j-l)HU(j)丿x(l) =(1)x(0) +(0)觀(0)運用遞推法2.11112811I 3八V82>10某離散時間系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

39、圖如圖2. 3所示。圖2.3離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖(1) 寫出系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程。(2) 當(dāng)采樣周期T =0. Is時的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。(3) 輸入為單位階躍函數(shù)，初始條件為零的離散輸出y(r)。(4) t二0.25s時刻的輸出值。解：(1)系統(tǒng)中連續(xù)時間被控對象的時間函數(shù)為：G(s)二1 _ 1(s+l)(s+2) s+11s+2連續(xù)時間被控對象的狀態(tài)空間表達式為:即:01 = X2%2 = -2%i 一 3%2 + U2輸岀方程為：y(fc?) =(1 O)x(kT)松)"十3-礦】仁;-:鳥;-廣七+ 2嚴丿，、“(Ze" eF e'T-e-2T G(T)P =_2e-

40、r + 2e-2T _e-T + 2e-2T)H(T) = eAl BodtJ_e-r+le-2r + £X-e'2T + e-T)則，被控對象的離散化狀態(tài)方程為:x(k +1)?(2e-r - e-2T-2e"T + 2e2re-r-e-2T -尸+2產(chǎn)丿1 + -2y(fcr)= (1 o)x(fcr)由得當(dāng)T二0.1s時心叫工:氏二:;心駕0.086)0.733/(3)由題意知 r(t)=l, T二0. Is仔1伙+ 1)匸0.990 &2“+ 6 丿一 1-0.1720.086 Vx1(k)/0.00450.733丿也伙)八0.086丿初始條件為零，

41、即：%(o)= (j),pi(l)V/0.0045%2(1)/ I 0.086 丿當(dāng)k二1時,“ 0.990,-0.1720.086/0.0045/0.0045/0.0160.733丿 I 0.086 丿 V 0.086 / V0.148/0.086' /0.016 /0.016 /0.0330.733丿(0.148丿 V0.1487V0.1927系統(tǒng)的離散化輸出為:y(fc)=(i 0)(；富片1的 y( 0)二0y(l)二0.0045y(2)二0.016y(3)二0.033(4)當(dāng) t二0.25s 時，y( 0.25) =y( 0.2) =0.016第3章 線性控制系統(tǒng)的能控性與能

42、觀性3-1判別下列系統(tǒng)的能控性與能觀性。系統(tǒng)中a, b, c, d的取值與能控性能觀性是否有 關(guān)，若有關(guān)其取值條件如何？(1)由解：由圖可得:= -ax± + u%3 = CX3 +X2+X± = X± + X2 - CX3%4 = X3 - dx4狀態(tài)空間表達式為:-a 000 '1'0 b 00無2+011 -c 00001-d.0.u0 1 o%無1£JC4.y = o曲于%2、兀3、兀4與U無關(guān),因而狀態(tài)不能完全能控，為不能控系統(tǒng)。山于y只與力有關(guān)，因而系統(tǒng)為不完全能觀的，為不能觀系統(tǒng)。此可知系統(tǒng)中的a,b,c,d的取值對系統(tǒng)的能

43、控性和能觀性沒有影響（2）rrrax =_c由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可以知道其狀態(tài)空間表達式為)心卩°” M=b A/?= 1 ba則由此可知Li -若系統(tǒng)可控則abc d工0ab+c+d0bN =同理可知若系統(tǒng)能觀則+2 a bX0/解：如狀態(tài)方程與輸出方程所示，A為約旦標準型，要使系統(tǒng)能控，控制系統(tǒng)b 中相對于約旦塊的最后一行元素不能為0,故有a工0工0。要使系統(tǒng)能觀，則C中對應(yīng)于約旦塊的第一列元素不全為0,故有c工0, d工0。3-2=(A + 3)2-1二久2 + 6久+8 二 0Z + 5時不變系統(tǒng)：%=(;3 23Mi試用兩種方法判別其能控性與能觀性。 解：一、變換為約旦型ai-a

44、=a+Ai = 2當(dāng)久1 = 一2時由久1卩1 = Ap±得Ph = p2i令Ph = 1則P21 = 1得A =(；)當(dāng)久2 = 一4時由久2P2 = AP2得一卩21 = P22令P21 =】則卩22 = 一】得卩2 =（則丁 = Pl P2 = (J 匕則廠=（:J） = （J為因為有一行元素為零所以系統(tǒng)不能控。(2)由已知轉(zhuǎn)換矩陣T = Pi P2 = (J匕)則CT = (JC 21)=c ?）因為CT沒有全為0的列 所以系統(tǒng)是能觀的。二、（1）能控性判別山能控判別陣M二（b,Ab） 因為7 "Y i）G ；）=& :;）所以I :所以M所有二階式全為0且rankM<2則系統(tǒng)不能控（2）能觀性判別由能觀判別陣N =（：）因為7 A）t -j（；3 -3）=a