第11講二次函數(shù)與三角形的綜合2教案

1、1. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過A（1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D連接BD，點(diǎn)P是線段BD上一個(gè)動點(diǎn)（不與B，D重合），過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為E，連接BE（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如果點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），PBE的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取得最大值時(shí)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，把PEF沿直線EF折疊，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為P，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)ABCD備用圖OxyAxCDPE圖1OyB解：（1）拋物線經(jīng)過A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)， 拋物線解析式為：，頂點(diǎn)D

2、的坐標(biāo)為：（1，4） （2） 設(shè)BD的解析式為：，代入B，D的坐標(biāo)得， BD的解析式為： S= = 當(dāng)時(shí)，S取得最大值，最大值為 （3）如圖，當(dāng)S取得最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，3）ABC(E)DPFPHMOxyPEy軸，PFx軸， 四邊形PEOF為矩形作點(diǎn)P關(guān)于EF的對稱點(diǎn)P，則FPC=P=90°，所以CPM是直角三角形連接PE，PF；作PHy軸于H，PF交y軸于點(diǎn)M設(shè)MC=m，則MF=m，PM=3m，PE=在RtCPM中，由勾股定理得： 解得：m= 由直角三角形面積公式得CM·PH=PM·PE， PH=EHPEPM 可得，EH=OH= ， P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）2如圖

3、，拋物線經(jīng)過A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點(diǎn) （1）求出拋物線的解析式； （2）P是拋物線上一動點(diǎn)，過P作PMx軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與OAC相似？若存在，請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由； （3）在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)D，使得DCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo) 2：（1）該拋物線過點(diǎn)C（0，-2）， 可設(shè)該拋物線的解析式為y=ax2+bx-2 將A（4，0），B（1，0）代入， 得， 解得.此拋物線的解析式為yx2+x2； （2）存在如圖，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m， 則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m2+m2， ：當(dāng)1m4時(shí)，AM=4-m，P

4、Mm2+m2 又COA=PMA=90°， 當(dāng)， C在拋物線上， OC=2， OA=4， APMACO， 即4m2(m2+m2) 解得m1=2，m2=4（舍去）， P（2，1）當(dāng)時(shí)，APMCAO，即2(4m)m2+m2 解得m1=4，m2=5（均不合題意，舍去） 當(dāng)1m4時(shí)，P（2，1），:當(dāng)m4時(shí)，AM=m-4，PM=m2m+2 或 把P（m，m2+m2）代入得：2（m2m+2）=m-4 或 2（m-4）=m2m+2解得：第一個(gè)方程的解是m=-2-24（舍去）m=-2+24（舍去）， 第二個(gè)方程的解是m=5，m=4（舍去） 求出m=5，m2+m2=-2，則P（5，-2）， 當(dāng)m1時(shí)，

5、AM=4-m，PM=m2m+2 或， 則：2（m2m+2）=4-m， 或 2（4-m）=m2m+2解得：第一個(gè)方程的解是m=0（舍去），m=4（舍去）， 第二個(gè)方程的解是m=4（舍去），m=-3， m=-3時(shí)，m2+m2=-14， 則P（-3，-14）， 綜上所述，符合條件的點(diǎn)P為（2，1）或（5，-2）或（-3，-14），（3）如圖，設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t（0t4），則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為|t2+t2|過D作y軸的平行線交AC于E 由題意可求得直線AC的解析式為yx2E點(diǎn)的坐標(biāo)為(t，t2)DEt2+t2(t2)t2+2t， SDAC=SDCE+SDEA=DEh+DE（4-h）=DE4， SDAC &

6、#215;(t2+2t)×4t2+4t(t2)2+4， 當(dāng)t=2時(shí)，DAC面積最大， D（2，1）3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），并且OA=OC=4OB，動點(diǎn)P在過A，B，C三點(diǎn)的拋物線上（1）求拋物線的解析式；（2）過動點(diǎn)P作PE垂直于y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作x軸的垂線垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長度最短時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）是否存在點(diǎn)P，使得ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由3：（1）由A（4，0），可知OA=4， OA=OC=4OB， OA=OC=4，OB=1， C（0，4）

7、，B（-1，0） 設(shè)拋物線的解析式是y=ax2+bx+c， 則，解得：， 則拋物線的解析式是：y=-x2+3x+4；（2）連接OD，由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF根據(jù)垂線段最短，可得當(dāng)ODAC時(shí)，OD最短，即EF最短根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，D是AC的中點(diǎn)又 DFOC，DF=OC=2， 點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是2則-x2+3x+4=2，解得：x=， 當(dāng)EF最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（，2）或（，2）（3）存在第一種情況，當(dāng)以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)C作CP1AC， 交拋物線于點(diǎn)P1過點(diǎn)P1作y軸的垂線，垂足是M ACP1=90°， MCP1+ACO=90° ACO+OAC=90&

8、#176;， MCP1=OAC OA=OC， MCP1=OAC=45°， MCP1=MP1C，MC=MP1， 設(shè)P（m，-m2+3m+4）， 則m=-m2+3m+4-4， 解得：m1=0（舍去），m2=2 -m2+3m+4=6， 即P（2，6）第二種情況，當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過A作AP2， AP2交拋物線于點(diǎn)P2，過點(diǎn)P2作y軸的垂線，垂足是N，AP2交y軸于點(diǎn)F P2Nx軸，由CAO=45°，OAP=45°， FP2N=45°，AO=OF P2N=NF，設(shè)P2（n，-n2+3n+4）， 則n=（-n2+3n+4）+4， 解得：n1=-2，n2=4（舍去

9、），-n2+3n+4=-6， 則P2的坐標(biāo)是（-2，-6）綜上所述，P的坐標(biāo)是（2，6）或（-2，-6）4：如圖1，已知矩形紙片ABCD中，AB6cm，若將該紙片沿著過點(diǎn)B的直線折疊（折痕為BM），點(diǎn)A恰好落在CD邊的中點(diǎn)P處（1）求矩形ABCD的邊AD的長（2）若P為CD邊上的一個(gè)動點(diǎn)，折疊紙片，使得A與P重合，折痕為MN，其中M在邊AD上，N在邊BC上，如圖2所示設(shè)DPx cm，DMy cm，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x的取值范圍（3）當(dāng)折痕MN的端點(diǎn)N在AB上時(shí)，求當(dāng)PCN為等腰三角形時(shí)x的值；當(dāng)折痕MN的端點(diǎn)M在CD上時(shí)，設(shè)折疊后重疊部分的面積為S，試求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式

10、4：（1）根據(jù)折疊可得BP=AB=6cm CP=3cm 根據(jù)RtPBC的勾股定理可得：AD3（2）由折疊可知AMMP，在RtMPD中， y=其中，0x3.（3）當(dāng)點(diǎn)N在AB上，x3， PC3，而PN3，NC3. PCN為等腰三角形，只可能NCNP過N點(diǎn)作NQCD，垂足為Q，在RtNPQ中， 解得x=（4）當(dāng)點(diǎn)M在CD上時(shí)，N在AB上，可得四邊形ANPM為菱形設(shè)MPy，在RtADM中，即 y= S=5如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于A、D兩點(diǎn)，并經(jīng)過B點(diǎn)，已知A點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0），B點(diǎn)的坐標(biāo)是（8，6）（1）求二次函數(shù)的解析式（2）求函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)及D點(diǎn)的坐標(biāo)（3）該二次函數(shù)的

11、對稱軸交x軸于C點(diǎn)連接BC，并延長BC交拋物線于E點(diǎn)，連接BD，DE，求BDE的面積（4）拋物線上有一個(gè)動點(diǎn)P，與A，D兩點(diǎn)構(gòu)成ADP，是否存在SADP=SBCD？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在請說明理由5：（1）二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象過A（2，0），B（8，6），解得二次函數(shù)解析式為：y=x24x+6；（2）由y=x24x+6，得y=（x4）22，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），點(diǎn)A，D是y=x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，又點(diǎn)A（2，0），對稱軸為x=4， 點(diǎn)D的坐標(biāo)為（6，0）；（3）二次函數(shù)的對稱軸交x軸于C點(diǎn) C點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）B（8，6）， 設(shè)BC所在的直線解析式為y=kx+b，解得BC所在的直線解析式為y=x6，E點(diǎn)是y=x6與y=x24x+6的交點(diǎn)，x6=x24x+6解得x1=3，x2=8（舍去），當(dāng)x=3時(shí)，y=3， E（3，），BDE的面積=CDB的面積+CDE的面積=×2×6+×2×=