專題03運(yùn)用正弦、余弦定理解三角形(解析版)

1、專題03運(yùn)用正弦、余弦定理解三角形“知殊夾背】於夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，掌握基本技切1正、余弦定理在厶ABC中，若角A, B, C所對的邊分別是 a, b, c, RABC外接圓半徑，則疋理正弦定理余弦定理公式Iabc = = 2R sin A sin B sin Ca2= b2+ c2 2bccos A;b2= c2 + a2 2cacos B;c2= a2 + b2 2abcos C常見變形(1) a= 2Rsin A, b = 2Rsin B, c= 2Rsin C;(2) sin A = , sin B = -, sin C=£ ;(2) 2R'2R'2R'(3

2、) a : b : c= sin A : sin B : sin C;(4) as in B = bs in A, bs in C = csin B, as in C = csi n Ab2 + c2 a2 cos A =2bc ；c2+ a2 b2cos B = 一 2ac 一 ；a2+ b2 c2 cos C =2ab111abc i2.&abc= yabsin C = bcsin A = acsin B =(a+ b+ c) r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算 R,2224R2r.3在 ABC中，已知a, b和A時(shí)，解的情況如下:A為銳角A為鈍角或直角圖形4CJK磴Jti

3、3-A'KAH關(guān)系式a= bsi nbsi n A a<a<ba緯a>ba<b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無解4判定三角形形狀的兩種常用途徑(1)化角為邊：禾U用正弦定理、余弦定理化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷化邊為角：通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷、利用正弦定理可解決兩類問題基本類型一般解法已知兩角及其中一角的對邊，女口 A, B, a 由A + B+ C = 180°求出C; 根據(jù)正弦定理，得 一=及一=-，求出邊b, csin A sin B sin A sin C已知兩邊及其

4、中一邊所對的角，如a, b,A 根據(jù)正弦定理，經(jīng)討論求B; 求出B后，由A+ B + C = 180°,求出C; 再根據(jù)正弦定理一豈=一鼻，求出邊c.sin A sin C提醒也可以根據(jù)余弦定理，列出以邊c為元的一元二次方程c2 (2bcos A)c+ (b2 a2)_ 0,根據(jù)一元二次方程的解法，求邊c,然后應(yīng)用正弦定理或余弦定理，求出B, C三、利用余弦定理可解決兩類問題已知兩邊和 它們的夾角， 如 a, b, C 根據(jù)余弦定理c2= a2+ b2- 2abcos C,求出邊c;b2 i c2 a2 根據(jù)cos A-，求出A;2bc 根據(jù)B- 180° _ (A + C

5、),求出B.求出第三邊后，也可用正弦定理求角，這樣往往可以使計(jì)算簡便，應(yīng)用正弦定理求角時(shí)，為了避開討論(因?yàn)檎液瘮?shù)在區(qū)間(0, n)是不單調(diào)的), 應(yīng)先求較小邊所對的角，它必是銳角已知三邊可以連續(xù)用余弦定理求出兩角，常常是分別求較小兩邊所對的角，再由A+ B+ C- 180°,求出第三個(gè)角；由余弦定理求出一個(gè)角后，也可以根據(jù)正弦定理求出第二個(gè)角，但仍然是先求較小邊所對的角【技能點(diǎn)拔】融合知識(shí)方法，塑造解題能力例1、(2019蘇州期初調(diào)查)已知 ABC的三邊上高的長度分別為2, 3, 4,則厶ABC最大內(nèi)角的余弦值等于11【答案】勞111【解析】因?yàn)楦叻謩e為2, 3, 4,由面積法可

6、知，三邊邊長之比為-:3 : " = 6 : 4 : 3,不妨設(shè)三邊長為6,4, 3，所以最大內(nèi)角的余弦值為42 + 32 - 622 X 3X 41124.變式1、(2019蘇州三市、蘇北四市二調(diào))在厶 ABC中，已知 C= 120° , sinB= 2sinA，且 ABC的面積為2邁，則AB的長為2【答案】2 7【解析】設(shè)角 A , B , C的對邊分別為a, b, c.因?yàn)閟i nB = 2 si nA，由正弦定理得 b= 2a,因?yàn)?ABC 的面積為 2彳3，所以 S= *absin120°=乎a2= 23,解得 a= 2,所以 b= 4,則 AB = c

7、=pa2+ b2 2abcosC=4 + 16 2 X 2 X 4cos120 ° = 2 7.4 變式2、（2018南京學(xué)情調(diào)研）在厶 ABC中，內(nèi)角A , B, C所對的邊分別為 a, b, c, cosB =;.5”上sinB砧居若c = 2a,求snC的值；n（2）若 C B = 4，求 sinA 的值.o.i nh思路分析 第（1）問，思路1,式子snC是齊次式，故轉(zhuǎn)化為邊處理：7,再用余弦定理構(gòu)建邊 a, b, c的關(guān)系即可；思路 2,式子c= 2a也是齊次式，故可轉(zhuǎn)化為角處理：sinC= 2sinA，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理與4n兩角和差公式解出 sinB, sinC即可

8、；第問，知cosB = 5和C B = 4 ,故可利用三角形內(nèi)角和定理，把sinA 轉(zhuǎn)化為角B的三角函數(shù)求解即可.2ac規(guī)范解答（1）解法1（角化邊）在厶ABC中，因?yàn)閏osB = 5，所以a _ b = 5.（2分）52ac 52c2因?yàn)閏= 2a,所以+ c2 b2c 5,即務(wù)20,2cX 28所以b=器禍分） 又由正弦定理得 畔=b，所以 譽(yù)B = 3.（6分）sinC 10 'sinC c gQ " /4解法2（邊化角）因?yàn)閏osB = 5, B （0，n），所以 sinB = 1 cos2B = ；（2 分）因?yàn)閏= 2a,由正弦定理得 sinC= 2sinA ,6

9、8所以 sinC= 2sin（B + C） = cosC + sinC,55即sinC = 2cosC.（4 分）215又因?yàn)?sin2c + cos2C = 1, sinC> 0，解得 sinC=,所以=込5（6分）sinC 10 .（6 分 丿 因?yàn)?cosB = 4,所以 cos2B = 2cos2b 1 =二.（8 分） 3又 0 v B v n，所以 sinB =1 cos2B=r,乍53 424所以 sin2B = 2sinBcosB = 2（10 分）5525nn因?yàn)?C B =一，即 C = B + 一4 43 n所以 A = n （B + C） = 2B ,43 n所以

10、 si nA = sin 2B4.3 n3 n=sin 4 cos2B cos 4 sin2B（12 分）22522 x 2431 250.（14 分）變式3、（2017蘇北四市一模）在厶ABC中，已知角 A，B，C所對的邊分別為 a, b, c，且tanB = 2, tanC=3.（1）求角A的大?。蝗鬰 = 3,求b的長.規(guī)范解答（1）因?yàn)?tanB = 2, tanC = 3, A+ B + C= n,所以 tanA=tan （B+ C） = tan（B + C）（2 分）=1.（4 分）tanB+ tanC1 tan BtanC又 A （0, n,所以 A = ；（6 分）（2）因?yàn)?

11、tanB =si nBcosB且 sin2B+ cos2B= 1,又 B （0, n所以 sinB = -5,（8 分）5同理可得3怖sinC = 10 .（10 分）2 5i B 3X-5-由正弦定理，得b = cSin = = 2頁.（14分）si nC 3 1010變式4、（2017蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）在厶 ABC中，a, b, c分別為角 A, B, C的對邊.已知 acosB= 3, bcosA=1，且A- B= 6.（1）求c的長;（2）求B的大小.2ac規(guī)范解答（1）解法1在厶ABC中，acosB = 3,由余弦定理, 則a十乎-/ = 3,得a2 + c2 b2= 6c;（2分）b2

12、+ c2 a2bcosA = X 則 b- 2bc = 1，得 b2+ c2 a2= 2c （4 分）+得2c2= 8c,所以c = 4.（7分）解法2因?yàn)樵?ABC中，A+ B + C= n則 sinAcosB + sinBcosA = sin（A + B） = sin（ C）= sinC, （2 分）由= bD = ."得 sinA = asinC sinB= bsinC，代入上式得（4 分） sinA sinB si nCccc= acosB+ bcosA= 3 + 1 = 4.（7 分）,“亠宀 ep acosB sin A cosB tanA “c 八'由正弦疋理得

13、 bcosA= sinBcosA =tanB= 3.（10 分 ）tanA tanB 2ta nB 3 八又tan（AB）= 1TAanB= e百虧，（12 分）解得 tanB3，又 b （0, n）所以 B= .（14 分）3 6的面積為例2、（2019南京、鹽城一模）在厶 ABC中，設(shè)a, b, c分別為角 A , B, C的對邊，記 ABCS，若2S= AB Ac ,（1）求角A的大小;n ），所以7 210 .（104若 c = 7, cosB = 5，求 a 的值.規(guī)范解答 （1 ）由 2S = Ab Ac，得 bcsinA = bccosA.因?yàn)?cosA 豐 0,所以 tanA

14、= 1因?yàn)?A （0,nA = 4 .（6 分）4 j 3（2） ABC 中 cosB = 一，所以 sinB = 1 cos2A = 一，所以 sinC= sin（A + B） = sinAcosB + cosAsinB5 5由正弦定理 孟=孟，得總=怎，解得a= 5.（14分）2 10變式1、（2019鎮(zhèn)江期末）在厶ABC中，角A , B, C所對的邊分別為 a, b, c,且ccosB + bcosC = 3acosB.（1）求cosB的值;若|CA - Cb |= 2, ABC的面積為 2 2，求邊b.a b c規(guī)范解答 由正弦定理=,CcosB + bcosC = 3acosB，得

15、sinCcosB + sinBcosC = 3sinAcosB,sinA si nB sinC（3分）則有 3sinAcosB = sin（B + C） = sin（ n A） = sinA.（5 分） 又 A （0, n ），則 sinA>0 , （6 分） 則 cosB = ；.（7 分）（2）因?yàn)?B （0, n ），則 sin B>0 , sinB = '1 cos2B 1 3 =晉（9 分） 因?yàn)?|CA CB|= |BA |= 2, （10 分） 所以 S= 2acsinB = ；ax 2x 2§2 = 2 2,得 a= 3.（12 分）1由余弦定理

16、b2= a2 + c2 2accosB = 9 + 4 2X 3X 2 x9，貝U b= 3.（14 分）3變式2、（2019南通、泰州、揚(yáng)州一調(diào)）在厶 ABC中，a, b, c分別為角A, B , C所對邊的長，acosB =2bcosA , cosA = "3.（1）求角B的值;若a= .6,求厶ABC的面積.解：（1）在厶 ABC 中，因?yàn)?cosA = ¥, 0<A< n ,所以 sinA = 1 cos2A = 36.（2 分）ab因?yàn)?acosB= 2bcosA，由正弦定理 sinA = sinB，得 sinAcosB = 2sinBcosA.所以

17、cosB = sinB.（4 分）若 cosB = 0,貝V sinB = 0，與 sin2B + cos2B = 1 矛盾，故 cosB 豐 0.于是 tanB =引“：=1. cosBn又因?yàn)?<B< n，所以B = 4 .（7分）因?yàn)?a= 6, sinA =由及正弦定理st =爲(wèi)得6= ，所以b'22（9分）3 2又 sinC= sin（ n A B） = sin（A + B）=sinAcosB+ cosAs inB=遷.遼+遼返=2書+価（12分）32326.（ 分 丿所以 ABC的面積為S= 1absinC = *心,6X 呼x 2牛乖=6*2.（14分）變式3

18、、（2017蘇州暑假測試）在厶ABC中，角A, B, C的對邊分別為 a, b, c已知bcosC + ccosB = 2acosA.（1）求角A的大小;若AB aC = 3，求 ABC的面積.規(guī)范解答 （1）解法1在厶ABC中，由正弦定理，及 bcosC + ccosB= 2acosA,得 sinBcosC+ sinCcosB = 2sinAcosA, （3 分）即 sinA= 2sinAcosA.因?yàn)锳 （0, n,則sinA豐0，所以1cosA = 2，（6 分）所以a=；（8分）解法2在厶ABC中，由余弦定理及bcosC + ccosB= 2acosA,a2+ b2 c2a2+ c2

19、b2'2ab *c' 2ac = 2a 2bc所以a2= b2 + c2 bc,所以cosA=b2 + c2 a212bc= 2.（6 分）因?yàn)锳 （0, n）所以A = 3.（8分）3（2）由AB AC = cbcosA = 3,得 bc= 2 3, （11 分）所以 ABC 的面積為 S= ；bcsinA =2 3sin；= ；.（14 分）例3、（2017無錫期末）在厶ABC中，角A, B, C所對的邊分別為2B + C _a, b, c,且 sinA* cos 了 = 1, D為 bc 上一點(diǎn)，且 Ad = ；Ab*"Ac.44（1）求sinA的值；（2）若

20、a = 4 2, b= 5,求 AD 的長.規(guī)范解答(1)因?yàn)?sinA + cos2B+ C21,所以sinA +1 + cos B + C=1，即 2sinA cosA= 1, (2 分)所以(2sinA 1)2= cos2A,即 5sin2A 4sinA = 0.(4 分)因?yàn)?A (0, n,所以 sinA>0,4 3所以 si nA = 5, cosA = 5.(6 分)(2) 在 ABC 中，a2= b2+ c2 2bccosA,3所以 32= 25+ c2 2 X 5cX ，即 c2 6c 7 = 0,解得 c= 7.(10 分) 5因?yàn)?AD = 1ab4 4所以 AD2

21、= 16c2 + 脊2+ bccosA = 49+ 即 25+ 討 7 X 5X|= 25, (12 分)所以AD = 5.(14分)變式：(2019無錫期末)在 ABC中，設(shè)a, b, c分別是角 A, B, C的對邊，已知向量 m = (a, sinC sinB), n = (b + c, sinA+ sinB),且 m/ n.(1)求角C的大??；若c = 3,求 ABC的周長的取值范圍.(1)由 m / n 及 m = (a, si nA si nB), n = (b + c, sinA + si nB)得 a(sinA+ sinB) (b + c)(sinC sinB)= 0, (2

22、分)由正弦定理，得：a a + b (b+ c) c b = 0, 2R 2R2R 2R'所以 a2+ ab (c2 b2) = 0,得 c2= a2+ b2+ ab,由余弦定理，得 c2 = a2+ b2 2abcoC,所以 a2+ b2 + ab= a2+ b2 2abcosC，所以 ab= 2abcosC, (5 分)1 2 n因?yàn)閍b>0，所以cosC = 2，又因?yàn)镃 (0,n )，所以C=：.(7分)2 3(2)在厶ABC中，由余弦定理，得c2= a2 + b2 2abcosC.所以 a2+ b2 2abcos23n= 9,即(a + b)2 ab= 9.(9 分)3

23、9所以 ab= (a+ b)2 9< a+ b，所以 3( af b)< 9,24即(a + b)2w 12,所以 a + b< 2 3, (12 分)又因?yàn)閍+ b>c,所以6<a+ b+ cw 2.j3 + 3，即周長l滿足6<l w 3+ 2訐3,所以 ABC周長的取值范圍是(6, 3 + 2 3. (14分)【實(shí)戰(zhàn)演練同步即學(xué)即練，實(shí)時(shí)鞏固新知11、（2019南京學(xué)情調(diào)研） 已知 ABC的面積為3屮5，且AC AB = 2,cosA =:，則BC的長為【答案】8【解析】在厶 ABC 中，cosA = 4，所以 si nA = p 1 - cos2A

24、二亠乎，由 Ssbc = *bcsinA = 1bcL45= 3 15 得 bc= 24,由余弦定理得 a2= b2 + c2 2bccosA = (b c)2 + 2bc 2bccosA = 22+ 48 + 12= 64,即 a= 8.2、（2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）在厶 ABC中，角A, B, C所對的邊分別為 a, b, c,已知5a= 8b, A = 2B,n則 sin A = _4答案】1750250【解析】因?yàn)?a= 8b,所以由正弦定理可得85sinA = 8sinB，即 sinA = 5sinB，因?yàn)?A = 2B，所以 sinA8=sin2B = 2sinBcosB，貝U in

25、B = 2sinBcosB，因?yàn)?24，因?yàn)?A = 2B，所以 cosA = cos2B = 2cos2B4t3sin B>0，所以 cosB= 5，貝卩 sinB =1 cos2B = 5，故 si nA7 匕nnn17計(jì) 21 =，所以 sin A = sinA cos- cosAsin = 2544450 -3、（2018南京、鹽城、連云港二模）在厶ABC中，已知角 A, B, C所對的邊分別為 a, b, c若bsinAsinB+ acos2B = 2c,UVa的值為c【答案】2【解析】由正弦定理得，si nBsi nAsi nB + sinA cos2B = 2s in C

26、,卩 si nA(si n2B + cos2B) = 2s inC,即 si nA = 2s inC,再由正弦定理得,a= sinA c sinC144、 （2019常州期末）已知 ABC中，a, b, c分別為三個(gè)內(nèi)角 A , B , C的對邊，且b-,所以C= 3 n .（7分）bcsinA + C=a2.（1）求角A的大??；（2）若 tanBtanC= 3,且 a= 2,求厶 ABC 的周長.規(guī)范解答（1）由余弦定理得a2= b2- 2bccosA + c（2）因?yàn)?ABC的面積為2討3，所以absinC = 2爲(wèi)，所以ab=警|.（8分）.又 b2-bcs"A + c2 =

27、a2,所以 b2- 2bccosA + c2= b2-bcsinA + c由（1）知 C= ；n,所以 sinC = 2，所以 ab= 8.（9 分）, 即卩 2bccosA = 23bcsinA.（3 分） 從而 si nA = 3cosA，若 cosA = 0,則 si nA = 0,與 si n2A + cos2A = 1 矛盾，所以 cosA 工 0，所以 ta nA = 3.n又 A （0, n ），所以 A = 3.（7 分）tanB + tanC 丄,丄,AX 丄 2 n庁 八、（2） 1-tanBtanC= tan（B + C）=tan（ n-A） = tan"y=-

28、西.（9 分）又 tanBtanC= 3,所以 tanB + tanC = - 3 x （ 2） = 2 3,解得 tanB = tanC = 3.（11 分）nn又B, C （0 , n ），所以B = C= 3，又因?yàn)锳 = 3，所以 ABC是正三角形.由a= 2得厶ABC的周長為6.（14分）5、（2018鎮(zhèn)江期末）在厶 ABC中，角 A, B, C所對的邊分別為 a, b, c,若bcosA + acosB = - 2ccosC.（1）求C的大?。唬?）若b = 2玄，且厶ABC的面積為 2.3，求c.a b c規(guī)范解答（1）由正弦定理 = ，且bcosA + acosB = - 2ccosC得，（2分）si nA si nB si nCsinBcosA + sinAcosB = - 2sinCcosC，所以 sin（B + A） =- 2sinCcosC.（3 分）又A , B, C為三角形內(nèi)角，所以 B +A = n C,所以 sinC=- 2sinCcosC.（4 分）因?yàn)?C （0, n ），所以 sinC>0.（5