一元二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)

1、7§ 一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)復(fù)習(xí)目標(biāo)1. . 掌握一元二次函數(shù)圖象的畫法及圖象的特征2. 掌握一元二次函數(shù)的性質(zhì)，能利用性質(zhì)解決實際問題3. 會求二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最大（小）值4. 掌握一元二次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系。知識回顧1 .函數(shù)y ax2 bx c（a 0）叫做一元二次函數(shù)。2 . 一元二次函數(shù)的圖象是一條拋物線。3.任何一個二次函數(shù)2y ax bx c（a 0）都可把它的解析式配方為頂點式:a(x2a)224ac b4a性質(zhì)如下:b 4ac b .（1）圖象的頂點坐標(biāo)為 （ ,）,對稱軸是直線 x2a 4a（2）最大（?。┲?當(dāng)a 0,函數(shù)圖象開口向上，y有最小值，

2、ymin值。b2a24ac b4ac b 當(dāng)a 0,函數(shù)圖象開口向下，y有最大值，ymax ，無最小4a值。（3）當(dāng)a 0 ,函數(shù)在區(qū)間（，-b-）上是減函數(shù)，在（,）上是增函數(shù)。2a2a當(dāng)a 0,函數(shù)在區(qū)間上（,）是減函數(shù)，在（，包）上是增函數(shù)。2a2a【說明】1.我們研究二次函數(shù)的性質(zhì)常用的方法有兩種：配方法和公式法。2.無論是利用公式法還是配方法我們都可以直接得出二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)與對稱軸；但我們討論函數(shù)的最值以及它的單調(diào)區(qū)間時一定要考慮它的開口方向。例題精解一、一元二次函數(shù)的圖象的畫法1【例1】求作函數(shù)y x2 4x 6的圖象【解】y 1x2 4x 6 1(x2 8x 12) 221(

3、x2 4)2 -41(x2 4)2-222【解】yx2 4x 3 (x2 4x 3)(x 2)2 7(x 2)2 7先畫出圖角在對稱軸 x2的右邊部分，列表x2-1-01765423【點評】畫二次函數(shù)圖象步驟：(1) 配方；(2)列表；(3)描點成圖；也可利用圖象的對稱性，先畫出函數(shù)的左(右)邊部分圖象,再利用對稱性描出右(左)部分就可。一元二次函數(shù)性質(zhì)【例3】求函數(shù)y x2 6x 9的最小值及圖象的對稱軸和頂點坐標(biāo)?！窘狻?y x2 6x 2 x2 6x 9 7 (x 3)2 7由配方結(jié)果可知：頂點坐標(biāo)為 (3, 7),對稱軸為x 3；10當(dāng) x 3 時，ymin 7【例4】求函數(shù)y5x2

4、3x 1圖象的頂點坐標(biāo)、對稱軸、最值。-2_ 2b 33 4ac b 4 ( 5) 1 3292a 2(5)10 4a4 ( 5)20 3 2929，函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為 (一，)，對稱軸為 x 10 20203 295 0，當(dāng)x 一時，函數(shù)取得最大值 ymaz 一10203.函數(shù)在區(qū)間(，記上是增函數(shù)，在區(qū)間3,)上是減函數(shù)。【點評】要研究二次函數(shù)頂點、對稱軸、最值、單調(diào)區(qū)間等性質(zhì)時，方法有兩個：(1) 配方法；如例3(2) 公式法：適用于不容易配方題目(二次項系數(shù)為負數(shù)或分數(shù))如例4,可避免出錯。任何一個函數(shù)都可配方成如下形式:b 2a(x 二)4aC b (a 0)4a三、二次函數(shù)性質(zhì)的

5、應(yīng)用【例5】(1)如果f(x) x2那么()(A) f(3)f(1)f(4)bx c對于任意實數(shù)t都有f(3 t)(B) f(1) f (3)f(4)f(3 t),(C) f (3) f (4)f(1)(D) f (4)f(3)f(1)f(3 t) f (3 t)對于一切的t R均成立f(x)的圖像關(guān)于x 3對稱又a 1 0拋物線開口向上。f(3)是f(x)的最小值。1 3 4 3，f(3)f(4)f(1)(2)如果 f (x)2x bx c對于任意實數(shù)t都有f( 2 t)f( 2 t),則 f( 1)f(1)o (用“ ”或“"填空)R均成立【解】f( 2 t) f( 2 t)對于

6、一切的tf(x)的圖像關(guān)于x 2對稱又a 1 0拋物線開口向下。1 ( 2)| |1 ( 2),f( 1)f(1)【點評】1.當(dāng)a 0時，對稱軸通過它的最低點(此時函數(shù)有最小值)，如果這時有一個點離圖象對稱軸越遠，則對應(yīng)的函數(shù)值就越大。如例5(1)中當(dāng)x 1所對應(yīng)的點比當(dāng)x 4所對應(yīng)的點離對稱軸遠，所以x 1時對應(yīng)的函數(shù)值也比較大。2 . 1.當(dāng)a 0時，對稱軸通過它的最高點 (此時函數(shù)有最大值)，如果這時有 一個點離圖象對稱軸越遠，則對應(yīng)的函數(shù)值就越小。如例 5(2)中當(dāng)X 1所對應(yīng)的點比當(dāng) X 1所對應(yīng)的點離對稱軸遠，所以 X 1對應(yīng)的函數(shù)值也比較小?！纠?】求函數(shù)y x2 2x 5在給定

7、區(qū)間1,5上的最值。【解】(1)原函數(shù)化為y X2 2x 5a 1 0.當(dāng) x 1 時，ymin6又I 1 1 |5 1.當(dāng) x 5時，ymax (5 1)2 6 101 o 10(2)原函數(shù)可化為：y (x -) 一 ,圖象的對稱軸是直線39注意到當(dāng)1 x 2時，函數(shù)為減函數(shù).Tminf(2)22 | 2 14 4 1;333【例7】已知函數(shù)y (n 2)x2nx 1是偶函數(shù)，試比較f (2) , f(J2),f ( J5)的大小?！窘狻拷夥ㄒ唬憾?y (n 2)x2nx 1是偶函數(shù),n 0, . y2x2 1可知函數(shù)的對稱軸為直線x 0又a 2 0, | 褥 02 0 園 0f ( . 2

8、) f (2) f ( ,5)解法二：y (m 1)x2 2mx 3是偶函數(shù)，n 0, 1- y2x2 1可知y 2x2 1在(0,)上單調(diào)遞減又 y (n 2)x2 nx 1是偶函數(shù),f ( .5) f ( .5)而5 2, 2f(2)f(2) f(、5)f(-.2)f(2) f( 5)元二次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系。【例8求當(dāng)k為何值時，函數(shù) y 2x2 4x k的圖象與x軸(1)只有一個公共點；(2)有兩個公共點；(3)沒有公共點【解】令 2x2 4x k 0 ,則2x2 x k 0的判別式b2 4ac 16 8k(1) 當(dāng) 0,即16 8k 0, k 2時，方程有兩個相等的實根，這時

9、圖象與x軸只有一個公共點；(2)當(dāng)0,即168k0, k2時，方程有兩個不相等的實根，這時圖象與x軸有兩個公共點；(3)當(dāng)0,即168k0, k2時，方程有兩個不相等的實根，這時圖象與x軸無公共點；同步訓(xùn)練一.選擇題1 .二次函數(shù)y x2 2x 5的值域是()A. 4,) B. (4,) C. (,41 D. (,4)2A. 如果二次函數(shù)y 5x是增函數(shù)，則m ()A. 2B. -2mx 4在區(qū)間(C. 101)上是減函數(shù),在區(qū)間1,)上B. 如果二次函數(shù)D. -10y x2 mx (m 3)有兩個不相等的實數(shù)根，則m的聚值范圍是( )C. (, 2) (6,)D. ( 2,6)E. 2,6)

10、 0 D. 2,61 ,頂點坐標(biāo)為(-1,0)1,頂點坐標(biāo)為(1,0)1 ,頂點坐標(biāo)為(-1,0)1,頂點坐標(biāo)為(1,0)10一4-函數(shù)y - x x 3的取小值是()2A. -3.B .3_.C, 325 .函數(shù)y 2x2 4x 2具有性質(zhì)()A,開口方向向上，對稱軸為 xB ,開口方向向上，對稱軸為 xC.開口方向向下，對稱軸為 xD,開口方向向下，對稱軸為 x6 .下列命題正確的是()A .函數(shù)y 2x2 6x 3的最小值是3 B .函數(shù)y 2x22一 15是一C .函數(shù)yx2 4x 3的最小值為742y x 4x 3的取大值為727.函數(shù)(1) y 2x 4x 3 ； (2) y_2-

11、2x 4x 3; (3) y一2- 一3x 6x 3 ；(4) y3x2 6x 3中，對稱軸是直線 x 1的是()A. (1)與(2) B . (2)與(3)C. (1)與(3)6x 3的最小值D .函數(shù)D. (2)與(4)A.當(dāng)x 2時，y有最大值C.當(dāng)x 2時，y有最小值9.如果函數(shù)y ax2 bx那么下列選項中正確的是(A. f(2) f( 1)f(4)8B .當(dāng) x8D.當(dāng) xc(a 0),對于任意實數(shù))B. f (2時，y有最大值82時，y有最小值8t 都有 f (2 t) f (2 t)1)f(2)f(4)C. f(2)f(4) f( 1)D. f(4)f(2) f( 1)8.對于二次函數(shù)y2x2 8x,下列結(jié)論正確的是()10.若二次函數(shù)y a2x2 4x 1有最小值，則實數(shù) a =()A. &B , <2C. V2D. 2二.填空1 .若函數(shù)f(x) 2x2 x 1,則f(x)的對稱軸是直線 2 .若函數(shù)y 2x2 bx 3在區(qū)間(，2上是減函數(shù)，在區(qū)間(2,是增函數(shù)，則b23 .函數(shù)y 2x 3x 9的圖象與 y軸的交點坐標(biāo)是 ，與x軸的交點坐標(biāo)、4 .已知y 9x2 6x 6,則y有最 值為5 .已知y4x2 28x 1 ,則y有最 值為三.解答題1 .已知二次函數(shù) yx2 4x 3,(1)指出函數(shù)圖象的開口方向；(2)當(dāng)x為何值日y 0