一元一次不等式(知識(shí)講解)-2020-2021學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練(人教版)

1、專題9. 3 一元一次不等式（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .理解一元一次不等式的概念：2 .會(huì)解一元一次不等式.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、一元一次不等式的概念只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，2-x>50是一個(gè)一元一次不等式.3要點(diǎn)詮釋；（1） 一元一次不等式滿足的條件：左右兩邊都是整式（單項(xiàng)式或多項(xiàng)式）；只含有一個(gè)未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)為1.（2） 一元一次不等式與一元一次方程既有區(qū)別又有聯(lián)系：相同點(diǎn)：二者都是只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1, “左邊"和''右邊”都是整式. 不同點(diǎn)：一元一次不等式表示不等關(guān)系，由不等號(hào)“V

2、”、“W”、或連接, 不等號(hào)有方向：一元一次方程表示相等關(guān)系，由等號(hào)“=”連接，等號(hào)沒(méi)有方向.要點(diǎn)二、一元一次不等式的解法1 解不等式：求不等式解的過(guò)程叫做解不等式.2 .一元一次不等式的解法；與一元一次方程的解法類似，其根據(jù)是不等式的基本性質(zhì)，將不等式逐步化為：x<a （或x>a）的形式，解一元一次不等式的一般步驟為：（1）去分母；（2）去括號(hào)：（3）移項(xiàng): （4）化為（或的形式（其中“工。）：（5）兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得到不 等式的解集.要點(diǎn)詮釋：（1）在解一元一次不等式時(shí)，每個(gè)步驟并不一定都要用到，可根據(jù)具體問(wèn)題靈活運(yùn)用.（2）解不等式應(yīng)注意：去分母時(shí)，每一項(xiàng)都要乘同一個(gè)

3、數(shù)，尤其不要漏乘常數(shù)項(xiàng)：移項(xiàng)時(shí)不要忘記變號(hào)：去括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前而是負(fù)號(hào)，括號(hào)里的每一項(xiàng)都要變號(hào)：在不等式兩邊都乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要改變.3 .不等式的解集在數(shù)軸上表示：在數(shù)軸上可以直觀地把不等式的解集表示出來(lái)，能形象地說(shuō)明不等式有無(wú)限多個(gè)解，它 對(duì)以后正確確定一元一次不等式組的解集有很大幫助.要點(diǎn)詮釋：在用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要確定邊界和方向：（1）邊界：有等號(hào)的是實(shí)心圓點(diǎn)，無(wú)等號(hào)的是空心圓圈：（2）方向：大向右，小向左.【典型例題】類型一、一元一次不等式的概念>1.在數(shù)學(xué)表達(dá)式：一3<0, 4+8, x = 3, x2 + y2, xw5, x + 2&g

4、t;y + 3中，是一元一次不等式的有（）.A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)【答案】A【分析】一元一次不等式的定義：含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1.未知數(shù)的系數(shù)不 為0,左右兩邊為整式的不等式：根據(jù)一元一次不等式的定義，對(duì)各個(gè)表達(dá)式逐一分析，即 可得出答案.解：-3V0是不等式，不是一元一次不等式：是整式，不是一元一次不等式：尸3是方程，不是一元一次不等式：/+與勺3是整式，不是一元一次不等式：前5是一元一次不等式：讓2>八3是二元一次不等式，不是一元一次不等式：二是一元一次不等式的有1個(gè)故選：d.【點(diǎn)撥】本題考查了一元一次不等式的知識(shí)：解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次不等式的定

5、義，從而完 成求解.舉一反三：【變式】若工-1> 5是關(guān)于X的一元一次不等式，則7 =【答案】0【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義可得2?+1=1,求解即可.解：根據(jù)題意得2加+1 = 1,解得：2 = 0，故答案為：0.【點(diǎn)撥】本題主要考查了一元一次不等式的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵.類型二、求一元一次不等式的解集2.若代數(shù)式2-5的值小于8-6X，則x的取值范圍是（）A. x>6B. x>6C. x<6D. x<6【答案】C【分析】根據(jù)題意列不等式求解即可.解：由題意得：2-5x<8-6.解得x<6,故選：C.【點(diǎn)撥】此題考查解不等式，正確理解題意

6、列出不等式是解題的關(guān)鍵.舉一反三：2x+ y = 3-a【變式】若關(guān)于x、y的二元一次方程組/ /的解滿足x+y<L則a的取值 x+2y = 4+2a范圍為.【答案】。<_4.【分析】直接把兩個(gè)方程相加，得到3x+3y = 7 + a,然后結(jié)合x + yvl,即可求出a的取值范圍.2x+y = 3-a解：，x + 2y = 4 + 2a直接把兩個(gè)方程相加，得：3x + 3y = 7 + ”，_7 + a- r + V =.Zx+y<9_ 7 +。，-<1>3二。<4【點(diǎn)撥】本題考查了解二元一次方程組，以及解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法 則，正確得到

7、x+y = ?.類型三、求一元一次不等式的整數(shù)解2r-l.不等式二 3W0的非負(fù)整數(shù)解共有一個(gè).【答案】4 【分析】不等式去分母，合并后，將x系數(shù)化為1求出解集，找出解集中的非負(fù)整數(shù)解即可.?r-1解：3<0,2x1 60,解得：工在3.5, 則不等式的非負(fù)整數(shù)解為0, 1, 2, 3共4個(gè).故答案為：4.【點(diǎn)撥】此題考查了一元一次不等式的非負(fù)整數(shù)解，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.舉一反三: 【變式】3.不等式3(x l)W5x的正整數(shù)解有()A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)【答案】B【分析】直接利用一元一次不等式的解法分析得出答案.解：3 (x-1) <5-x3x-3w

8、5-x,則4爛8,解得：爛2,故不等式3 (x-l) W5-X的正整數(shù)解有：1, 2共2個(gè).故選：B.【點(diǎn)撥】本題主要考查了一元一次不等式的整數(shù)解，正確解不等式是解題的關(guān)鍵.類型四、在數(shù)軸上表示不等式的解集»4、解不等式：二d _文二！ > 1,并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái).3211111-2To12【答案】X < -；數(shù)軸見解析7【分析】根據(jù)一元一次不等式的解法：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1，即可得到X 的范圍，再把所得的工的池國(guó)仁數(shù)軸上表示出來(lái)即可.去分母.得2(x+4)3(3xl)>6,去括號(hào)，得2x + 8-9x + 3>6, 移項(xiàng)、合并同類

9、項(xiàng),得=7x>-5,系數(shù)化為1，得X <7在數(shù)軸上表示此不等式的解集如圖：-2 -I 0 1 I 27【點(diǎn)撥】本題考查了一元一次不等式的解法，以及在數(shù)軸上表示不等式的解集，解題關(guān)鍵是 明確不等式的性質(zhì)，兩邊同時(shí)除以一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)的方向要改變，在數(shù)軸上表示不等式的解 集時(shí)“"，"之”向右畫，向左畫，“之“，"”用實(shí)心點(diǎn)，用空心圓. 舉一反三：【變式】解不等式：3(x+l)<5x+7,并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái).【答案】x>-2,在數(shù)軸上表示見解析【分析】利用不等式的性質(zhì)解一元一次不等式的解集，然后將解集表示在數(shù)軸上即可.解：3(x + l)

10、K5x + 7,去括號(hào)，得：3x+3<5x+7 9 移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得：2x<4 ,化系數(shù)為1，得：x>-2 ,二不等式的解集為xN2,不等式的解集在數(shù)軸上表示為：d 1 Ia 111A-3 -2 -1 012 3【點(diǎn)撥】本題考查解一元一次不等式、在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握一元一次不等 式的解法步驟，會(huì)在數(shù)軸上表示不等式的解集是解答的關(guān)鍵，特別注意不等號(hào)的方向和端點(diǎn) 的空（實(shí)）心.類型五、求一元一次不等式解集的最值5.已知關(guān)于x、y的方程組發(fā)二''=："一：的解滿足Ovx+y«3.x+2y = 3 + 3（1）求。的取值范闈：（2

11、）已知。+。= 4,且z = 2« 勸，求z的最大值.【答案】（1）一<4<1; （2） -72【分析】（1）先利用加減消元法解二元一次方程組，用a表示的x、y,根據(jù)方程組的解滿足不等式0<x+y<3可得關(guān)于a的不等式，解不等式即可.（2）根據(jù)。+力=4,得人=4一,即可用a表示z, z=5a - 12、由（1）向a的范|禮利用 式的基本性質(zhì)求出5a-12的范闈，即可求出z的范圍.X = « -1解：（1）由題<y = a + 2：Ovx+y<3有0<2。+ 1<3得一（2）由題。=4一。，則z = 2a-3（44） = 5。

12、-12,129“<1 有<5（i 12K 7 .22所以z的最大值為-7.【點(diǎn)撥】本題考查二元一次方程組,解題的關(guān)鍵是熱練運(yùn)用二元一次方程組的解法以及不等 式組的解法.舉一反三：2x+ y = k【變式】關(guān)于x、y的方程組。的解滿足求滿足條件的左的最大整數(shù)值. 3x+ v = 3【答案】滿足條件的左的最大整數(shù)值為2.【解析】【分析】將兩方程相減得出x,y的值，再把x.y的值代入x-2）2l,即可解答【詳解】2x+ 節(jié)=k（x = 3-k解關(guān)于X，y的方程組，得 X八，把它代入x-221 得，3-k-2 （3Ar-6） >1,解得K2,所以滿足條件的k的最大整數(shù)值為2.【點(diǎn)撥】

13、此題考查二元一次方程組的解和解一元一次不等式，解題關(guān)鍵在于求出x.y的值再代入。類型六：求門戶a型的解集餌>6.閱讀：我們知道，同="于是要解不等式IX 3K4,我們可以分兩種1 1 -a a <0情況去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的不等式，按上述思路，我們有以下解法：解：（1）當(dāng)x-320,即xN3時(shí)：x-3<4解這個(gè)不等式，得：x<7由條件xN3,有：3&X47（2）當(dāng)x-3vO,即x<3時(shí),一（工一3）<4解這個(gè)不等式，得：xN1由條件x<3,有：一l«x<3二如圖，綜合（1）、（2）原不等式的解為一根據(jù)以上思想

14、，請(qǐng)?zhí)骄客瓿上铝?個(gè)小題：(1) lx + ll<2.(2) Ix-2I>1 .【答案】(D -341； (2)走3或爛1.【分析】(1)分二x+lX),即止-1, Zx+l<0,即xV-1,兩種情況分別求解可得：(2)分二x-2X),即空2,二X-2V0,即x<2,兩種情況分別求解可得.解：(1) |x+l|<2,二當(dāng) x+lX),即止-1 時(shí)：x+l<2,解這個(gè)不等式，得：x<l由條件2-1，有：二當(dāng) x+lVO,即 xV-1 時(shí)：-(x+1) <2解這個(gè)不等式，得：x>-3由條件 xV-1,有：-3SxV-l二綜合二、二，原不等式的解

15、為：-3SXW1.(3) |x-21匚當(dāng)x-2K),即仝2時(shí):x-2>l解這個(gè)不等式，得：x>3由條件xN，有：x>3：二當(dāng) x-2V0,即 xV2 時(shí)：-(x-2) >1,解這個(gè)不等式，得：爛1，由條件xV2,有：爛1,二綜合二、二，原不等式的解為：xZ3或爛1.【點(diǎn)撥】本題主要考查絕對(duì)值不等式的求解，熟練掌握絕對(duì)值的性質(zhì)分類討論是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】解不等式：lxl-4|+|2x + 3 >8【答案】xV-5或x>l【分析】根據(jù)相應(yīng)的X的特殊值進(jìn)行分段，從而去絕對(duì)值化簡(jiǎn)，再分別求解，最后將解集合并.解：令lxlY = O,解得：x=±

16、4,令2x + 3 = 0,解得：x=-,2二當(dāng) x<-4 時(shí)，一工一4一(21+3)>8,解得：x<-5,二此時(shí)x<-5；3當(dāng)4sxV時(shí)，x+4(2x + 3)>8 ,解得：x<-7,二此時(shí)無(wú)解；3當(dāng)一一SxvO時(shí)，x+4+2x+3>8,2解得：x>-, 3二此時(shí)無(wú)解；當(dāng) 0打<4 時(shí)，一x + 4 + 2x+3>8,解得：x>l,二此時(shí) lxV4：當(dāng) xn4 時(shí)，x-4 + 2x+3>8,解得：x>3,二此時(shí)x>4；綜上：不等式的解集為：xV-5或x>l.【點(diǎn)撥】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，解題時(shí)要

17、結(jié)合絕對(duì)值的意義進(jìn)行分段，分別求解,注意最后要合并解集.類型七、列一元一次不等式Or7,對(duì)于實(shí)數(shù)。、b,定義關(guān)于“8”的一種運(yùn)算：a®b = 2a+b.例如 103 = 2x1+3 = 5.(1)求4區(qū)(一3)的值；(2)若3(S)(2?)>2,求機(jī)的取值范圍：(3)若x卷(-y) = -2, (2y)x = -l,求x和)'的值.x = - 【答案】(1) 5： (2) ？v2； (3)y = 0- 1【分析】(1)利用題目中的新定義進(jìn)行計(jì)算即可：(2)利用題目中的新定義列出不等式再進(jìn)行計(jì)算即可；(3)根據(jù)新定義，對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)后得到二元一次方程，求解該方程組即可.解

18、：(1)根據(jù)題中的新定義，得原式= 2x4+(3) = 8-3 = 5：(2)根據(jù)題中的新定義，得6 2?>2，解得7 <2.2x y = -2(3)根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)，得/x + 4y = 1x = -l解得八.y = 0【點(diǎn)撥】本題借助新定義題型考查了二元一次方程組的解法，新定義題型就按照題目的意思來(lái)進(jìn)行計(jì)算即可，本質(zhì)還是要熟練掌握二元一次方程的解法.舉一反三：4 cr x x【變式】已知關(guān)于x的方程：工_二_1 =亡一2的解是非正整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù) 63a的值有()種.A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】A【分析】先用含a的式子表示出原方程的解，再根據(jù)解為非正整

19、數(shù)，即可求得符合條件的所有整數(shù)a.10解:x-66x_（4_4/x） = 2x-12 6x= 2V 12 （4+r/2）x = -88 = -r4+-二方程的解是非正整數(shù),二一3 KO二 4+a2 = 或 2 或 4 或 8二a=0或2或-2,共3個(gè)故選：A【點(diǎn)撥】本題考查了一元一次方程的解法及解不等式，根據(jù)方程的解為非正整數(shù)列出關(guān)于a 的不等式是解題的關(guān)鍵.類型八、用一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題08.在開任公路改建工程中，某工程段將由甲，乙兩個(gè)工程隊(duì)共同施工完成，據(jù)調(diào)查 得知，甲，乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需天數(shù)之比為2:3,若先由甲，乙兩隊(duì)合作30天，剩 下的工程再由乙隊(duì)做15天完成.（1）求

20、甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需多少天？（2）此項(xiàng)工程由兩隊(duì)合作施工，甲隊(duì)共做了 m天，乙隊(duì)共做了 n天完成一已知甲隊(duì)每天的施 工費(fèi)為15萬(wàn)元，乙隊(duì)每天的施工費(fèi)用為8萬(wàn)元，若工程預(yù)算的總費(fèi)用不超過(guò)840萬(wàn)元，甲 隊(duì)工作的天數(shù)與乙隊(duì)工作的天數(shù)之和不超過(guò)80天，請(qǐng)問(wèn)甲、乙兩隊(duì)各工作多少天，完成此 項(xiàng)工程總費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少？【答案】（1）甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這取工程各需60, 90天：（2）甲、乙兩隊(duì)各工作20, 60天，完成此項(xiàng)工程總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是780萬(wàn)元.【分析】（1）根據(jù)題意列方程求解；（2）用總工作量減去甲隊(duì)的工作量，然后除以乙隊(duì)的工作效率得到乙隊(duì)的施工天數(shù)，令施 工總費(fèi)用為W萬(wàn)

21、元，求出W與m的函數(shù)解析式，根據(jù)m的取值范圍以及一次函數(shù)的性質(zhì)求 解即可.解：（1）設(shè)甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這取工程各需2x, 3x天，（111由題意得：x30 + xl5 = 1,V 2x 3x y3x解得：a=30,經(jīng)檢驗(yàn)：x = 30是原方程的根，二 2x = 60, 3x = 90.答：甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這取工程各需60, 90天：（2）由題意得：-= = 90 /?/,60 J 9023令施工總費(fèi)用為w萬(wàn)元，則w = 15m + 8x 90-/ = 3m + 720 .二兩隊(duì)施工的天數(shù)之和不超過(guò)80天，工程預(yù)算的總費(fèi)用不超過(guò)840萬(wàn)元,3二 36 + 720或840, m+ 90-w 8

22、0, 2 J二 2貝?W40，3匚當(dāng)m = 2O時(shí)，完成此項(xiàng)工程總費(fèi)此時(shí) =90一一m= 60,卬=780元，2答：甲、乙兩隊(duì)各工作20, 60天，完成此項(xiàng)工程總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是780萬(wàn)元.【點(diǎn)撥】本題考查了分式方程和一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出 未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系和不等關(guān)系，列方程和不等式求解.舉一反三：【變式】足球比賽計(jì)分規(guī)則：勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，輸一場(chǎng)不得分.一支足球隊(duì)在 某個(gè)賽季中共比賽14場(chǎng)，現(xiàn)在已比賽8場(chǎng)，輸了 1場(chǎng)，共得"分.問(wèn)：（1）前8場(chǎng)比賽中，這支球隊(duì)共勝多少場(chǎng)？（2）打滿14場(chǎng)比賽，最高能得多少分？（3）到比賽全部結(jié)束

23、，若這支球隊(duì)得分不低于29分，則后而的比賽至少要?jiǎng)賻讏?chǎng)才能達(dá)到 預(yù)期目標(biāo)？【答案】（1）5, （2） 35分，（3）至少要?jiǎng)?場(chǎng)【分析】（1）根據(jù)8場(chǎng)比賽的得分，列出方程求解即可；（2） 6場(chǎng)比賽均勝的話能拿到最高分：（3）由題意進(jìn)行分類討論，可得出結(jié)果.【詳解】解：（1）設(shè)這個(gè)球隊(duì)勝x場(chǎng)，則平了（8-lx）場(chǎng)，根據(jù)題意，得：3x + （8-l-x） = 17.解得，X=5,即這支球隊(duì)共勝了 5場(chǎng)：（2）所剩6場(chǎng)比賽均勝的話，最； £17 + 3x6 = 35 （分）：（3）由題意知以后的6場(chǎng)比賽中，只要得分不低于12分即可，所以勝4場(chǎng)，就能達(dá)到 預(yù)期目標(biāo)，而勝三場(chǎng)、平三場(chǎng)，即3x3

24、 + 3 = 12,正好達(dá)到預(yù)期目標(biāo)，故至少要?jiǎng)?場(chǎng).【點(diǎn)撥】讀懂題意，將現(xiàn)實(shí)生活中的事件用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行求解，轉(zhuǎn)化為方程和不等式的 問(wèn)題求解，使過(guò)程變得簡(jiǎn)單.類型九、用一元一次不等式解決幾何問(wèn)題9.問(wèn)題提出：我們?cè)诜治鼋鉀Q某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常要比較兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式的大小，而解決問(wèn)題的策略一 般要進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所謂“作差法”：就是通過(guò)作差、變 形，并利用差的符號(hào)來(lái)確定它們的大小，要比較代數(shù)式M、N的大小，只要作出它們的差 M N,若貝若M-N=O,貝若M-NvO,則 M <N .問(wèn)題解決：如圖，試比較圖口、圖二兩個(gè)矩形的周長(zhǎng)a、g的大小S>。）；主圖

25、形得：G =2（a + + c + ）= 2a + 4Z? + 2c ： C? = 2（a - c + b + 3c） = 2a + 2b + 4c ,G G = 2a + 4 + 2c -2a-2b- 4c = 2(b - c), 13二 6a2 +3x+1 >5x2 +3x-2 ；(2)設(shè)圖 4 的捆綁繩長(zhǎng)為 Li,則 Li = 24x2 + 2hx2+4cx2 = 4a +劭+&?,設(shè)圖5的捆綁繩長(zhǎng)為L(zhǎng)?,則L2 = 2zx2 + 2bx2 + 2cx2 = 4n +劭+4c,設(shè)圖 6 的捆綁繩長(zhǎng)為 L3,則 L3 = 3ax2 + 2/?x2+3cx2 = 6a+4/7+

26、6c,ZLi-L2 = 4fl+4Z?+8c-(4r7 + 4/?+4c)=4>>0,ZL1>L2,ZL3-L2 = 6fz + 4Z? + 6c-(4r7+4/?+4t) = 2r7 + 2c>0,二L3-Li= 8 + 4/7 + 6c(4n+4Z?+8c) = 2(a-c),二c,二 2(。-c) > 0,工L.二第二種方法用繩最短，第三種方法用繩最長(zhǎng).【點(diǎn)撥】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算以及不等式的性質(zhì)，根據(jù)已知表示出繩長(zhǎng)再利用繩 長(zhǎng)之差比較是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn).匚ABC的邊BC在X軸上，A (0,2? 一 n = - 134) . B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為B (m, 0)、C (n,