一高等數(shù)學(xué)下冊(cè)測(cè)試題一

1、一高等數(shù)學(xué)下冊(cè)測(cè)試題一一、選擇題(每小題3分，本大題共15分)1) 設(shè)有直線2)x 3y 2z 1 02x y 10z 3 03) 及平面：4x 2y z 2 0,則直線L (C)4) A、平行于平面 R在平面 上C、垂直于平面 D與平面 斜交xy一一一一 . x, y 0,0,一5) 二兀函數(shù)f x,y x y在點(diǎn)0,0處(C)0 x, y 0,06) A連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在B、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)不存在7) C不連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在DX不連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)不存在8) 設(shè)fx為連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)t%丫乂乂，則5 2(B)1 y9) A 2f 2 B、f 2 c f 2 DX 010)分析：改變積分次序，可得 t xt1

2、1) F t 1dx1fx dy 1 x 1 f x dx F t t 1 f t12) F 2 f 213)設(shè) 是平面z 1由x 0 , y 0 , z 0所確定的二角形區(qū) 2 3域，曲面積分 3x 2y 6z dS (D)14) A 7B、21C、215)微分方程y14D> 21y ex 1的一個(gè)特解應(yīng)具有形式(B)16) A aex b B、axex b C、aexbx D axexbx、填空題（每小題3分，本大題共15分）1)設(shè)平面經(jīng)過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn) 6 , 3,2 ,且與平面4x y 2z 8垂直,則此平面方程為2)2x 2y 3z 0。3)設(shè) z arctan-一-,貝U dz1

3、xy11dx dy 。244)設(shè)L為x22y 1正向一周，則?ex dyL2x2xe 0 dxdy 0。x2 y2 15)設(shè)圓柱面x2 y2 3 ,與曲面z xy在點(diǎn) , y0 , 4 點(diǎn)相交，且他們的交角為3.3 o46)設(shè)一階線性非奇次方程y P x y Q x有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解y1，y2,若 y1y2 (,為常數(shù)）也是該方程的解，則應(yīng)有三、（本題7分）設(shè)由方程組ux e cosv確定u,v關(guān)于x,y的函數(shù)，求 uy e sin v解:利用全微分的不變性cosv 2 sin v可得 euducosvdx sinvdydusin v 2 cosv可得 eu dvsin vdx cosvdyd

4、vcosv , sinv ,dx - dy e esinv . cosv .dx 1rdy e ev cosvuy eln 3xy 2z3在點(diǎn)A處而，_u. cosvvsin vu ,ux exe四、已知點(diǎn)A 1,1,1及點(diǎn)B 3,2, 1 ,求函數(shù)u沿AB方向的方向?qū)?shù)。解:uuuuuuAB2 1AB2,1,2 uuu-,-AB 3 3五、（本題8分）計(jì)算累次積分x2. x 1 dxeydy1 y4dx2Xx 1 7 .x e dy2 y解:改變積分次序x原式 dy J eydx1 y yxey2ydyey dy八、（本題8分）計(jì)算Izdxdydz, 其中由柱面x2 y21及平面z 0 ,z

5、 1圍成的區(qū)域。解：用切片法較好。12 1原式 zdz -0202七、（本題8分）計(jì)算z dS,其中是拋物面2zx2 y2 被平面z 2所截下的有限部分。解： 在xoy面上的投影Dxy為x2y2 4原式x3y2 1 x2 y2 7VDxy2y2dxdy注：這里利用了對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算:八、（本題8分）計(jì)算 4xL2xy2 x cosydx 2 cos dy , L 是點(diǎn) A , 一y y22到點(diǎn)B , 2在上半平面上任意逐段光滑曲線。解:因?yàn)?P 4x 2x cos y y22xx-2 cosyy22xx2 cos - yy2x32.一 xsin y二在上半平面成立，所以此曲線積分在上 x半平面內(nèi)

6、與路徑無(wú)關(guān)原式，22xx2xx24xcos dx cosdy2,2yyyy九、（本題8分）計(jì)算 x y2 dydz y z2 dzdx z x2 dxdy,其中 為半球面z .1 x2 y2的上側(cè)。解：利用高斯公式計(jì)算，設(shè)1為xoy面上區(qū)域x2 y2 1,并取下側(cè)。為，i圍成的立體區(qū)域22fx,x 淳合 f - 0,4 . 八x 丁 f x 0 t2，則P y ,原方程化為原式 3dxdydz x y2 dydz y z2 dzdx z x2 dxdy十、（本題8分）設(shè)二階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)y求 y f x。解：f x多，上f x 1 tt s t222o所以一y 4T 0可化為3 f x |sf

7、stt解微分方程x2 4 y 2xy 0 ,令P y（本題4分）求方程y 4y cos2x的通解。解：解特征方程r2 4 0,得特征根r 2i,對(duì)應(yīng)其次方程的通解為又因?yàn)閜 0,q 42,此方程有特解原方程通解為 y C1cos2x C2 sin2x ；sin2x十二、（本題4分）在球面x2 y2 z2 a2的第一卦限上求一點(diǎn)M,使 以M為一個(gè)頂點(diǎn)，各面平行于坐標(biāo)平面的球內(nèi)接長(zhǎng)方體的表面積最 小。解：設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為x,y,z ,以M為一個(gè)頂點(diǎn)，各面平行于坐標(biāo)平面的球內(nèi)接長(zhǎng)方體的表面積S 8 xy xz zy ,因?yàn)閤2 y2 z2 a2?？紤]函數(shù)F 解方程組fF有關(guān)級(jí)數(shù)的題目:1)判別級(jí)數(shù)2)3)4)5)6)7)2222yz2 z0002 a1 In 1 n斂還是條件收斂?解：因?yàn)?ln 1 n n又因?yàn)椴粭l件收斂。求哥級(jí)數(shù)解:limn得x y z多，所求點(diǎn)為-是否收斂？如果是收斂的，是絕對(duì)收n12nh發(fā)散，此級(jí)數(shù)不絕對(duì)收1ln 1 n n,且nim一 °，此級(jí)數(shù)n2n 1n2 1n 0 2nn! xn2 10 2nn！ xn2 1 2nn!的收斂區(qū)間及和函數(shù)。limn2n2 2n 2 12n 20,此哥級(jí)數(shù)收斂區(qū)間為2n 0 n!n1 Xn 0n!