中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)--反比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)典型例題歸納

1、反比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)典型例題歸納（一）知識(shí)結(jié)構(gòu)（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1 .理解并掌握反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式ky =久（k為常數(shù)，比°）,能判斷一個(gè)給定函數(shù)是否為反比例函數(shù).2 .能描點(diǎn)畫(huà)出反比例函數(shù)的圖象，會(huì)用代定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，進(jìn)一步理 解函數(shù)的三種表示方法，即列表法、解析式法和圖象法的各自特點(diǎn).kP 二3 .能根據(jù)圖象數(shù)形結(jié)合地分析并掌握反比例函數(shù)x （k為常數(shù)，上半。）的函數(shù)關(guān)系和性質(zhì)，能利用這些函數(shù)性質(zhì)分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.4 .對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，能 找出常量和變量，建立并表示函數(shù)模型，討論函數(shù)模型，解決實(shí) 際問(wèn)題”的過(guò)程，體會(huì)函數(shù)

2、是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型.5 .進(jìn)一步理解常量與變量的辨證關(guān)系和反映在函數(shù)概念中的運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)，進(jìn)一步認(rèn) 識(shí)數(shù)形結(jié)合的思想方法.（三）重點(diǎn)難點(diǎn)1 .重點(diǎn)是反比例函數(shù)的概念的理解和掌握，反比例函數(shù)的圖象及其性質(zhì)的理解、掌握 和運(yùn)用.2 .難點(diǎn)是反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)的理解和掌握.二、基礎(chǔ)知識(shí)（一）反比例函數(shù)的概念k y = 11-11. 工（化二0）可以寫(xiě)成，二口 （上不 口）的形式，注意自變量 X的指數(shù)為一 1, 在解決有關(guān)自變量指數(shù)問(wèn)題時(shí)應(yīng)特別注意系數(shù)小于口這一限制條件；k2. 工（上。）也可以寫(xiě)成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)解析式中的k,從而得到反比例函數(shù)的

3、解析式；丁二一3. 反比例函數(shù)工的自變量五黃° ,故函數(shù)圖象與x軸、y軸無(wú)交點(diǎn).（二）反比例函數(shù)的圖象ky=-在用描點(diǎn)法畫(huà)反比例函數(shù)工的圖象時(shí)，應(yīng)注意自變量 X的取值不能為0,且X應(yīng)對(duì)稱(chēng)取點(diǎn)（關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）.（三）反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)上y匚一1 .函數(shù)解析式：X （此手0 ）2 .自變量的取值范圍：XWU3 .圖象：（1）圖象的形狀：雙曲線.川越大，圖象的彎曲度越小，曲線越平直.同越小，圖象的彎曲度越大.（2）圖象的位置和性質(zhì)：與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)，稱(chēng)兩條坐標(biāo)軸是雙曲線的漸近線.當(dāng)化 > °時(shí)，圖象的兩支分別位于一、三象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)歸:&#

4、176;時(shí)，圖象的兩支分別位于二、四象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.（3）對(duì)稱(chēng)性：圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即若（ a, b）在雙曲線的一支上，則（一值，一b） 在雙曲線的另一支上.圖象關(guān)于直線土兀對(duì)稱(chēng)，即若（a, b）在雙曲線的一支上，則（b , S ）和（T，一口）在雙曲線的另一支上.4 . k的幾何意義ky =-如圖1,設(shè)點(diǎn)P (a, b)是雙曲線父上任意一點(diǎn)，作 PAx軸于A點(diǎn)，PBy軸于1忖B點(diǎn)，則矩形PBOA的面積是(三角形PAO和三角形PBO的面積都是2).如圖2,由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知， P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) Q也在雙曲線上，作QC XPA的延長(zhǎng)線于C,則有三角形PQC的面積為2

5、M5 .說(shuō)明:(1)雙曲線的兩個(gè)分支是斷開(kāi)的，研究反比例函數(shù)的增減性時(shí)，要將兩個(gè)分支分別討論，不能一概而論.(2)直線=h與雙曲線工的關(guān)系:°時(shí)，兩圖象沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)用心時(shí)，兩圖象必有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng).(3)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系.(四)實(shí)際問(wèn)題與反比例函數(shù)1 .求函數(shù)解析式的方法:(1)待定系數(shù)法；(2)根據(jù)實(shí)際意義列函數(shù)解析式.2 .注意學(xué)科間知識(shí)的綜合，但重點(diǎn)放在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的研究上.(五)充分利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題.三、例題分析反比例函數(shù)的概念(1)下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是().A. y=3xb. ¥-3=2耳c 3xy=1D.

6、 ?三*(2)下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是().1A.產(chǎn)二B.C. x-2D.答案：(1) C; (2) A.22 ,圖象和性質(zhì)(1)已知函數(shù)尸二.十1)'但是反比例函數(shù),若它的圖象在第二、四象限內(nèi)，那么 k= .若y隨x的增大而減小，那么 k= .ahy =(2)已知一次函數(shù) y=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，則函數(shù) 工 的圖象位于第 象限.k尸二一L(3)若反比例函數(shù)k經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1, 2),則一次函數(shù)丫 =玉+2的圖象一定不經(jīng)過(guò)第 象限.ay (4)已知a b<0,點(diǎn)P (a, b)在反比例函數(shù) 工的圖象上，則直線不經(jīng)過(guò)的象限是().A.第一象限B.第二象限C.第

7、三象限D(zhuǎn).第四象限k23=一(5)若P (2, 2)和Q (m, 一腳)是反比例函數(shù)工圖象上的兩點(diǎn)，則一次函數(shù)y=kx+m的圖象經(jīng)過(guò)（）.A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第二、三、四象限_ k（6）已知函數(shù)了二上（工一1）和, 工（kR）,它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)的圖象大致是（）.答案：（1）一2 1；（2） 一、三；（3）四；（4） C; （5） C; （6） B.3Hr 3,函數(shù)的增減性（1）在反比例函數(shù)"J J的圖象上有兩點(diǎn)%）Ji% M）,且,則M一丹的值為（）.A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.非正數(shù)D.非負(fù)數(shù)幻（一7澄（甘冷（2）在函數(shù) 工（a為常數(shù)）的圖象上

8、有三個(gè)點(diǎn), 4,2則函數(shù)值乃、為、乃的大小關(guān)系是（）.A.<兩乃 B.居凡乃仁當(dāng)<當(dāng)<丹 D, <仍55_ <£丁=_ y-（3）下列四個(gè)函數(shù)中： >="；?=7,工； 工.y隨x的增大而減小的函數(shù)有（）.A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè)k了二一（4）已知反比例函數(shù)工的圖象與直線y=2x和y=x+1的圖象過(guò)同一點(diǎn)，則當(dāng) x>0時(shí)，這個(gè)反比例函數(shù)的函數(shù)值 y隨x的增大而（填揩大”或減小”）.答案：（1） A; （2） D; （3） B.注意，（3）中只有是符合題意的，而是在每一個(gè)象限內(nèi)” y隨x的增大而減小.J2（1）若3與H

9、成反比例，X與工成正比例，則y是2的（）.A.正比例函數(shù)B.反比例函數(shù)C. 一次函數(shù)D.不能確定尢 尸二一（2）若正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)工的圖象有一個(gè)交點(diǎn)為（2, m）,則m= , k= ,它們的另一個(gè)交點(diǎn)為 .（3）已知反比例函數(shù)工的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2-盼，反比例函數(shù)工的圖象在第二、四象限，求洞的值.的+1 y = 1（4）已知一次函數(shù)y=x+m與反比例函數(shù)工 （制二一）的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P （x 0, 3）.求x0的值；求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.儀堂司（5）為了預(yù)防 新冠肺炎”，某學(xué)校對(duì)教室采用藥薰消毒法進(jìn)行消毒.已知藥物燃燒時(shí)，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y （毫克）與

10、時(shí)間x （分鐘）成正比例，藥物燃燒完后，y與x成反比例（如圖所示），現(xiàn)測(cè)得藥物8分鐘燃畢，此時(shí)室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為6毫克.請(qǐng)根據(jù)題中所提供的信息解答下列問(wèn)題：藥物燃燒時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，自變量x的取值范圍是 ;藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為 .研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時(shí)學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從消毒開(kāi)始，至少需要經(jīng)過(guò) 分鐘后，學(xué)生才能回到教室；研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時(shí)間不低于10分鐘時(shí),才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么？答案：(1) B；(2) 4, 8, (-2 , -4)；（3）依題意，m=（-且明&l

11、t; o ,解得蹬=7 .（4）依題意，=網(wǎng)+ 1”解得48一次函數(shù)解析式為 尸工+2 ,反比例函數(shù)解析式為3 y 1V =(5)4 , hwg , 483一-3x-=1325>1030；消毒時(shí)間為 34（分鐘），所以消毒有效.55,面積計(jì)算3/ = -（1）如圖，在函數(shù)T的圖象上有三個(gè)點(diǎn) A、B、C,過(guò)這三個(gè)點(diǎn)分別向 x軸、y軸作垂線，過(guò)每一點(diǎn)所作的兩條垂線段與 x軸、y軸圍成的矩形的面積分別為 國(guó)、&、邑， 則（）.A 二B 1二C第（1）題圖第（2）題圖I y- - (2)如圖，A、B是函數(shù)工的圖象上關(guān)于原點(diǎn) O對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn)，AC/y軸，BC/x軸，4ABC的面積S,則(

12、).A. S=1B, 1<S<2C. S=2D. S>2my -1(3)如圖，RtAAOB的頂點(diǎn)A在雙曲線式上，且SA AOB=3 ,求m的值.第(3)題圖第(4)題圖4t (4)已知函數(shù)工的圖象和兩條直線 y=x, y=2x在第一象限內(nèi)分別相交于P1和P2兩點(diǎn)，過(guò)P1分別作x軸、y軸的垂線P1Q1 , P1R1 ,垂足分別為 Q1 , R1 ,過(guò)P2分別作x軸、y軸的垂線P2 Q 2 , P2 R 2 ,垂足分別為 Q 2 , R 2 ,求矩形 O Q 1P1 R 1和O Q 2P2R 2的周長(zhǎng)，并比較它們的大小.獷 二 一(5)如圖，正比例函數(shù) y=kx (k>0)

13、和反比例函數(shù)工的圖象相交于 A、C兩點(diǎn),第(5)題圖BC,若4ABC面積為S,則S=第(6)題圖(6)如圖在Rt ABO中，頂點(diǎn) A是雙曲線工與直線y=_兀+國(guó)+u在第四象限的交點(diǎn)，AB，x軸于B且SAABO= 七求這兩個(gè)函數(shù)的解析式;求直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A、C的坐標(biāo)和4AOC的面積.6"Pg ,n)(7)如圖，已知正方形OABC的面積為9,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),y =-點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，點(diǎn)B在函數(shù) 工(k>0, x>0)的圖象上，點(diǎn)P (m, n)ky-是函數(shù) 工(k>0, x>0)的圖象上任意一點(diǎn)， 過(guò)P分別作x軸、y軸的垂線，垂足為E、F,設(shè)矩形

14、OEPF在正方形OABC以外的部分的面積為 S.求B點(diǎn)坐標(biāo)和k的值;S = ?當(dāng) 2時(shí)，求點(diǎn)p的坐標(biāo);寫(xiě)出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式.答案：(1) D;(2) C; (3) 6;(4)可 學(xué)，舄之也,矩形o q ipi r i的周長(zhǎng)為8, O Q 2P2 R 2的周長(zhǎng)為(6)雙曲線為直線與兩軸的交點(diǎn)分別為(0, 一2)和(一2 , 0),且a(1, -3)和c(-3 ,1),因此MOC面積為4.(7) B (3, 3),紀(jì)=9 ;D 之時(shí)，E (6, 0),求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo);求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式.y =魂工+”的圖象與反比例函數(shù)工的圖象交于第一象限 C、D兩點(diǎn)，坐標(biāo)軸交于 A、B兩點(diǎn)，連結(jié)OC, OD (O是坐標(biāo)原點(diǎn)).利用圖中條件，求反比例函數(shù)的解析式和m的值;雙曲線上是否存在一點(diǎn) P,使得4POC和APOD的面積相等？若存在，給出證明并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.(5)不解方程，判斷