人教版初一數(shù)學(xué)角(提高)知識(shí)講解

1、角(提高)(2)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握角的概念及角的幾種表示方法，并能進(jìn)行角度的互換；2. 借助三角尺畫(huà)一些特殊角，掌握角大小的比較方法；3. 掌握角的和、差、倍、分關(guān)系，并會(huì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；4. 掌握互為余角和互為補(bǔ)角的概念及性質(zhì)，會(huì)用余角、補(bǔ)角及性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算;5. 了解方位角的概念，并會(huì)用方位角解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.【要點(diǎn)梳理】【要點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、角的概念1. 角的定義：(1) 定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線(xiàn)是角的兩條邊如圖 1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn) 0,邊是射線(xiàn)0A、OB .圖1(2 )定義二：一條射線(xiàn)繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線(xiàn)旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)

2、過(guò)的平面部分是角 的內(nèi)部.如圖2所示，射線(xiàn)0A繞它的端點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)到0B的位置時(shí)，形成的圖形叫做角， 起 始位置0A是角的始邊，終止位置 0B是角的終邊.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1) 兩條射線(xiàn)有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線(xiàn)；角的大小與角的兩邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān).(2) 平角與周角：如圖 1所示射線(xiàn)0A繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置 0B和起始位置0A成一條直線(xiàn)時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，0B和0A重合時(shí)，所形成的角叫做周角.周埔圖2B0A平角圖I2. 角的表示法：角的幾何符號(hào)用"/”表示，角的表示法通常有以下四種:表示方法圖示記法適用范圉（1）用三個(gè)丸 寫(xiě)字母表示0BJLAOBAA BOA任何

3、情況都適 用，表示頂點(diǎn)的 字母寫(xiě)在中間（2用一個(gè)大 寫(xiě)字母表示AO以某一點(diǎn)為頂點(diǎn) 的角只有一個(gè) 時(shí)，可以用頂點(diǎn) 表示角O（3）用阿拉 伯?dāng)?shù)字表示Z1任何情況都適用（4）用希臘字 母表示任何情況都適用要點(diǎn)詮釋?zhuān)河脭?shù)字或小寫(xiě)希臘字母表示角時(shí)，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線(xiàn)，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或 小寫(xiě)希臘字母.3. 角的畫(huà)法（1） 用三角板可以畫(huà)出 30°、45°、60 °、90°等特殊角；（2）用量角器可以畫(huà)出任意給定度數(shù)的角；（3）利用尺規(guī)作圖可以畫(huà)一個(gè)角等于已知角. 知識(shí)點(diǎn)二、角的比較與運(yùn)算1. 角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成 36

4、0等份，每一份就是1°的角，1 °11的丄為1分，記作“ 1'”，1 '的丄為1秒，記作“ 1 ” 這種以度、分、秒為單位的角6060的度量制，叫做角度制.1 周角=360° , 1 平角=180°, 1°= 60', 1 '= 60.要點(diǎn)詮釋?zhuān)涸谶M(jìn)行有關(guān)度分秒的計(jì)算時(shí)，要按級(jí)進(jìn)行，即分別按度、分、秒計(jì)算，不夠減，不夠除 的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時(shí)，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于等于60時(shí)要向高一位進(jìn)位.2. 角的比較：角的大小比較與線(xiàn)段的大小比較相類(lèi)似，方法有兩種.方法1:度量比較法

5、.先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小.方法2 :疊合比較法.把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較.如比較/ AOB和/A ' O ' B '的大?。?如下圖，由圖（1）可得/ AOB <Z A ' O' B ': 由圖（2）可得/ AOB = Z A ' O' B '由圖（3）可得/ AOB >Z A ' O ' B '.3. 角的和、差關(guān)系如圖所示，/ AOB是/ 1與/ 2的和，記作：/ AOB =Z 1 + Z 2;/ 1是/ AOB與/ 2 的差，記作：/1 = / AOB

6、- / 2.要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）用量角器量角和畫(huà)角的一般步驟：對(duì)中（角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊 ）；重合（一邊與刻度尺上的零度線(xiàn)重合）；讀數(shù)（讀出另一邊所在線(xiàn)的度數(shù)）.（2）利用三角板除了可以做出 30°、45 °、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫(huà)出 15°, 75°, 105°, 120°, 135°, 150°, 165 ° 的角.4. 角平分線(xiàn)從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)， 把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線(xiàn)，叫做這個(gè)角的平分線(xiàn). 如圖所示，OC 是/ AOB 的角平分線(xiàn)，/ AOB

7、 = 2 /AOC = 2 / BOC ,1/ AOC =/ BOC =/ AOB .要點(diǎn)詮釋?zhuān)河山瞧椒志€(xiàn)的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線(xiàn)段中點(diǎn)的思維框架一樣. 知識(shí)點(diǎn)三、余角和補(bǔ)角1. 定義：一般地，如果兩個(gè)角的和等于90° （直角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè) 角是另一個(gè)角的余角.類(lèi)似地，如果兩個(gè)角的和等于180° （平角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角.2. 性質(zhì)：（1）同角（等角）的余角相等.（2）同角（等角）的補(bǔ)角相等. 要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）互余互補(bǔ)指的是兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，互余、互補(bǔ)的兩個(gè)角只與它們的和有關(guān)，而與它們 的位置無(wú)關(guān).（2）般

8、地，銳角 a的余角可以表示為 （90 ° - a ）,個(gè)角a的補(bǔ)角可以表示為 （180 ° -a ）.顯然一個(gè)銳角的補(bǔ)角比它的余角大90°.知識(shí)點(diǎn)四、方位角在航行和測(cè)繪等工作中， 經(jīng)常要用到表示方向的角. 例如，圖中射線(xiàn)OA的方向是北偏 東60°射線(xiàn)OB的方向是南偏西30°.這里的“北偏東 60 °”和“南偏西30 °”表示方 向的角，就叫做方位角.要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?） 正東，正西，正南，正北 4個(gè)方向不需要用角度來(lái)表示；（2） 方位角必須以正北和正南方向作為"基準(zhǔn)”，"北偏東60 °” 一般不說(shuō)成

9、"東偏北30°”（3）在同一問(wèn)題中觀(guān)察點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀(guān)測(cè)點(diǎn)都要畫(huà)出表示方向的“十字線(xiàn)”，確定其觀(guān)察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向；（4）圖中的點(diǎn)0是觀(guān)測(cè)點(diǎn)，所有方向線(xiàn)（射線(xiàn)）都必須以0為端點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)五、鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng) 30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°, 時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30 ° ,時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5° ,利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì) 算問(wèn)題.【典型例題】類(lèi)型一、角的比較與運(yùn)算1. 利用一副三角板上的角，能畫(huà)出多少個(gè)小于180°的角，試一一畫(huà)出來(lái).【思路點(diǎn)

10、撥】 首先發(fā)現(xiàn)一副三角板上有 30°, 45°, 60°, 90°這樣4個(gè)不相等的角，利 用這些角進(jìn)行一次和差，可得小于180。的所有角.【答案與解析】解：除了可以畫(huà) 30°, 45°, 60°, 90° 外，還可畫(huà) 15°, 75°, 105°, 120°, 135 150° , 165°的七個(gè)度數(shù)的角，畫(huà)法如圖所示.LAOB=1350/-AOB-50Q(5)【總結(jié)升華】利用一副三角板共可以畫(huà)出11個(gè)度數(shù)的角，分別是：30°, 45 °

11、; , 60°, 90°,15°, 75°, 105° , 120° , 135°, 150°, 165°.2. 計(jì)算下列各題：(1)152° 49' 12 +20. 18°(2)82° -36° 42' 15；(3) 35° 36' 47X 9;(4)41° 37'- 3.【答案與解析】解：(1)解法一：I20. 18°= 20° 10' 4815 才 49M*】7茫5宇6即：152&

12、#176; 49' 12" +20. 18°= 173°.解法二：152° 49 ' 12"= 152.82 ° ,152. 82° +20. 18°= 173° .即：152° 49' 12" +20. 18°= 173°.(2) 將 82° 化為 81° 59' 60",則8廣59詔二 36理15"45"17対82° -36° 42' 15"

13、= 45° 17' 45".35乜6'4嚴(yán)xg3)屮咬4冷2羅423"= 7' 3" ,324' +7'= 5° 31',35° 36' 47"X 9 = 320° 31 ' 3".（4）1腎5丫23>4廣訂311_J_ （將余數(shù)曠化為1207）157_ 1507一（將余數(shù)r化為6（r） 60秒表示，然后進(jìn)行計(jì)算; "進(jìn)1',滿(mǎn)60'進(jìn)1 ° 將余數(shù)再化成秒和以 41° 37'- 3

14、=13° 52' 20".【總結(jié)升華】在角度的和、差運(yùn)算中應(yīng)先統(tǒng)一單位，都化成度或分、 在進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，往往先把度、分、秒分別乘以倍數(shù)，將結(jié)果滿(mǎn)6（ 對(duì)于除法運(yùn)算則是從度開(kāi)始除，將余數(shù)化為分和以前的分?jǐn)?shù)相加再除, 前的秒數(shù)相加再除，若除不盡往往四舍五入.舉一反三：【變式】計(jì)算：(1)23° 45'(3)15° 50'【答案】(1)23°364245+66 ° 14X 3;36" +662414;(2)180° -98° 24' 30"(4)88° 14

15、' 48"- 4."=90°35' 30"'6"42".24O(2) 180° -98° 24' 30"= 81(3) 15° 50' 42"X 3= 47° 32(4) 88° 14' 48"- 4= 22 ° 3'3. 如圖所示表示兩塊三角板.(1) 用疊合法比較/ 1,Z a,Z 2的大小；(2) 量出圖中各角的度數(shù)，并把圖中的6個(gè)角從小到大排列，然后用“V”或“=”連接.【答案與解析

16、】解：(1)如圖所示，把兩塊三角板疊在一起，可得/ 1 >/ a，用同樣的方法， 可得/ a VZ 2.所以/ 2 = / 1>Z a.(2)用量角器量出圖中各個(gè)角的度數(shù)，分別是/ 1 = /2 = 45°,/ 3= 90。，/ a = 30°, Z 3 = 60°,/ y = 90 °,把它們從小到大排列，有/ a V/ 1 = / 2v/ 3 v/ 3 =/ y .【總結(jié)升華】 比較角的大小有疊合法和度量法兩種：先將兩個(gè)角的頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合，一條邊與一條邊重合再比較.先量出每個(gè)角的度數(shù)，然后按它們的度數(shù)來(lái)比較.舉一反三：【變式】如圖，/ A

17、OB的平分線(xiàn) OM,ON為/ MOA內(nèi)的一條射線(xiàn)，0G為/ AOB外的一1條射線(xiàn)。某同學(xué)經(jīng)過(guò)認(rèn)真分析，得到一個(gè)關(guān)系式是/MON= (/ BON / AON ),你認(rèn)為2這個(gè)同學(xué)得到的關(guān)系式正確嗎？若正確，請(qǐng)把得到這個(gè)結(jié)論的過(guò)程寫(xiě)出來(lái)。【答案】解：正確，理由如下：/ AOB的平分線(xiàn) OM ,/ AOM= / MOB又/ MON= /AOM / AON= / MOB / AON=( / BON / MON) / AON 即有/ MON= / BON / MON / AON 2 / MON= / BON / AON1 / MON= (/ BON / AON )2類(lèi)型二、余角與補(bǔ)角04,武漢武昌區(qū)期末

18、調(diào)研考試)已知點(diǎn)O是直線(xiàn)AB上的一點(diǎn)，,COE = 90°, OF是/ AOE的平分線(xiàn).(1) 當(dāng)點(diǎn)C、E、F在直線(xiàn)AB的同側(cè)(如圖所示)時(shí).試說(shuō)明/ BOE = 2/ COF;(2) 當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E、F在直線(xiàn)AB的兩旁(如圖所示)時(shí)(1)中的結(jié)論是否仍然成立 ？請(qǐng) 給出你的結(jié)論并說(shuō)明理由；(3)將如圖中的射線(xiàn) OF繞點(diǎn)0)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn) m° (Ov mv 180)，得到射線(xiàn) OD,設(shè)/，則/ DOE的度數(shù)是多少?(用含n的式子表示)【思路點(diǎn)撥】由于本題中涉及角的數(shù)量關(guān)系，故可以選擇代數(shù)的方法來(lái)說(shuō)明理由.【答案與解析】解：(1)如圖，設(shè)/ COF = a , 則/ EOF =

19、 90° - a因?yàn)镺F是/ AOE的平分線(xiàn)所以/ AOF = 90° - a所以/ AOC = (90° - a )- a = 90° - 2 a/ BOE = 180 ° - / COE- / AOC=180 °-90 °-( 90 ° 2 a = 2 a即/ BOE = 2 / COF(2)成立.如圖2設(shè)/ AOC =則 AO- 2B 1 所以.COF =/AOC . AOF =45° (90° :)2 2/ BOE = 180° - / AOE = 180° -( 9

20、0° - 3 ) = 90° + 3所以/ BOE = 2/ COF(3) 因?yàn)? DOE = 180 ° - / AOE- / BOD2= 180° -(90-n)°-(60n)°35 = (30 n)°.35 故.DOE的度數(shù)是(30n)°.3【總結(jié)升華】根據(jù)角平分線(xiàn)，互余及互補(bǔ)的定義，進(jìn)行有關(guān)角的計(jì)算. 有一定的綜合性和代表性，主要培養(yǎng)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.舉一反三：【變式】如圖，已知 O是直線(xiàn) AC上一點(diǎn)，OD平分ZAOB , OE在乙BOC內(nèi)，且 ZBOE【答案】11解：設(shè)/ EOC=x°,

21、 V . BOE = -. EOC= x°,根據(jù)題意可得:22180 -丄x-x 厲26=70.22解得：x =80.EOC = 2 BOE = 80°類(lèi)型三、方位角5. 輪船在海面上以每小時(shí) 15海里的速度向正北方向航行，上午8時(shí)到達(dá)A處，測(cè)得燈塔C在北偏西45。方向，上午10時(shí)到達(dá)B處，又測(cè)得燈塔 C在北偏西60°方向.(1) 根據(jù)題設(shè)條件，選用適當(dāng)?shù)谋壤弋?huà)出圖形；(2) 量出BC的圖上距離，并推算出BC的實(shí)際距離；輪船繼續(xù)向北航行到達(dá)D處，這時(shí)燈塔C在輪船的正西方向，這時(shí) CD的實(shí)際距離是多少？(3) 你能確定輪船到達(dá) D處時(shí)的時(shí)間嗎？【答案與解析】解：(

22、1)如圖所示.作圖步驟如下： 從點(diǎn)A引南北、東西方向的兩條直線(xiàn)，并畫(huà)出/DAC = 45° 輪船從8時(shí)到10時(shí)共航行了 30海里，在南北方向上截取 AB = 7 mm(這時(shí)圖距7 mm 表示30海里); 畫(huà)/ DBC = 60°,射線(xiàn)AC、BC的交點(diǎn)C就是燈塔C的實(shí)際位置；在圖上作/ CDA =90 ° , CD與AD交于點(diǎn)D .(2)從圖中依次量出94(海里)，CD的實(shí)際距離為3019X 疋81（海里）.BC 22 mm ,BD 11 mm, CD 19 mm，那么 BC 的實(shí)際距離為（3）BD的實(shí)際距離為11 30疋47（海里），輪船船速為15海里/時(shí)，所以，輪船到達(dá)D30處所需時(shí)間為1115 3. 14（小時(shí)