人教版數(shù)學八上《等邊三角形》同課異構教案(vip專享)

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2、程.（二）能力訓練要求1. 經歷運用幾何符號和圖形描述命題的條件和結論的過程，建立初步的符號感，發(fā) 展抽象思維.2. 經歷觀察、實驗、猜想、i正明的數(shù)學活動過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹 推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點.（三）情感與價值觀要求1. 積極參與數(shù)學學習活動，對數(shù)學有好奇心和求知欲.2. 在數(shù)學活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心.教學重點等邊三角形判立泄理的發(fā)現(xiàn)與i正明.教學難點1. 等邊三角形判泄左理的發(fā)現(xiàn)與證明.2. 引導學生全而、周到地思考問題.教學方法探索發(fā)現(xiàn)法.教具準備多媒體課件，投影儀.教學過程I. 提出問題，創(chuàng)設情境師我們在前兩節(jié)課研究

3、證明了等腰三角形的性質和判定左理，我們知道，在等腰三 角形中有一種特殊的等腰三角形三條邊都相等的三角形，叫等邊三角形.回答下而的 三個問題.（演示課件）1. 把等腰三角形的性質用到等邊三角形，能得到什么結論？2. 一個三角形滿足什么條件就是等邊三角形？3. 你認為有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？你能證明你的結論嗎？ 把你的證明思路與同伴交流.（教師應給學生自主探索、思考的時間）生甲由等邊對等角的性質可知，等邊三角形的三個角相等，又由三角形三內角和泄 理可知，等邊三角形的三個角相等，并且都等于60° 生乙等腰三角形已有兩邊分別相等，所以我認為只要腰和底邊相等，等

4、腰三角形就 是等邊三角形了.生丙等邊三角形的三個內角都相等，且分別都等于60° ,我認為等腰三角形的三個 內角都等于60° ,也就是說這個等腰三角形就是等邊三角形了.（此時，部分同學同意此生看法，部分同學不同意此生看法，引起激烈的爭論，教 師可讓同學代表發(fā)表自己的看法）生丁我不同意這個同學的看法，因為任何一個三角形滿足這個條件都是等邊三角 形.根據等角對等邊，三個內角都是60° ,所以它們所對的邊一泄相等，但這一問題中“已 知是等腰三角形，滿足什么條件時便是等邊三角形”，我覺得他給的條件太多，浪費！師給三個角都是60° ,這個條件確實有點浪費，那么給什么

5、條件不浪費呢？下而同學們可以在小組內交流自己的看法.II. 導入新課探索等腰三角形成等邊三角形的條件.生如果等腰三角形的頂角是60° ,那么這個三角形是等邊三角形.師你能給大家陳述一下理由嗎?生根據三角形的內角和龍理,頂角是60 ° ,等腰三角形的兩個底角的和就是180° -60°二120° ,再根據等腰三角形兩個底角是相等的，所以每個底角分別是120°寧2=60° ,則三個內角分別相等，根據等角對等邊，則此時等腰三角形的三條邊是相等的, 即頂角為60°的等腰三角形為等邊三角形.生等腰三角形的底角是60°

6、 ,那么這個三角形也是等邊三角形，同樣根據三角形內 角和上理和等角對等邊、等邊對等角的性質.師從同學們自主探索和討論的結果可以發(fā)現(xiàn)：在等腰三角形中，不論底角是60° ,還是頂角是60° ,那么這個等腰三角形都是等邊三角形.你能用更簡潔的語言描述這個 結論嗎？生有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.（返個結論的證明對學生來說可能有一左的難點，難點是意識到分別討論60°的角是 底角和頂角兩種情況.這是一種分類討論的思想，教師要關注學生得出證明思路的過程, 引導學生全而、周到地思考問題，并有意識地向學生滲透分類的思想方法）師你在與同伴的交流過程中，發(fā)現(xiàn)了什

7、么或受到了何種啟示?生我發(fā)現(xiàn)我的證明過程沒有意識到“有一個角是60° S在等腰三角形中有兩種情況：（1）這個角是底角：（2）這個角是頂角.也就是說我們思考問題要全而、周到.師我們來看有多少同學意識到分別討論60°的角是底角和頂角的情況，我們鼓掌 表示對他們的鼓勵.今天，我們探索、發(fā)現(xiàn)并證明了等邊三角形的判宦左理：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形，我們在證明這個泄理的過程中，還得出了三角形為等邊三角形的條件，是什么呢？BC生三個角都相等的三角形是等邊三角形.師下面就請同學們來證明這個結論.（投影儀演示學生證明過程）已知：如圖，在AABC中，ZA=ZB=ZC

8、. 求證：AABC是等邊三角形.證明：V ZA=ZB,BC二AC （等角對等邊）.又 I ZA=ZC>BC二AC （等角對等邊）.AB二BC二AC.即AABC是等邊三角形.師這樣，我們由等腰三角形的性質和判肚方法就可以得到.（演示課件）等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于60° :三個角都相等的三角形是等邊三角形.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.師有了上述結論，我們來學習下而的例題，體會上述泄理.（演示課件）例4如圖，課外興趣小組在一次測量活動中，測得ZAPB二60° ,AP二BP二200m,他們便得出一個結論：A、B之間距離不少于200

9、m, 他們的結論對嗎？分析：我們從該問題中抽象出AAPB,由已知條件ZAPB二60。且AP二BP,由本i'j課探究結論知AAPB為等邊三角形.解：在ZiAPB 中，AP二BP, ZAPB=60c ,所以ZPAB=ZPBA=- (180° -ZAPB) =- (180° -60° )二60° 2 2于是 ZPAB=ZPBA=ZAPB.從而AAPB為等邊三角形，AB的長是200m,由此可以得出興趣小組的結論是正確的.III. 隨堂練習（一）課本P54練習.1、2.1. 等邊三角形是軸對稱圖形嗎？它有幾條對稱軸？它們分別是什么線段？答案：等邊三角形是軸

10、對稱圖形，它有三條對稱軸，它們分別是三個角的平分線（或 是三條邊上的中線或三條邊上的高線）.2. 如圖，等邊三角形ABC中，AD是BC上的高，ZBDE二ZCDF二60° ,圖中有哪些與 BD相等的線段？答案：BD二DOBE二EA二CF二FA二DE二DF （二）補充練習如圖，AABC是等邊三角形，ZB和ZC的平分線相交于D”，BD、CD的垂直平分線分別交BC于E、F,求證:BE=CF.證明：連結DE、DF,則BE二DE, DF二CF由AABC是等邊三角形，BD平分ZABC,得Zl=30°故Z2二30。,從而ZDEF二60°同理ZDFE二60° ,故ADEF

11、是等邊三角形DE二DF,因而BE二CFW課時小結這節(jié)課，我們自主探索、思考了等腰三角形成為等邊三角形的條件，并對這個結論 的證明有意識地滲透分類討論的思想方法.這廿課我們學的定理非常重要，在我們今后的 學習中起著非常重要的作用.V. 課后作業(yè)（）課本 P565、6、7、10 題.（二）預習 P55P56.VI. 活動與探究探究：如圖，在等邊三角形ABC的邊AB. AC上分別截取AD二AEAADE是等邊三角形嗎？試說明理由過程：通過分析、討論，讓學生進一步了解等邊三角形的性質及判左.結果:已知：三角形ABC為等邊三角形D、E為邊AB. AC上兩點，且AD二AE.判斷是否是等邊三角形，并說明理由.

12、解：AADE是等邊三角形,V AABC是等邊三角形,ZA=60° 又 TAD 二 AE.ADE是等腰三角形.ADE是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）.板書設計§12. 3. 2等邊三角形（一）一、探索等邊三角形的性質及判立問題：一個等腰三角形滿足什么條件時便成為等邊三角形二、等邊三角形的性質及判左三、應用例題講解四、隨堂練習五、課時小結六、課后作業(yè)備課資料等腰三角形（含等邊三角形）的性質與判肚.性質判定的條件等,腰三角 形（含等 邊三角形）等邊對等角等角對等邊“三線合一”即等腰三角形頂角平分線，底邊上的中線、高互相重合有一角是60。的等腰三角

13、形是等邊三角形等邊三角形的三個角都相等，且每個角都是60°三個角都相等的三角形是等邊三角形參考例題1. 已知，如圖，房屋的頂角ZBAC=100° ,過屋頂A的立 柱 AD丄BC.屋椽 AB=AC,求頂架上ZB、ZC、ZBAD. ZCAD 的度數(shù).解：在AABC中，VAB=AC （已知）,ZB二ZC （等邊對等角）./. ZB=ZC= - （180° -ZBAC） =40° （三角形內角和定理）.2又TAD丄BC （已知）,ZBAD二ZCAD （等腰三角形頂角的平分線與底邊上的髙互相重合）.ZBAD二ZCAD二50° 2. 已知：如圖，AABC是

14、等邊三角形，BD是中線，延長BC到E,使CE二CD.CE求證：DB二DE證明：ABC是等邊三角形，且BD是中線,BD丄AC, ZACB二60° , ZDBC二30° 又 VCD=CE,ZCDE二ZE二丄 ZACB二30° 2 ZDBC 二 ZEAC 于 D、E.3r.已知：如圖，ZkABC是等邊三角形，DEBC,交AB、求證：AADE是等邊三角形e證明：ABC是等邊三角形（已知），ZA二ZB二ZC （等邊三角形各角相等）.VDE/7BC,ZADE二ZB, ZAED二ZC （兩宜線平行，同位角相等）. ZA=ZADE=ZAED.ADE是等邊三角形（三個角都相等的三角

15、形是等邊三角形）.§12. 3. 2等邊三角形（二）教學目標（-）教學知識點1. 探索一發(fā)現(xiàn)一猜想一證明直角三角形中有一個角為30°的性質.2. 有一個角為30°的直角三角形的性質的簡單應用.（二）能力訓練要求1. 經歷“探索一發(fā)現(xiàn)一獵想一證明”的過程，引導學生體會合情推理與演繹 推理的相互依賴和相互補充的辯證關系.2. 培養(yǎng)學生用規(guī)范的數(shù)學語言進行表達的習慣和能力.（三）情感與價值觀要求1. 鼓勵學生積極參與數(shù)學活動，激發(fā)學生的好奇心和求知欲.2. 體驗數(shù)學活動中的探索與創(chuàng)新、感受數(shù)學的嚴謹性.教學重點含30°角的直角三角形的性質左理的發(fā)現(xiàn)與證明.教學

16、難點1. 含30°角的直角三角形性質泄理的探索與證明.2. 引導學生全面、周到地思考問題.教學方法探索發(fā)現(xiàn)法.教具準備兩個全等的含30°角的三角尺；多媒體課件；投影儀.教學過程I .提出問題，創(chuàng)設情境師我們學習過直角三角形，今天我們先來看一個特殊的直角三角形，看它具有什么性質.大家可能已猜到，我讓大家準備好的含30。角的直角三角形，它有什么不同于一 般的直角三角形的性質呢？問題：用兩個全等的含30°角的直角三角尺，你能拼岀一個怎樣的三角形？能拼出 一個等邊三角形嗎？說說你的理由. 由此你能想到，在直角三角形中，30。角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關系？你 能證明

17、你的結論嗎？II. 導入新課（讓學生經歷拼擺三角尺的活動，發(fā)現(xiàn)結論，同時引導學生意識到，通過實際操作探 索出來的結論，還需要給予證明）生用含30°角的直角三角尺擺出了如下兩個三角形.英中，圖（1）是等邊三角形，因為 ABDAACD,所以ABAC,又因為RtAABD中，ZBAD二60° ,所以ZABD二60° ,有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.生圖（1）中，ZB二ZC二60° , ZBAC二ZBAD-ZCAD二30° +30° 二60° ,所以ZB=Z C二ZBAC二60° ,即AABC是等邊三角

18、形.師同學們從不同的角度說明了自己拼成的圖（1）是等邊三角形.由此你能得出在 直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊的關系嗎？生在直角三角形中，30°角所對直角邊是斜邊的一半.師我們僅憑實際操作得出的結論還需證明，你能證明它嗎？生可以，在圖（1）中，我們已經知道它是等邊三角形，所以AB=BC=AC.而ZADB二90° , 即AD丄BC.根據等腰三角形“三線合一”的性質，可得BD二DC二丄BC.所以BI匸丄AB,即 2 2在RtAABD中，ZBAD二30° ,它所對的邊BD是斜邊AB的一半.師生共析這位同學能結合前后知識，把問題思路解釋得如此清晰，很了不

19、起.下 面我們一同來完成這個左理的證明過程.左理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30° ,那么它所對的直角邊等于斜邊的 一半.已知：如圖，在 RtAABC 中，ZC=90° , ZBAC二30° 求證:BC= AB2分析：從三角尺的擺拼過程中得到啟發(fā)，延長BC至D,使CD二BC,連接AD.證明：在AABC 中，ZACB二90° , ZBAC二30° ,則ZB二60° 延長BC至D,使CD二BC,連接AD （如下圖）V ZACB=60° , A ZACD=90° VAC=AC,AAABCAADC (SAS).AAB

20、=AD （全等三角形的對應邊相等）.ABD是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）.ABC=-BD=-AB 2 2師這個左理在我們實際生活中有廣泛的應用，因為它由角的特殊性，揭示了直角三 角形中的直角邊與斜邊的關系，下而我們就來看一個例題.（演示課件）例知右圖是屋架設計圖的一部分，點D是斜梁AB的中點, 立柱 BC、DE 垂直于橫梁 AC, AB=7. 4m, ZA=30° ,立柱 BD、DE 要多長？分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)在RtAAED與RtAACB中，由于ZA=30° 所以DE二一AD,2BC二丄AB,又由D是AB的中點，所以DE= - AB2

21、4解：因為DE丄AC, BC丄AC, ZA=30° ,由定理知 BC二丄AB, DE二丄AD,2 2所以 BD二丄 X7. 4=3.7 (m).2又AD二丄AB,2所以 DE二丄AD=1 X3. 7=1. 85 (m).2 2答：立柱BC的長是3. 7m, DE的長是1.85m師再看下而的例題.例等腰三角形的底角為15° ,腰長為2/求腰上的高.已知：如圖，在ZkABC 中，AB二AC二2a, ZABC=ZACB二15° , CD是腰AB上的髙.求：CD的長.分析：觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，在RtAADC中，AC二2a, 而ZDAC是AABC的一個外角，則ZDAC二15&

22、#176; X2二30°，根據在直角三角形中，30°角所對的邊是斜邊的一半，可求出CD.解：TZABC二ZACB二 15° ,ZDAC二ZABC+ZBAC二30° CD=IaCp (在直角三角形中，如果一個銳角等于30。,那么它所對的直角邊等于 2斜邊的一半).師下面我們來做練習.III. 隨堂練習(一)課本P56練習RtAABC中，ZC=90° , ZB=2ZA, ZB和ZA各是多少度？邊AB與BC之間有什么關系?答案：ZB二60° , ZA=30° , AB=2BC.（二）補充練習1. 已知：如圖，AABC 中，ZACB

23、二90° , CD 是髙，ZA=30° 求證:BD=-AB4ilE明：在 RtAABC 中，ZA=30° ,.Be 二丄 AB 2在 RtABCD 中，ZB=60° ,A ZBXD=30° BD 二丄 BC 2BD 二丄 AB 42. 已知直角三角形的一個銳角等于另一個銳角的2倍，這個角的平分線把對邊分成兩條線段.求證：其中一條是另一條的2倍.已知：在 RtAABC 中，ZA=90° , ZABC二2ZC, BD 是ZABC 的平分線.求證：CD=2AD證明：在 RtAABC 中，ZA=90° , ZABC二2ZC,ZABC

24、二60° , ZC=30° 又TBD是ZABC的平分線,ZABD二ZDBC二30° AAD=-BD, BD二CD.2Z.CD=2AD IV課時小結這肖課，我們在上節(jié)課的基礎上推理證明了含30。的直角三角形的邊的關系這個 泄理是個非常重要的泄理，在今后的學習中起著非常重要的作用.V課后作業(yè)（一）課本 P5811、12、13、14 題.（二）預習P60P61,并準備活動課.1. 找出若干個成軸對稱的漢字、英文字母、阿拉伯數(shù)字.2. 思考鏡子對實物的改變.VI.活動與探究在三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30° .過程：可以從證明“在直角三角形中，如果一個銳角等于30° ,那么它所對的直角邊 等于斜邊的一半二從輔助線的作法中得到啟示結果：已知:如圖（1）,在 RtAABC 中，ZC=90°