二次函數(shù)與一元二次方程及不等式

1、二次函數(shù)與一元二次方程及不等式一，二次方程基礎(chǔ)概念當(dāng)f(x) ax2 bx c中，f(x) 0日寸，即得到二次方程ax2 bx c 0其解的幾何意義即為二次函數(shù)的圖象與x軸的交點橫坐標(biāo).1. 根的判別式b2 4ac2.>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；3.=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；4.<0時，方程無實數(shù)根，但有兩個共鈍的虛數(shù)根.5.根與系數(shù)的關(guān)系(韋達定理)6.bxix2一acxx2-a二次方程根的分布根的位置 <=>圖象位置 <=冷價條件ax2 bx c 0 (a 0)三、一元二次不等式c的自變量的一元二次不等式ax2 bx c 0 (或< 0)的解

2、集，即函數(shù)f(x) ax2 bx取值范圍，使其函數(shù)值f(x) 0 (或<0)的自變量的取值范圍. =b2 - 4ac 0 二0 <0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a> 0)的圖像v qVx一兀一次方程ax2+bx+c=0(a> 0)的根b I x1,22ab x 2a無實數(shù)根一元二次不等式ax2+bx+c> 0(a > 0)的解集x < x1 或 x > x2(Xi < X2 )b x2ax為全體實數(shù)一元二次不等ax2+bx+c< 0(a> 0)的解集xi < x < x2(xi < x2 )無解無解1,例題：

3、選擇題f(x) x2 bx c對任意實數(shù)t都有f (2 t) f (2 t),那么(A )A. f(2)f(1) f(4)B. f(1) f(2)f(4)C. f(2)f(4)f(1) D. f(4)f(2)f(1) 已知y ioga2(x2 2x)在區(qū)間(8, 0)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是( B )A. a 1B.1 a 1C. aR 且 a0 D. a1 或 a1已知函數(shù) y=log1 (x26x+7),則 y ( D )20A.有最大值沒有最小值B.有最小值沒有最大值C.有最大值也有最小值D.沒有最大值也沒有最小值填空題 方程x2 2|x| a(a R)有且僅有兩個不同的實數(shù)根，則實

4、數(shù) a的取值范圍是 .解：令 x2 2|x|, y a 2則yi: 2x(x，0),其函數(shù)圖象如下:x2 2x(x 0)關(guān)于x的方程x2 2ax 9 0的兩個實數(shù)根分別為，則(1)2 (1)2的最小值是解：方程有實數(shù)根，故 4a2 4 9>0.aw 3或 a>3 又2a,9y (1)2 (1)2 ()2 2() 22 4a2 4a 16< a< 3或a>3. y>8 (a = 3時取等號)ymin 8應(yīng)用題1 .已知函數(shù)y x2 4ax 2a 30的圖象與X軸無交點，求關(guān)于X的方程一匚|a 1| 1的根 a 3的范圍.解：: y x2 4ax 2a 30的圖

5、象與X軸無交點，所以 (4a)2 4(2a 30) 0解得：< a<3 (1)當(dāng) aS (, 1時，方程化為 x= (a+3) (2-a)=-a2a + 66 (9苦(2)當(dāng) aS (1, 3)時，方程化為 x= (a+ 3) a=a2 + 3a 4 4(4, 18)綜上所述：x6 (?, 18) 42 .設(shè)a, b為實常數(shù)，k取任意實數(shù)時，函數(shù)y= (k2+k+ 1) x2- 2 (a + k) 2x+ (k2 + 3ak+b)的圖象與x軸都交于點A (1, 0).3 . (1)求a、b的值；4 . (2)若函數(shù)與x軸的另一個交點為B,當(dāng)k變化時，求|AB|的最大值.解：(1)

6、a= 1, b= 1y= (k2 + k+1) x22 (k+1) 2x+ (k2+3k+1)|AB|的最大值為2.5 .設(shè)實數(shù)a、b、c滿足6 . a2bc 8a +7 = 07 . b2+c2 + bc-6a+6= 08 .求a的取值范圍.解：1WaW91a9.設(shè)二次函數(shù)f (x) ax2 bx c (a>0),方程f(x) x 0的兩個根X, x2滿足0 x1 x210 . (1).當(dāng) x6 (0, X)時，證明 x<f(x)<xi；11 . (2).設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x x0對稱，證明：解(2).依題意知=一/因為x1, x2是方程f (x) x= 0的根，

7、即x1, x2是方程ax2+ (b 1) x+ c= 0的根，所以x1 + x2=三ax0 =b2aa(x1 x2) 1ax1 ax2 12a2a因為ax? 1 ,所以x012 .若關(guān)于x的二次方程7x2 (p+13) x+p2-p-2= 0的兩根, 滿足0c<1< <2求實數(shù)p的取值范圍.解：設(shè) f (x) =7x2 (p+13) x+ p2- p-22f (0)0pp20根據(jù)題意得：f (1)0即p22P80f(2)0p23p0解得：p6 (2, 1) U (3, 4).13 .已知二次函數(shù)y=x2 (2m+4) x+m2 4 (x為自變量)的圖像與 y軸的交點在原點 下

8、方，與x軸交于A, B兩點，點A在點B的左邊，且A, B兩點到原點的距離AO, OB貓足3 (?OB AO) =2AO OB,直線y=kx+k與這個二次函數(shù)圖像的一個交點為 巳 且銳角/ POB?勺正切值4.(1)求m的取值范圍;(2)求這個二次函數(shù)的解析式；(3)確定直線y=kx+k的解析式.解 (1) m2 4<0, 2<m<2.(2)二次函數(shù)的解析式為y=X2-2x-3.(3)由 y=x2-2x-3,得 A (1, 0), B (3, 0).強化訓(xùn)練一、填空題1 .與拋物線y=2x2 2x 4關(guān)于X軸對稱的圖像表下的函數(shù)關(guān)系式是_y=-2x2+2x+4_.2 .已知二次

9、函數(shù)y= (a1) x2+2ax+3a-2的圖像最低點在x軸上，那么a=_2_,此 時函數(shù)的解析式為 _y=x2+4x+4.3 .某涵洞的截面是拋物線型，如圖1所示，在圖中建立的直角坐標(biāo)系中，拋物線的解析式為y=1x2,當(dāng)涵洞水面寬AB為12m時，水面到橋拱頂點O?的距離為9 m.4圖1圖2P,羽毛球飛行4 .甲，乙兩人進行羽毛球比賽，甲發(fā)出一顆十分關(guān)鍵的球，出手點為的水平距離s （m）與其距地面高度h （m）之間的關(guān)系式為h=- -S2+2S+-.如圖2, 1232已知球網(wǎng)AB距原點5m,乙（用線段CD表示）扣球的最大高度為9m, ?設(shè)乙的起跳點C的橫坐標(biāo)為m,若乙原地起跳，因球的高度高于乙

10、扣球的最大高度而導(dǎo)致接球失敗，則m的取值范圍是5Vm<4+".5,若拋物線y=1x2與直線y=x+m只有一個公共點，則m的值為-1.2 2 6.設(shè)拋物線y=x2+ （2a+1） x+2a+5的圖像與x?軸只有一個交點，？則a18+?323a-6?的值 4為 _5796_.7,已知直線y= 2x+3與拋物線y=x2相交于A, B兩點，O為坐標(biāo)原點，那么 OAB?的面積等于6.8 . （2008,安徽）圖3為二次函數(shù)y=aX2+bx+c的圖像，在下列說法中：ab<0;方程 ax2+bx+c=0的根是 xi=1, x2=3;a+b+c>Q 當(dāng) x>1 時，y 隨 著

11、x?的增大而增大.正確的說法有© .（請寫出所有正確說法的序號）圖3圖4圖5二、選擇題9 .小敏在某次投籃球中，球的運動路線是拋物線y=- 1x2+的一部分（圖4）,若命中5A.B. 4mC.D.10 .當(dāng)m在可以取值范圍內(nèi)取不同的值時，代數(shù) 。27 4m 2m2的最小值是（B ）A. 0 B. 5C. 3 3D. 911 .二次函數(shù)y=a/+bx+c的圖像如圖5所示，則下列結(jié)論：a>0,c>0, ?b2-4ac>0, 其中正確的個數(shù)是（C）A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個12 .拋物線y=x2+ （2m1） x+m2與x軸有兩個交點，則m的取值范圍是

12、（C ）A. m>-B. m>- -C. m<-D. m<-444413 .根據(jù)下列表格中二次函數(shù) y=aX2+bx+c的自變量x與函數(shù)y的對應(yīng)值，？判斷方程 ax2+bx+c=0 （a#0, a, b, c為常數(shù)）的一個解x的范圍是（C ）xy=aq+bx+c一一A. 6<x<B. <x< C. <x< D, <x<14 .若二次函數(shù)y=ax2+bx+c （a#0）的圖像的頂點在第一象限且經(jīng)過點（0, 1）和（?1, 0）,貝U S=a+b+cW值的變化范圍是（A ）A. 0<S<2 B, 0<S<

13、;1C, 1<S<2 D, - 1<S<115 .二次函數(shù)y=ax2+bx+c （a?0）的最大值是零，那么代數(shù)式I a I +絲色 的化簡結(jié)4a果是（B ）A. aB. -aC.D. 016 . （2006,甘肅蘭州）已知y=2x2的圖像是拋物線，若拋物線不動，把 x軸，y?軸分別向上，向右平移2個單位，那么在新坐標(biāo)系下拋物線的解析式是（ B ）A. y=2 (x 2) 2+2B. y=2 (x+2) 22C. y=2 (x 2) 2 2D. y=2 (x+2) 2+2三、解答題17 . （2006,吉林?。┤鐖D，三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，？兩小孔形狀，大小都

14、相同.正常水位時，大孔水面寬度AB=20m,頂點M距水面6m （即MO=6m）, ?小孔頂點N距水面（即NC=）.當(dāng)水位上漲剛好淹沒小孔時，借助圖中的直角坐標(biāo)系，求此時大孔的水面寬度EF.設(shè)拋物線解析式為 y=ax2+6,依題意得，B （10, 0）./.ax 12+6=0,解得 a=.即 y= +6,當(dāng)y=時，+6=,解得x= ±5.DF=5, EF=10,即水面寬度為 10m.18 . （2008,安徽）雜技團進行雜技表演，演員從蹺蹺板右端 A處彈跳到人梯頂端椅 子B處，其身體（看成一點）的路線是拋物線 y=3x2+3x+1的一部分，如圖所示.5（1）求演員彈跳離地面的最大高度；

15、（2）已知人梯高BC=,在一次表演中，人梯到起跳點A的水平距離是4m,問這次表演是否成功請說明理由.(1) y= 3x2+3x+1 = 3 (x5)，19. 5524 <0, 函數(shù)的最大值是 54入上一，口19答：演員彈跳離地面白最大高度是 m.4(2)當(dāng)x=4時，y=- - x£+3X 4+1=BC所以這次表演成功.519 . (2006,沈陽市)某企業(yè)信息部進行市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：信息一：如果單獨投資A種產(chǎn)品，則所獲利潤yA (萬元)與投資金額x (萬元) 之間存在正比例函數(shù)關(guān)系：yA=kx,并且當(dāng)投資5萬元時，可獲利潤2萬元；信息二：如果單獨投資B種產(chǎn)品，則所獲利潤yB (萬元

16、)與投資金額x (萬元) 之間存在二次函數(shù)關(guān)系：yB=ax2+bx,并且當(dāng)投資2萬元時，可獲利潤萬元；當(dāng)投資 萬元時，？可獲得萬元.(1)請分別求出上述的正比例函數(shù)表達式與二次函數(shù)表達式；(2)如果企業(yè)同時對A, B兩種產(chǎn)品共投資10萬元.？請你設(shè)計一個能獲得最大利 潤的投資方案，并求出按此方案能獲得的最大利潤是多少.解(1)當(dāng) x=5 時，yA=2,2=5k,k=.，yA=,當(dāng)x=2 時，yB=;當(dāng) x=4 時，yB=.2.4 4a 2b,3.2 16a 4b.解得a 0.2, b 1.6. -yB=- +.(2)設(shè)投資B種商品x萬元，則投資 A種商品(10 x)萬元，獲得利潤 W萬元,根據(jù)

17、題意可得 W=-+ (10 x) =-+4. W=- (x 3) 2+.當(dāng)投資B種商品3萬元時，可以獲得最大利潤萬元.所以投資A種商品7萬元，B種商品3萬元，這樣投資可以獲得最大利潤5. 8萬元.20 . (2008,煙臺)如圖所示，拋物線 Li: y= x2 2x+3交x軸于A, B兩點，交y?軸 于M點.拋物線Li向右平移2個單位后得到拋物線L2, L2交x軸于C, D兩點.(1)求拋物線L2對應(yīng)的函數(shù)表達式；(2)拋物線Li或L2在x軸上方的部分是否存在點 N,使以A, C, M, N?%頂點的四邊形是平行四邊形.若存在，求出點 N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；令x=0,得y=3,，M

18、(0, 3).二.拋物線L2是Li向右平移2個單位長度得到的，點N (2, 3)在L2上，且MN=2,MN/AC.又AC=2,，MN=AC. .四邊形 ACNM 為平行四邊形.同理，Li 上的點 2( 2,3)滿足 N' M/ AC, N' M=AC，四邊形ACMN是平行四邊形.N (2, 3), N' (2, 3)即為所求.(3)設(shè)P (xi,yi)是Li上任意一點(yiw。，則點P關(guān)于原點的對稱點Q ( xi,yi),且yi= xi22x1+3,將點Q的橫坐標(biāo)代入 L2,得yQ=xi2 2xi+3=yidyi.，點Q不在拋物線L2上.21 .已知：二次函數(shù)y=ax2

19、+bx+c的圖像經(jīng)過點A (0, 4),頂點在x軸上，？且對稱軸在 y軸的右側(cè).設(shè)直線y=x與二次函數(shù)圖像自左向右分別交于 P (xi, yi), Q (期，y2)兩 點，？且0巳 PQ=1: 3.(1)求二次函數(shù)的解析式;(2)求4PAQ的面積;(3)在線段PQ上是否存在一點 D,使AP»zQPA若存在，求出點 D坐標(biāo)，？若不存在，說明理由.(1)拋物線過(0, 4)點.c=4,，y=ax2+bx+4 又 OP: PQ=1: 3, ，xi: X2=1 : 4由y x2y ax bx得ax2+ (b1) x+4=0,xi, x2是該方程的兩個根,4b 1- x1 +x2=-,4xi

20、x2= a3b <0,又拋物線的頂點在 x軸上, a(x2 x1) =2 J(x xI)4x1 x2 =2 J(a a=-X 4 漢為一X 4 X=2221 Y，得 m=8 或-2.消去x1得25a= (b-1) 2拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)- >02a，b2=16a 得 a=1, b= 4 (b=舍去).9.1. y=x2 4x+4.(2)如圖所小 Sapaq=Saaqo - Sapo(3)存在點 D,設(shè) D (m, n)易得 P (1, 1), Q (4, 4),由APgQPA得PA2=PQPD,運用勾股定理得I m-1<m<4,“(8,8).3 322 . (2005,武漢市)已知二次函數(shù)y=a$ax+m的圖像交x軸于A (xi, 0), B (*, 0)兩點，xi<x2,交y軸的負半軸于 C點，且AB=3, tan/ BAOtan/ABC=1.(1)求此二次函數(shù)的解析式;(2)在第一象限，拋物線上是否存在點P,使及pa中6