備戰(zhàn)2021屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)10圓錐曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用(解析版)

1、專點(diǎn)撥10111年曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用1 ,熟練掌握橢圓、雙曲線以及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程中基本量的關(guān)系，能夠準(zhǔn)確應(yīng)用三種曲線的軌跡定義來解決問題.2.弦長公式：斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)，4（八，川），8（X2, A），則截得的弦長：|，空尸-4中2 =yjl+/r 融一詞=0）的焦點(diǎn)為尸I、鳥，尸為該雙曲線上的一點(diǎn)，若|PB|=5,則干尸2|=*【答案】3【解析】依題意，有PFi+PF2=2a/2【解析】記的內(nèi)切圓圓心為C,邊AF；、AK、耳居上的切點(diǎn)分別為M、N、石，易見C、E橫坐標(biāo)相等，則 IAMIT4VI,FXM l”EI,IANITAEI,由 IAF； I TA l=2n ,即 I

2、AM I+I TIAN 1 + 1 1) = 2。，得 IMRI-INF； l=2n ,即；七1-1用1=2。，記C的橫坐標(biāo)為,則E(%, 0),于是小+C-(c-/) = 2a ,得% =4,同樣內(nèi)心。的橫坐標(biāo)也為。，則有軸，設(shè)直線的傾斜角為e，則NCEO = 9(r-g， 2-2在 ACEA 中，tanNCEO = tan(9()o-g) = .222 EF在 ADER 中，tan DF,O = tan - = -.2 I EFI由 4 = 2弓，可得 2tan- = tan(90-) = cot 222解得tanW =走,22則直線的斜率為tand =由對稱性可得直線/的斜率為22.故答

3、案為：242.【變式訓(xùn)練2】已知點(diǎn)尸和0的橫坐標(biāo)相同，P的縱坐標(biāo)是0的縱坐標(biāo)的2倍，P和0的軌跡分別為雙曲 線G和C2，若G的漸近線方程為y = 土底,則G的漸近線方程為.答案】尸坐r【解析】 設(shè)G的方程為三一=1，則它的漸近線為、=卷，即6=/。有，-9=1,又二尸的縱坐標(biāo)是 。的2倍，橫坐標(biāo)相同.二。2的方程為、一等 =1，故漸近線方程為,=聿.【例3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為5,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是【答案】4【解析】. 拋物線）F=4x = 2px,， =2 由拋物線定義可知，拋物線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離是相等的,PFI=x + l=5

4、,.x = 4f故答案為：4.【變式訓(xùn)練3】已知拋物線4x的焦點(diǎn)為尸，該拋物線上點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為2,則I尸F(xiàn)l=.【答案】3【解析】拋物線爐=4x的準(zhǔn)線方程為：x = -l,夕到焦點(diǎn)F的距離等于。到準(zhǔn)線的距離，P的橫坐標(biāo)是2,.JPFI=2+1=3.故答案為：3.22【例4】橢圓C： +a=1過點(diǎn)“（2,0）,且右焦點(diǎn)為F（l,0）,過尸的直線/與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（4,3）,記24、08的斜率分別為公和心：（1）求橢圓C的方程：（2）如果直線/的斜率等于1,求出占網(wǎng)的值：（3）探討占+公是否為定值？如果是，求出該定值，如果不是，求出K+心的取值范圍:【解析】（1）=. =H一。2

5、=耳,故橢圓的方程為t十二= 1.（2）直線/： y = -x + ,I88設(shè)A（N，yJ, 8（石,%），由y2 ，消y得7/一8犬一8 = 0,有為+=二，不&=一一，所以 f J- = 1771433/二2 = 一七_(dá)2=4士+2（4+馬）+4 =）（3）當(dāng)直線45的斜率不存在時(shí), x -4 x2 -4 x -4 x2 -4 玉X2-4（玉+公）+ 16 2不妨設(shè)AlL,B 1-2)2)3333+ 二，則仁=；3 = 5, 0 = U = J，故用+&=2.當(dāng)直線AB斜率存在時(shí),設(shè)為攵，則有線AB： y = %（工一1）,設(shè)A（N，yJ, 8（，見），由y = k(x-l)X2 y2 ,

6、消丁得F- = 143(4k2 +3)W -8攵2% + (止 -12)= 0 .8k2IJ X +電=-4攵 2+34k2-12kl+k2 =y -3 %一3 _ 3 _左_3 kx1 -k-3 _ 2G/一例+ 3)(內(nèi) +)+ 8伙 + 3)%| -4 x2 -4 x -4 x2 -4xx2 -4(X| +x2) + 1672 伊+1)_2 36(6+1)E鞏固訓(xùn)練一、填空題1 .已知雙曲線? - 2 = 1 ,則其兩條漸近線的夾角為.【答案】900【解析】雙曲線犬-）/=11的兩條漸近線的方程為：），=土x,所對應(yīng)的直線的傾斜角分別為90，二雙曲線-丁 = 1的兩條漸近線的夾角為90

7、,故答案為：90.2 .若直線/經(jīng)過拋物線C：y2= 4x的焦點(diǎn)且其一個(gè)方向向量為d = （1,1）,則直線I的方程為【答案】x-y-1 = 0【解析】拋物線y2 = 4x的焦點(diǎn)為（1,0）,方向向量為2 = （1）的；勺斜率為1,故直線/的方程是y-0 = 1心-1),即)，=x-1,故答案為：x-y- = O.3 .已知雙曲線二-二=130,0)的一條漸近線方程是)，=2它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線/=20x的焦點(diǎn)相 cr lr同，則此雙曲線的方程是.【答案】-22 = 15 20【解析】拋物線V=20x的焦點(diǎn)為(5,0), 則雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,2,雙曲線二一二二1(0/0)的一條漸近線為y

8、= 2x,可得 =2- cr lr111題意雙曲線二-與=1(4 0, 0)的個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2 = 2(h的住點(diǎn)相I，d,可得47前 =5 , cr lr解得a = , b = 2小, 22則雙曲線的方程為：y-1 = l.故答案為：二一匯=1.5 20224 .已知點(diǎn)O, A, B,尸分別為橢圓C：二+二=1(/20)的中心、左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸作 一 ,一03的平行線，它與橢圓。在第一象限部分交于點(diǎn)P,若福=4而，則實(shí)數(shù)/的值為【答案】V2【解析】如圖,A(-a,0) , B(0,b), F(c,0),則 p(c,3, a b2AB = (u,b) , OP = (c,),a

9、= 2c由= 戶，得即 =c,b = A aa2 = b2 + c2 = 2Z?2 f = 5/2 . b則 2 = = /2 . b故答案為：厄.5 .已知橢圓上+上=1,直線x + 2y + 18 = 0,則橢圓上點(diǎn)到這條直線的最短距離是94【答案】w 5t解析】由直線/的方程與橢圓的方程可以知道，直線/x + 2y + 18 = 0。橢圓不相交，設(shè)直線所平行于直線/,則直線旭的方程可以寫成x + 2y + k=0（1）1二 + J1由方程組彳由T 消去x,得25），2+16。+ 4獷-36 = 0（2）x+2y+k=0令方程（2）的根的判別式=（），得di-4x25（4公-36） = 0

10、（3）解方程（3）得人=5或k=一5,二當(dāng)4=5時(shí)，直線機(jī)。橢圓交點(diǎn)到直線/的距離最近，此時(shí)直線刑的方程為x + 2y+ 5 = 0,直線/與直線/間的距離d=VTZ4 5故答案為：噌.5二、選擇題6.已知橢圓 +裔=1的左右焦點(diǎn)分別為片、F2,點(diǎn)夕在橢圓上，若P、K是一個(gè)直角三角形的三個(gè) 頂點(diǎn)，則點(diǎn)到X軸的距離為（）A. -B. 4C. -D.555【答案】D 【解析】設(shè)橢網(wǎng)短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M.由于 a = 5 , = 4 , .c = 3b：.NF；MF2 0）的右頂點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)（不與A重合），若= 是坐 cr lr標(biāo)原點(diǎn)），則&為半焦距）的取值范圍是（）aA. （,1）B.（,1

11、）C.（）D.以上說法都不對【答案】B【解析】設(shè)P(x,y), =麗刀= 0(0是坐標(biāo)原點(diǎn)),(X )+ ) = 一，3, - 八. 24 一。x +=0，+，廣)廣=aTy=(c2x - ab2 )(x - n) = 0._ . 而入=4， X = z ,：.br c2 .3. 一 X* u 2.則:的取值范圍是（孝，1）故選：B.28 .己知M （小,先）是雙曲線C：二一卡=|上的一點(diǎn)，心是c上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若則2的取值范圍是（）【答案】A【解析】由題意E（JJ,o），K（6,o），當(dāng)二一），；=1,所以 2麗麗=(-6-/，一%).(6-/,一%)=玉;+ y：-3 = 3y；_l0,解得

12、當(dāng)兒0）的對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)/為拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)夕在拋物線。上,在WP中，若sinNEEP = .sinNE,則的最大值為（）【答案】Ct解析】過P（x軸上方）作準(zhǔn)線的垂線,垂足為，則由拋物線的定義可得I尸廠ITI,由sin 4EFP = sin /FEP .則SPFE中由正弦定理可知：則I PEI=I PEI ,/JPEI=/IPWI設(shè)總的傾斜角為a,則cosa = = ,， PE :與取得最大值時(shí),cosa最小，此時(shí)直線拋物線相切,設(shè)直線PM的方程為人,=）-2,則，2HI- y2 -2pty + p2 = 0 9. = 42/ 一 4/=0J2=1, U|J tana = l，則

13、cosa =, 2則的最大值為JI， 故選：C.三、解答題10 .已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為（-1,0）, 6。-0），且橢圓過點(diǎn)（1, （1）求橢圓的方程.（2）已知斜率為k伏=0）的直線L過用，與橢圓分別交于夕，Q；直線6過工，與直線L垂直，與橢圓分別交于M，N,求四邊形PMQN面積的函數(shù)解析式/（）.【解析】（1）設(shè)橢圓的方程為二+二=1，ah0 cr lrc = 1由題意可得工 + = 1 , 解得，J = 2 = 1cr 2ba2 =b2 +c2（2）設(shè)直線4的方桿為尸女。一1）,則有線/工的方程為，=設(shè)P（&，），。但，心）,廠 ，2 一 1聯(lián)立方程V ,化簡得(2y+1)/ 一軟24+

14、 2/一2 = 0.y = k(x + l)H.I4k22k2-2則 X + X)= ,=,12 + 2k21 2 1 + 2公/J PQ= Jl + 公- A- -x21= 1 + y回+%)2一招%=y/1 + k 16k同理，得IA/VI=2/2士2 + K s 四邊形 PA” - 51Poi |mn| =( + 乂?，?)，11.已知拋物線y = /上的A, 3兩點(diǎn)滿足冰麗=2,點(diǎn)A、3在拋物線對稱軸的左右兩側(cè)，且A的橫坐標(biāo)小于零，拋物線頂點(diǎn)為O,焦點(diǎn)為F.（1）當(dāng)點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為2,求點(diǎn)A的坐標(biāo)：（2）拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得IMFI=/llMOI（/l0）,若請說明理由；（3）設(shè)焦

15、點(diǎn)廠關(guān)于直線08的對稱點(diǎn)是C,求當(dāng)四邊形。歷C而積最小值時(shí)點(diǎn)3的坐標(biāo).【解析】（1）由題意知,8（2,4）,設(shè)A（f/）,由。4。2=2,得&+ 4產(chǎn)=2,解得：/ =-（舍）或/=一1, 2（2）由條件知/ 。=22（x2 + y2）,把一代入得（ITJ+d /y + LnO，216.=萬（萬-2）,4當(dāng)丸=1，M有兩個(gè)點(diǎn).當(dāng)4 =走，例點(diǎn)存在:，2苦中21 ”點(diǎn)有二個(gè),2當(dāng)0% 3恒成立，因此0cos9l= - l3cos-0 - 1-25,圓心坐標(biāo)為(3, 4),半徑為V5耳不K圓Q： /2 = 1的圓心坐標(biāo)為(0, o),半徑為1.要使圓C1： $+ = 1和圓c2： rt2-6x-8

16、y-k=0沒有公共點(diǎn)，則QGI 25 + k + 1 或V25 + fc+ 1 或 5 &5 + k - 1,解得-25左11.，實(shí)數(shù)A的取值范圍是(-25, -9) U (11, +8).故選：D.4. (2020青浦區(qū)一模)過拋物線=2px (p0)的焦點(diǎn)作兩條相互垂直的弦,43和CQ,則看j + 高的 值為()P21A-B. -C. 2PD.2P2p【分析】直接利用直線和曲線的位置關(guān)系式的應(yīng)用建立方程組，進(jìn)一步利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系 式的應(yīng)用求出結(jié)果.【解答】解:拋物線f=2px(p0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0),所以設(shè)經(jīng)過焦點(diǎn)直線，四的方程為尸如一分，所以卜=一，整理得/一(2p + 2p

17、)x+字 =o,設(shè)點(diǎn)月(工，宜)，B，”)，、y2 = 2px所以|48| =打+& +=專迦所以虛=必同理設(shè)經(jīng)過焦點(diǎn)直線CQ的方程為尸一招(尸滅 K /_ _ Z _ Px2所以y =:五(一月，整理得力2 Q + 2/C2P)%+=0,y2 = 2px所以：|CZ尸k (p+2Mp),所以|CD| =2p+2k2phill hill + = 、 AB CD 2P（T+H） 2p故選：D.5 . （2020奉賢區(qū)一模）若雙曲線的漸近線方程為），=3x,它的焦距為2g,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 為.【分析】利用雙曲線的焦距求出C，通過漸近線方程，求出、6關(guān)系，然后求出。，6,即可得到雙曲線方程.【

18、解答】解：雙曲線的焦距為2仙，可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上時(shí)，漸近線方程為y=3x,可得士 =3, n2+b2 = 10,所以4=1. 6=3, a當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸上時(shí)，可得=3,。2+廬=1（）,所以3=1,。=3,v2所以所求雙曲線方程為：/一&=1.故答案為：/一易= 1.y26 .（2020靜安區(qū)一模）設(shè)雙曲線不一一=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為尸1，尸2,點(diǎn)尸在雙曲線上，若尸尸尸尸2,則 az a+1點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離的最小值為.【分析】利用已知條件PF1J尸為，點(diǎn)尸到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離為c，轉(zhuǎn)化求解c的最小值即可.欠？y2【解答】解：雙曲線二一一=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為尸1，乃，點(diǎn)尸在雙曲線上

19、，若PFitPF?, a2 a+1則點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離為C，所以c= Vq2 + a + 1 = J （a + ）2 + 1,豆苧,當(dāng)且僅當(dāng)=-；時(shí)，取得最小值：故答案為：.2工2 y2TTT T7 .（2020青浦區(qū)一模）已知點(diǎn)尸在雙曲線=1上，點(diǎn)4滿足R4 =（L 1）OP （隹R）,且。力OP =60,916OB = （0, 1）,貝山加力|的最大值為.【分析】由R4 =（L 1）OP.得到。力=tOP,貝”。*=|t|OP|,設(shè)乂（,】，尸（工尸尸），可得孫力=將點(diǎn) 牛，裝代入雙曲線中得42 = 鎏 + 9/，結(jié)合后=60,可得M1IW8,從而得到瀛。川【解答】解：PA = (r-

20、 1) op = top -OP. ：.OA-OP = top-OP 9則。力=top, ：.OA = t-OP.設(shè) K Gx，刈），P（必，J尸），將點(diǎn)（f ,華）代入雙曲線中得:9：OAOP =60, AOA9OP= t 0P2 = t (xP2+yP2)=中(乎+陰=6。，由得 60 = /|(y +*+ 9)=川(+9)=+9|t| -yA.二必|W&：.0B - 00| =卜山W8.則|法扇|的最大值為8.故答案為：8.y 28 .（2020楊浦區(qū)一模）橢圓$+了= 1的焦點(diǎn)為尸1，為，P為橢圓上一點(diǎn)，若|尸尸1尸5,則cosZFiPF? 【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合余弦定理轉(zhuǎn)化求解即可.【解答】解：橢圓一+ = 1的焦點(diǎn)為尸1，尸2,尸為橢圓上一點(diǎn)，若甲產(chǎn)1|=5,可得甲乃尸6-5 = 1.94尸2尸1尸2c=2時(shí)*由余弦定理可得：co$g 附/瑞jl二2蒸鼠二|1 4 1 J |4 A |乙人。人工。3故答案為：%2 y29.（2020松江區(qū)一模）已知橢圓一+ = 1的左、右焦點(diǎn)分別為為、尸2,若橢圓上的點(diǎn)尸滿足干產(chǎn)1| = 2|尸產(chǎn)2|,94則I尸尸11=.【分析】