五年級奧數(shù).行程.環(huán)形跑道.教師版(20210414073857)

1、舉次知識框架本講中的行程問題是特殊場地行程問題之一。 是多人（一般至少兩人）多次相遇或追及 的過程解決多人多次相遇與追擊問題的關(guān)鍵是看我們是否能夠準(zhǔn)確的對題目中所描述的每一 個行程狀態(tài)作出正確合理的線段圖進行分析。一、在做出線段圖后，反復(fù)的在每一段路程上利用：路程和=相遇時間X速度和路程差=追及時間X速度差、解環(huán)形跑道問題的一般方法：環(huán)形跑道問題，從同一地點出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次；如果 是同向而行，則每追上一圈相遇一次.這個等量關(guān)系往往成為我們解決問題的關(guān)鍵。環(huán)線型同一出發(fā)點直徑兩端同向：路程差nSnS+相對（反向）：路程和nS爛 例題精講【例1】一個圓形操場跑道的周長是

2、500米，兩個學(xué)生同時同地背向而行.黃鶯每分鐘走 66 米，麻雀每分鐘走59米.經(jīng)過幾分鐘才能相遇？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】黃鶯和麻雀每分鐘共行66 59 125 （千米），那么周長跑道里有幾個125米，就需要 幾分鐘，即 500 （66 59） 500 125 4 （分鐘）.【答案】4分鐘【鞏固】周老師和王老師沿著學(xué)校的環(huán)形林蔭道散步，王老師每分鐘走55米，周老師每分鐘走65米。已知林蔭道周長是480米，他們從同一地點同時背向而行。在他們第10次相遇后，王老師再走 米就回到出發(fā)點?！究键c】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】填空【解析】 幾分鐘相遇一次：480+

3、（55+65） =4 （分鐘）10次相遇共用：4X10=40 （分鐘）王老師40分鐘行了 ： 55X 40=2200 （米）2200+ 480=4 （圈）280 （米）所以正女?走了 4圈還多280米，480280=200 （米）答：再走200米回到出發(fā)點?！敬鸢浮?00米【例2】上海小學(xué)有一長300米長的環(huán)形跑道，小亞和小胖同時從起跑線起跑，小亞每秒鐘跑6 米，小胖每秒鐘跑4米，小亞第一次追上小胖時兩人各跑了多少米？（2）小亞第二次追上小胖兩人各跑了多少圈？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】第一次追上時，小亞多跑了一圈，所以需要 300 （6 4） 150秒，小亞跑了 6

4、 150 900 （米）。小胖跑了 4 150 600 （米）；第一次追上時，小胖跑了 2圈，小亞跑了 3圈，所以第二次追上時，小胖跑4圈，小亞跑6圈?！敬鸢浮啃∨峙?圈，小亞跑6圈【鞏固】小張和小王各以一定速度，在周長為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是 200米/ 分.小張和小王同時從同一地點出發(fā)，反向跑步，1分鐘后兩人第一次相遇，小張的速 度是多少米/分？小張和小王同時從同一點出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后 才能第一次追上小王？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】兩人相遇，也就是合起來跑了一個周長的行程.小張的速度是500 1 200 300 （米 /分）.在環(huán)

5、形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈（一個周長），因此需要的時間是： 500 （300 200） 5 （分） 300 5 500 3 （圈）【答案】300米/分3圈【例 3 】 小新和正南在操場上比賽跑步，小新每分鐘跑250 米，正南每分鐘跑210 米， 一圈跑道長 800 米，他們同時從起跑點出發(fā)，那么小新第三次超過正南需要多少分鐘？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】小新第一次超過正南是比正南多跑了一圈，根據(jù)S差v差t ,可知小新第一次超過正南需要： 800 （250 210） 20 （分鐘 ） ，第三次超過正南是比正南多跑了三圈，需要800 3 （ 250

6、 210） 60 （ 分鐘 ） 【答案】 60分鐘【鞏固】 幸 福村小學(xué)有一條200 米長的環(huán)形跑道， 冬冬和晶晶同時從起跑線起跑， 冬冬每秒鐘跑6 米， 晶晶每秒鐘跑4 米， 問冬冬第一次追上晶晶時兩人各跑了多少米， 第 2 次追上晶晶時兩人各跑了多少圈？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】 這 是一道封閉路線上的追及問題，冬冬與晶晶兩人同時同地起跑，方向一致因此，當(dāng)冬冬第一次追上晶晶時，他比晶晶多跑的路程恰是環(huán)形跑道的一個周長（200 米 ） ，又知道了冬冬和晶晶的速度， 于是， 根據(jù)追及問題的基本關(guān)系就可求出追及時間以及他們各自所走的路程冬冬第一次追上晶晶所需要的時間：

7、 200 （6 4） 100 （ 秒 ）冬冬第一次追上晶晶時他所跑的路程應(yīng)為： 6 100 600 （ 米 ）晶晶第一次被追上時所跑的路程： 4 100 400 （ 米 ）冬冬第二次追上晶晶時所跑的圈數(shù)： （600 2） 200 6（ 圈）晶晶第 2次被追上時所跑的圈數(shù)： （400 2） 200 4（ 圈）【答案】 4 圈【例 4】 兩名運動員在湖的周圍環(huán)形道上練習(xí)長跑甲每分鐘跑250米，乙每分鐘跑200米，兩人同時同地同向出發(fā)，經(jīng)過45 分鐘甲追上乙；如果兩人同時同地反向出發(fā)，經(jīng)過多少分鐘兩人相遇？【考點】行程問題之環(huán)形跑道解答【難度】【題型】【解析】 在 封閉的環(huán)形道上同向運動屬追及問題，

8、 反向運動屬相遇問題 同地出發(fā)， 其實追及路程或相隔距離就是環(huán)形道一周的長 這道題的解題關(guān)鍵就是先求出環(huán)形道一周的長度環(huán)形道一周的長度可根據(jù)兩人同向出發(fā)， 45 分鐘后甲追上乙，由追及問題，兩人速度差為： 250 200 50 （ 米/ 分 ） ，所以路程差為： 50 45 2250 （ 米 ） ，即環(huán)形道一圈的長度為2250米所以反向出發(fā)的相遇時間為： 2250 （250 200） 5（分鐘 ） 【答案】 5分鐘【鞏固】 兩 人在環(huán)形跑道上跑步， 兩人從同一地點出發(fā)， 小明每秒跑3 米， 小雅每秒跑4 米，反向而行， 45 秒后兩人相遇。如果同向而行，幾秒后兩人再次相遇【考點】行程問題之環(huán)形

9、跑道【難度】【題型】解答【解析】（4+3） X45=315米環(huán)形跑道的長（相遇問題求解）315+ （4-3） =315秒（追及問題求解）【答案】 315 秒【例 5 】 在 300 米的環(huán)形跑道上，田奇和王強同學(xué)同時同地起跑，如果同向而跑2 分 30 秒相遇，如果背向而跑則半分鐘相遇，求兩人的速度各是多少？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】 同 向而跑， 這實質(zhì)是快追慢 起跑后， 由于兩人速度的差異， 造成兩人路程上的差異，隨著時間的增長，兩人間的距離不斷拉大，到兩人相距環(huán)形跑道的半圈時，相距最大 接著， 兩人的距離又逐漸縮小， 直到快的追上慢的， 此時快的比慢的多跑了一圈

10、 背向而跑即所謂的相遇問題，數(shù)量關(guān)系為：路程和 速度和 相遇時間同向而行2 分30秒相遇，2分30秒=150秒，兩個人的速度和為：300 150=2 （米/秒），背向而跑則半分鐘即 30秒相遇，所以兩個人的速度差為： 300 30=10 （米/秒） .兩人的速度分別為：（10 2） 2 4（米/秒） ，10 4 6（米/秒）【答案】6米/ 秒【鞏固】 在 400 米的環(huán)形跑道上，甲、乙兩人同時同地起跑，如果同向而行3 分 20 秒相遇，如果背向而行40 秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】 甲乙的速度和為： 400 40 10（米

11、/秒） ，甲乙的速度差為： 400 200 2（米/秒） ，甲的速度為：（102）26（米/秒） ，乙的速度為：（102）2 4（米/秒） 【答案】4米/秒【例6】周老師和王老師沿著學(xué)校的環(huán)形林蔭道散步，王老師每分鐘走55米，周老師每分鐘走65米。已知林蔭道周長是480米，他們從同一地點同時背向而行。在他們第 10 次相遇后，王老師再走 米就回到出發(fā)點?！究键c】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】 解答【解析】兩人每共走1圈相遇1次，用時480+（55+60）=4（分）,到第10次相遇共用40分鐘，王老師共走了。55X 40=2200 （米），要走到出發(fā)點還需走， 480X5-2200=200

12、（米）【答案】200米【鞏固】在周長為200米的圓形跑道一條直徑的兩端，甲、乙兩人分別以 6米/秒，5米/秒的 騎車速度同時同向出發(fā)，沿跑道行駛。問：16分鐘內(nèi)，甲追上乙多少次？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】 解答【解析】甲、乙二人第一次相遇時，一共走過的路程是 迎= 100（米）.所需要的時間是 "° （秒）21160 16 100以后，兩人每隔200 （秒）相遇一次因為1 11220011【解析】16分鐘內(nèi)二人相遇 53次.【答案】53次【例7】甲、乙二人在操場的400米跑道上練習(xí)競走，兩人同時出發(fā)，出發(fā)時甲在乙后面，出發(fā)后6分甲第一次超過乙，22分時甲第二

13、次超過乙。假設(shè)兩人的速度保持不變，問: 出發(fā)時甲在乙后面多少米？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】150米。提示：甲超過乙一圈（400米）需22 6=16 （分）。【答案】16分【鞏固】在400米的環(huán)行后6道上，A, B兩點相距100米。甲、乙兩人分別從 A, B兩點同 時出發(fā)，按逆時針方向跑步。甲甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米， 都要停10秒鐘。那么甲追上乙需要時間是多少秒？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】甲實際跑100/ （5-4） =100 （秒）時追上乙，甲跑100/5=20 （秒），休息10秒；乙 跑100/4=25 （秒），休

14、息10秒，甲實際跑100秒時，已經(jīng)休息4次，剛跑完第5 次，共用140秒；這時乙實際跑了 100秒，第4次休息結(jié)束。正好追上?！敬鸢浮?40秒【例8】有甲、乙、丙3人，甲每分鐘行走120米，乙每分鐘行走100米，內(nèi)每分鐘行走70米. 如果3個人同時同向，從同地出發(fā)，沿周長是300米的圓形跑道行走，那么多少分鐘之 后,3人又可以相聚在跑道上同一處？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】由題意知道：甲走完一周需要時間為300+120=芻（分）；乙走完一周需要時間為300 2+ 100=3（分）內(nèi)走完一周需要時間為 300+ 700=30 ,那么三個人想再次相聚在跑道同一處需要時間為

15、：5,30,3 330匕30 30分2 72,7,11【答案】30分【鞏固】如下圖所示的三條圓形跑道，每條跑道的長都是0.5千米，A、R C三位運動員同時從交點。出發(fā)，分別沿三條跑道跑步，他們的速度分別是每小時4千米，每小時8千米，每小時6千米。問：從出發(fā)到三人第一次相遇，他們共跑了多少千米？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答111【解析】三個運動員走完一圈的時間分別為8小時、16小時、12小時，他們?nèi)讼嘤龅攸c只 能是O點，所以三人相遇時間是1小時、。小時、2小時的公倍數(shù)，即二小時，分 816124別跑了 2圈、4圈、3圈，共計4.5千米。【答案】4.5千米【例9】林琳在450米

16、長的環(huán)形跑道上跑一圈，已知她前一半時間每秒跑 5米，后一半時間每 秒跑4米，那么她的后一半路程跑了多少秒？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】設(shè)總時間為X,則前一半的時間為X/2,后一半時間同樣為X/2【解析】X/2*5+X/2*4=450【解析】X=100【解析】總共跑了 100秒【解析】前50秒每秒跑5米，跑了 250米【解析】后50秒每秒跑4米，跑了 200米【解析】后一半的路程為450+ 2=225米【解析】后一半的路程用的時間為（250-225） +5+50=55秒【答案】55秒【鞏固】某人在360米的環(huán)形跑道上跑了一圈，已知他前一半時間每秒跑 5米，后一半時間每

17、秒跑4米，則他后一半路程跑了多少秒？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】44【答案】44【例10】甲和乙兩人分別從圓形場地的直徑兩端點同時開始以勻速按相反的方向繞此圓形路線運動，當(dāng)乙走了 100米以后，他們第一次相遇，在甲走完一周前 60米處又第二次 相遇。求此圓形場地的周長？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】注意觀察圖形，當(dāng)甲、乙第一次相遇時，甲乙共走完 圈的路程，當(dāng)甲、乙第二次相2遇時，甲乙共走完1 + 1 = 3圈的路程.所以從開始到第一、二次相遇所需的時間比 22為1: 3,因而第二次相遇時乙行走的總路程為第一次相遇時行走的總路程的3倍，即100X

18、 3=300米.有甲、乙第二次相遇時，共行走（1圈60）+300,為自圈，所以2此圓形場地的周長為480米.【答案】480米【鞏固】如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張在 A點，小王在B點同時出發(fā)反向行走，他們 在C點第一次相遇，C離A點80米；在D點第二次相遇，D點離B點6O米.求這個圓 的周長.【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】第一次相遇，兩人合起來走了半個周長；第二次相遇，兩個人合起來又走了一圈.從 出發(fā)開始算，兩個人合起來走了一周半.因此，第二次相遇時兩人合起來所走的行程 是第一次相遇時合起來所走的行程的 3倍，那么從A到D的距離，應(yīng)該是從A到C距 離的 3 倍,即

19、A 到 D 是 80 3 n 240 （米）. 240 60 180 （米）.180 2 360 （米）.【答案】360米課堂檢測【隨練1】小明和小剛清晨來到學(xué)校操場練習(xí)跑步，學(xué)校操場是400米的環(huán)形跑道，小剛對小明說：“咱們比比看誰跑的快”，于是兩人同時同向起跑，結(jié)果10分鐘后小明第一次從背后追上小剛，同學(xué)們一定知道誰跑得快了，小明的速度是每分鐘跑140米，那么如果小明第3次從背后追上小剛時，小剛一共跑了 米.【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】填空【解析】140 10 400 1000 米，1000 3 3000 米?！敬鸢浮?000米【隨練2】在環(huán)形跑道上，兩人在一處背靠背站好，然

20、后開始跑，每隔4分鐘相遇一次；如果兩人從同處同向同時跑，每隔 20分鐘相遇一次，已知環(huán)形跑道的長度是1600米，那么兩人的速度分別是多少？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】兩人反向沿環(huán)形跑道跑步時，每隔4分鐘相遇一次，即兩人4分鐘共跑完一圈；當(dāng)兩 人同向跑步時，每20分鐘相遇一次，即其中的一人比另一人多跑一圈需要 20分鐘.兩 人速度和為：1600 4 400（米/分），兩人速度差為：1600 20 80 （米/分），所以兩人 速度分別為：（400 80） 2 240（米/分），400 240 160（米/分）【答案】160米/分【隨練3】甲、乙二人騎自行車從環(huán)形公路上同一

21、地點同時出發(fā)，背向而行.現(xiàn)在已知甲走一圈的時間是70分鐘，如果在出發(fā)后45分鐘甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的時間是 多少分鐘？【考點】行程問題之環(huán)形跑道解答【難度】【題型】【解析】甲行走45分鐘，再行走7045=25分鐘即可走完一圈.而甲行走45分鐘，乙行走45 分鐘也能走完一圈.所以甲行走25分鐘的路程相當(dāng)于乙行走45分鐘的路程.甲行走 一圈需70分鐘，所以乙需70 + 25X45=126分鐘.即乙走一圈的時間是126分鐘.【答案】126分鐘【隨練4】A、B是圓的直徑的兩端，甲在 A點，乙在B點同時出發(fā)反向而行，兩人在 C點第一 次相遇，在D點第二次相遇.已知C離A有75米，D離B有55米，

22、求這個圓的周 長是多少米？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】340【答案】340遍于家庭作業(yè)【作業(yè)1】一條環(huán)形跑道長400米，甲騎自行車每分鐘騎 450米，乙跑步每分鐘250米，兩人 同時從同地同向出發(fā)，經(jīng)過多少分鐘兩人相遇？【考點】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】解答【解析】400 （450 250） 2 （分鐘）.【答案】2分鐘【作業(yè)2】如圖1,有一條長方形跑道，甲從 A點出發(fā)，乙從C點同時出發(fā)，都按順時針方向 奔跑，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.5米。當(dāng)甲第一次追上乙時，甲跑了 ？?？?？?？圈?！究键c】行程問題之環(huán)形跑道【難度】【題型】填空【解析】（10+6） + =32秒，甲跑了 5X32 + 32=5圈【答案】