學(xué)年論文一階常微分方程的初等解法匯編

1、題目：一階常微分方程的初等解法一階常微分方程是數(shù)學(xué)分析或基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個(gè)組成部分，在整個(gè)數(shù)學(xué)中占有重要的 地位。主要從三個(gè)方面講述：一、微分方程的基本概念，二、一階常微分方程的初等解 法(其中包括變量分離微分方程、伯努利微分方程、恰當(dāng)微分方程與積分因子、一階隱 式微分方程)，三、一階常微分方程初等解法的應(yīng)用舉例。一階常微分方程的求解因其 方法靈活，技巧性強(qiáng)，歷來(lái)是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一大難點(diǎn)，因此，針對(duì)不同的題型，應(yīng)采取 不同的方法。關(guān)鍵詞：變量分離方程伯努利方程 恰當(dāng)微分方程積分因子應(yīng)用舉例AbstractFirst order oidinaiy differential equation is a

2、mathematical analysis or a part of basic math, occupies an important position in the mathematics. Mauily fiom tluee aspects: fhst, the basic concept of difieiential equation; Second ,the elementaiy solution of fust order oidmaiy differential equations (including differential equation of separation o

3、f variables, diffeiential equation of Bernoulli, exact differential equation and integral factor, fiist-ordei- hidden decay equation);Thiid,the application of elementaiy fiist-oider oidinaiy diffeiential equation solution.Because solution of the fiist-oider 01dlnary differential equation is flexible

4、 and teclmique, it has always been a big difficulty m students learning. Therefore, accoidmg to different types, different methods should be taken.Keywords: Vhnable separable equation Bernoulli equation Appiopnate diffeiential equation Integrating factor Applications引言數(shù)學(xué)分析中研究了變量的各種函數(shù)及函數(shù)的微分與積分。如函數(shù)未知，

5、但已知變量 與函數(shù)的代數(shù)關(guān)系，便組成代數(shù)方程，通過(guò)求解代數(shù)方程就可解出未知函數(shù)。一階常微 分方程的初等解法是把微分方程的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為積分問(wèn)題，其解的表達(dá)式由初等函數(shù) 或超越函數(shù)表示，他們?cè)趯?shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，值得我們好好學(xué)習(xí)和1 .微分的基本概念1.1 常微分方程微分方程：一般地，表示未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)與自變量之間的關(guān)系 的方程。常微分方程：自變量只有一個(gè)的微分方程。微分方程的階數(shù)：微分方程中出現(xiàn)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。一般的階微分方程具有的形式dy d”y3 dx dx1,這里尸(x,y,包，")=0是x v蟲 ” 的已知函數(shù)，而且一定含有4；y是未小 dx-

6、 dx " dxndxn知函數(shù)，x是自變量。1.2 線性和非線性方程如果微分方程對(duì)于未知函數(shù)以及它的各階導(dǎo)數(shù)的有理整式而言是一次的，稱為線性 d2 ydy微分方程，否則是非線性微分方程。如下+)'k = 1是非線性微分方程。一般的階 atatdnydn-ydy線性微分方程形式 > + % (x)小7 +。一1(X) + % (x) y = /W axaxax這里 q(x)、%(“)、a(x)、/(x)是 x 的已知函數(shù)。1.3 解和隱式解微分方程的解：滿足微分方程的函數(shù)稱為微分方程的解。即若函數(shù))，=。)代入式中,使其b（x, 乂半，?） = 0成為恒等式，稱y =隊(duì)x

7、）為方程的解。 dx ax如果關(guān)系式y(tǒng)） = 0決定的隱函數(shù)y =。（.丫）為方程的解，稱認(rèn)x, y） = 0是方程尸（“半，g） = 0的隱式解。 dx dx1.4 通解和特解通解：含有個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)的解=奴工，"%”）稱為階方程的通解。特解：方程滿足初值條件的解。定解問(wèn)題：求方程滿足定解條件的求解問(wèn)題，定解條件分為初始條件和邊界條件，相應(yīng) 的定解問(wèn)題分為初值問(wèn)題和邊值問(wèn)題。2 . 一階微分方程的初等解法微分方程的一個(gè)主要的問(wèn)題就是“求解”，即把微分方程的解通過(guò)初等函數(shù)或它們 的積分表達(dá)出來(lái)。但一般的微分方程無(wú)法求解，只能是對(duì)某些類型通過(guò)相應(yīng)的方法求解。 這里詳細(xì)介紹幾種方法。2

8、.1 變量分離微分方程形如dy、(1)不（加（），）的方程，稱為變量分離方程，例y）分別是X, y的連續(xù)函數(shù)，這是一類最簡(jiǎn)單的一階函數(shù)。如果奴），）工0,我們可將（1）改寫成£ =這樣，變量就“分離”開(kāi)來(lái)夕（y）了。兩邊積分，得到 這里我們把積分常數(shù)c明確寫出來(lái)，而把JW，分別理解為藍(lán)J，的 原函數(shù)。常數(shù)c的取值必須保證（2）有意義。j d、= f(x)dx + c(2)例1求解方程華=”ax x解將變量分離，得到y(tǒng)dy = -xdx兩邊積分，即得VX2 C-=+ 22 2因而，通解為犬+y? =c這里。是任意正常數(shù)，或者解出），寫出顯函數(shù)形式的解y = ±Jc-x22.1

9、.1可化為變量分離方程的類型:一階線性微分方程孚=尸（力+。（町,ax其中P（x）,。（力在考慮的區(qū)間上是x的連續(xù)函數(shù)，若。（x） = 0,（1）變?yōu)榉Q為一階齊次線性微分方程。若。）。0,（1）稱為一階非齊次線性微分方程。變量分 離方程，易求得它的通解為y -ce這里C是任意常數(shù)?；谬R次微分方程9 = gg），ax x令=上，方程可化為分離變量的方程，半=跑!2。 xax xb）分式線性方程 =%工+5dx a2x + b2y + c2下面分三種情形來(lái)討論：i）q=g=O,這時(shí) 坐+為齊次方程。dx a2x + b2yii）及c；+c，wO,這時(shí)可作變換x =4 + /?,，= + %,其中水

10、是線性 a2 b2-代數(shù)方程（"e + pl+G=；的唯一解，可將方程化為齊次方程半一？ °aji + b2k + c2=o+ b2ijiii ） ' ?=0及c；+cJwO,這時(shí)可設(shè) 立=% =九，方程可化為a. b.dy _ A(a2x + b2y) + cl dx (a2x + b2 y) + c2再令4,X+、)，= ，則方程可進(jìn)一步化為 半= o,+A竺士山，這是一個(gè)變量可分 ax - + c.離方程。c)其它類型的方程利用整體代換的思想，可將其他類型的方程化為變量可分離方程。例如dy十=f(ax + by + c),令 =ax + by + c ； ax

11、獷()dx+ 郎(母)")'=0，令=外;備3令2 dy7例2求方程“Z的通解。解 方程可化為丁 = )一()2 ,令 =),將丁 =不7+”代入上式,ax x xx ax dxdu 2可得X 丁 = T/， dx易知 =0是上式的一個(gè)解，從而y = 0為原方程的一個(gè)解。當(dāng)時(shí)，分離變量得du dx-ZZZ u2 X '兩邊積分得1U =：,111 x| + C，X 故可得原方程的通解為)'=In x + c例3求方程：=-一；+ 1的通解。 ax xy+1解 令 = x-y + l,則有_y = u x_l,代入所求方程仆 7-1） J dx udu整理可得區(qū)

12、 由變量分離得 2 =-2x + cf故所求方程的通解為（無(wú)一y +1）2 + 2尤=c2. 2伯努利微分方程形如務(wù)明尸0（5,的方程，稱為伯努利微分方程，這里尸（X）,為X的連續(xù)函數(shù)，#0,1是常數(shù)。利用變量變換可將伯努利微分方程化為線性微分方程。事實(shí)上，對(duì)于，工0,用廠 乘兩邊，得到y(tǒng)-"2 = y"（x）+Q（x）， ax引入變量變換z = yn從而%=（）號(hào)將代入得到手二（1 一） P（x）z + （1-）Q（x）, ax這是線性微分方程，可按常數(shù)變易法求得它的通解，然后代回原來(lái)的變量，便得到的通 解。此外，當(dāng)>0時(shí)，方程還有解。例4求微分方程半=；+J的通解

13、。dx 2x 2 y解 這是一個(gè)伯努利微分方程，兩邊同乘以2y,得c dy y2 22y- =, ax x令 = y2,則有du u ?上式是一個(gè)一階非齊次線形微分方程，13由常數(shù)變易法可求得上式的解為"=B+二X,213從而原方程的通解為) cx-x 乙2. 3恰當(dāng)微分方程與積分因子2. 3.1恰當(dāng)微分方程dy我們可以將一階方程丁 ="兀)')寫成微分的形式“X, y)dx 一力=0 ,或把X , axy平等看待，寫成下面具有對(duì)稱形式的一階微分方程M (x, y)dx +y)dy = 0 ,(1)這里假設(shè)M(x,)，)，N(x,y)在某矩形域內(nèi)是x, y的連續(xù)函數(shù)

14、，且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo) 數(shù)。這樣的形式有時(shí)候便于探求方程的通解。如果方程的左端恰好是某個(gè)二元函數(shù)(x,y)的全微分，即加0,)，必¥+刈占卜)力=小心,>)= 丁公+二辦，則稱 為恰當(dāng)微分方程。CX 衣例5求微分方程（2 + /），）dydx+ y，= 0的通解。解這里M =x2y，N = y2x+2，從而至=2冷，=更，可知所求的微分方程為 Ovdx9r恰當(dāng)微分方程,則有du對(duì)x積分得再對(duì)），求導(dǎo)，則得dyay乂有°”0.2 = 2 + x y, 3則可得0（） = 2y,將0（），） = 2），代入得12 2c"=5工+2,所以原方程的通解為x2y2+2

15、y = c2. 3. 2積分因子的定義與充要條件恰當(dāng)微分方程可以通過(guò)積分求出它的通解。因此能否將一個(gè)非恰當(dāng)微分方程化為恰 當(dāng)微分方程就有很大的意義。積分因子就是為了解決這個(gè)問(wèn)題引進(jìn)的概念。如果存在連續(xù)可微函數(shù)=Mx，y）w。，使得(再 y)M (x, y)dx+ (x, y)N(x, y)dy = 0,為一恰當(dāng)微分方程，即存在函數(shù)使Mdx + Ndy = du，則稱(x,y)為方程 M (另丁)公+以另丁)4，=0的積分因子。函數(shù)M"，)為M(x,y)ai+N(x,y)辦=。積分因子的充要條件是dx6(/)69r36cM dNN-M = ()/dxdydydx假設(shè)原方程存在只與x有關(guān)

16、的積分因子 = (x),則半=0,則"為原方程的積分 CX因子的充要條件是du QM cNx菽=(可一菽”p /N)即°(x) = ' J 僅是關(guān)于X的函數(shù)。此時(shí)可求得原方程的一個(gè)積分因子為y _6n)同樣有只與y有關(guān)的積分因子的充要條件是°(y) = J是僅為y的函數(shù),此時(shí)可求得方程的一個(gè)積分因子為例6求方程¥&+(3 + 3工一)，)4，=0的通解。解 在此式中M = y, N = 3 + 3xy,因也 =1工3 =公, . dydx所以該方程不是恰當(dāng)方程，因dy Ox _-2N 3 + 3x-y6N、才口 的N將 m 可一荻 2不是

17、x的函數(shù)，但 一:=-M y-dy是了的函數(shù)，所以/ ' =），2為方程的積分因子，方程乘以積分因子，得y3al+（39 + 3-2 ），3）外=0 ,該式為恰當(dāng)微分方程，通過(guò)以上介紹的求恰當(dāng)微分方程的方法得原方程的通解為勾 + y3_：y4 = c 42. 4 一階隱式微分方程2.1.1 可以解出），或K的方程一階隱方程的一般形式為F（x,），, y ） = 0（1）形如y = 烹）的方程的解法，這里假設(shè)/（x,今）有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。引進(jìn)參數(shù)半=，則變?yōu)閥 = x,p）將兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，并以半=代入，得到 axaxp=2+名里dx dp dx方程是關(guān)于x, p的一階微分方程，但它的導(dǎo)數(shù)

18、已解出，于是可按前面介紹的方法求出 它的解。若已求得的通解的形式為P ="（占。）將它代入，得到 =/（x，9（x,c） 這就是得通解。若求得的通解的形式為x = 9（p,c）,則得到的參數(shù)形式的通解為x = W（P,c）y = /（9（p，c），）其中是p參數(shù)，c使任意常數(shù)。若求得的通解的形式為（x,p,c） = O,則得到的參數(shù)形式的通解(x,p,c) = O其中p是參數(shù)，。為任意常數(shù)。(2)形如工二/ 乂-j的方程，假定函數(shù)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。引進(jìn)參數(shù)半二P,dx則變?yōu)閤 = y,P),將兩邊對(duì))，求導(dǎo)數(shù)，然后以半代入，得到 dy p' _討，討dpp dy dp dy方程

19、是關(guān)于y, p的一階微分方程，但它的導(dǎo)數(shù)?已解出，于是可按前面介紹的方法 力求解，設(shè)求得通解為(乂P，c) = O,則得的通解為(y,p,c) = o x = /(y,)例7求方程(羋戶+2/97 = 0的通解. dx dxz/v解令丁 = p，得到y(tǒng) = /成+ 2xp, dx兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得到P = 3p啜+ 2.筆+2p即 3p2dp + 2xdp + pdx = 0當(dāng)p w 0時(shí)，上式乘以p得到3P3dp + 2xpdp + p2dx = 0積分得，- + xp2 =cc-p4解出X,得到x = p-2 2(c-/) ,_ 34把它代入y = p' + 2xp ,即得)P p

20、因此，得到方程的參數(shù)形式的通解第3章一階微分方程解法的應(yīng)用舉例p- 42c 1 3y=7-2p當(dāng)p = 0時(shí)，由y = p' + 2xp直接推出y = 0也是方程的解.2.1.2 不顯含y或x的方程(1)形如尸(x,y') = 0的方程的解法。記=蟲，令x = °(f), 這里(為參數(shù)，因?yàn)?dxdy = pdx ,以代入上式得辦=0力兩邊積分，得到y(tǒng) = jo(f)9'(f)力+。于是，得到方程的參數(shù)形式的通解為y = J。力+。這里C為任意常數(shù)。(2)形如尸(y,y') 二 O的方程，其解法同方程的求解方法類似。記 = y',引入?yún)?shù)f,將

21、方程表示為適當(dāng)?shù)臄?shù)形式Jy = 9”)由關(guān)系式力=pdx,得力= 0(f)dx,由此得于是x =尸夕（，）為方程的參數(shù)形式的通解，其中c為任意常數(shù)。例8求微分方程x = e'- V的通解。解令。=V，則 x = e -p ,y = e (-1) + ；將上式兩邊對(duì)y求導(dǎo)整理并積分可得所以方程的通解為x = ep - py = ep (p -+ p2 + cxdx+ydy = xdx + ydy _ 1X2 + y2 kxdy - ydx22r+ yxdx+ ydy _ 1“ +y 氏1+(與X積分后得到1 o o 1yln(x + y ) = arctan + liiC2k+ y2 -

22、Ce- .yaictaiir e如果寫成極坐標(biāo)形式，不難看出等角軌線為對(duì)數(shù)螺線"二 如圖:71如果。3,可知正交軌線的微分方程為一不dxdyy, n即 7-_ 或 xdx + ydy = 0CIXX故正交軌線為同心圓族12 + y2 = 02,如圖:3. 2動(dòng)力學(xué)問(wèn)題動(dòng)力學(xué)是微分方程最早期的源泉之一，動(dòng)力學(xué)的基本定律是牛頓第二定律 f = ma,這也是用微分方程來(lái)解決動(dòng)力學(xué)的基本關(guān)系式。它的右端明顯地含有加速度 。，。是位移對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。列出微分方程的關(guān)鍵在于找到外力/和位移及其對(duì)時(shí) 間的導(dǎo)數(shù)一速度的關(guān)系。只要找到這個(gè)關(guān)系，就可以由/ = 列出微分方程了。例2物體由高空下落，除受

23、重力作用外，還受到空氣阻力的作用，在速度不太大 的情況下（低于音速的4/5）,空氣阻力可看做與速度的平方成正比。試證明在這種情 況下，落體存在極限速度匕。解 設(shè)物體質(zhì)量為空氣阻力系數(shù)為"又設(shè)在時(shí)刻，物體的下落速度為九 于 是在時(shí)刻f物體所受的合外力為了 = 吆-人/，這里建立的坐標(biāo)系，使得重力吆方向 向下，與運(yùn)動(dòng)方向一致，空氣阻力向上，與運(yùn)動(dòng)方向相反。從而，根據(jù)牛頓第二定律可 列出微分方程因?yàn)槭亲杂陕潴w，所以有積分后得v(0) = 0據(jù)測(cè)定，k = aps ,其中a為與物體形狀有關(guān)的常數(shù)，0為介質(zhì)密度，s為物體在地面上的投影面積。人們正是根據(jù)，噂口 ='二 =匕，來(lái)為跳傘者設(shè)

24、計(jì)安全的降落 傘的直徑大小。4. 3電學(xué)問(wèn)題與力學(xué)問(wèn)題相仿，在有些電路中電荷和電流也會(huì)有變化，此問(wèn)題主要出現(xiàn)在電學(xué)中 的振蕩現(xiàn)象，應(yīng)用微分方程也能類似的實(shí)際問(wèn)題。例3設(shè)有如圖的電路，其中e =sin G/為交流電源的電動(dòng)勢(shì)；r為電阻，當(dāng)J.電流為，時(shí)它產(chǎn)生的電壓降為必；L為電感'它產(chǎn)生電壓降心?, L為一常數(shù)。今設(shè)時(shí)刻/ = 0時(shí)，電路的電流為io，求電流，與時(shí)間，的關(guān)系。解 根據(jù)基爾霍夫定律，有如下關(guān)系l. diEo sin cot - Ri + L - dt整理后，得到關(guān)于i的線性方程式絲旦+ &n勿dt L L即要求解初值問(wèn)題diR . E° .= - - /

25、+ sm cotdtL Li(0) = i。由線性微分方程求解公式有f R §i二 iQe| eL sincosdsJo積分后得到/4、/ EqLcoE。R2”療(R sin cot - Leo cos cot)因?yàn)镽>0, L>0,故當(dāng)時(shí)間,充分大時(shí)，第一項(xiàng)趨于零，只剩下第二項(xiàng)。第二項(xiàng)經(jīng)化簡(jiǎn)后，成為sin(69f - cp)Leo 其中夕二aicsm、3.4光學(xué)問(wèn)題光線微分方程是現(xiàn)代幾何光學(xué)中的一個(gè)重要方程式。一般來(lái)說(shuō),只要給出初始條件, 就可根據(jù)光線微分方程求出光在媒質(zhì)中傳播的實(shí)際路徑。例4拋物線的光學(xué)性質(zhì)解 由于對(duì)稱性，考慮在過(guò)旋轉(zhuǎn)軸的一個(gè)平面上的輪廓線/,如圖。以

26、旋轉(zhuǎn)軸為Q 軸，光源放在原點(diǎn)0(0,0)。設(shè)/的方程為y = y(x)。由。點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)鏡面發(fā)射后平 行于0r軸。設(shè)為/上任一點(diǎn)，光線而經(jīng)反射后為荻。而為I在M點(diǎn)的切線, 礪為/在點(diǎn)”的法線，根據(jù)光線的反射定律，有從而,tail ZOMN = tail ZNMR 1因?yàn)镸T的斜率為y, MN的斜率為一上。所以由正切公式，有_L_yy1 r1tan NOMN =二一-tan ZNMR =xy'1'r從而即得到微分方程1 _ x+ yy'y * xy- yyya+2xy'-y = 0由這方程中解出y,得到齊次方程y' = -±J(-)2 + ly V y令)= u , B|J y = xu ,有dydu= + x dxdx代入上式得到du -(1+ 2)± Jl+ 2X二dxu分離變量后得ududx(l + 2 ± Jl+2) Xdt dx令】+小/上式變?yōu)橛?一工。積分后得lll|z±l| = 111. Q或J/+l = 一±1。兩端平方得