13度量空間的可分性與完備性

1、1.3度量空間的可分性與完備性在實數(shù)空間R中，有理數(shù)處處稠密，且全體有理數(shù)是可列的， 我們稱此性質(zhì)為實數(shù)空間 R 的可分性.同時，實數(shù)空間 R還具有完備性，即 R中任何基本列必收斂于某實數(shù).現(xiàn)在我們 將這些概念推廣到一般度量空間.1.3.1 度量空間的可分性定義1.3.1設X是度量空間，A,B X ,如果B中任意點x B的任何鄰域O(x,)內(nèi)都含 有A的點，則稱A在B中稠密.若A B ,通常稱A是B的稠密子集.注1 : A在B中稠密并不意味著有 A B.例如有理數(shù)在無理數(shù)中稠密；有理數(shù)也在實數(shù) 中稠密.無理數(shù)在有理數(shù)中是稠密的，無理數(shù)在實數(shù)中也是稠密的，說明任何兩個不相等的實數(shù)之間必有無限多個

2、有理數(shù)也有無限多個無理數(shù).定理1.3.1 設(X,d)是度量空間，下列命題等價：(1) A在B中稠密；(2) x B, xn A,使得 limd(xn,x) 0; n(3) B A (其中A a|Ja , A為A的閉包，A為A的導集(聚點集)；(4)任取 0,有B U0(x，).即由以A中每一點為中心為半徑的開球組成的集合覆蓋B .證明按照稠密、閉包及聚點等相關定義易得.定理1.3.2稠密集的傳遞性設X是度量空間，A,B,C X,若A在B中稠密，B在C中稠密，則A在C中稠密.證明 由定理1.1知B A , C B,而B是包含B的最小閉集，所以 B B A ,于是 有C A,即A在C中稠密.口注

3、2：利用維爾特拉斯定理可證得定理(Weierstrass多項式逼近定理)閉區(qū)間a,b上的每一個連續(xù)函數(shù)都可以表示成某一多項式序列的一致收斂極限.(1)多項式函數(shù)集 Pa,b在連續(xù)函數(shù)空間Ca,b中稠密.參考其它資料可知：1.3度量空間的可分性與完備性(2)連續(xù)函數(shù)空間 Ca,b在有界可測函數(shù)集 Ba,b中稠密.(3)有界可測函數(shù)集 Ba,b在p次哥可積函數(shù)空間Lpa,b中稠密(1 p ). 利用稠密集的傳遞性 定理1.3.2可得：(4)連續(xù)函數(shù)空間Ca,b在p次哥可積函數(shù)空間Lpa,b中稠密(1 p ).因此有 Pa,b Ca,b Ba,b Lpa,b.定義1.3.2 設X是度量空間，A X

4、,如果存在點列xj A,且4在A中稠密，則稱A是可分點集(或稱可析點集).當X本身是可分點集時，稱 X是可分的度量空間.注3: X是可分的度量空間是指在X中存在一個稠密的可列子集例1.3.1歐氏空間Rn是可分的.坐標為有理數(shù)的點組成的子集構(gòu)成Rn的一個可列稠密子集.證明設Qn (1,2,口|%)| r Q,i 1,2,|,n為Rn中的有理數(shù)點集，顯然Qn是可數(shù)集，下證Qn在Rn中稠密.對于Rn中任意一點x四?2,|,4),尋找Qn中的點列rj,其中rk(rk, r2k ,| |,r：),使得rk x(k ) .由于有理數(shù)在實數(shù)中稠密，所以對于每一個實數(shù)x(i 1,2,|,n),存在有理數(shù)列rk

5、 x(k ).于是得到Qn中的點列rk,其中rk(J r2k,|,：)，k 1,2,|.現(xiàn)證 rkx(k ) .0 ,由 rk x(k )知，Ki N ,當 kKi 時，有1,2,|,n> KmaxK1,K2,|,Kn,當 k K 時，對于 i 1,2,“|, n ,都有 | rkd (rk, x)n| r i即rkx(k ),從而知Qn在Rn中稠密.口PO a, b在例1.3.2連續(xù)函數(shù)空間Ca,b是可分的.具有有理系數(shù)的多項式的全體Ca,b中稠密，而POa,b是可列集.證明 顯然Ra,b是可列集. x(t) Ca,b,由Weierstrass 多項式逼近定理知，x(t)可表示成一致收

6、斂的多項式的極限，即0 ,存在(實系數(shù))多項式p (t),使得d(x,p) max|x(t) p(t)| 2p0(t) P0a,b,使得另外，由有理數(shù)在實數(shù)中的稠密性可知存在有理數(shù)多項式d(p r) m汽1P (t) p0(t)| 2因此,d(x, Po) d(x, p ) d(p ,Po),即 p°(t) O(x,),在 Ca,b中任意點 x(t)的任意鄰域內(nèi)必有P>a,b中的點,按照定義知Poa,b在Ca,b中稠密.口例1.3.3p次哥可積函數(shù)空間Lpa,b是可分的.證明 由于Ra,b在Ca,b中稠密，又知Ca,b在Lpa,b中稠密，便可知可數(shù)集 P>a,b在Lpa,

7、b中稠密.口例1.3.4p次哥可和的數(shù)列空間1P是可分的.證明 取 E。(ri，r2,|p,rn,0,|,0,|)|ri Q,n N,顯然 E。等價于 Jon ,可知 E?？蓴?shù), 下面證Eo在1P中稠密.x(Xi,X2,| ,Xn,|)1P，有 |x |pi 1,因此 0, N N ,當n N時,|X|Pn N 1又因Q在R中稠密，對每個x(1 i|x于是得Pr 1P 求，。12訓，N)NP|x r|P -i 121P pr |P|x |P)T (一 一口i N 122令 X0 (11,2,| 卜N,0, |,0,|) E。，貝N d(x0,x)(|i 1因此Eo在1P中稠密.口(X,d0)是

8、不可分的.例1.3.5 設X 0,1,則離散度量空間證明 假設(X,d0)是可分的，則必有可列子集% X在X中稠密.又知X不是可列集1.所以存在x X , x .取 -,則有-，* 、， *、1*O(x , )xd°(x,x ) -x即O(x*,)中不含xn中的點，與%在X中稠密相矛盾.口思考題：離散度量空間(X,d0)可分的充要條件為 X是可列集.注意：十進制小數(shù)轉(zhuǎn)可轉(zhuǎn)化為二進制數(shù)：乘2取整法，即乘以2取整，順序排列，例如(0.625)10=(0.101)20.625 2=1.25取 1; 0.25 2=0.50 取 0; 0.5 2=1.00 取 1.二進制小數(shù)可轉(zhuǎn)化為十進制小數(shù)

9、，小數(shù)點后第一位為1則加上0.5(即1/2),第二位為1則1.3度量空間的可分性與完備性加上0.25(1/4),第三位為1則加上0.125(1/8)以此類推.即n 1(0.X1X2 I |lxn)2(-r x )10 1i 1 2例如111(0.101)2= (2 1 4 0 8 1)10(0.625) 10.因此0,1與子集A X (X1,X2,|,Xn,|) Xn 0或1對等，由0,1不可數(shù)知A不可列.例1.3.6有界數(shù)列空間l是不可分的.x (x) , y (yi)l ,距離定義為0或1,則當x, y A , x y時，有A與0,1對應，故 A不可列.l X (X,X2,“|,Xn1W

10、= (x)| X為有界數(shù)列,對于 d(x,y) sup | Xi yi | .i 1證明 考慮l中的子集A X (為區(qū),“|,人,川)4 d(x,y) 1 .因為0,1中每一個實數(shù)可用二進制表示，所以假設l可分，即存在一個可列稠密子集 Ao,以A0中每一點為心，以1為半徑作開球，所3有這樣的開球覆蓋l ,也覆蓋A .因A)可列，而A不可列，則必有某開球內(nèi)含有 A的不同的點，設x與y是這樣的點，此開球中心為 x0 ,于是1 121 d(x,y) d(x,X0) d(x0,y)3 3 3矛盾，因此l不可分.口1.3.2度量空間的完備性實數(shù)空間R中任何基本列(Cauchy歹U)必收斂.即基本列和收斂

11、列在 R中是等價的，現(xiàn)在 將這些概念推廣到一般的度量空間.定義1.3.3 基本列設4是度量空間 X中的一個點列，若對任意0,存在 N ,當m,n N時，有d(Xm,Xn)則稱4是X中的一個基本列(或Cauchy列).定理1.3.3 (基本列的性質(zhì))設(X,d)是度量空間，則(1)如果點列Xn收斂，則Xn是基本列；(2)如果點列Xn是基本列，則Xn有界；(3)若基本列含有一收斂子列，則該基本列收斂，且收斂到該子列的極限點.證明(1)設% X , x X ,且 x .則 0 , N N ,當 n N 時，d(Xn,x)-,從而n , m N時，d(Xn,Xm) d(Xn, X) d( X, Xm

12、) 一 一 .2 2即得X.是基本列.(2)設Xn為一基本列，則對 1 ,存在 N ,當n N時，有d(xN 1,xJ1 ,記M maxd(x1,xN 1),d(x2,xN 1),|,d(xN, xN 1),1 1,那么對任意的 m,n,均有d(xn,xm) d(Xn,xN 1) d(xm,xN 1) M M 2M ,(3)設%為一基本列，且xn是4的收斂子列，*俅x(k).于是,0, N1N ,當 m,n Ni 時，d(xn,xm) - ； N2 N ,當 k N2 時，d(xnk,x)萬.取 N maxNi,N2,則 當n N , k N時，nk k N ,從而有d(xn，x) 西入)d-

13、,x)-,故 xnx(n ) . 注4：上述定理1.3.3表明收斂列一定是基本列 (Cauchy列)，那么基本列是收斂列嗎？例1.3.7 設X (0,1), x,y X ,定義d(x, y) x y ,那么度量空間 (X,d)的點列Jxn 是X的基本列，卻不是 X的收斂列.n 11 證明 對于任用,的0,存在N N ,使得N - ,那么對于 m N a及n N b,其中a,b N ,有 1a bN a 1 (N a 1)(N b 1) a b1Na NbN'0 X,故4不是X的收斂列.上的基本列，可知 0 , N N ,當n,m N時有也是X上的基本列.口 n 1d (xn , xm

14、) I xnxmmaxa,b(N a 1)(N b 1)即得4是基本列.顯然lim， n n 1或者利用4 匚是Rn 11 _1_n 1 m 1.于是可知4如果一個空間中的基本列都收斂，那么在此空間中不必找出序列的極限，就可以判斷它是否收斂，哪一類度量空間具有此良好性質(zhì)呢？是完備的度量空間.定義1.3.4 完備性如果度量空間X中的任何基本列都在 X中收斂，則稱X是完備的度量空間.1.3度量空間的可分性與完備性例1.3.8n維歐氏空間Rn是完備的度量空間.證明 由Rn中的點列收斂對應于點的各坐標收斂，以及 R的完備性易得.口例1.3.9連續(xù)函數(shù)空間Ca,b是完備的度量空間.(距離的定義：d(f,

15、g) max | f(t) g(t) |)t a,b證明 設xn是Ca,b中的基本列，即任給 0,存在N,當m,n N時，d(xm,xn)即m篇 Xm(t) xn 故對所有的t a,b, xm (t) xn(t) |,由一致收斂的 Cauchy準則，知存在連續(xù)函數(shù)x(t),使10| f(t) g(t)dt,那么(X,d1)不是Xn(t)在a,b上一致收斂于 x(t),即 d(Xm,x)0(n)，且 x Ca,b.因此 Ca,b完備.口例 1.3.10 設 X C0,1, f(t),g(t) X,定義 di(f,g)完備的度量空間.(注意到例1.3.9結(jié)論(X,d)完備)證明設fn(t)n(t1

16、2)12121212fn(t) C0,1的圖形如圖 1.3.1 所示.顯然 fn(t) C0,1,1,2,3j|.因為4(*, fn)是下面右圖中的三角形面積，所以1N 一，當 m,nN時,d1(fm,fn)2 nm圖 1.3.1Y*12 an am 1T101fm(t) fn(t)|dXfn(t)C0,1圖像及有關積分示意圖于是fn是X的基本列.卜面證 fn在X中不收斂.若存在f(t)使得1由于 d"fn，f)0|fn(t)d1(fn,f)0(n).11 122 "f(t)|dt 0 | f(t)|dt % |fn(t) f (t) | dt11 iII2 nf(t)|d

17、t,顯然上式右邊的三個積分均非負，因此 d1(fn,f) 0時，每個積分均趨于零.推得f (t)0 t0,i1 t(g,1可見f(t)不連續(xù)，故fn在X中不收斂，即C0,1在距離di下不完備.口表1.3.1常用空間的可分性與完備性度量空間距離可分性 完備性n維歐氏空間(Rn,d)X可數(shù)離散度量空間(X,d0)X不可數(shù)連續(xù)函數(shù)空間Ca,b有界數(shù)列空間lp次哥可和的數(shù)列空間lpp次哥可積函數(shù)空間(Lpa,b,d)d(x,y)do (x, y)d(f,g)d1(f,g)d(x,y)dp(x,y)n(x y)2愉1f (t)ba f(x)sup| xi 1Ixi 1d(f,g) (abl| f(t)a

18、,bg(t)|g(x) dx1y|p p1g(t)|p dt)T由于有理數(shù)系數(shù)的多項式函數(shù)集F0a,b是可列的，以及F0a,b在Pa,b、Ca,b、Ba,b以及Lpa,b中稠密，可知閉區(qū)間a,b上多項式函數(shù)集 Pa,b、連續(xù)函數(shù)集Ca,b、有界可測 函數(shù)集Ba,b、p次哥可積函數(shù)集 Lpa,b均是可分的.前面的例子說明n維歐氏空間Rn以及p 次哥可和的數(shù)列空間1P也是可分空間，而有界數(shù)列空間l和不可數(shù)集X對應的離散度量空間(X,d。)是不可分的.從上面的例子及證明可知，n維歐氏空間Rn是完備的度量空間，但是按照歐氏距離X (0,1)卻不是完備的；連續(xù)函數(shù)空間Ca,b是完備的度量空間，但是在積分

19、定義的距離1d1(f,g) o| f(t) g(t)|dt下，C0,1卻不完備由于離散度量空間中的任何一個基本列只是同 一個元素的無限重復組成的點列，所以它是完備的.我們還可以證明p次哥可和的數(shù)列空間ip是完備的度量空間，p次哥可積函數(shù)空間Lpa,b(p 1)是完備的度量空間，有界數(shù)列空間的完1.3度量空間的可分性與完備性備性.通常所涉及到的空間可分性與完備性如表1.3.3所示.在度量空間中也有類似于表示實數(shù)完備性的區(qū)間套定理，就是下述的閉球套定理.定理1.3.4 (閉球套定理)設(*3)是完備的度量空間，Bn O(Xn，n)是一套閉球:如果球的半徑 n證明BiB W0(n),那么存在唯一的點

20、(1)球心組成的點列Bn|dBnXn為X的基本列.當m n時，有Xm Bm Bn ( O(Xn, n),可得(2.4)d ( xm > Xn ) n -0 ,取N ,當n N時，使得n ,于是當m,n N時，有d(Xm,Xn)所以%為X的基本列.(2)x的存在性.由于(X,d)是完備的度量空間，所以存在點x X ,使得lim Xn x .令(2.4) n式中的m ,可得即知 x Bn, n 1,2,3, (I),因此 x(3) x的唯一性.設還存在從而 d(x,y) d(x,Xn) d(Xn，y)d(XX) ny X ,滿足y 0Bn ,那么對于任意的2 n 0 (n ),于是 x y . 口注4：完備度量空間的另一種刻畫:設(X,d)是一度量空間，那么X是完備的當且僅當對于X中的任何一套閉球：B1民II B其中Bn O(Xn, n),當半徑n 。伊),必存在唯一的點大家知道lim(1 1)n e,可見有理數(shù)空間是不完備的，但添加一些點以后得到的實數(shù)空 n n間是完備的，而完備的實數(shù)空間有著許多有理數(shù)空間不可比擬的好的性質(zhì)與廣泛的應用.對于一般的度量空間也是一樣，完備性在許多方面起著重要作用.那么是否對于任一不完備的度量空間都可以添加一些點使之成為完備的度量空間呢？下面的結(jié)論給出了肯定的回