中考數學圓的綜合-經典壓軸題及答案解析

1、一、圓的綜合真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1. 在平而直角坐標中，邊長為2的正方形OABC的兩頂點A、C分別在軸、X軸的正 半軸上，點O在原點現將正方形OABC繞O點順時針旋轉，當A點一次落在直線y=x上 時停止旋轉，旋轉過程中，力3邊交直線y=x于點M，BC邊交X軸于點N （如圖）.（1）求邊QA在旋轉過程中所掃過的面積；（2）旋轉過程中，當MN和AC平行時，求正方形OABC旋轉的度數：（3）設AMEV的周長為"，在旋轉正方形OABC的過程中，值是否有變化？請證明 你的結論.【答案】（I）TlZ2 （2） 22.5。周長不會變化，證明見解析【解析】試題分析：（2）根據扇形的而積

2、公式來求得邊OA在旋轉過程中所掃過的而積：（2）解決本題需利用全等，根據正方形一個內角的度數求岀ZAOM的度數：（3）利用全等把 MBN的各邊整理到成與正方形的邊長有關的式子.試題解析：（"TA點第一次落在直線y=x上時停I匕旋轉，直線y=x與y軸的夾角是45。，. OA 旋轉了 45。.OA在旋轉過程中所掃過的面積為也工 =£3602（2）V MNIl AC, Z BMN=Z BAC=45 Z BNM=Z BCA=450./. Z BMN=Z BNM BM=BN.又TBA二BC, AM=CN.又T 0A=0C, Z OAM=Z OCN, ：* OAM旻 OCN. Z AO

3、M=Z CON=- （Z AOC-Z MON） =- （90o-45o） =22.5°.2 2旋轉過程中，當MN和AC平行時，正方形OABC旋轉的度數為450-22.50=22.50.（3）在旋轉正方形OABC的過程中，P值無變化.證明：延長BA交y軸于E點，則Z AOE=45o-Z AOM, Z N=90o-45o-Z AOM=45o-Z AOM, Z AOE=Z CON.又T OA=OC, Z OAE=I80o-90o=9OO=Z OCN. OAE旻A OCN.0E=ON, AE=CN又 Z MOE=Z MON=45o, 0M=0M, OME旻心OMN.MN=ME=AM+AE M

4、N=AM+CNt p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4在旋轉正方形OABC的過程中，P值無變化. 考點：旋轉的性質2. 如圖，AB為C）O的直徑，點E在00±,過點E的切線與AB的延長線交于點D,連接BE,過點0作BE的平行線，交C）O于點F,交切線于點C,連接AC（1）求證：AC是OO的切線：【分析】（1）由等角的轉換證明出AOC49AOCE,根據圓的位置關系證得AC是C）O的切線.（2）根據四邊形FOBE是菱形，得到0F=OB=BF=EF,得證BE為等邊三角形，而得岀 ZBOE = 60。，根據三角形內角和即可求出答案.【詳解】（1）證明：TCD與C）O相

5、切于點E,. OE丄CD, ZCEO = 90%又. OClIBE , ZCOE = ZOEB，Z OBE=Z COA. OE=OB,. ZOEB = ZOBE,. ZCoE = ZCOA,又T OC=OC, OA=OE, AOCAAOCE（SAS）, ZCAO = ZCEO = 90°又TAB為C)O的直徑，. AC為C)O的切線：(2) 解：T四邊形FoBE是菱形，. OF=OB=BF=EF,. OE=OB=BE,. AOBE為等邊三角形，. ZBOE = 60°,而OE丄CD,:.ZD = 30o.故答案為30.【點睛】本題主要考査與圓有關的位垃關系和圓中的訃算問題，

6、熟練掌握圓的性質是本題的解題關 鍵.3. 如圖2,以邊長為4的正方形紙片ABCD的邊AB為直徑作OO,交對角線AC于點E.(1) 圖1中，線段AE=:(2) 如圖2,在圖1的基礎上，以點A為端點作ZDAM=30。，交CD于點M,沿AM將四 邊形ABCM剪掉，使Rt ADM繞點A逆時針旋轉(如圖3),設旋轉角為 (0o<< ISOO),在旋轉過程中AD與C)O交于點F. 當a=30。時，請求出線段AF的長； 當a=60。時，求出線段AF的長；判斷此時DM與C)O的位宜關系，并說明理由： 當a=。時，DM與C)O相切.圖1團2圖3備用因【答案】(1)27 (2)22B,相離當a=90。

7、時，DM與OO相切【解析】(1)連接8E, T AC是正方形MCD的對角線，. Z BAC=45。，. AEB是等腰直 角三角形，又. AB=8, .f=42:由題總得，Z NAD=SO Z DAM二30°,故可得Z OAM=30o9Z DAM=30 則ZoqU60°,又/ OA=OF9 ：. OAF 是等邊三角形 OA=4, AF=OA=連接 8'F,此時Z NAD=60o, '： AB'=& ZDAM=30°, /. AF=AB'cos D4=8×=43;2此時DM與C)O的位置關系是相離: AD=B.直徑的長

8、度相等，當DM與C)O相切時，點D在00上，故此時可得 =Z NAD=90：.AP=BP9 APC和厶BPC中AP = BPAC=BC,PC = PC APC BPC (SSS) > Z ACP=Z BCP,在厶ACE和厶BCE中AC = BC< ZACP = ZBCP,CE = CE ACE里 A BCE (SAS), Z AEC=A BEC, Z&EC+Z BfC= 180% Z AEC=90°.AB±PC(2) V PA 平分Z CPM.：.Z MPA = AAPCt Z &PC+Z BPC十Z ACB = I80 Z MPA APC+Z

9、BPC= 180% Z ACB=A MPA = A APCtT APC= ABC,：.Z ABC= ACB9：.AB=AC(3) 過4點作AD丄BC交3C于D,連結OP交M于E,如圖2,1S2由(2)得出AB=AC9：.AD 平分 3C,.點O在人D上,連結 OB,則Z BOD=Z BAC,T Z BPC=Z BAC,24 BD：.Sin ZBOD = Sin ZBPC =，25 OB設 O3 = 25;G 貝IJ BD=2×9 OD= yB2 -BD2 =7,RtABD 中，AD=25x+7x=32x, BD=2×9 AB= yjAD1 + BD2 =40x,.VC=8,

10、 .,.A3 = 40x=8解得：X=O.2,.O3 = 5, 8D=4.8, OD=I.4, AD=6.4,T點P是AB的中點，OP垂直平分AB,1：.AE=-AB=4. ZqEP=Z AEo=90°, 在RAEO中，OE=Ol-AEI =3> PE=OP-OE=5 - 3 = 2,在 RtAAPE , AP= yPE2 + AE2 = 22+42 = 25 【點睛】本題是一道有關圓的綜合題，考査了圓周角左理、勾股立理、等腰三角形的判定定理和三 線合一，是初中數學的重點和難點，一般以壓軸題形岀現，難度較大.5. 已知P是OO的直徑BA延長線上的一個動點，ZP的另一邊交Oo于點

11、c、Dt兩點位于AB的上方，AB =6, 0P=m, SinP=如圖所示.另一個半徑為6的Ool經過點c、D,圓心距oO=H(1) 當m=6時，求線段CD的長；(2) 設圓心6在直線AB t方，試用n的代數式表示m：(3) POOl點P的運動過程中，是否能成為以00為腰的等戯三角形，如果能，試求 出此時n的值：如果不能，請說明理由.答案】(I)CD= 25 ；(2)m= SU ;(3) n 的值為？或 15In55【解析】分析：(1)過點。作OH丄CD,垂足為點連接OC解Rt POH,得到OH的長.由勾股怎理得CH的長.再由垂徑立理即可得到結論；(2) 解Rt POH ,得到OH=在RtOCH

12、和Rt中，由勾股左理即可得到3結論：(3) POOX成為等腰三角形可分以下幾種情況討論：當圓心Q、0在弦CD異側 時，分OP=OOi和QP=OO.當圓心Q、0在弦CD同側時，同理可得結論.詳解：(I)過點。作OH丄CD9垂足為點連接OCB6, 0H = 2.3T AB =6, OC=3 由勾股立理得：C7 = 5 . OH 丄 DC, CD = 2CH = 25 (2)在 Rt POH中，.sinP=1, PO=Iny ：. OH=-332在 Rt OCH 中，CH，=9 I 3丿在 Rt OxCH 中，C72=36” 一、2CIn=9 一 (3丿可得：36 (3) PoOl成為等腰三角形可分

13、以下幾種情況:當圓心Q、。在弦CD異側時/) OP=OOx,即加由n=3,rsi ,解得: In即圓心距等于Oo、Ool的半徑的和，就有OO、2nz=9.e>q外切不合題意舍去./) OlP=OO1,由 n-y ) + Hr="'解得：m=-n ,即三 ="一 解得：=-15 .33 25當圓心O. O在弦CD同側時，同理可得：n=813zr2nT乙PoO是鈍角，.只能是In = n ,即n-813,r ,解得： 心共.2n5綜上所述：n的值為斗右或15.點睛：本題是圓的綜合題考査了圓的有關性質和兩圓的位置關系以及解直徑三角形.解 答（3）的關鍵是要分類討論.

14、6. 如圖,在Rt ABC中,Z ACB=60ofO O是厶ABC的外接圓QC是O O的直徑,過點3作O O的 切線3D,與CA的延長線交于點D,與半徑AO的延長線交于點E,過點作O O的切線AF,與 直徑BC的延長線交于點E（1）連接FF,求證:M是C） O的切線；（2）在圓上是否存在一點P,使點P與點構成一個菱形?若存在,請說明理由.【答案】（1）見解析：（2）存在，理由見解析【解析】【分析】（1）過O作OM丄FF于M,根據SAS證明 OAF A OBE,從而得到OE=OF,再證明EO平分 ZBEF,從而得到結論；（2）存在，先證明AOAC為等邊三角形，從而得岀ZoqC=Z AoC=60。

15、,再得到AB=AF,再證 明AB=AF=FP=BP,從而得到結論.【詳解】證明:如圖,過0作OM丄FF于MfVOA=OBfA OAF=A OBF=90°,Z BOE=A AOFf.： OAF OBEtOE=OFt-Z EoF=乙 AOB=I2Q ： ZoFM=Z OFM二30： Z OEB=Z. OEM=3GQt 即 EO 平分Z BEF,又Z OBE=Z OME=SO0f. OM=OBf：FF為QO的切線(2)存在.JBC為C)O的直徑，. ABAC=QO0fVACB=60o, ： ZABC=30：又 VAACB=60OA=OC, OAC為等邊三角形,即Z 0AC= AOC=60：

16、MF為C)O的切線，. OAF=SO0, 乙 CAF=Z AFC=30of：ZABC=Z AFCf AB=AF.當點P在中的點M位程時,此時Z OPF=90°, 乙 OAF=乙 OPU90：又-OA=OPIOF為公共邊，： OAF OPFfJAF=PRZ BFE=A AFC=S01又：三Z FOP=Z OBP=Z. OPB=30. BP=FPf.AB=AF=FP=BP,.：四邊形AFP8是菱形.【點睛】考查了切線的判左定理和菱形的判左，經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切 線.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點(即為半徑)，再證垂 直即可7. 已知AC=D

17、C, AC丄DC,直線M/V經過點作DB丄M,垂足為B,連結CB.感知如圖，點久8在CD同側，且點3在AC右側，在射線AM上截取AE=BD,連結 CE.可iiE BCD ECA.從而得出 EC=BG ZECB=90。，進而得出AABC=度：探究如圖，當點&、B在CD異側時，感知得出的ZABC的大小是否改變？若不改 變，給出證明：若改變，請求出ZABC的大小.應用在直線M/V繞點A旋轉的過程中，當ZBCD=30。，BD=A/2時，直接寫出BC的長. 【答案】【感知】：45：【探究】：不改變，理由詳見解析；【拓展】：BC的長為W+1 或護-1.【解析】【分析】感知證明 BCD ECA (S

18、AS)即可解決問題；探究結論不變，證明 BCD ECA (SAS)即可解決問題：應用分兩種情形分別求解即可解決問題.【詳解】解：【感知】，如圖中，在射線AM上截取AE=BDf連結CE. DC, DB丄 MN, Z ACD=Z DBA=9OQ.：.Z CD+Z CAB = I80S. Z C8+Z CAE=I80°：.Z D=Z CAE. T CD=AC, AE=BD9：. BCD ECA (SAS), BC=EC,乙 BCD=乙 ECA, ZACE+Z ECD=90% Z ECD+Z DCS = 90%即 Z ECB=90% ZABC=45°.故答案為45【探究】不改變.理

19、由如下：如圖，如圖中，在射線4N上截取AE=BD.連接CE,設MN與CD交于點0.:AC±DC. DB±MN, Z ACD=Z DBA=90:Z AOC= DOB9 Z D=Z EAC, CD=AC. BCD ECA (SAS),. BC=EC.乙 BCD=乙 ECA,:Z CE+Z ECD=90。， Z ECD+Z DCB = 90。，即 Z fC = 90% Z ABC=45°.【拓展】圖1 Z ACD+Z ABD=I80.A, C, D, 3四點共圓， Z DAB = Z DC3 = 30°,/. ABypBDEB=AE+AB=護皆, EC3是等腰

20、直角三角形,EB BC = = W + 1如圖中，同法可得BC= - 1.綜上所述，Be的長為1或B-1.【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考査了等腰直角三角形的判左和性質，全等三角形的判左和性 質，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬 于中考壓軸題.&如圖，在BC中，4B = 4C,以為直徑作G) 0,交BC邊于點D,交AC邊于點G,過 點D作G)O的切線EF,交力的延長線于點廠交4C于點E.(2)若M = 6, BF = 4,求G)O的半徑【答案】(1)證明見解析；(2) 4【解析】試題分析：(1)連接AD,根據等腰三角形三線合一即可證明.(2)

21、設OO 的半徑為 R,貝IJ F0=4+Rt FA二4+2R, OD=R.連接 OD,由 FOD- FAE,得 軍二%列出方程即可解決問題.AE Ar試題解析：(1)連接AD, TAB是直徑,.ZADB=90o,T AB二AC, AD±BC, BD=DC(2)設OO 的半徑為 R,貝IJ F0=4+Rt FA=4+2R, OD=R,連接 OD、T AB二AC,. Z ABC=Z C, OB=OD, Z ABC=Z ODB,. Z ODB=Z Ct ODIl AC, FOD-厶 FAEfOD _ Fo= AF'.R _ 4 + A' I = 4 +*整理得 R2-R-

22、12=0.R=4或（-3舍棄）OO的半徑為4考點：切線的性質、等腰三角形的性質等知識.9.如圖，BD為AABC外接圓Oo的直徑，且Z BAE= C.（1）求證：處與OO相切于點AE,AC= 21求AD的長.【答案】（I）證明見解析；（2） 23【解析】【分析】（I）根據題目中已出現切點可確左用"連半徑，證垂直的方法證明切線，連接&0并延長 交OO于點F,連接BF,則AF為直徑，ZqBF=90。，根據同弧所對的圓周角相等，則可得 到ZBAE=ZF,既而得到AF與OO相切于點4（2）連接OC,先由平行和已知可得ACB = ABC9所以AC=AB.則 AOC=A AOB.從而利用垂

23、徑左理可得AH=Rt OBH中，設03=幾利用勾股立理解得廠=2,在Rt ABD中，即可求得AD的長為2 JJ.【詳解】 解：（1）連接40并延長交C）O于點F,連接BF, 則AF為直徑，ZF=90% AB = AB.ZACB=Z F9 Z BAE=ZACB. Z BAE=A F,T Z FAB十Z F= 90% Z FAB+Z BAE=909：.O&丄處，. AE與C)O相切于點4(2)連接OG/ AEW BC, Z BAE=ZABC9 Z BAE=ZACB. Z ACB=Z ABC9 AC=AB=2.：. A0C= AOB9 OC=OB9：.OA 丄 BC,.*. CH=BH= BC= ,2在 Rt ABH 中，AH= yJAB2-BH2 =1,在 Rt OBH 中，設 0S = OH2+B H2 = OB29(r- D 2+ (3 ) 2=r2,解得：r=2, DB=2r=4,在 Rt ABD 中，AD= Jbd2-AB2 = 42 -22 =2 3 ,AD的長為23【點睛】本題考查了圓的綜合問題，恰當的添加輔助線是解題關鍵10如圖，已知在AABC中，AB=15t AC=20, tanA=丄，點P在AB邊上，OP的半徑為立長當點P與點B重合時，C）P恰好與AC邊相切：當點P與點B不重合時，C）P與AC邊相 交于點M和點N.（1）求OP的半徑：（2）當