第04章平面問題的極坐標(biāo)解答

1、第四章第四章平面問題的極坐標(biāo)解答平面問題的極坐標(biāo)解答本章將系統(tǒng)地平面問題極坐標(biāo)解答的基本理論。本章將系統(tǒng)地平面問題極坐標(biāo)解答的基本理論。主要內(nèi)容如下：主要內(nèi)容如下：1 1、極坐標(biāo)系下平面問題的基本方程；、極坐標(biāo)系下平面問題的基本方程；2 2、極坐標(biāo)系下按應(yīng)力求解的方法；、極坐標(biāo)系下按應(yīng)力求解的方法；3 3、極坐標(biāo)系下典型問題的求解；、極坐標(biāo)系下典型問題的求解；本章學(xué)習(xí)指南本章學(xué)習(xí)指南為了牢固地掌握極坐標(biāo)系下平面問題的基本為了牢固地掌握極坐標(biāo)系下平面問題的基本理論，要求理解：理論，要求理解：1 1、極坐標(biāo)系求解的適用對象；、極坐標(biāo)系求解的適用對象；2 2、極坐標(biāo)系下基本未知函數(shù)的表示方法及、極坐

2、標(biāo)系下基本未知函數(shù)的表示方法及與直角坐標(biāo)表示法的異同；與直角坐標(biāo)表示法的異同；3 3、極坐標(biāo)系下基本方程和按應(yīng)力求解方法，、極坐標(biāo)系下基本方程和按應(yīng)力求解方法，并比較與直角坐標(biāo)系的基本方程和解法的異同；并比較與直角坐標(biāo)系的基本方程和解法的異同；本章學(xué)習(xí)指南本章學(xué)習(xí)指南q 極坐標(biāo)中的平衡微分方程極坐標(biāo)中的平衡微分方程q 極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程q 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程q 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式 q 軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移q 圓環(huán)或圓筒受均布壓力圓環(huán)或圓筒受均布壓力q 圓孔的孔口應(yīng)力集中圓孔

3、的孔口應(yīng)力集中q 半平面體在邊界上受集中力半平面體在邊界上受集中力q 半平面體在邊界上受分布力半平面體在邊界上受分布力主要內(nèi)容主要內(nèi)容緒論緒論 采用極坐標(biāo)系求解的優(yōu)點(diǎn)采用極坐標(biāo)系求解的優(yōu)點(diǎn)：對于由由徑向線或圓弧線所圍：對于由由徑向線或圓弧線所圍成的圓形、圓環(huán)形、楔形、扇形等彈性體，由于用極坐標(biāo)表示成的圓形、圓環(huán)形、楔形、扇形等彈性體，由于用極坐標(biāo)表示其邊界線非常方便，從而使得邊界條件的表示和基本方程的求其邊界線非常方便，從而使得邊界條件的表示和基本方程的求解得到很大的簡化，宜用極坐標(biāo)求解。解得到很大的簡化，宜用極坐標(biāo)求解。 極坐標(biāo)系中任一點(diǎn)用徑向坐標(biāo)極坐標(biāo)系中任一點(diǎn)用徑向坐標(biāo) r r 和和環(huán)向

4、坐標(biāo)環(huán)向坐標(biāo) f f 表示，與直角坐標(biāo)系相比：表示，與直角坐標(biāo)系相比：相同點(diǎn)：相同點(diǎn)：均為正交坐標(biāo)系；均為正交坐標(biāo)系；不同點(diǎn)：不同點(diǎn)：直角坐標(biāo)系中兩坐標(biāo)線均直角坐標(biāo)系中兩坐標(biāo)線均為直線，有固定方向，量綱均為為直線，有固定方向，量綱均為L；而而極坐標(biāo)系中徑向坐標(biāo)線為直線，環(huán)向坐極坐標(biāo)系中徑向坐標(biāo)線為直線，環(huán)向坐標(biāo)線則為圓弧曲線，不同點(diǎn)有不同方向標(biāo)線則為圓弧曲線，不同點(diǎn)有不同方向，量綱分別為，量綱分別為L和一。和一。 上述區(qū)別會(huì)引起彈性力學(xué)基本方程的差異。上述區(qū)別會(huì)引起彈性力學(xué)基本方程的差異。緒論緒論正負(fù)號(hào)規(guī)定：正負(fù)號(hào)規(guī)定：正坐標(biāo)面上以沿正坐標(biāo)方向?yàn)檎?，?fù)向?yàn)樨?fù)正坐標(biāo)面上以沿正坐標(biāo)方向?yàn)檎?fù)向?yàn)?/p>

5、負(fù)；負(fù)坐標(biāo)面上以沿負(fù)坐標(biāo)方向?yàn)檎?，正向?yàn)樨?fù)；負(fù)坐標(biāo)面上以沿負(fù)坐標(biāo)方向?yàn)檎?，正向?yàn)樨?fù)；徑向及環(huán)向的體力分量分別用徑向及環(huán)向的體力分量分別用fr r和和fj j表示，以沿正坐標(biāo)方向表示，以沿正坐標(biāo)方向?yàn)檎?fù)向?yàn)樨?fù)。為正，負(fù)向?yàn)樨?fù)。應(yīng)力分量的定義：應(yīng)力分量的定義： 選取由兩條徑向線和兩條環(huán)向選取由兩條徑向線和兩條環(huán)向線所圍成的微分體線所圍成的微分體PACB，厚度厚度為為1 1。沿。沿r r方向的正應(yīng)力稱為徑向方向的正應(yīng)力稱為徑向正應(yīng)力，用正應(yīng)力，用s sr r表示；沿表示；沿j j方向的正方向的正應(yīng)力稱為環(huán)向正應(yīng)力或切向正應(yīng)應(yīng)力稱為環(huán)向正應(yīng)力或切向正應(yīng)力，用力，用s sj j表示；切應(yīng)力用表示；切

6、應(yīng)力用t trjrj及及t tjrjr表示表示4.1 極坐標(biāo)中的平衡微分方程極坐標(biāo)中的平衡微分方程 考慮問題的基礎(chǔ)知識(shí)：平面上的靜力學(xué)知識(shí)考慮問題的基礎(chǔ)知識(shí)：平面上的靜力學(xué)知識(shí) 分析問題方法：平面力系和力矩的平衡條件分析問題方法：平面力系和力矩的平衡條件 分析手段：微分單元體（微分）分析手段：微分單元體（微分） 意義：平面區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的微分體的平衡條件意義：平面區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的微分體的平衡條件極坐標(biāo)中的平衡微分方程極坐標(biāo)中的平衡微分方程徑向面徑向面PB和和AC的面積不相同，的面積不相同，分別為分別為 r rdf f1 1 和和 ( (r+r+dr )r )df f 1 1，環(huán)向面環(huán)向面PA和和B

7、C的面積均為的面積均為dr r 1 1，但兩者不平行。但兩者不平行。與直角坐標(biāo)中相似，利用與直角坐標(biāo)中相似，利用級數(shù)展開，可求出各微面級數(shù)展開，可求出各微面上的應(yīng)力。上的應(yīng)力。力矩平衡條件：力矩平衡條件：由由通過中心點(diǎn)并平行于通過中心點(diǎn)并平行于Z軸的直軸的直線為轉(zhuǎn)軸線為轉(zhuǎn)軸，根據(jù)力矩的平衡條件，根據(jù)力矩的平衡條件，可推導(dǎo)出可推導(dǎo)出“切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理”，即，即jrrjtt0M極坐標(biāo)中的平衡微分方程極坐標(biāo)中的平衡微分方程力系平衡條件：力系平衡條件： 將微分體所受各力分別投影將微分體所受各力分別投影到到微分體中心的徑向軸和環(huán)向微分體中心的徑向軸和環(huán)向軸軸上，可分別列出徑向和環(huán)向上，可分別

8、列出徑向和環(huán)向的平面平衡方程，即的平面平衡方程，即02101+jrjjrjrjrrjrrtjsrrtrssjtrrsff00jrFF平衡微分方程：注意事項(xiàng)平衡微分方程：注意事項(xiàng)列平衡條件時(shí)，應(yīng)力和體力應(yīng)分別乘以其作用列平衡條件時(shí)，應(yīng)力和體力應(yīng)分別乘以其作用面積和體積，才能得到合力；面積和體積，才能得到合力；應(yīng)用了兩個(gè)基本假設(shè)：連續(xù)性假設(shè)和小變形假應(yīng)用了兩個(gè)基本假設(shè)：連續(xù)性假設(shè)和小變形假設(shè)，這也是其適用的條件；設(shè)，這也是其適用的條件；平衡微分方程表示了平面區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的平衡條件平衡微分方程表示了平面區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的平衡條件平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題的平衡微分方程相同平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題的平衡

9、微分方程相同q 極坐標(biāo)中的平衡微分方程極坐標(biāo)中的平衡微分方程q 極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程q 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程q 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式 q 軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移q 圓環(huán)或圓筒受均布壓力圓環(huán)或圓筒受均布壓力q 圓孔的孔口應(yīng)力集中圓孔的孔口應(yīng)力集中q 半平面體在邊界上受集中力半平面體在邊界上受集中力q 半平面體在邊界上受分布力半平面體在邊界上受分布力主要內(nèi)容主要內(nèi)容4.2 極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程 極坐標(biāo)系中的應(yīng)變分量：極坐標(biāo)系中的應(yīng)變分量：徑向線應(yīng)變徑

10、向線應(yīng)變e er r ：徑向線段的線應(yīng)變：徑向線段的線應(yīng)變環(huán)向線應(yīng)變環(huán)向線應(yīng)變e ej j ：環(huán)向線段的線應(yīng)變：環(huán)向線段的線應(yīng)變切應(yīng)變切應(yīng)變g grjrj ：徑向和環(huán)向兩線段間直角的改變：徑向和環(huán)向兩線段間直角的改變 極坐標(biāo)系中的位移分量：極坐標(biāo)系中的位移分量：徑向位移徑向位移u ur r ：徑向方向的位移：徑向方向的位移環(huán)向位移環(huán)向位移u uj j ：環(huán)向方向的位移：環(huán)向方向的位移 為了推導(dǎo)方便，先分別考慮只有徑向位移和只有環(huán)為了推導(dǎo)方便，先分別考慮只有徑向位移和只有環(huán)向位移的情形，然后根據(jù)彈性力學(xué)的疊加原理，得到向位移的情形，然后根據(jù)彈性力學(xué)的疊加原理，得到徑向和環(huán)向位移都發(fā)生時(shí)極坐標(biāo)系中

11、的幾何方程。徑向和環(huán)向位移都發(fā)生時(shí)極坐標(biāo)系中的幾何方程。極坐標(biāo)中的幾何方程極坐標(biāo)中的幾何方程首先，假定只有徑向位移，圖中首先，假定只有徑向位移，圖中P P、A A和和B B點(diǎn)的位移分別為：點(diǎn)的位移分別為：徑向線段徑向線段PAPA的線應(yīng)變和轉(zhuǎn)角分別為的線應(yīng)變和轉(zhuǎn)角分別為jjrrrrrrrduuBBduuAAuPP+0rerruPAPAAP環(huán)向線段環(huán)向線段PBPB的線應(yīng)變和轉(zhuǎn)角分別為的線應(yīng)變和轉(zhuǎn)角分別為jrrerrjuPBPPBBuPBPBCP1cos/切應(yīng)變?yōu)榍袘?yīng)變?yōu)閖rgrrj+u1極坐標(biāo)中的幾何方程極坐標(biāo)中的幾何方程其次，假定只有環(huán)向位移，圖中其次，假定只有環(huán)向位移，圖中P P、A A和和B

12、 B點(diǎn)的位移分別為：點(diǎn)的位移分別為：徑向線段徑向線段PAPA的線應(yīng)變和轉(zhuǎn)角分別為的線應(yīng)變和轉(zhuǎn)角分別為jjrrjjjjjduuBBduuAAuPP+ + rejr uPAPPAA0環(huán)向線段環(huán)向線段PBPB的線應(yīng)變和轉(zhuǎn)角分別為的線應(yīng)變和轉(zhuǎn)角分別為rjrejjjuPPOuPBPBBP 1切應(yīng)變?yōu)榍袘?yīng)變?yōu)閞rgjjrjuu+極坐標(biāo)中的幾何方程極坐標(biāo)中的幾何方程根據(jù)疊加原理，當(dāng)同時(shí)發(fā)生徑向和環(huán)向位移時(shí)，根據(jù)疊加原理，當(dāng)同時(shí)發(fā)生徑向和環(huán)向位移時(shí)，極坐標(biāo)中的幾何方程為上述兩種情形結(jié)果的疊加：極坐標(biāo)中的幾何方程為上述兩種情形結(jié)果的疊加：rrjrgjrrerejjrrjjrjrruuuuuu+11（4-2）應(yīng)用

13、了兩個(gè)基本假設(shè)：連續(xù)性假設(shè)和小變形假應(yīng)用了兩個(gè)基本假設(shè)：連續(xù)性假設(shè)和小變形假設(shè)，這也是其適用的條件；設(shè)，這也是其適用的條件；極坐標(biāo)中的物理方程極坐標(biāo)中的物理方程由于本構(gòu)方程是彈性體彈性參數(shù)的反映，與坐標(biāo)系的選由于本構(gòu)方程是彈性體彈性參數(shù)的反映，與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)。對于直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系，因?yàn)樗鼈兌际钦粨駸o關(guān)。對于直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系，因?yàn)樗鼈兌际钦蛔鴺?biāo)系，因此兩坐標(biāo)系下的物理方程具有相同的形式。坐標(biāo)系，因此兩坐標(biāo)系下的物理方程具有相同的形式。物理方程：應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系物理方程：應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系對于對于理想彈性體理想彈性體，平面應(yīng)力問題的物理方程，平面應(yīng)力問題的物理方程xyxyxyyyxx

14、EEEtgssesse)1(2)(1)(1+極坐標(biāo)中的物理方程極坐標(biāo)中的物理方程對于理想彈性體，將直角坐標(biāo)系的物理方程中下標(biāo)作相對于理想彈性體，將直角坐標(biāo)系的物理方程中下標(biāo)作相應(yīng)的替換，可得極坐標(biāo)中平面應(yīng)力問題的物理方程如下：應(yīng)的替換，可得極坐標(biāo)中平面應(yīng)力問題的物理方程如下：將平面應(yīng)力問題物理方程中的將平面應(yīng)力問題物理方程中的 E 和和 作如下替換，可作如下替換，可得平面應(yīng)變問題的物理方程（得平面應(yīng)變問題的物理方程（4-44-4）112EErjrjrjjjrrtgssesseEEE)1(2)(1)(1+（4-3）xyxyxyyyxxEEEtgssesse)1(2)(1)(1+極坐標(biāo)中的邊界條件

15、極坐標(biāo)中的邊界條件1 1、對于由徑向線和環(huán)向線所圍成的彈性體，其邊界面對于由徑向線和環(huán)向線所圍成的彈性體，其邊界面通常均為坐標(biāo)面，即通常均為坐標(biāo)面，即r r面（面（r r為常數(shù)）和為常數(shù)）和f f面（面（f f為常數(shù)為常數(shù)），使邊界的表示變得十分簡單，所以邊界條件也十），使邊界的表示變得十分簡單，所以邊界條件也十分簡單。分簡單。 2 2、對于應(yīng)力邊界條件，通常給定徑向和切向面力值，對于應(yīng)力邊界條件，通常給定徑向和切向面力值，可直接與對應(yīng)的應(yīng)力分量建立等式（可直接與對應(yīng)的應(yīng)力分量建立等式（注意符號(hào)規(guī)定注意符號(hào)規(guī)定）極坐標(biāo)系中邊界條件的處理：極坐標(biāo)系中邊界條件的處理：應(yīng)力邊界條件：應(yīng)力邊界條件：)

16、()()()(sfmlsfmlssjjrjrrjrstts+極坐標(biāo)中的邊界條件極坐標(biāo)中的邊界條件3 3、對于位移邊界條件，所給定的約束條件通常是徑向?qū)τ谖灰七吔鐥l件，所給定的約束條件通常是徑向位移值和環(huán)向位移值，可直接由位移值和環(huán)向位移值，可直接由 ur r 和和 uj j 建立等式建立等式)()(),()(suusuussjjrr例題例題例例1 1、寫出習(xí)題、寫出習(xí)題4 49 9的應(yīng)力邊界條件的應(yīng)力邊界條件例例2 2、寫出習(xí)題、寫出習(xí)題4 41212的應(yīng)力邊界條件的應(yīng)力邊界條件在在y軸正半軸上（正軸正半軸上（正f f面）：面）：q22)(, 0)(jrjjjts在在y軸負(fù)半軸上（負(fù)軸負(fù)半軸上

17、（負(fù)f f面）：面）：在在左邊界左邊界上（正上（正f f面）：面）：q22)(, 0)(jrjjjts在在右邊界右邊界上（負(fù)上（負(fù)f f面）：面）：q22)(, 0)(jrjjjtsq22)(, 0)(jrjjjtsq 極坐標(biāo)中的平衡微分方程極坐標(biāo)中的平衡微分方程q 極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程q 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程q 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式 q 軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移q 圓環(huán)或圓筒受均布壓力圓環(huán)或圓筒受均布壓力q 圓孔的孔口應(yīng)力集中圓孔的孔口應(yīng)力集中q 半平面體在邊界上受集中力半平面體在

18、邊界上受集中力q 半平面體在邊界上受分布力半平面體在邊界上受分布力主要內(nèi)容主要內(nèi)容4.3 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極坐標(biāo)系中的一切公式，可以如同直角坐標(biāo)系中一樣從極坐標(biāo)系中的一切公式，可以如同直角坐標(biāo)系中一樣從頭導(dǎo)出，但是也可以簡化公式的推導(dǎo)，直接通過坐標(biāo)變換頭導(dǎo)出，但是也可以簡化公式的推導(dǎo)，直接通過坐標(biāo)變換關(guān)系，將直角坐標(biāo)系中的各種物理量和公式轉(zhuǎn)換到極坐標(biāo)關(guān)系，將直角坐標(biāo)系中的各種物理量和公式轉(zhuǎn)換到極坐標(biāo)系中。系中。變換變換1 1：坐標(biāo)變量的變換：坐標(biāo)變量的變換：jrjrsin,cosyx反之：反之：xyyxarctan,222+jr極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方

19、程極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程變換變換2-2-函數(shù)的變換：函數(shù)的變換：只需將上述坐標(biāo)變換式（只需將上述坐標(biāo)變換式（a a）或（或（b b）代入函代入函數(shù)即可。數(shù)即可。jjjjjrjrcossinsincosuuvuuu+反之：反之：變換變換33位移的變換：位移的變換：如圖，通過投影的方法，可得位移的坐標(biāo)變?nèi)鐖D，通過投影的方法，可得位移的坐標(biāo)變換式如下：換式如下：jjjjjrcossinsincosvuuvuu+)sin,cos(),(jrjrfyxf極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程變換變換44導(dǎo)數(shù)的變換：導(dǎo)數(shù)的變換：由坐標(biāo)變量的變換由坐標(biāo)變量的變換，可得導(dǎo)數(shù)的可得導(dǎo)數(shù)的

20、變換式變換式rjrjrjrjjrrjrrcos)(11,sin)(1sin22,cos22222222222+xxyxyyxyxyxyyxyyxyxxxxyyxarctan,222+jr極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程變換變換55應(yīng)力函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的變換：由復(fù)合函數(shù)的求應(yīng)力函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的變換：由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則導(dǎo)法則jrjrjjjrrjrjrjjjrr+cossinsincosyyyxxx變換變換66應(yīng)力函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的變換可從一階導(dǎo)數(shù)得出應(yīng)力函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的變換可從一階導(dǎo)數(shù)得出，因?yàn)椋?，因?yàn)椋和?，即可得出教材中的同理，即可得出教材中? (a)-a)-（c c）

21、式）式)sin)(cossin(cos)(22jrjrjjrjrjxxx極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程)1()()()()(11)()(0202202202220220jrrttrssjrrrssjjrjjjjjjr+yxxyxyyx（4-5）應(yīng)力分量表達(dá)式應(yīng)力分量表達(dá)式由左圖可知，當(dāng)由左圖可知，當(dāng)x軸和軸和y軸分別軸分別轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到r r軸和軸和j j軸軸時(shí)，有時(shí)，有 j0j0，由直由直角坐標(biāo)中應(yīng)力分量的表達(dá)式，當(dāng)不角坐標(biāo)中應(yīng)力分量的表達(dá)式，當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，極坐標(biāo)中應(yīng)力分量可由計(jì)體力時(shí)，極坐標(biāo)中應(yīng)力分量可由應(yīng)力函數(shù)表達(dá)如下：應(yīng)力函數(shù)表達(dá)如下：極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極

22、坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程將教材中的將教材中的( (a)a)和和（b b）式相加，得到應(yīng)力函數(shù)的拉普拉式相加，得到應(yīng)力函數(shù)的拉普拉斯算子運(yùn)算式如下：斯算子運(yùn)算式如下：+)11()(2222222222222jrrrryxyx根據(jù)上式及直角坐標(biāo)系下的相容方程，當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，根據(jù)上式及直角坐標(biāo)系下的相容方程，當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，可得極坐標(biāo)中的相容方程為可得極坐標(biāo)中的相容方程為011)()(22222222222222+jrrrryxyx(4-6)極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程綜上所述，當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，在極座標(biāo)中按應(yīng)力求解平面問綜上所述，當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，在極座標(biāo)中按應(yīng)力求解平面問題時(shí)

23、，歸結(jié)為求解一個(gè)應(yīng)力函數(shù)，它必須滿足：題時(shí)，歸結(jié)為求解一個(gè)應(yīng)力函數(shù)，它必須滿足：（1 1）在區(qū)域內(nèi)滿足極座標(biāo)中的相容方程（）在區(qū)域內(nèi)滿足極座標(biāo)中的相容方程（4-64-6）；）；（2 2）在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件（假定全部為應(yīng)力邊）在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件（假定全部為應(yīng)力邊界條件）；界條件）；（3 3）如為多連體，還須滿足單值連續(xù)條件；）如為多連體，還須滿足單值連續(xù)條件；求解應(yīng)力函數(shù)的方法與直角坐標(biāo)系下一樣，仍可采用逆求解應(yīng)力函數(shù)的方法與直角坐標(biāo)系下一樣，仍可采用逆解法和半逆解法；解法和半逆解法；求得上述條件的應(yīng)力函數(shù)后，由（求得上述條件的應(yīng)力函數(shù)后，由（4-54-5）式可求應(yīng)力分）式可求應(yīng)力分

24、量；進(jìn)而由物理方程求應(yīng)變分量，由幾何方程求位移分量量；進(jìn)而由物理方程求應(yīng)變分量，由幾何方程求位移分量q 極坐標(biāo)中的平衡微分方程極坐標(biāo)中的平衡微分方程q 極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程q 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程q 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式 q 軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移q 圓環(huán)或圓筒受均布壓力圓環(huán)或圓筒受均布壓力q 圓孔的孔口應(yīng)力集中圓孔的孔口應(yīng)力集中q 半平面體在邊界上受集中力半平面體在邊界上受集中力q 半平面體在邊界上受分布力半平面體在邊界上受分布力主要內(nèi)容主要內(nèi)容4.4 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換應(yīng)力分量

25、的坐標(biāo)變換由于應(yīng)力分量不但具有方向性，而且與作用面有由于應(yīng)力分量不但具有方向性，而且與作用面有關(guān)，為了建立應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式，應(yīng)取出包含關(guān)，為了建立應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式，應(yīng)取出包含兩種坐標(biāo)面的微分體，然后考慮微分體的靜力平衡兩種坐標(biāo)面的微分體，然后考慮微分體的靜力平衡條件，可得出該變換式。條件，可得出該變換式。由一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)分析可知，由已知的直角坐標(biāo)由一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)分析可知，由已知的直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量求極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量，或者由已知中的應(yīng)力分量求極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量，或者由已知的極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量求直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量，的極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量求直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量，就需要建立兩個(gè)坐標(biāo)系中應(yīng)力

26、分量的關(guān)系式，即應(yīng)就需要建立兩個(gè)坐標(biāo)系中應(yīng)力分量的關(guān)系式，即應(yīng)力分量的的坐標(biāo)變換式。力分量的的坐標(biāo)變換式。應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換如圖，當(dāng)取厚度為如圖，當(dāng)取厚度為1 1，包含，包含x x面、面、y y面和徑向坐標(biāo)面的微小三角板面和徑向坐標(biāo)面的微小三角板A A時(shí)，時(shí)，由微分體沿徑向和環(huán)向兩個(gè)方向的由微分體沿徑向和環(huán)向兩個(gè)方向的靜力平衡條件，可得如下變換式：靜力平衡條件，可得如下變換式：同理，當(dāng)取厚度為同理，當(dāng)取厚度為1 1，包含，包含x x面、面、y y面和環(huán)向坐標(biāo)面的微面和環(huán)向坐標(biāo)面的微小三角板小三角板B B時(shí)，由微分體的沿徑向和環(huán)向兩個(gè)方向的靜力時(shí)，由微分體的沿徑向和環(huán)向兩個(gè)方向

27、的靜力平衡條件，可得如下變換式：平衡條件，可得如下變換式：jtjjsstjtjsjssrjr2cossincos)(2sinsincos22xyxyxyyx+00jrFFjtjjsstjtjsjssjrj2cossincos)(2sincossin22xyxyxyyx+00jrFF應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換綜上，可得應(yīng)力分量由直角坐標(biāo)向極坐標(biāo)的變換式為：綜上，可得應(yīng)力分量由直角坐標(biāo)向極坐標(biāo)的變換式為：jtjjsstjtjsjssjtjsjssrjjr2cossincos)(2sincossin2sinsincos2222xyxyxyyxxyyx+（4-7）同理，如果考慮同理，如果考慮

28、x x和和y y方向的靜力平衡條件，可導(dǎo)出應(yīng)方向的靜力平衡條件，可導(dǎo)出應(yīng)力分量由極坐標(biāo)向直角坐標(biāo)的的轉(zhuǎn)換式：力分量由極坐標(biāo)向直角坐標(biāo)的的轉(zhuǎn)換式：jtjjsstjtjsjssjtjsjssrjjrrjjrrjjr2cossincos)(2sincossin2sinsincos2222+xyyx（4-8）q 極坐標(biāo)中的平衡微分方程極坐標(biāo)中的平衡微分方程q 極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程q 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程q 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式 q 軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移q 圓環(huán)或圓筒受均布壓力圓環(huán)或圓筒受

29、均布壓力q 圓孔的孔口應(yīng)力集中圓孔的孔口應(yīng)力集中q 半平面體在邊界上受集中力半平面體在邊界上受集中力q 半平面體在邊界上受分布力半平面體在邊界上受分布力主要內(nèi)容主要內(nèi)容4.5 軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移軸對稱：軸對稱：物體的形狀或物理量是繞一軸對稱的，凡物體的形狀或物理量是繞一軸對稱的，凡通過對稱軸的任何面均是對稱面。通過對稱軸的任何面均是對稱面。由于對稱，在對稱面兩邊對應(yīng)點(diǎn)的物理量必須滿足由于對稱，在對稱面兩邊對應(yīng)點(diǎn)的物理量必須滿足如下兩個(gè)條件如下兩個(gè)條件（1 1）數(shù)值必須相等）數(shù)值必須相等：在極座標(biāo)下，任一環(huán)向線上：在極座標(biāo)下，任一環(huán)向線上的各點(diǎn)的應(yīng)力分量的數(shù)值相同。因此

30、，它只能是徑向坐的各點(diǎn)的應(yīng)力分量的數(shù)值相同。因此，它只能是徑向坐標(biāo)標(biāo) r r 的函數(shù)，不隨環(huán)向坐標(biāo)的函數(shù)，不隨環(huán)向坐標(biāo) f f 改變，即與改變，即與 f f 無關(guān)。由無關(guān)。由此可見，凡是軸對稱問題，總是使自變量減少一維。此可見，凡是軸對稱問題，總是使自變量減少一維。（2 2）方向必須對稱）方向必須對稱，即方向?qū)ΨQ于，即方向?qū)ΨQ于z軸，方向不對軸，方向不對稱的物理量不能存在。稱的物理量不能存在。軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移（1 1）假設(shè)應(yīng)力函數(shù)：）假設(shè)應(yīng)力函數(shù)：應(yīng)力是軸對稱的，從方向的對應(yīng)力是軸對稱的，從方向的對稱性可得稱性可得 t trjrj t tjrjr=0，由數(shù)值的對稱性

31、可知應(yīng)力函數(shù)由數(shù)值的對稱性可知應(yīng)力函數(shù)只是徑向坐標(biāo)的函數(shù)：只是徑向坐標(biāo)的函數(shù)：)(r代入極坐標(biāo)系中的應(yīng)力公式（代入極坐標(biāo)系中的應(yīng)力公式（4-54-5）0,122jrrjjrttrsrrsdddd（4-9）)1(1122222jrrtrsjrrrsrjjr+化簡得：化簡得：按逆解法進(jìn)行求解按逆解法進(jìn)行求解軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移（2 2）由相容方程求應(yīng)力函數(shù)的一般形式：）由相容方程求應(yīng)力函數(shù)的一般形式：上述應(yīng)力函上述應(yīng)力函數(shù)必須滿足相容方程，代入式（數(shù)必須滿足相容方程，代入式（4-64-6）得：）得：0122)(1111132223344222222222+rrrrrrrrr

32、rrrrrrrrrjrrrrdddddddddddddddddddd其中其中A、B、C和和D為四個(gè)待定常數(shù)。為四個(gè)待定常數(shù)。方程為一個(gè)四階常微分方程，其全部通解只有方程為一個(gè)四階常微分方程，其全部通解只有4 4項(xiàng)。上式項(xiàng)。上式積分積分4 4次，即得到軸對稱應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力函數(shù)的通解：次，即得到軸對稱應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力函數(shù)的通解：DCBA+22lnlnrrrr（4-10）（3 3）求應(yīng)力分量：）求應(yīng)力分量：將公式（將公式（4-104-10）代入（）代入（4-94-9），得軸），得軸對稱應(yīng)力的應(yīng)力分量為：對稱應(yīng)力的應(yīng)力分量為：軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移對于平面應(yīng)力情況，將上述應(yīng)力代入物

33、理方程（對于平面應(yīng)力情況，將上述應(yīng)力代入物理方程（4-34-3），），可求得相應(yīng)的應(yīng)變分量（可求得相應(yīng)的應(yīng)變分量（見教材見教材），），它們也是軸對稱它們也是軸對稱。將上面所求的應(yīng)變分量代入幾何方程（將上面所求的應(yīng)變分量代入幾何方程（4-24-2），通過積分，），通過積分，可得到軸對稱應(yīng)力狀態(tài)下的位移分量如公式（可得到軸對稱應(yīng)力狀態(tài)下的位移分量如公式（4-124-12），位移），位移分量中包含了非軸對稱的項(xiàng)。（分量中包含了非軸對稱的項(xiàng)。（詳細(xì)過程見教材，并參考高詳細(xì)過程見教材，并參考高等數(shù)學(xué)的有關(guān)常微分方程解的內(nèi)容等數(shù)學(xué)的有關(guān)常微分方程解的內(nèi)容）02)ln23(2)ln21 (12222+jrr

34、jjrttrrrsrrrrsCBAddCBAdd（4-11）以上是軸對稱應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)力分量和位移分量的一以上是軸對稱應(yīng)力狀態(tài)下，應(yīng)力分量和位移分量的一般性解答，適用于任何軸對稱應(yīng)力問題。般性解答，適用于任何軸對稱應(yīng)力問題。軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移應(yīng)力分量（應(yīng)力分量（4-11）和位移分量（）和位移分量（4-12）中的待定常數(shù)，）中的待定常數(shù)，可通過應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件（多連體中還須考可通過應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件（多連體中還須考慮位移單值條件）來確定。慮位移單值條件）來確定。將平面應(yīng)力問題解答中的將平面應(yīng)力問題解答中的 E 和和 作如下替換，可得作如下替換，可得平面

35、應(yīng)變問題的解答。平面應(yīng)變問題的解答。112EE軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移一般而言，產(chǎn)生軸對稱應(yīng)力狀態(tài)的條件是一般而言，產(chǎn)生軸對稱應(yīng)力狀態(tài)的條件是：彈性體：彈性體的形狀和應(yīng)力邊界條件必須是軸對稱的。由此得出的的形狀和應(yīng)力邊界條件必須是軸對稱的。由此得出的應(yīng)力分量和應(yīng)變分量是軸對稱的。應(yīng)力分量和應(yīng)變分量是軸對稱的。如果位移邊界條件也是軸對稱的，則位移也是軸對如果位移邊界條件也是軸對稱的，則位移也是軸對稱的。稱的。q 極坐標(biāo)中的平衡微分方程極坐標(biāo)中的平衡微分方程q 極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程q 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程q

36、 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式 q 軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移q 圓環(huán)或圓筒受均布壓力圓環(huán)或圓筒受均布壓力q 圓孔的孔口應(yīng)力集中圓孔的孔口應(yīng)力集中q 半平面體在邊界上受集中力半平面體在邊界上受集中力q 半平面體在邊界上受分布力半平面體在邊界上受分布力主要內(nèi)容主要內(nèi)容4.6 圓環(huán)或圓筒受均布壓力圓環(huán)或圓筒受均布壓力圓環(huán)和圓筒是工程中常見的重要構(gòu)件之一，如高壓管圓環(huán)和圓筒是工程中常見的重要構(gòu)件之一，如高壓管筒、炮筒等。圓環(huán)（平面應(yīng)力問題）和圓筒（平面應(yīng)變筒、炮筒等。圓環(huán)（平面應(yīng)力問題）和圓筒（平面應(yīng)變問題）受到內(nèi)外均布壓力作用。顯然，它屬于軸對稱應(yīng)問題）受到內(nèi)外均布壓

37、力作用。顯然，它屬于軸對稱應(yīng)力問題，完全可以應(yīng)用上節(jié)中軸對稱應(yīng)力問題的通解：力問題，完全可以應(yīng)用上節(jié)中軸對稱應(yīng)力問題的通解：02)ln23(2)ln21 (22+jrrjjrttrrsrrsCBACBA(4-11)其中的其中的3 3個(gè)待定常數(shù)根據(jù)內(nèi)外邊界個(gè)待定常數(shù)根據(jù)內(nèi)外邊界面上的應(yīng)力邊界條件來確定。面上的應(yīng)力邊界條件來確定。圓環(huán)或圓筒受均布壓力圓環(huán)或圓筒受均布壓力由于軸對稱，關(guān)于切應(yīng)力的兩個(gè)條件是由于軸對稱，關(guān)于切應(yīng)力的兩個(gè)條件是自然滿足的。將應(yīng)力分量表達(dá)式自然滿足的。將應(yīng)力分量表達(dá)式(4-11)(4-11) 代代入入( (a)a)式，得到式，得到 2 2 個(gè)方程個(gè)方程( (b)b)式，顯然

38、不能式，顯然不能確定確定 3 3 個(gè)待定常數(shù)個(gè)待定常數(shù)A、B、C。在內(nèi)外邊界面上，分別有應(yīng)力邊界條件：在內(nèi)外邊界面上，分別有應(yīng)力邊界條件：0,0,21RRrrqqrrjrrrrjrrtsts(a)圓環(huán)或圓筒受均布壓力圓環(huán)或圓筒受均布壓力將將 B=0 代入方程式代入方程式(b)，即可解得另兩個(gè)待定常數(shù)即可解得另兩個(gè)待定常數(shù)A、C。2222212212222,)(rRRqrqCrRqqRrA由于圓環(huán)和圓筒是二連體，其位移分量必須滿足位移由于圓環(huán)和圓筒是二連體，其位移分量必須滿足位移單值條件。由位移解答式單值條件。由位移解答式(4-12)(4-12)中關(guān)于環(huán)向位移的解，中關(guān)于環(huán)向位移的解，對于同一點(diǎn)

39、對于同一點(diǎn) ( (r,jr,j) ) 和和 ( (r,jr,j+2)+2) ，將會(huì)得到不同的位移，將會(huì)得到不同的位移，這是不可能的。這是不可能的。jjrrjjcossin4KIHEBu+于是由位移單值條件可見必須有：于是由位移單值條件可見必須有：B=0圓環(huán)或圓筒受均布壓力圓環(huán)或圓筒受均布壓力將待定常數(shù)將待定常數(shù)A、B、C代入應(yīng)力分量表達(dá)式代入應(yīng)力分量表達(dá)式(4-11)，整理可得應(yīng)力解答式整理可得應(yīng)力解答式(4-13)。222221222222222122221111,1111qRrrqrRRqRrrqrRR+rrsrrsjr圓環(huán)或圓筒受均布壓力圓環(huán)或圓筒受均布壓力下面利用上述解答討論兩種特例：

40、下面利用上述解答討論兩種特例：即內(nèi)壓力和外壓力即內(nèi)壓力和外壓力單獨(dú)作用時(shí)的情況單獨(dú)作用時(shí)的情況。1、如果只有內(nèi)壓力如果只有內(nèi)壓力 q1 作用，則外壓力為作用，則外壓力為0 0，代入應(yīng)力，代入應(yīng)力解答式解答式( (4-13) )，化簡得，化簡得122221222211,11qrRRqrRR+rsrsjr222221222222222122221111,1111qRrrqrRRqRrrqrRR+rrsrrsjr圓環(huán)或圓筒受均布壓力圓環(huán)或圓筒受均布壓力顯然，由應(yīng)力公式可知，徑向顯然，由應(yīng)力公式可知，徑向應(yīng)力總為負(fù)值，即為壓應(yīng)力；應(yīng)力總為負(fù)值，即為壓應(yīng)力；環(huán)向應(yīng)力總為正值，即為拉應(yīng)環(huán)向應(yīng)力總為正值，即

41、為拉應(yīng)力。應(yīng)力分布大致如圖所示。力。應(yīng)力分布大致如圖所示。最大值發(fā)生在內(nèi)壁處最大值發(fā)生在內(nèi)壁處。當(dāng)外半徑趨于無限大時(shí)，由上式可得具有當(dāng)外半徑趨于無限大時(shí)，由上式可得具有圓孔的無限大薄板或具有圓孔道的無限大彈圓孔的無限大薄板或具有圓孔道的無限大彈性體的應(yīng)力解答：性體的應(yīng)力解答：122221222211,11qrRRqrRR+rsrsjr122122,qrqrrsrsjr可知在遠(yuǎn)離小孔處的應(yīng)力可忽略不計(jì)。可知在遠(yuǎn)離小孔處的應(yīng)力可忽略不計(jì)。圓環(huán)或圓筒受均布壓力圓環(huán)或圓筒受均布壓力2 2、如果只有外壓力如果只有外壓力 q2 作用，則內(nèi)壓力為作用，則內(nèi)壓力為0 0，代入應(yīng)力解，代入應(yīng)力解答式答式(4-1

42、3)(4-13)，化簡得，化簡得顯然徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力都是總為負(fù)顯然徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力都是總為負(fù)值，即為壓應(yīng)力。應(yīng)力分布大致如圖值，即為壓應(yīng)力。應(yīng)力分布大致如圖所示。所示。最大環(huán)向應(yīng)力發(fā)生在內(nèi)壁處最大環(huán)向應(yīng)力發(fā)生在內(nèi)壁處222222222211,11qRrrqRrr+rsrsjr(4-14)222221222222222122221111,1111qRrrqrRRqRrrqrRR+rrsrrsjrq 極坐標(biāo)中的平衡微分方程極坐標(biāo)中的平衡微分方程q 極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程q 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程q 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式應(yīng)力分量

43、的坐標(biāo)變換式 q 軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移q 圓環(huán)或圓筒受均布壓力圓環(huán)或圓筒受均布壓力q 圓孔的孔口應(yīng)力集中圓孔的孔口應(yīng)力集中q 半平面體在邊界上受集中力半平面體在邊界上受集中力q 半平面體在邊界上受分布力半平面體在邊界上受分布力主要內(nèi)容主要內(nèi)容4.8 圓孔的孔口應(yīng)力集中圓孔的孔口應(yīng)力集中“小孔口問題小孔口問題”應(yīng)符合兩個(gè)條件：應(yīng)符合兩個(gè)條件：（1 1）孔口尺寸遠(yuǎn)小于彈性體的）孔口尺寸遠(yuǎn)小于彈性體的尺寸尺寸，這使孔口的存在所引起的應(yīng)力擾動(dòng)只局限于一個(gè)小的范圍內(nèi)，這使孔口的存在所引起的應(yīng)力擾動(dòng)只局限于一個(gè)小的范圍內(nèi)；（2 2）孔邊距離彈性體邊界比較遠(yuǎn)（約大于）孔邊距離彈性體邊

44、界比較遠(yuǎn)（約大于1.51.5倍的孔口尺寸）倍的孔口尺寸），這使孔口與邊界之間不發(fā)生相互干擾。這使孔口與邊界之間不發(fā)生相互干擾。在小孔口問題中，孔口附近將發(fā)生應(yīng)力集中現(xiàn)象，它具有兩個(gè)在小孔口問題中，孔口附近將發(fā)生應(yīng)力集中現(xiàn)象，它具有兩個(gè)特點(diǎn)：特點(diǎn)：（1 1）孔附近的應(yīng)力高度集中）孔附近的應(yīng)力高度集中，即孔附近的應(yīng)力遠(yuǎn)大于遠(yuǎn)處，即孔附近的應(yīng)力遠(yuǎn)大于遠(yuǎn)處的應(yīng)力，或遠(yuǎn)大于無孔時(shí)的應(yīng)力。的應(yīng)力，或遠(yuǎn)大于無孔時(shí)的應(yīng)力。（2 2）應(yīng)力集中的局部性）應(yīng)力集中的局部性，由于，由于孔口存在而引起的應(yīng)力擾動(dòng)范圍主要集中在距孔邊孔口存在而引起的應(yīng)力擾動(dòng)范圍主要集中在距孔邊1.51.5倍的孔口尺倍的孔口尺寸（如圓也直徑

45、）的范圍內(nèi)，在此范圍之外，可以忽略不計(jì)。寸（如圓也直徑）的范圍內(nèi)，在此范圍之外，可以忽略不計(jì)。下面分四種情況討論圓孔口的一些解答：下面分四種情況討論圓孔口的一些解答：雙向均布拉力、均布拉雙向均布拉力、均布拉力和壓力（相等和不相等兩種情況）、只有力和壓力（相等和不相等兩種情況）、只有x向的均布拉力向的均布拉力。圓孔的孔口應(yīng)力集中圓孔的孔口應(yīng)力集中1 1、距圓孔較遠(yuǎn)處的應(yīng)力場為雙向均布拉力、距圓孔較遠(yuǎn)處的應(yīng)力場為雙向均布拉力由于主要考慮圓孔附近的應(yīng)力，故采用極由于主要考慮圓孔附近的應(yīng)力，故采用極坐標(biāo)系求解。坐標(biāo)系求解。以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以遠(yuǎn)大于以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以遠(yuǎn)大于r r的長度的長度R R為為

46、半徑作大圓，由應(yīng)力集中的局部性可知，在半徑作大圓，由應(yīng)力集中的局部性可知，在大圓周上各點(diǎn)的應(yīng)力情況與無孔時(shí)相同，即大圓周上各點(diǎn)的應(yīng)力情況與無孔時(shí)相同，即0,xyyxqtss代入應(yīng)力分量坐標(biāo)變換式（代入應(yīng)力分量坐標(biāo)變換式（4-74-7），得大圓周上的極坐標(biāo)應(yīng)力分量為），得大圓周上的極坐標(biāo)應(yīng)力分量為0,rjrtsq因此求解圓孔附近的應(yīng)力分布問題就轉(zhuǎn)化為內(nèi)半徑為因此求解圓孔附近的應(yīng)力分布問題就轉(zhuǎn)化為內(nèi)半徑為r r、外半徑為外半徑為R R的的圓環(huán)或圓筒在外邊界受均布拉力的軸對稱應(yīng)力問題。圓環(huán)或圓筒在外邊界受均布拉力的軸對稱應(yīng)力問題。圓孔的孔口應(yīng)力集中圓孔的孔口應(yīng)力集中根據(jù)上節(jié)中圓環(huán)只有外壓力作用時(shí)根據(jù)

47、上節(jié)中圓環(huán)只有外壓力作用時(shí)的解答式（的解答式（4-144-14），可取外壓力為），可取外壓力為q2=-q，代入得代入得由于由于 R 遠(yuǎn)大于遠(yuǎn)大于 r ，上式可化簡為上式可化簡為qRrrqRrr2222222211,11+rsrsjr)1 (, )1 (2222rsrsjrrqrq+(4-17)圓孔的孔口應(yīng)力集中圓孔的孔口應(yīng)力集中2、距圓孔較遠(yuǎn)處的左右兩邊受均布拉力、距圓孔較遠(yuǎn)處的左右兩邊受均布拉力q、上下兩邊受均布壓力上下兩邊受均布壓力q以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以遠(yuǎn)大于以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以遠(yuǎn)大于r r的長度的長度R R為為半徑作大圓，由應(yīng)力集中的局部性可知，在半徑作大圓，由應(yīng)力集中的局部性可知，在大

48、圓周上各點(diǎn)的應(yīng)力情況與無孔時(shí)相同，即大圓周上各點(diǎn)的應(yīng)力情況與無孔時(shí)相同，即0,xyyxqqtss代入應(yīng)力分量坐標(biāo)變換式（代入應(yīng)力分量坐標(biāo)變換式（4-74-7），得大圓），得大圓周上極坐標(biāo)應(yīng)力分量為（周上極坐標(biāo)應(yīng)力分量為（也是外邊界條件也是外邊界條件）jtjsrrjrr2sin,2cosqqRR在孔邊處的邊界條件為（在孔邊處的邊界條件為（也是內(nèi)邊界條件也是內(nèi)邊界條件）0, 0rrrrjrrts圓孔的孔口應(yīng)力集中圓孔的孔口應(yīng)力集中jrtjrsrjr2sin)(2cos)(21ff或（1 1）由邊界處的邊界條件，假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式：）由邊界處的邊界條件，假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式：（2 2）代入極坐

49、標(biāo)中應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系（）代入極坐標(biāo)中應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系（4-54-5），），得應(yīng)力函數(shù)的一般形式如下：得應(yīng)力函數(shù)的一般形式如下：因此求解圓孔附近的應(yīng)力分布問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)非軸對稱應(yīng)因此求解圓孔附近的應(yīng)力分布問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)非軸對稱應(yīng)力問題，下面采用半逆解法來進(jìn)行求解。力問題，下面采用半逆解法來進(jìn)行求解。jr2cos)(f)1(1122222jrrtrsjrrrsrjjr+圓孔的孔口應(yīng)力集中圓孔的孔口應(yīng)力集中（3 3）將將應(yīng)力函數(shù)代入極坐標(biāo)中的相容方程（）將將應(yīng)力函數(shù)代入極坐標(biāo)中的相容方程（4-64-6），并），并求解常微分方程求解常微分方程得應(yīng)力函數(shù)的具體形式如下得應(yīng)力函數(shù)的具體形式

50、如下jrrr2cos)(224+DCBA（4）由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量：代入方程（）由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量：代入方程（45），可得應(yīng)），可得應(yīng)力分量表達(dá)式力分量表達(dá)式（d）。（5）考察內(nèi)外邊界處的邊界條件，并考慮到）考察內(nèi)外邊界處的邊界條件，并考慮到 R 遠(yuǎn)大于遠(yuǎn)大于 r，確定四個(gè)待定常數(shù)確定四個(gè)待定常數(shù)A、B、C、D為為422,2, 0rqDqrCqBA代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得最終解答代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得最終解答（418）式。式。圓孔的孔口應(yīng)力集中圓孔的孔口應(yīng)力集中3、距圓孔較遠(yuǎn)處的左右兩邊受均布拉力、距圓孔較遠(yuǎn)處的左右兩邊受均布拉力q1、上下兩邊受均上下兩邊受均布拉力布拉力q2此時(shí)，根據(jù)解的疊加

51、原理，可將荷載分解為兩個(gè)部分：此時(shí)，根據(jù)解的疊加原理，可將荷載分解為兩個(gè)部分： （1 1）第一部分是四周受均布拉力）第一部分是四周受均布拉力(q1 + q2)/2； （2 2）第二部分是左右兩邊受均布拉力）第二部分是左右兩邊受均布拉力(q1 - q2)/2和上下兩和上下兩邊受均布壓力邊受均布壓力(q1 - q2)/2；圓孔的孔口應(yīng)力集中圓孔的孔口應(yīng)力集中根據(jù)彈性力學(xué)的疊加原理，將兩部分解答疊加，即根據(jù)彈性力學(xué)的疊加原理，將兩部分解答疊加，即得在原荷載作用下的應(yīng)力分量解答。得在原荷載作用下的應(yīng)力分量解答。對于第一部分荷載，可應(yīng)用對于第一部分荷載，可應(yīng)用解答解答（4 41717），并將其中的，并將

52、其中的 q 替換為替換為(q1 + q2)/2；對于第二部分荷載，可應(yīng)用解對于第二部分荷載，可應(yīng)用解答答（4 41818），并將其中的，并將其中的 q 替替換為換為(q1 - q2)/2；圓孔的孔口應(yīng)力集中圓孔的孔口應(yīng)力集中4、只在左右兩邊受均布拉力、只在左右兩邊受均布拉力q根據(jù)第三種情況，可將荷載分解為兩個(gè)部分：第一部根據(jù)第三種情況，可將荷載分解為兩個(gè)部分：第一部分是四周受均布拉力分是四周受均布拉力q/2；第二部分是左右兩邊受均；第二部分是左右兩邊受均布拉力布拉力q/2和上下兩邊受均布壓力和上下兩邊受均布壓力q/2；對于第一部分荷載，可應(yīng)用解答對于第一部分荷載，可應(yīng)用解答（417），并將其，

53、并將其中的中的 q 替換為替換為q/2；對于第二部分荷載，可應(yīng)用解答對于第二部分荷載，可應(yīng)用解答（418），并將其，并將其中的中的 q 替換為替換為q/2；根據(jù)彈性力學(xué)的疊加原理，將兩部分解答疊加，即得根據(jù)彈性力學(xué)的疊加原理，將兩部分解答疊加，即得在原荷載作用下的應(yīng)力分量解答在原荷載作用下的應(yīng)力分量解答（419） 。圓孔的孔口應(yīng)力集中圓孔的孔口應(yīng)力集中下面來分析第四種情況時(shí)（只在左右兩邊受均布拉力下面來分析第四種情況時(shí)（只在左右兩邊受均布拉力q），圓孔附近的應(yīng)力狀態(tài)，圓孔附近的應(yīng)力狀態(tài)1 1、在在 y 軸上（軸上（f f= /2），環(huán)向正應(yīng)力為），環(huán)向正應(yīng)力為2 2、在在 x 軸上（軸上（ f

54、 f=0 ），環(huán)向正應(yīng)力為），環(huán)向正應(yīng)力為)23211 (4422rrsjrrq+在在 y 軸上，環(huán)向正應(yīng)力在孔邊達(dá)到最大值軸上，環(huán)向正應(yīng)力在孔邊達(dá)到最大值 3q，隨著遠(yuǎn)離孔邊隨著遠(yuǎn)離孔邊而急劇趨近于而急劇趨近于0； ) 13(22222rrsjrrq在在 x 軸上，環(huán)向正應(yīng)力在孔邊達(dá)到最小值軸上，環(huán)向正應(yīng)力在孔邊達(dá)到最小值 q ，在，在 處變處變?yōu)闉? 0，即在此段距離內(nèi)應(yīng)力變號(hào)，成為壓應(yīng)力；此后，即在此段距離內(nèi)應(yīng)力變號(hào)，成為壓應(yīng)力；此后，隨著遠(yuǎn)隨著遠(yuǎn)離孔邊而又變?yōu)槔瓚?yīng)力，并逐漸趨近于離孔邊而又變?yōu)槔瓚?yīng)力，并逐漸趨近于0； r3圓孔的孔口應(yīng)力集中圓孔的孔口應(yīng)力集中2 2、在在 x 軸上（軸上

55、（ f f=0 ）或）或 y 軸上（軸上（ f f= /2 ），分析可），分析可得，在距離圓孔為得，在距離圓孔為1.51.5倍孔口尺寸時(shí)（倍孔口尺寸時(shí)（ r r=4r ），由于圓），由于圓孔引起的應(yīng)力擾動(dòng)已小于孔引起的應(yīng)力擾動(dòng)已小于q 值的值的 5%，可忽略不計(jì)。，可忽略不計(jì)。圓孔的孔口應(yīng)力集中圓孔的孔口應(yīng)力集中對于其它形狀的孔口，其應(yīng)力集中現(xiàn)象具有相同特點(diǎn)：對于其它形狀的孔口，其應(yīng)力集中現(xiàn)象具有相同特點(diǎn)：集中集中性和局部性性和局部性；工程實(shí)踐證明：孔口應(yīng)力集中程度與孔口形狀有關(guān)，圓孔的工程實(shí)踐證明：孔口應(yīng)力集中程度與孔口形狀有關(guān)，圓孔的應(yīng)力集中程度低，應(yīng)盡可能采用圓孔形式；應(yīng)力集中程度低，應(yīng)

56、盡可能采用圓孔形式；圓孔的孔口應(yīng)力集中圓孔的孔口應(yīng)力集中推廣推廣2 2：由于小孔口問題的應(yīng)力集中現(xiàn)象具有由于小孔口問題的應(yīng)力集中現(xiàn)象具有局部性局部性的特點(diǎn)，的特點(diǎn)，所以對于各種小孔口問題的分析，均可近似為無限域中的孔口所以對于各種小孔口問題的分析，均可近似為無限域中的孔口問題，即：問題，即：（1 1）假設(shè)無孔，求出結(jié)構(gòu)在孔心處的應(yīng)力；）假設(shè)無孔，求出結(jié)構(gòu)在孔心處的應(yīng)力；（2 2）求出孔心處的主應(yīng)力）求出孔心處的主應(yīng)力s s1、s s2和主方向；和主方向；（3 3）然后可簡化為，在兩個(gè)方向分別受均布拉力）然后可簡化為，在兩個(gè)方向分別受均布拉力s s1、s s2的遠(yuǎn)處的遠(yuǎn)處應(yīng)力場作用下，求小孔口附

57、近的應(yīng)力集中問題。應(yīng)力場作用下，求小孔口附近的應(yīng)力集中問題。課后作業(yè)課后作業(yè)作業(yè)：習(xí)題作業(yè)：習(xí)題4 48 8，習(xí)題，習(xí)題4 41212補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí)一、一、n階齊次常系數(shù)線性常微分方程的通解階齊次常系數(shù)線性常微分方程的通解0) 1 (1) 2(2) 1(1)(+yayayayaynnnnn其解可以用特征根法求解：即令其解可以用特征根法求解：即令y= =el lx代入上式，得到下代入上式，得到下列列特征方程特征方程的解，從而得到原方程的的解，從而得到原方程的n個(gè)解個(gè)解012211+nnnnnaaaallll補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí)二、二、n階歐拉方程的通解階歐拉方程的通解0) 1 (1) 2(22)

58、1(11)(+yaxyayxayxayxnnnnnnnn上述方程可以通過變量代換上述方程可以通過變量代換 x=et 或或 t=lnx，化為函數(shù)，化為函數(shù)y對新自變量對新自變量 t 的常系數(shù)線性常微分方程，然后用特征根的常系數(shù)線性常微分方程，然后用特征根法求解。法求解。q 極坐標(biāo)中的平衡微分方程極坐標(biāo)中的平衡微分方程q 極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程極坐標(biāo)中的幾何方程與物理方程q 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程q 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式 q 軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移q 圓環(huán)或圓筒受均布壓力圓環(huán)或圓筒受均布壓力q 圓孔的孔口應(yīng)力集中圓孔

59、的孔口應(yīng)力集中q 半平面體在邊界上受集中力半平面體在邊界上受集中力q 半平面體在邊界上受分布力半平面體在邊界上受分布力主要內(nèi)容主要內(nèi)容4.9 半平面體在邊界上受集中力半平面體在邊界上受集中力半平面體的解答常用于地基等實(shí)際工程問題。半平面體的解答常用于地基等實(shí)際工程問題。如圖，半平面體受集中力如圖，半平面體受集中力 F （單位厚度上的力）的作單位厚度上的力）的作用，用，采用半逆解法求解采用半逆解法求解，其步驟如下：，其步驟如下：半平面體在邊界上受集中力半平面體在邊界上受集中力1 1、根據(jù)量綱分析方法來假定應(yīng)力分量的函數(shù)形式、根據(jù)量綱分析方法來假定應(yīng)力分量的函數(shù)形式應(yīng)力分量比集中力的長度量綱低一次

60、冪，而應(yīng)力函數(shù)又比應(yīng)力分應(yīng)力分量比集中力的長度量綱低一次冪，而應(yīng)力函數(shù)又比應(yīng)力分量的長度量綱高二次冪，因此可假定應(yīng)力函數(shù)是環(huán)向坐標(biāo)量的長度量綱高二次冪，因此可假定應(yīng)力函數(shù)是環(huán)向坐標(biāo) f f 的某一的某一函數(shù)乘以極半徑函數(shù)乘以極半徑 r r ：)(jrf2 2、代入相容方程（、代入相容方程（4-64-6），求應(yīng)力函數(shù)），求應(yīng)力函數(shù)0)()(2)(11122443222222+jjjjjrjrrrrfff解此常微分方程，得：解此常微分方程，得：)sincos(sincos)(jjjjjjDCBAf+代入應(yīng)力函數(shù)，得代入應(yīng)力函數(shù)，得)sincos(sincosjjrjjrjrDCBA+半平面體在邊界