向量組的線性相互與線性無關(guān)

1、向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)1 .線性組合設(shè) a1，a2, ,at Rn , k1，k2, ,K R,稱匕& k2a2K改 為 a1，a2, ,at 的一個(gè)線性組合。kik2【備注1】按分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則，kiai k2a2ktat (&但，q)二。這Mkt樣的表示是有好處的。2 .線性表示設(shè)a1,a2, ,at Rn , b Rn ,如果存在匕乂，K R,使得b 冗& k2a2ktat則稱b可由a1, a2, , Q線性表示。k1k2b k冏 k2a2Kq ,與成矩陣形式，即b (a，a2, ,at)。因此，b可12 t Mktk1k2由a1,a2, ,at線性表小即線

2、性萬程組(a1,a2, ,at)b有解，而該萬程組有解12 t Mkt當(dāng)且僅當(dāng) r(a1，a2, ,at) r(a1，a2, ,at,b)。3 .向量組等價(jià)設(shè)a1,a2, abb, ,bs Rn,如果a1,a2,生中每一個(gè)向量都可以由b1,b2, M線性表示，則稱向量組a1,a2, ,at可以由向量組b1,b2, ,bs線性表示。如果向量組a1,a2, ,at和向量組6,b2, h可以相互線性表示，則稱這兩個(gè)向 量組是等價(jià)的。向量組等價(jià)的性質(zhì):自反性任何一個(gè)向量組都與自身等價(jià)。對稱性若向量組I與II等價(jià)，則向量組II也與I等價(jià)。傳遞性若向量組I與II等價(jià)，向量組II與III等價(jià)，則向量組I與I

3、II等價(jià)。證明:自反性與對稱性直接從定義得出。至于傳遞性,簡單計(jì)算即可得到。設(shè)向量組I為現(xiàn)色，,ar ,向量組II為bib,bs,向量組 III 為G。，, ct。向量組II可由III線性表示，假設(shè)bjtykj Ck, k11,2, ,s o向量組I可由向量組II線性表示，假設(shè)aisXji bj , i ji1,2,因此,ss ta Xjibj Xji YkjCkj1j1k1sYkjXji )ck , i 1,2, ,r j1因此，向量組I可由向量組III線性表示。向量組II可由I線性表示，III可由II線性表示，按照上述辦法再做一次，同 樣可得出，向量組III可由I線性表示。因此，向量組I與

4、III等價(jià)。結(jié)論成立!4 .線性相關(guān)與線性無關(guān)設(shè)ai,a2, ,at Rn ,如果存在不全為零的數(shù)ki,k2, ,kt R ,使得k a1 k2a2kt q0則稱a1, a2,出線性相關(guān)，否則，稱a1,a2,出線性無關(guān)。按照線性表示的矩陣記法，ai, a2, , at線性相關(guān)即齊次線性方程組k1k2 (a®, ,at)0Mkt有非零解，當(dāng)且僅當(dāng)r(ai,a2, ,aj t。a1,a2, ,Q線性無關(guān)，即kik2 (a®, ,at)0Mkt只有零解，當(dāng)且僅當(dāng)r(ai,a2, ,aj t。特別的，若t n,則a1,a2, ,an Rn線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)r(a1,a2, a) n

5、,當(dāng)且僅當(dāng)(ai,a2, , an)可逆， 當(dāng)且僅當(dāng)(&,a2, ,an) 0 °例1.單獨(dú)一個(gè)向量a Rn線性相關(guān)即a 0,線性無關(guān)即a 0。因?yàn)?，若a線性相關(guān)，則存在數(shù)k 0 ,使得ka 0 ,于是a 0。而若a 0,由于1a a 0 , 1 0因此，a線性相關(guān)。例2.兩個(gè)向量a,b Rn線性相關(guān)即它們平行，即其對應(yīng)分量成比例。因?yàn)?，若a,b線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)k1,k2,使得ka k2b 0。1*2不全為零，不妨假設(shè)k1 0,則ab ,故a,b平行，即對應(yīng)分量成比例。如果a,b平行，不妨k1假設(shè)存在，使得a b ,則a b 0 ,于是a, b線性相關(guān)。R3都可以

6、由其線性表示，且表示10 0x1例3. 0 , 1 , 0線性無關(guān)，且任意x X200 1x3方法唯一。事實(shí)上,X11XX2X1 0X300X2 1X3 0015 .線性相關(guān)與無關(guān)的性質(zhì)(1)若一向量組中含有零向量，則其必然線性相關(guān)。證明：設(shè)a0，冏 Rn ,其中有一個(gè)為零，不妨假設(shè)出0,則0 a10a20 ati 1 0 0因此，ai,a2, , at線性相關(guān)。(2)若一向量組線性相關(guān)，則增添任意多個(gè)向量所形成的新向量組仍然線性相關(guān)；若一向量組線性無關(guān)，則其任意部分向量組仍然線性無關(guān)。證明：設(shè)ai,a2, ,at, 1, 2, , s Rn , a1,a2, ,at線性相關(guān)。存在不全為零的數(shù)

7、ki, k2, , kt ,使得k1a1 k2 a2ktat 0這樣，k1a1 k2a2ktat 0 1 0 20 s 0k1,k2, ,kt不全為零，因此，但，,at, 1, 2, , s線性相關(guān)。后一個(gè)結(jié)論是前一個(gè)結(jié)論的逆否命題，因此也正確。(3)若一個(gè)向量組線性無關(guān)，在其中每個(gè)向量相同位置之間增添元素，所得到的 新向量組仍然線性無關(guān)。證明:設(shè)a1,a2, ,at Rn為一組線性無關(guān)的向量。不妨假設(shè)新的元素都增加在向量a1a2K 1 k2 2 1 b12 b2最后一個(gè)分量之后，成為 a1 , a2 , , at , b1,b2, ,bt是同維的列向量。令 b1b2btatKak2a2kta

8、tkt0btk1blk2b2ktbt則Ka k2a2K4 0。由向量組a1,a2, ,at線性相關(guān)，可以得到k1 k2kt 0 o結(jié)論得證！(4)向量組線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其中有一個(gè)向量可以由其余向量線性表示。證明：設(shè)ai,a2, ,at Rn為一組向量。必要性若aa2,出線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù) kik, ,K,使得ki ai k2a2kt at 0ki,k2, ,kt不全為零，設(shè)kj 0,則kiaikj 同 i kj 同 iktataj k充分性若ai,a2, ,at中某個(gè)向量可以表示成其余向量的線性組合，假設(shè) aj 可以表示成a1，問i© i,出的線性組合，則存在一組數(shù)ki

9、, , kj i,kj i, ,kt , 使得aj kiaikj 同 i kj 問 iktat也就是kiaikj iaj i aj kj iaj iktat 0但ki, , kji, i,kji, ,kt不全為零,因此，ai,a2, a線性無關(guān)?！緜渥?】請準(zhǔn)確理解其意思，是其中某一個(gè)向量可以由其余向量線性表示，而 不是全部向量都可以。(5)若ai©, ,at Rn線性無關(guān)，b Rn,使得a1, a2, , a,b線性相關(guān)，則b可由 ai,a2, ,at線性表示，且表示方法唯一。證明:ai,a2, ,at,b線性相關(guān),因此，存在不全為零的數(shù) ki,k2, ,kt,kti,使得kia(

10、Kakt ib 0kt i 0,否則kti 0,則卜冏 k2a2Ka 0。由4©2, a線性無關(guān)，我們就得到ki k2kt 0 ,這樣，ki,k2, ,kt,kt i均為零，與其不全為零矛盾！這樣，,kiai k2a2ktatb kt i因此，b可由aha2, , at線性表示。彳貿(mào)設(shè) b xiai X2a2xtat yiai y2a2ytat ,貝(Xiyi)ai(X2y2)a2(Xtyja 0由為但，為線性無關(guān)，有x y x? y?Xt y 0,即Xiyi,X2 y2,Xtyt因此，表示法唯一?！緜渥?】剛才的證明過程告訴我們，如果向量b可由線性無關(guān)向量組ai, ,at線 性表示

11、，則表示法唯一。事實(shí)上，向量 b可由線性無關(guān)向量組ai,出線性表示， 即線性方程組(現(xiàn)，,at)X b有解。而現(xiàn)，,at線性無關(guān)，即r(a，仇)t。因此, 若有解，當(dāng)然解唯一，即表示法唯一。(6)若線性無關(guān)向量組a1,a2,改可由向量組b,b2, ,bs線性表示，則t s。證明：假設(shè)結(jié)論不成立，于是t so ai,a2, ,at可由b,b2, ,bs線性表示。假設(shè)XiiX2iai Xnb X2ib2Xsibs (bb, ,bs) 一 ，MXsiX12a?X22b2.z. 1,、 X22Xs2bs0心，,bs) 一 ，MXs2X1t.xX2tat為thX2tb2Xstbs(bb,M)一MXst任

12、取KM, ,K,則X11X12LX1tX21X22LX2tMMOMXs 1Xs2LXstk1，“- 、r，k2必有非零解，設(shè)為 .k1,-一 一、& , (a1,a2,at) 一 (bb,M kt為一個(gè)s t階矩陣，而tX11X12LX1tX21X22LX2tXMMOMXs1Xs2LXst,于是 k1al k2a2ktX11X12LX1tk1X21X22LX2tk2,bs)MMOMMXs1Xs2LXstkts,因此，方程組0。因此，存在一組不全為kt零的數(shù)k1,k2,冗，使得女危 k2a2Kat 0。因止匕，向量組a1,a2,A線性相關(guān)，這與向量組a1,a2, ,at線性無關(guān)矛盾！因此

13、，t s。(7)若兩線性無關(guān)向量組a1,a2, ,a和匕電，bs可以相互線性表示，則t s證明:由性質(zhì)(6), t s , s t,因此，s t【備注4】等價(jià)的線性無關(guān)向量組所含向量個(gè)數(shù)一樣。(8)設(shè)ai,a2,a Rn , P為n階可逆矩陣，則出0，出線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)Pai,Pa2, ,Pat線性無關(guān)。b可由a1,a2,，出線性表示，當(dāng)且僅當(dāng)Pb可由Pai,Pa2, ,Pat線性表示。若可以線性表示，表示的系數(shù)不變。證明：由于P可逆，因此ki&k2a2ktat0P(kiai k2a2ktat) 0ki(P&) k2(Pa2)kt (Pat) 0kaik2 a2ktatbP(k

14、i& k2a2ktat) bki(Pa) k2(Pa2)kt(Pat) Pb如此，結(jié)論得證!6 .極大線性無關(guān)組定義i設(shè)a1,a2, ,at Rn ,如果存在部分向量組ah, ai2, ar ,使得 aii , ai2 , ,air線性無關(guān)； ai,a2,自中每一個(gè)向量都可以由 周同2, ,air線性表示；則稱ay, %, ,%為a1,a2,仇的極大線性無關(guān)組。【備注5】 設(shè)ai,a2, ,at Rn ,叫出2, ©工為其極大線性無關(guān)組。按照定義， ai,a2,自可由周，即，皿線性表示。但另一方面，ah, ai2, ,ar也顯然可以由 ai,a2, ,at線性表示。因此，a1

15、, a2, , &與a§ ,劭，凱等價(jià)。也就是說，任何一 個(gè)向量組都與其極大線性無關(guān)組等價(jià)。向量組的極大線性無關(guān)組可能不止一個(gè)， 但都與原向量組等價(jià)，按照向量組 等價(jià)的傳遞性，它們彼此之間是等價(jià)的，即可以相互線性表示。它們又都是線性 無關(guān)的，因此，由之前的性質(zhì)（7）,向量組的任意兩個(gè)極大線性無關(guān)組含有相同 的向量個(gè)數(shù)。 這是一個(gè)固定的參數(shù)，由向量組本身所決定，與其極大線性無關(guān) 組的選取無關(guān)，我們稱其為向量組的 秩，即向量組的任何一個(gè)極大線性無關(guān)組所 含的向量個(gè)數(shù)?！緜渥?】按照定義，向量組ai,a2, ©線性無關(guān)，充分必要條件即其秩為to 定義2設(shè)ai,a2, ,a

16、t Rn ,如果其中有r個(gè)線性無關(guān)的向量 用出2, ar ,但沒有 更多的線性無關(guān)向量，則稱ai1,ai2, ,%為a1,a2,后的極大線性無關(guān)組，而r為 a1，a2, ,at 的秩。【備注7】 定義2生動(dòng)地體現(xiàn)了極大線性無關(guān)組的意義。一方面，有 r個(gè)線性 無關(guān)的向量，體現(xiàn)了 “無關(guān)性”，另一方面，沒有更多的線性無關(guān)向量，又體現(xiàn) 了 “極大性”。【備注8】兩個(gè)定義之間是等價(jià)的。一方面，如果 ai，ai2，,凡線性無關(guān)，且 ai,a2, ,at中每一個(gè)向量都可以由 凡凡，氏線性表示，那么，a1,a2, ,a就沒 有更多的線性無關(guān)向量，否則，假設(shè)有，設(shè)為 b1,b2, ,bs, s r 0 b1,

17、b2, ,bs當(dāng)然 可以由ail，%, , 2卜線性表示，且還線性無關(guān)，按照性質(zhì)（6）, s r ,這與假設(shè)矛 盾！另一方面，假設(shè)aa2, ©r為ai,a2,仇中r個(gè)線性無關(guān)向量，但沒有更多 的線性無關(guān)向量，任取ai,a2, ,at中一個(gè)向量，記為b,則叫,即，©2線性相 關(guān)。按照性質(zhì)（5）, b可有a%,九,線性表示（且表示方法唯一）?！緜渥?】設(shè)向量組ai,a2, ,at的秩為r ,則其極大線性無關(guān)向量組含有r個(gè)向量。 反過來，其中任何r個(gè)線性無關(guān)向量所成的向量組也是 ai,a2, ,at的一個(gè)極大線 性無關(guān)組。這從定義即可得到。6.向量組的秩的矩陣的秩的關(guān)系稱矩陣A的

18、列向量組的秩為A的列秩，行向量組轉(zhuǎn)置后所得到的列向量組的秩稱為矩陣A的行秩。定理1任意矩陣的秩等于其行秩等于其列秩 證明:設(shè)A (a. Rm n , r(A) r。將其按列分塊為A 0，a)。存在m階b1,n b2,nM br,n 0L0可逆矩陣P ,使得PA為行最簡形，不妨設(shè)為10 L 0bi,r+iL1 L 0b2,r 1 LO M M LPA (Pai,Pa2, ,Pan)1br,r 1 L00L00LLLLL L L00L00L100010MMM0,0, , 1線性無關(guān)，且PA中其余列向量都可以由其線性表示，因此，000MMM000100010MMM0,0, , 1為PA的極大線性無關(guān)

19、組，其個(gè)數(shù)為r ,因此，a1,a2, , a線性無000MMM000關(guān)，且A中其余列向量均可由其線性表示(且表示的系數(shù)不變)。因此，A的列秩 等于A的秩bT將A按行分塊，A M，則At （bb, ,bm）,因此，按照前面的結(jié)論，A的行秩為AT的秩，而AT的秩等于A的秩。至此，結(jié)論證明完畢！【備注10】證明的過程其實(shí)也給出了求極大線性無關(guān)組的方法。7 .擴(kuò)充定理定理2設(shè)ai,a2, ,at Rn ,秩為r , a5%,即為其中的k個(gè)線性無關(guān)的向量， k r ,則能在其中加入ai,a2,4中的（r k）個(gè)向量，使新向量組為a1,a2,自的 極大線性無關(guān)組。證明：如果k r ,則2即，©k

20、已經(jīng)是a1,a2,自的一個(gè)極大線性無關(guān)組，無須再 添加向量。如果k r ,則a1,ai2, ak不是，at的一個(gè)極大線性無關(guān)組，于是， ai,a2, ,at必有元素不能由其線性表示，設(shè)為 aik i ,由性質(zhì)（5）,向量組 ai1 , ai2 , aik , aik 1 線性無關(guān)。如果k 1 r,則222,凡，akl已經(jīng)是&但，©的一個(gè)極大線性無關(guān)組， 無須再添加向量。如果k 1 r ,則a,即，ak, aik 1不是a1, a2,生的一個(gè)極大線性無關(guān)組,于 是，ai,a2,同必有元素不能由其線性表示，設(shè)為 即？，由性質(zhì)（5）,向量組 ai1 , ai2, ,aik ,aik

21、 1，aik 2 線性無關(guān)。同樣的過程一直進(jìn)行下去，直到得到r個(gè)線性無關(guān)的向量為止。【備注11】證明的過程其實(shí)也給出了求極大線性無關(guān)組的方法。只是，這方法 并不好實(shí)現(xiàn)8 .求極大線性無關(guān)組并將其余向量由極大線性無關(guān)組線性表示求向量組ai,a2, at Rn的極大線性無關(guān)組，可以按照下面的辦法來實(shí)現(xiàn)(1)將a1,a2, at合在一起寫成一個(gè)矩陣 A (&a, a);(2)將A通過初等行變換化成行階梯形或者行最簡形，不妨設(shè)化得的行階形為bnbi2Lbir0 b22Lb2rM LOMA 00 L brr00L0MLLM00L0b1,r 1Lb1,nb2, r 1Lb2, nMLMbr,r1Lbr,nB,b.0L0MLM0L00,i 1,2, ,r, r r(A)(3)在上半部分找出r個(gè)線性無關(guān)的列向量，設(shè)為j1,j2, , jr列，則j1, j2, ,jr為B列向量組