關于數(shù)學習題課的思考

1、關于高中數(shù)學習題課的思考 任文文摘 要：能不能做好數(shù)學題是判斷學生有沒有學好數(shù)學的重要標準之一。我們經?？吹竭@樣的現(xiàn)象，課堂上老師反復講的習題，學生在考試中仍然不得分。造成這樣的結果,有教師的因素,也有學生自身的因素。通過不斷地觀察和實踐,本文主要針對教師在選習題課,備習題課,上習題課過程中應遵循的原則和需要注意的問題進行了闡述，并配有相關的例題加以說明,使文章有理可循。文章最后對學生的學習方法提出了合理的建議，并強調了反思在學習中的重要性。 關鍵詞：換位思考；思維性；規(guī)范性；針對性；反思背 景：數(shù)學習題是數(shù)學教學的重要內容。這是因為，數(shù)學習題可以使概念完整化，具體化。通過習題教學，可以培養(yǎng)學

2、生綜合分析和抽象概括能力，獲得教和學的反饋信息，從而不斷檢測和改進教學。如今，新一輪基礎教育課程改革正在積極推進，新課程強調對學生數(shù)學能力的培養(yǎng)，而習題課正是通過訓練學生解題鍛煉學生多方面的數(shù)學能力。所以在數(shù)學教學中，上好習題課是至關重要的一個環(huán)節(jié)。但是好多教師們反映上習題課的效率低，雖然在課堂上教師講得抑揚頓挫，學生也配合默契，但是在課后學生再做相關問題時，卻像老虎吃天，無法下手，這種現(xiàn)象被稱為“假繁榮”。經觀察發(fā)現(xiàn)，上課回答問題聲音越大，越應和老師的學生，往往對知識的接受效果很差。所以，教師不應該被課堂氣氛活躍這些表面現(xiàn)象迷惑，課堂“高效”未必就是“有效”，這取決于學生獲取的知識量和學生的

3、思維訓練量。關于習題課的相關文獻研究 在翻閱大量資料及網絡搜索后，筆者發(fā)現(xiàn)與習題課直接相關的著作很少，較多見的是中學一線教師根據自己的教學經驗撰寫的發(fā)表在中學數(shù)學類的雜志上的文章，主要研究集中在具體課例上，以介紹習題課的授課經驗為主。由于大多數(shù)教師談得是自己的經驗及心得體會，內容有些零散。筆者將之前學者的研究成果進行一個系統(tǒng)的總結，并提出了一些合理的建議。1 教師在習題課中要做到以下幾點1.1習題的選取體現(xiàn)教學的目的性目的性亦即針對性，指依據教學目的，又從這個目的出發(fā)來精選習題。一方 面，習題必須配合教材，依據教學大綱，針對基礎知識的掌握和基本技能的培 養(yǎng)，幫助學生深刻地理解和掌握基礎知識；另

4、一方面，習題要針對班級中學生的實際情況，實際問題進行配置。要實現(xiàn)習題的目的性，一般要圍繞三個方面安排： 1.1.1是以使學生牢固掌握基礎知識和熟練基本技能為教學目的 這類習題難度不大，但概念性強。對于學生容易混淆的概念和學生容易不 顧條件而亂用的公式、定理、性質、法則，教師可有意識地設計一些反例，以 加深學生的理解。 如在指數(shù)函數(shù)概念的學習中，要求滿足形式為y=ax(a>0,a1)的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，注意ax的系數(shù)是1。有些函數(shù)貌似是指數(shù)函數(shù)，實際上卻不是，例如函數(shù) y=ax+ka>0,a1,kZ，它的解析式可以等價化歸為y=ak×ax(a>0,a1,kZ),由于ax

5、的系數(shù)ak1,所以不是指數(shù)函數(shù)；而有些函數(shù)看起來不像指數(shù)函數(shù)，實際上卻是，例如y=a-xa>0,a1，它的解析式可以等價化歸為y=1ax，其中1a>0,1a0,滿足指數(shù)函數(shù)的定義。為了讓學生深刻理解指數(shù)函數(shù)的概念，可列出以下函數(shù)來讓學生判斷是否是指數(shù)函數(shù)：（1）y=0.2x (2)y=-2x (3)y=x2 (4)y=23x (5)y=21x (6)y=3x-21.1.2是以熟練掌握某一種重要的數(shù)學方法或某一類數(shù)學專題的解法為教目的的習題課通過這樣的習題課，促使學生的知識轉化為能力，培養(yǎng)和提高學生分析問題和解決問題的能力。這類習題課，常常安排在復習課中，往往對于某種重要的數(shù)學方法，

6、如待定系數(shù)法，數(shù)學歸納法，二次函數(shù)的判別式法等等進行專題訓練。如下面一道例題比較下列各組數(shù)的大?。海?）1.12.1 與 1.12.11 （2）log3.11.1 與 log3.11.11 （3）2.01+2.01 與 2.011+2.011這三個問題的解決方法非常相似，第（1）題通過構造函數(shù)y=ax來解決，第（2）題通過構造函數(shù)y=logax（x>0)來解決，第（3）題通過構造函數(shù)y=x+x(x0)來解決。綜合看，三道小題都是先將代數(shù)問題轉化為函數(shù)問題，再根據對應函數(shù)的單調性來進行判斷，即把它們化歸為函數(shù)的單調性問題。對這類專題進行集中的講解和訓練，可以幫助學生開拓解題思路，提高解題能

7、力，學生以后碰到這類問題就有法可循了。1.1.3是以使學生理解數(shù)學的內在規(guī)律，溝通數(shù)學各部分知識之間的聯(lián)系，提高綜合運用知識分析問題和解決問題的能力。這類習題課的特點是綜合性強，涉及知識面廣，要溝通數(shù)學不同部分的知識和方法，尤其要特別注意代數(shù)，函數(shù)及幾何之間的綜合應用例如這樣一道習題：求函數(shù)y=3+sinx4+2cosx的最大值和最小值解：方法一：y=3+sinx4+2cosx可以化為2y=sinx-3cosx-(-2)以下先求k=sinx-(-3)cosx-(-2)的最大值、最小值，然后分別除以2. 如圖一所示：構造兩個點P-2，-3 ，Qcosx,sinx 這時點Q的軌跡是單位圓x12+x

8、22=1,切線PQ1，PQ2 的斜率就是k的最大值、最小值。 設直線PQ的方程為y1+3=kx1+2，即kx1-y1+2k-3=0 由圓心到直線的距離等于半徑，得2k-3k2+-12=1,k=6±233 所以y的最大值，最小值分別為ymax=12kmax=3+33 ymin=12kmin=3-33 方法二：如圖二所示，構造兩個點，即點P-4，-3和點Q2cosx,sinx,這時y=sinx-32cosx-4=kPQ點Q在橢圓x124+y12=1上設直線PQ的方程為y1+3=kx1+4，即kx1-y1+4k-3=0由直線和橢圓相切的條件A2a2+B2b2=C2，得： 4k2+1=4k-

9、32 解得：k=3±33， 所以函數(shù)的最大值和最小值分別為3+33和3-33這兩種方法都是將函數(shù)問題轉化為幾何問題，再將幾何問題轉化為代數(shù)問題。在方法一中，把問題轉化成了直線與圓相切的問題，其中對y與k的處理，技巧性極強。在方法二中，使用了直線Ax+By+C=0A2+B20與橢圓 x2a2+y2b2=1a>b>0相切的條件是A2a2+B2b2=C2 這道題的兩種解法，靈活應用了三角函數(shù)，斜率，解析幾何等知識，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想和轉化思想。 1.2上習題課前要認真?zhèn)湔n 新授課的備課已為大家所重視，但往往會忽視習題課的備課。有時會看到，由于準備不充分在習題課上出現(xiàn)了一些不應當

10、產生的現(xiàn)象?；蚴穷}目缺少條件而解不下去；或是數(shù)據不當而使解題繁瑣；或是解題雜亂，思路不清，甚至中途推到重講等等。這樣不僅會浪費學生的時間，降低習題課質量，還會引起學生對數(shù)學習題課的排斥和厭煩。 所以，習題課與新授課一樣，要認真?zhèn)湔n，精心設計課堂教學，是上好習題課的根本保證。1.2.1教師要學會換位思考新課標提倡教師要與學生進行換位思考?！皳Q位思考”就是換個角度思考問題，進而解決問題。這種思維方式有很大的益處，教師一旦用“學生的眼光”去看待問題，用“學生的大腦”去思考問題，那么與學生的溝通將變得容易。習題課是新課的拓展和延伸，學生剛學習了新課，對新概念的理解還不深入，對應用新知識解決相關問題還不

11、熟練。有時候教師覺得簡單的習題對于學生來說很難，教師認為講得很透徹的問題對于學生來說可能還無法理解。所以，教師要及時了解學情，如：要解決此類問題，學生都學過哪些知識？這些知識對解決問題有什么幫助？解決問題的方法和步驟應向學生已有的知識靠攏。有時候，同一道習題，對于處在不同階段的學生，可能要采用不同的方法，看下面一道例題：例1：已知一元二次函數(shù)，求自變量的取值范圍，使得函數(shù)圖象在軸下方 對于這道題，解決方法有很多種，但是采用何種方法講解，就要看面對的學生群體處于什么樣的水平。對于高一年級的學生，剛學過一元二次函數(shù)圖象及其性質，所以應當用圖象法解決，即用“五點法”畫出函數(shù)圖象，再根據函數(shù)圖象，判斷

12、的取值范圍。這種方法不僅隨時鞏固所學新內容，向學生灌輸先畫出函數(shù)圖象再研究其性質的基本方法，還培養(yǎng)了學生數(shù)形結合的思想。 但對于高三學生，用上述方法略顯繁瑣，可用簡潔的方法。高三的學生已學習過一元二次函數(shù)與對應方程的關系，一元二次不等式的計算，所以用下述方法更簡單：解：令 則 故當?shù)娜≈捣秶鸀闀r，函數(shù)圖象在軸下方。1.2.2要認真考慮習題課的教學方法對于所選題目及其它有關習題，教師在備課時要認真解過，比較各種解法，尋求最優(yōu)解。不但要研究習題解法，而且要認真研究例題的講授法。比如：如何啟發(fā)學生積極思維？如何在解題過程中做到層層剖析，步步誘導，條理分明，推理嚴謹，書寫合理？哪些地方該詳講，哪些地方

13、可略講？講練如何結合等等問題。下面舉出一節(jié)習題課備課的實例：在教完柱體，椎體的體積（高中課本第二冊）以后，為了熟悉體積公式，進一步培養(yǎng)學生空間想象能力，安排了一節(jié)習題課，著重解決已知柱、椎體的側面展開圖來求體積的問題。備課精選例題時，對課本上提供的習題認真解過，并經過挑選，整理，加工和延伸，確定才用下面幾題： 例一：已知圓柱體的側面展開圖是邊長為a的正方形，求這個圓柱的體積（課本76頁第10題）。把“圓柱”改為正三棱柱，正四棱柱，正六棱柱，再由學生分別求它們的體積。然后比較上述所得到的體積的大小關系，得出側面積相等的等 高正棱柱中，棱數(shù)越多，體積越大，但都小于等高圓柱的體積。例二：邊長為a的正

14、方形薄鐵板，以它的一個頂點為圓心畫一個最大的扇形，用這扇形圍成一個圓錐筒，求它的容積（課本79頁的例題經加工而得來，即把原例的數(shù)字換成字母）。例三：把邊長為a的正方形截去四角的相等的小正方形，然后折成一個無蓋的長方體容器，若小正方形的邊長為16a，求這容器的體積。由學生分析，解題后提出：當小正方形的邊長變化時，長方體的容積將如何變化？為以后利用導數(shù)來求最大值和最小值做鋪墊。例四：把邊長為a的正方形截去如圖的陰影部分后做成一個棱錐，求它的容積。備課時在考慮習題課的教學方法時，由于柱、錐體積公式并不復雜，所以可以采用講講練練師生共同活動的教學方法。在具體教授法中抓住兩條：一是求體積方法，先寫出體積

15、公式，然后“要什么，找什么”，求出公式中未知字母的量數(shù)。二是分析清楚側面展開圖圍成幾何體時，柱、錐的度量元素反映了展開圖中得什么量以及相互之間的關系。1.3教師在上習題課應注意的問題1.3.1講解過程要思維性和緊湊性相結合解題信息來源于題目的已知與結論，已知提供解題條件，結論提供解題方向。習題課上學生思路是否清晰，取決于教師能否教會學生剖析問題。教師在習題教學中，要講清楚為什么這樣思考？依據在哪里？因為我們最終目的是要培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力，不是只解決這樣一個問題。如果忽視剖析問題的過程，那么換一個題目，學生可能又無從下手。因此，教師在習題教學中一定要體現(xiàn)解題的思維過程。例2：如圖，

16、已知平面兩兩相交，且， ， 直線與直線不平行。 證明：直線相交于一點。 對于此類證明題，教師一定要細致地剖析其條件與結論。如：要證明 三條直線交于一點，則要證明兩個問題：（1）其中兩條直線交于一點；（2） 第三條直線也通過這個交點。對于問題（1），兩條直線選為直線，由條件知不平行，要使交于一點，則要證明直線在同一個平面上（依據：兩條直線在同一個平面上，它們要么相交，要么平行）故我們分析出解決問題的第一步，即證明直線在同一個平面上。證明過程如下： 證明： 直線在同一個平面上，又不平行 相交，設其交點為點P 同理： 又 故三條直線交于一點1.3.2解題方法要具有常規(guī)性 一個習題往往有很多種解法，有

17、通解，巧解。在習題教學中，思路新穎的解法會給學生帶來一定的吸引力，對激發(fā)學生興趣有一定的好處。但是，在習題教學中，不能一味地追求或過分強調習題解答的新，奇，巧，而忽視對常規(guī)題與常規(guī)解法的訓練。習題的常規(guī)解法和基本解法，能更好地突出教材和課程標準所要求的數(shù)學思想方法。所以，通解更容易合乎常規(guī)邏輯，更容易讓學生接受。 例如：有位教師在講授高三數(shù)學的一節(jié)復習課時，講授了如下一道傳統(tǒng)題目： 已知：，證明： 有的老師說：由容易想到，于是有下面證法： 證明：令，則 又 但是，這個方法對于大多數(shù)學生來說是不易想到的，教師應該向學生介紹這道習題的基本解法不等式法，這樣效果會更好。 證明：由不等式可得：1.3.

18、3.要體現(xiàn)總結性，將習題內容進行歸類 我在教學過程中發(fā)現(xiàn)，好多學生的數(shù)學記錄本上寫得滿滿的，但是成績總是提不上去。經觀察發(fā)現(xiàn)，這些學生不善于反思所學知識，知識得不到歸納和分類。所以，在教學過程中，教師一定要培養(yǎng)學生及時總結和反思的習慣，講完一種方法后，要及時歸納總結，總結思維過程，總結解題步驟，總結方法適用范圍等等。這樣，學生學到的知識才能及時得到歸類，學生接受的知識才是條理清晰的。如：在講解函數(shù)內容時，有這樣一個問題：例4.求函數(shù)在上的最大值，最小值。 解： 教師在講完這道題后，應該向學生總結：求一元二次函數(shù)在區(qū)間上的最值時，處理方法是：先判斷函數(shù)圖象開口方向，再判斷對稱軸是否穿過區(qū)間，最后

19、判斷區(qū)間邊界距對稱軸的距離?？偨Y：（1）若開口向上，對稱軸穿過區(qū)間，則在對稱軸上取到最小值，自 變量距對稱軸越遠，函數(shù)值越大。 （2）若開口向下，對稱軸穿過區(qū)間，則在對稱軸上取到最大值，自變 量距對稱軸越遠，函數(shù)值越小。1.3.4體現(xiàn)解題過程的規(guī)范性 有很多學生，雖然他們清楚如何解決這個習題，但是表達得毫無頭緒，步驟亂而雜。并且在解題過程中，出現(xiàn)很多數(shù)學語言或者數(shù)學符號的錯誤，導致學生因為忽略解題步驟的規(guī)范性而丟失分數(shù)。因此教師在教學過程中，教會學生解題時要呈現(xiàn)出有序的解題步驟，要有準確而嚴謹?shù)臄?shù)學表達符號。如：在學習函數(shù)的單調性時，教師為了書寫方便，增函數(shù)用來表示，減函數(shù)用來表示。所以在作業(yè)

20、中，學生也模仿教師的寫法。但這種寫法是錯誤的，在數(shù)學中，函數(shù)的增減性要用語言來表述。在期中考試中，出現(xiàn)了這樣一道題，引起了我的注意例5.已知對數(shù)函數(shù)，求該函數(shù)的定義域。本來這道題很簡單，但好多同學卻被扣掉3分，因為他們給得是如下解題步驟。解：由對數(shù)函數(shù)的性質，得： 而滿分解答過程是：解：由對數(shù)函數(shù)的性質，得： 故該函數(shù)的定義域是 比較以上兩種解答過程，前一種解法僅比后一種解法少一個步驟“故該函 數(shù)的定義域是”，很多同學覺得這個是可有可無的。其實并非如此，題目要求我們求定義域，那我們就必須把x的取值范圍表示成區(qū)域的形式，即用區(qū)間或集合來表示。而第一種解法則顯然是答非所問。 所以，培養(yǎng)學生養(yǎng)成規(guī)范

21、作答的習慣，就要求數(shù)學教師在平時的課堂教學中寫例題解答過程要有規(guī)范性。1.3.5.講題過程中要及時對學生進行考察 前面也說過，習題課上會出現(xiàn)“假繁榮”現(xiàn)象。所以教師講題過程中，要隨時觀察學生對知識的掌握程度，考察的方法有很多種：如觀察法，觀察學生的表情，如果他們的表情是困惑的，說明他們對這個環(huán)節(jié)的理解還存在問題；提問法，在講題過程中，適當?shù)貙W生進行提問，可以提問概念知識，也可以問他們對某個問題的想法，不僅對知識進行考核，還可以提高學生的注意力，有效提高課堂紀律；練習法，讓學生進行適當?shù)鼐毩?，教師監(jiān)督學生的完成狀況，及時發(fā)現(xiàn)學生做題過程中的遺漏或錯誤。雖然教師在教學過程中起了主導作用，但學生才

22、是學習的主體，只有學生提高主觀能動性，養(yǎng)成積極良好的學習習慣，才能使得教學效果“事半功倍”。學生在學習過程中，不光要勤學，多練，最重要的就是學會反思。2.學生在學習過程中要學會反思2.1高中生數(shù)學反思的現(xiàn)狀古人云：學而不思則罔。學生如果不知道反思，就會永遠讀死書。我們在教學過程中經常發(fā)現(xiàn)有的學生上課積極發(fā)言,即使課后不按時完成作業(yè)，成績依然很好。然而有些同學上課認真踏實，課后把作業(yè)做得整整齊齊，成績卻不能提升。大多數(shù)人認為這是因為學生思維的差異，其實主要是學習方式的不當。積極發(fā)言的同學比較善于反思，在老師講授知識的時候，不斷在頭腦中進行自我提問，自我反思。比如：為什么要這樣做？還可以怎樣做等等

23、。這有助于他們對所學內容有更深刻的理解和把握，促進知識更好地內化。高中學生的反思性數(shù)學學習的調查結果： 1. 你是否有科學的數(shù)學學習方法? 有 沒找到 沒有 31.9% 47.5% 20.6%2. 你建立了數(shù)學錯題本嗎？建立了 正準備建立 從未想過 15.6% 36.3% 48.1%3. 你在學完數(shù)學新課后能主動總結反思嗎？ 能，始終堅持 偶爾能 從來不 16.1% 13.7% 70.2%4. 你解完一道數(shù)學習題后 及時回顧解題方法技巧 丟在一邊不過問 35.6% 64.4%5. 你在解題時會尋求不同的方法 做出一種即可以 14.1% 85.9%6你是否覺得聽懂了老師的講解，自己卻總是做不出來

24、是 有時是 不是26.9% 46.9% 26.2%7. 你會對所學的知識進行方法總結嗎？ 會 不會 26.1% 73.9%8. 你覺得在數(shù)學學習過程中自己欠缺哪方面的能力？ 分析能力 創(chuàng)新能力 反思能力 解決能力 19.8% 30.2% 35.9% 14.1% 9. 在數(shù)學學習時，你遇到難題時是如何處理的？ 反復思考，知道弄懂為止 馬上詢問別人 放棄這道題 312% 45.0% 23.8%2.2數(shù)據結果分析上述調查結果表明：有70.2%的學生沒有主動反思的習慣，學生急于知道問題的答案，而不再尋求分析思路和解題方法。 第6,7，8題的調查結果表明35.9%的學生反思能力較差，學生的解題思路，方法

25、都是教師課堂上列舉的，“依葫蘆畫瓢”，一旦出現(xiàn)新類型的題目便無計可施了。 第9題的調查結果表明88.8%的學生反思毅力不夠強。學習上遇到困難的時候，很少有學生會主動通過查閱資料，教學參考等自主學習方式，普遍缺乏自主學習的意識和探究學習的精神。 2.3 學生不善于反思的原因分析 造成學生在數(shù)學學習中不善于反思主要有四個原因：1. 沒有質疑反思的習慣，老師說什么就是什么；2.一般需要反思的地方是知識點較難，學生容易產生困惑和不解的問題。而面對這些復雜的問題時，學生往往會知難而退。比如：試卷發(fā)下來后，學生們最不喜歡看那些打錯的地方，這就導致學生將從前不懂的地方忽略，思維就永遠得不到提升；3.學生做過題之后，往往不喜歡回過頭再看一遍，他們覺得這個過程枯燥乏味；4.學生養(yǎng)成了惰性，只做自己會做的題。畢竟腦力勞動是個苦力活，除了個別同學特別感興趣之外，大多數(shù)學生覺得老師講出來的要比自己想出來更簡單。所以，漸漸地，學生在思維上產生了惰性。2.3 提高學生反思的策略2