向量與三角形四心的一些結(jié)論

1、時間：二O二一年七月二十九日【一些結(jié)論】：以下皆是向量之巴公井開創(chuàng)作時間：二O二一年七月二十九日1 若 P 是 ABC的重心 PA+PB+PC=02 若 P 是 ABC的垂心 PA?PB=PB?PC=PA?PCF)3若P是4ABC的內(nèi)心aPA+bPB+cPC=0(abc是三邊)4若P是 ABC的外心|PA|2=|PB|2=|PC|2 ( AP就暗示 AP向量 |AP|就是它的模)5 AP=X (AB/|AB|+AC/|AC|),入 6 0,+ )則直線 AP 經(jīng)過4ABC 內(nèi)心 6 AP=X ( AB/|AB|cosB+AC/|AC |cosC),入 6 0,+ )經(jīng)過垂 心7 AP=X( A

2、B/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),入 6 0,+ “) 或AP=X (AB+AC),入6 0,+ 9 經(jīng)過重心8.若aOA=bOB+cOCU 0為/A的旁心，/A及/ B,C的外角平分線 的交點【以下是一些結(jié)論的有關(guān)證明】1.O是三角形內(nèi)心的充要條件是 aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向 量充沛性：已知 aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，延長 CO交 AB于 D,根據(jù)向量加法得：OA=OD+DA,OB=OD+DB人已知得：a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0因為 OD與 OC共線，所以可設(shè) OD=kOC, 上式可化為(ka+kb+c) OC+( aDA

3、+bDB)=0 向量，向量DA與DB共線， 向量OC與向量 DA、 DB不共線，所以只能有：時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日ka+kb+c=0,aDA+bDB=0 向量，由 aDA+bDB=0量可知：DA與 DB 的 長度之比為b/a,所以CD為/ACB的平分線，同理可證其它的兩條 也是角平分線.需要性：已知 O是三角形內(nèi)心，設(shè)BO與AC相交于 E,CO 與 AB相交于 F, vo 是內(nèi)心b/a=AF/BF,c/a=AE/CE 過 A 作 CO的平行線，與BO的延長線相交于 N,過A作BO的平行線，與CO 的延長線相交于M,所以四邊形 OMAN平行四邊形根據(jù)平行四邊形法

4、則，得向量 OA狗量 OM向量 ON=(OM/CO)向量CO+(ON/BO)恂 量 BO=(AE/CE)*向量 CO+(AF/BF)* 向量 BO=(c/a)* 向量 CO+(b/a)* 向量 BO=a*向量 OA=b響量 BO+c*向量 CO=a*向量 OA+b*向量 OB+c*向量OC軻量02.已知 ABC為斜三角形，且O是4ABC所在 平面上的一個定點，動點P滿足向量 OP=OAK (AB/|AB| A 2*sin2B)+AC/(|AC| A 2*sin2C), 求 P點軌跡過三角形的垂心 OP=OAA (AB/|AB| a 2*sin2B)+AC/(|AC| A 2*sin2C),OP

5、-OA=入 (AB/|AB| A 2*sin2B)+AC/(|AC| A 2*sin2C),AP=入(AB /|AB| A 2*sin2B)+AC /(|AC| A 2*sin2C),AP?BC=入(AB?BC /|AB| A 2*sin2B)+AC?BC /(|AC| A 2*sin2C),AP?BC= 入 |AB|?|BC|cos(180-B) / (|AB| A 2*sin2B) +|AC|?|BC|cosC/(|AC| A 2*sin2C),AP?BC=入- |AB|?|BC| cos B/ (|AB| A 2*2sinB cos B) +|AC|?|BC| cosC/(|AC|2*2

6、sinCcosC),AP?BC=A -|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC ),根 據(jù)正弦 定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB, 所 以 |AB|*sinB=|AC|*sinC -|BC|/(|AB|*2sinB)時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日十|BC|/(|AC|*2sinC )=0, 即AP?BC=0,P點軌跡過三角形的垂心 3.OP=OA+ (AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC)OROA以(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC)AP=入(AB/(|AB|sinB)+AC/(|A

7、C|sinC)AP 與 AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC 共線根據(jù) 正弦定 理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,所以 |AB|sinB=|AC|sinC,所以 AP 與AB+AC共線AB+ACii BC中點D,所以P點的軌跡也過中點 D,.點P 過三角形重心.4.OP=OA+入(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)OP=OA+入(ABcosC/|AB |+ACcosB/|AC|)AP=入(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)AP?BC=入(AB?B C cosC/|AB|+AC?BC cosB/|AC|)=入(|AB|?|BC|cos(180-B)cosC/|AB|+|AC|?|BC|cosCcosB/|AC|=入-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB=0, 所以向量 AP與向量 BC垂直,P 點 的軌跡過垂心.5.OP=OA+入(AB/|AB|+AC/|AC|)OP=OA + (AB/|AB|+AC/|AC|)OPOA=入(AB/|AB|+AC/|AC|)AP=入(AB/|AB|+AC/|AC|)AB/|AB|、AC/|AC|各為AR A