實(shí)數(shù)完備性基本定理的相互證明

1、實(shí)數(shù)完備性基本定理的相互證明（30個(gè)）.確界原理1 .確界原理證明單調(diào)有界定理證不妨設(shè)an為有上界的單調(diào)遞增數(shù)列.由確界原理，數(shù)列 an有上確界，令a sup an ,下面證明：lim an a. n對(duì)任意的0,由上確界的定義，存在數(shù)列&中某一項(xiàng)aN,使得：aaN .由于an單調(diào)遞增，故對(duì)任意的n N ,有：a an aN .另一方面，由于a是an的一個(gè)上界，故對(duì)任意的正整數(shù)n都有：an a a .所以任意的n N ,有：aan a ，即：an a .由極限的定義，lim an a .同理可證單調(diào)遞減有下界的數(shù)列必有極限，且其極限即為它的下確界n2 .確界原理證明區(qū)間套定理證明：設(shè) a

2、n,bn是一個(gè)閉區(qū)間套.令數(shù)集San .由于任一 bn都是數(shù)列an的上界，由確界原理，數(shù)集 S有上確界，設(shè)supS .下證 屬于每個(gè)閉區(qū)間an,bn n 1,2,3, HI顯然，ann 1,2,3, M ,故只需證明對(duì)任意正整數(shù) n ,都有bn.事實(shí)上，對(duì)任意正整數(shù) n, bn都是S的上界，而上確界是最小上界，故必有bn.所以存在實(shí)數(shù)，使得an,bn n 1,2,3, |下證唯一性，假設(shè)還有另外一點(diǎn)，也滿足an,bn n 1,2,3,|”.則bn an0 n，故有:.唯一性得證.3 .確界原理證明有限覆蓋定理證明：欲證閉區(qū)間 a,b的任一開覆蓋H都有有限的子覆蓋.令S x| a, x能被H中有

3、限個(gè)開區(qū)間覆蓋，a x b顯然S有上界.又H覆蓋閉區(qū)間a,b ,所以，存在一個(gè)開區(qū)間， H ,覆蓋住了 a.取x a,，則a,x顯然能被H中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋（1個(gè)），x S,從而S非空.由確界原理，令supS.先證明 b.用反證法，若b,則a b.由H覆蓋閉區(qū)間a,b , 一定存在開區(qū)間1,1 H ,覆蓋住了 .取x1,x2，使：1 x1x21,x1 S,則a, x1能被H中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋，把1, 1加進(jìn)去，就得到a, x2也能被H中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋，即 x2 S,這與 supS矛盾，故最后證明b S.設(shè)開區(qū)間2, 2 H ,覆蓋住了 b .由bsupS,故存在y使得：2 y b且y S.則

4、a,y能被H中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋，把2, 2加進(jìn)去，就得到a,b也能被H中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋.4.確界原理證明聚點(diǎn)定理證明：設(shè)S有界無限點(diǎn)集，則由確界原理令inf S.是S的一個(gè)聚點(diǎn)，則命題已經(jīng)成立，下面設(shè)不是S的聚點(diǎn).x| ,x中只包含S中有限個(gè)元素.因?yàn)?不是S的聚點(diǎn)，所以存在0 0,使得o,0只包含S中有限個(gè)數(shù)，故0 T ,從而T非空.又S有界,所以S的所有上界就是T的上界，故T有上確界，令 supT .卜面證明是S的一個(gè)聚點(diǎn).對(duì)任意的0,包含S中無窮多個(gè)元素.由上確界的定義，存在中只包含S中有限多個(gè)元素.從而我們得知中包含了 S中無窮多個(gè)元素，由聚點(diǎn)的定義,是S的一個(gè)聚點(diǎn).5.確界原理證明

5、Cauchy收斂準(zhǔn)則 證明：必要性：若 lim xnnx,則對(duì)任意的0 ,存在正整數(shù) N ,對(duì)一切n-.于是對(duì)一切m, n N ,有2xmxn充分性:現(xiàn)假設(shè)xn令數(shù)集Sxmxxnx滿足對(duì)任意的0 ,存在N ,對(duì)一切正整數(shù) n, mN ,有 xnxmx| xn中只有有限項(xiàng)小于x或xnx, n ,明顯數(shù)列xn的下界都屬于S,并且xn的上界就是S的上界.由確界存在定理，令supS.對(duì)條件給定的0和N ,包含xn中無窮多項(xiàng).由上確界的定義，存在中只包含S中有限多個(gè)元素.從而我們得知中包含了S中無窮多個(gè)元素，設(shè)x,k 1,2,3,|則對(duì)任意正整數(shù)n N，總存在某個(gè)故有:xnxnxnk.單調(diào)有界定理xnk

6、2 .從而 lim xnn6 .單調(diào)有界定理證明確界定理證明：我們不妨證明非空有上界的數(shù)集S必有上確界.設(shè)Tr |r為數(shù)集S的有理數(shù)上界.明顯T是一個(gè)可數(shù)集，所以假設(shè)：Tr1,r2,|,rn,| .令xn min ri .則得單調(diào)遞減有下界的數(shù)列，由單調(diào)有界定理得，令lim xn先證 是上界.任取S S ,有S rn Xn ,由極限的保序性，S .其次對(duì)于任意的0,取一個(gè)有理數(shù)r ,它明顯不是s的上界，否則lim Xn r產(chǎn)生矛盾！故存在s S,使得s ,我們證明了是數(shù)集S上確界.n n7 .單調(diào)有界定理證明區(qū)間套定理若an,bn是一個(gè)區(qū)間套，則an為單調(diào)遞增有上界的數(shù)列，由單調(diào)有界定理，令l

7、im an,并且容易得到nann 1,2.3, III .同理，單調(diào)遞減有下界的數(shù)列bn也有極限，并按區(qū)間套的條件有：|im bn |im anbn an0,并且容易得到 bnn 1,2,3,1“ .所以 an,bn n 1,2,3, KJ下證唯一，性，假設(shè)還有另外一點(diǎn)，也滿足an,bn n 1,2,3,|則bn an 0 n，故有：.唯一性得證.8 .單調(diào)有界定理證明有限覆蓋定理設(shè)T r | a,r可以被H的開區(qū)間有限開覆蓋，且 r Q,r b .容易得到T中包含無窮多個(gè)元素，并且T是 一個(gè)可數(shù)集，所以假設(shè)：T1,2,|,片,|.令Xnmaxri.則得單調(diào)遞增有上界的數(shù)列，由單調(diào)有界定理得，

8、令 lim xn. n先證明 b.用反證法，若b,則a b.由H覆蓋閉區(qū)間a,b , 一定存在開區(qū)間1,1 H ,覆蓋住了 .取x rj,y,使：1 xi 0 y 1，則a, x1能被H中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋，把1, 1加進(jìn)去，就得到a, y也能被H中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋，即 y S,這與supS矛盾，故 b.最后證明b S.設(shè)開區(qū)間2, 2 H ,覆蓋住了 b.由b supS,故存在xk n使得：2 xk n b.則a,rl能被H中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋，把 2, 2加進(jìn)去，就得到 a,b也能被H中有限個(gè)開區(qū)間覆蓋.9 .單調(diào)有界定理證明聚點(diǎn)定理證明：設(shè)S是一有界無限點(diǎn)集，在 S中選取一個(gè)單調(diào) an ,下

9、證數(shù)列an有聚點(diǎn).(1)如果在 an的任意一項(xiàng)之后，總存在最大的項(xiàng)，設(shè)a1后的最大項(xiàng)是a、，a&后的最大項(xiàng)是an2 ,且顯然aann2n ;一般地，將a*后的最大項(xiàng)記為ank1,則有：anank 1,2,3,| .這樣，就得2,1k 1k到了 an的一個(gè)單調(diào)遞減子列 ank .(2)如果(1)不成立 則從某一項(xiàng)開始，任何一項(xiàng)都不是最大的，不妨設(shè)從第一項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不是最大項(xiàng)于是，取an1 a1，因/不是最大項(xiàng)，所以必存在另一項(xiàng) an an n2 n又因?yàn)閍n2也不是最大項(xiàng)，所 以又有：an3 an2 n31，這樣一直做下去，就得到了 an的一個(gè)單調(diào)遞增子列 ank .綜上所述，總可以在

10、S中可以選取一個(gè)單調(diào)數(shù)列an ,利用單調(diào)有界定理，an收斂，極限就是S的一個(gè)聚1 knk點(diǎn).10 .單調(diào)有界定理證明 Cauchy收斂準(zhǔn)則 證明：必要性： 若lim xn x ,則對(duì)任意的 0 ,存在正整數(shù) N ,對(duì)一切n N ,有 x 一.于是對(duì)一切m, n N ,有n2Xm XnXm X Xn X -.2 2充分性：現(xiàn)假設(shè)Xn滿足對(duì)任意的0,存在N ,對(duì)一切正整數(shù)n,m N ,有Xn Xm.先證明柯西數(shù)列是有界的.取。1 ,故存在某個(gè)正整數(shù) N0 ,對(duì)一切n ,有Xn xN0 1 1 ,即anaN° 1 1.故xn有界.lim xk參考9的做法，可知數(shù)列 不有一個(gè)單調(diào)子列 an

11、，由單調(diào)有界定理，an收斂，令kk則對(duì)任意正整數(shù)n N，總存在某個(gè)nk nk N ,使得xnk,故有:XnXnXnkXnk2 .從而 lim xnn三.區(qū)間套定理11 .區(qū)間套定理證明確界原理證明：僅證明非空有上界的數(shù)集 S必有上確界取一個(gè)閉區(qū)間 a,b ,使得a,b包含S中的元素，并且b為S的上界.將閉區(qū)間a,b等分為兩個(gè)閉區(qū)間a,ab與ab,b .若ab為數(shù)集S的上界，則取a1ma,-ab22212否則取a,"ab,b再將閉區(qū)間a1, h等分為兩個(gè)閉區(qū)間a1,a-b122a-b1,b1 .若 里為數(shù)集S的上界，則取 22a2, ba1,bia1bi,b1.不斷進(jìn)行下去，這樣得到了

12、一個(gè)閉區(qū)間套an,bn由區(qū)間套定理的得存在屬于所有的閉區(qū)間an,bn n 1,2,3,m 并且每個(gè)閉區(qū)間an, bn都包含S中的元素，并且右端點(diǎn) bn為S的上界.由于對(duì)任意s S,有s bn,所有由極限的保序性，s lim bn,從而 是數(shù)集S的上界.n最后，對(duì)于任意 0,存在n,使得0 bn an .由閉區(qū)間套的選取，an,bn包含了 S中某個(gè)元素s,從而有s an bn.故 是數(shù)集S的上確界.12 .區(qū)間套定理證明單調(diào)有界定理設(shè)xn是單調(diào)有界數(shù)列，不妨設(shè)其為單調(diào)遞增且有上界取一個(gè)閉區(qū)間 a,b ,使得a,b包含xn中的項(xiàng)，并且b為xn的上界.將閉區(qū)間a,b等分為兩個(gè)閉區(qū)間a,ab與b,b

13、.若a-b為xn的上界，則取 a11bla,-ab ,2222否則取闞心ab,b .2再將閉區(qū)間anb等分為兩個(gè)閉區(qū)間a1,-a-bl與a2,b1 .若久6為xn的上界，則取222a2,b2a1,a-b1，否則取a2,b2乙6,6.不斷進(jìn)行下去，這樣得到了一個(gè)閉區(qū)間套an,bn .22由區(qū)間套定理的得存在屬于所有的閉區(qū)間an,bn n 1,2,3,1“并且每個(gè)閉區(qū)間an,bn者B包含xn中的項(xiàng)，并且右端點(diǎn)bn為xn的上界.下面證明lim xn.n對(duì)任意的0,存在n,使得0bnan.由閉區(qū)間套的選取，an,bn包含了xn中某一項(xiàng)xn,從而有xN an bn由于xn單調(diào)遞增，故對(duì)任意的n N ,有

14、：xN xn.又 bn an,故有xn，即xn.13 .區(qū)間套定理證明有限覆蓋定理若閉區(qū)間a,b可以被H中的開區(qū)間無限開覆蓋.下面證明閉區(qū)間 a,b可以被H有限開覆蓋.用反證法，若閉區(qū)間a, b不能被H有限開覆蓋.將閉區(qū)間a,b等分為兩個(gè)閉區(qū)間a,ab與ab,b .其中必有一個(gè)區(qū)間不能被H有限開覆蓋，設(shè)它為ai,bi ;再將閉區(qū)間a11bl等分為兩個(gè)閉區(qū)間 a1,久立 與 江邑,b1 .其中必有一個(gè)區(qū)間不能被 H有限開覆蓋，設(shè) 22它為a2,b2 .不斷進(jìn)行下去，這樣得到了一個(gè)閉區(qū)間套an,bn .由區(qū)間套定理的得存在屬于所有的閉區(qū)間an,bn n 1,2,31“.顯然 a,b ,考慮H中覆蓋

15、 的開區(qū)間,取0 min ,.由于lim an lim bn，所以存在N ,對(duì)一切正整數(shù)n N ,有an, bn，故此時(shí)nnIIan,bnU ;,.從而小,bn n N可以被H中的一個(gè)開區(qū)間 ， 覆蓋，產(chǎn)生矛盾！故假設(shè)不成立，即I區(qū)間 a,b可以被H有限開覆蓋.14 .區(qū)間套定理證明聚點(diǎn)定理證明：已知點(diǎn)集S是有界無限點(diǎn)集.設(shè)S a,b .將閉區(qū)間a,b等分為兩個(gè)閉區(qū)間a<ab與ab,b .其中必有一個(gè)區(qū)間包含了點(diǎn)集S中無窮多個(gè)元素，22設(shè)它為 a1,b1 ；再將閉區(qū)間a1,b1等分為兩個(gè)閉區(qū)間a11a-b1與a-b11b1 .其中必有一個(gè)區(qū)間包含了點(diǎn)集S中無窮多個(gè)22元素，設(shè)它為a2,b

16、2 .不斷進(jìn)行下去，這樣得到了一個(gè)閉區(qū)間套an,bn ,每個(gè)閉區(qū)間包含了點(diǎn)集 S中無窮多個(gè)元素.由區(qū)間套定理的得存在屬于所有的閉區(qū)間an,bn n 1,2,3“.下證 是點(diǎn)集S的一個(gè)聚點(diǎn).因?yàn)閘im an lim bn ,故對(duì)任意的0,必定存在一個(gè)N ,對(duì)一切正整數(shù)n N ,有3, bn,nn從而an,bnU ； n N .又每個(gè)閉區(qū)間 an,bn包含了點(diǎn)集S中無窮多個(gè)元素，故U ;包含了點(diǎn)集S中無窮多個(gè)元素.由聚點(diǎn)的定義，是點(diǎn)集S的一個(gè)聚點(diǎn).15.區(qū)間套定理證明Cauchy收斂準(zhǔn)則必要性：若lim xn x ,則對(duì)任意的0 ,存在正整數(shù) N ,對(duì)一切n N ,有xn x 一 .于是對(duì)一切m,

17、 n N ,有n2xm xnxm x xn x 一 一2 2充分性：現(xiàn)假設(shè)xn滿足對(duì)任意的0,存在N ,對(duì)一切正整數(shù)n, m N ,有xn xm.先證明柯西數(shù)列是有界的.取0 1 ,故存在某個(gè)正整數(shù) No,對(duì)一切n ,有Xn Xn° 11,即anaN0 11.故xn有界.取一個(gè)閉區(qū)間a,b ,使得a,b包含所有xn中的項(xiàng).a b , a b將閉區(qū)間a,b等分為兩個(gè)閉區(qū)間 a, 與 ,b .其中必有一個(gè)區(qū)間包含了xn中無窮多項(xiàng)，設(shè)它為22即匕；再將閉區(qū)間a11bl等分為兩個(gè)閉區(qū)間a，亙?nèi)fb1與 包”，4 .其中必有一個(gè)區(qū)間包含了xn中無窮多項(xiàng)，設(shè)它為a2,b2.不斷進(jìn)行下去，這樣得到了

18、一個(gè)閉區(qū)間套an,bn,并且每個(gè)閉區(qū)間an,bn都包含xn中無窮多項(xiàng).由區(qū)間套定理的得存在屬于所有的閉區(qū)間 an,bn n 1,2,3，lll現(xiàn)在取一個(gè)子列xnk,滿足xnk4也 k 1,2,3“.因?yàn)閘jmanlim bn和夾逼定理，lim xnk.則對(duì)任意正整數(shù)n N,總存在某個(gè)nk nk N ,使得xnk，故有：xnxn xnkxnk2 - 從而，m xn四.有限覆蓋定理16.有限覆蓋定理證明確界原理證明：不妨設(shè)S為非空有上界的數(shù)集，我們證明S有上確界.設(shè)b為S的一個(gè)上界，下面用反證法來證明S一定存在上確界.假設(shè)S不存在上確界，取a S.對(duì)任一 x a,b ,依下述方法確定一個(gè)相應(yīng)的鄰域

19、（開區(qū)間）U U x; xx x,x x .xxxx（1）若x不是S的上界，則至少存在一點(diǎn) x S,使x x,這時(shí)取x x x. （2）若x是S的上界，由假設(shè)S不存在上確界，故有x 0,使得xx,x中不包含S中的點(diǎn).此時(shí)取Uxxx, xx ,可知它也不包含S中的點(diǎn).于是我們得到了 a,b的一個(gè)開覆蓋：H Ux x x,x x |x a,bn根據(jù)有限覆蓋定理，a, b可以被H中有限個(gè)開區(qū)間 U 4 覆蓋.個(gè)i 1很明顯（1）的開區(qū)間右端點(diǎn)屬于 S, （2）的開區(qū)間中不包含 S中的點(diǎn).顯然a所屬的開區(qū)間是屬于（1）的, b所屬的開區(qū)間是屬于（2）的，所以至少有一個(gè)（1）中的開區(qū)間與某個(gè)（2）中的開

20、區(qū)間相交，這是不可能 的.17 .有限覆蓋定理證明單調(diào)有界定理 證明：設(shè)xn是單調(diào)有界數(shù)列，不妨設(shè)其為單調(diào)遞增且有上界.任取b為xn的一個(gè)上界以及 xn中某項(xiàng),個(gè)相應(yīng)的鄰域（開區(qū)間）構(gòu)造出閉區(qū)間xt,b ,對(duì)任意的x xt,b ,依下述方法確定UxU x; x x x,x x XX X(1)(2)若X是的上界，由假設(shè) Xn發(fā)散，故不會(huì)收斂到X.即有存在某個(gè)0 0 ,對(duì)任何正整數(shù)N ,存在n N ,使得xnU x; 0x 0,X.由于Xn遞增，有上界X,所以xn中的所有項(xiàng)均不落在 U x; 0 X 0,x 0中.此時(shí)取于是我們得到了冷b的一個(gè)開覆蓋:H Uxx |x Xt,b .根據(jù)有限覆蓋定理

21、，Xt,b可以被H中有限個(gè)開區(qū)間UxXi若x不是xn的上界，則 xn中至少存在一項(xiàng) 為，使為 x,這時(shí)取很明顯（1）的開區(qū)間右端點(diǎn)屬于Xn , （2）的開區(qū)間中不包含Xn中的項(xiàng).顯然Xt所屬的開區(qū)間是屬于（1） 的，b所屬的開區(qū)間是屬于（2）的，所以至少有一個(gè)（1）中的開區(qū)間與某個(gè)（2）中的開區(qū)間相交，這是不 可能的.18 .有限覆蓋定理證明區(qū)間套定理證明：用反證法.假設(shè) an,bnn1,2,3,|沒有公共點(diǎn)，則對(duì)任意一點(diǎn)a1,b1 ,它都不會(huì)是3n,bnn 1,2,3,|的公共點(diǎn)，從而存在正整數(shù)nx,使得xa%,bnx.故總存在一個(gè)開區(qū)間Ux xXx,XX, X于是我們得到了a1,D的一個(gè)開

22、H Uxx,Xx |x 司，句.根據(jù)有限覆蓋定理,31a可以被H中有限個(gè)開區(qū)間Uxik覆蓋.i 1注意到閉區(qū)間套之間的包含關(guān)系，則所有UxXi定和某個(gè)最小的閉區(qū)間an0 , bn03ni , bni無交.從而：ah3n0 , bn0ano , bn0U xan0，bn°.產(chǎn)生矛盾!19 .有限覆蓋定理證明聚點(diǎn)定理證明：設(shè)點(diǎn)集S是有界無限點(diǎn)集.設(shè)Sa,b .用反證法，假設(shè)S沒有聚點(diǎn).利用聚點(diǎn)定義，對(duì)任意的存在一個(gè)領(lǐng)域Ux x x，xXXx ,使得Ux中只包含點(diǎn)集S中有限個(gè)點(diǎn). XX這樣得到了 a,b的一個(gè)開覆蓋:H Ux x X,x x |x a,b .根據(jù)有限覆蓋定理，a,b可以被H

23、中 XXXn有限個(gè)開區(qū)間Ux 覆蓋.由于每個(gè)Ux中只包含點(diǎn)集S中有限個(gè)點(diǎn)，所以 a,bi i 1U%也只包含了 S中有限個(gè)點(diǎn)，這與S是無限點(diǎn)集相矛盾！故假設(shè)不成立，即20.有限覆蓋定理證明Cauchy收斂準(zhǔn)則證明：必要性：S有聚點(diǎn).若lim Xnx ,則對(duì)任意的n0,存在正整數(shù) N ,對(duì)一切n N ,有-.于是對(duì)一切m, n N ,有Xm Xn Xm X Xn X充分性：（使用反證法）現(xiàn)假設(shè) xn先證明柯西數(shù)列是有界的.個(gè)上界.其次，對(duì)任意0,取ak u，設(shè)s S包含于閉區(qū)間ak,bk，則s ak2 2滿足對(duì)任意的0,存在N ,對(duì)一切正整數(shù)n,m N ,有Xn Xm.L 0 1 ,故存在某個(gè)正

24、整數(shù)No,對(duì)一切n ,有Xn Xn0 1 1,即anaN0 1 1.故Xn有界.假設(shè)Xna,b .若Xn發(fā)散，則對(duì)任意的X a,b ,可以找到一個(gè)Ux X X,X X ,使得Xn中只有有限項(xiàng)落在U x; 0中.否則對(duì)任何0, X , X 中均包含 Xn中無限項(xiàng)，則可以證明Xn收斂.這樣得到了 a,b的一個(gè)開覆蓋：H Ux x x,xx |x a,b .根據(jù)有限覆蓋定理，a,b可以被H中有限個(gè)開區(qū)間 Ux n1覆蓋.所以a,b ux也只包含了 xn中的有限項(xiàng)，矛盾！故假設(shè)不成立，刀收斂.五.聚點(diǎn)定理21.聚點(diǎn)定理證明確界原理證明：僅證明非空有上界的數(shù)集S必有上確界.取一個(gè)閉區(qū)間 a,b ,使得a

25、,b包含S中的元素，并且b為S的上界.a b a b a b -a b將閉區(qū)間a,b等分為兩個(gè)閉區(qū)間 a,-b與ab,b .若a-b為數(shù)集S的上界，則取 斜由a,-b ,2222a b否則取司心a-b,b .再將閉區(qū)間a11bl等分為兩個(gè)閉區(qū)間a1,里也 與a,b1 .若ab1為數(shù)集S的上界，則取 1F222a2,b2司,芻一立，否則取a2,b2a-bL,b1 .不斷進(jìn)行下去，這樣得到了一個(gè)閉區(qū)間套an,bn .22由于bn明顯有界，所有它有聚點(diǎn) 對(duì)任意 0,s S,設(shè)bk U ；, ，則s bk.由 的任意性，s ，故 是S的一從而我們證明了是S的一個(gè)上確界22 .聚點(diǎn)定理證明單調(diào)有界定理證

26、明：設(shè)xn是單調(diào)有界數(shù)列，則它一定存在聚點(diǎn).下證：limxn.n對(duì)任意的 0,由聚點(diǎn)的定義，U, 中包含 xn中的無窮多項(xiàng)，設(shè)xnkU ,.則取Nn1 ,對(duì)一切正整數(shù)n Nn1，假設(shè)nnk.利用xn是單調(diào)的，xn介于乂口與xnk之間，所以由xn,xnk U ,，可知 U ,，從而由極限的定義，lim xn23 .聚點(diǎn)定理證明區(qū)間套定理證明：設(shè)S anbn，則S是有界無限點(diǎn)集 由聚點(diǎn)定理得數(shù)集 S聚點(diǎn).若存在一個(gè)某個(gè)正整數(shù) n0,使得an0鳳，不妨假設(shè)an0bn0.取0bn0,則對(duì)一切n n0 ,有anbnbn00 .于是U ; 00,0中只包含S中有限個(gè)點(diǎn)，這與 是數(shù)集S的聚點(diǎn)矛盾！故an，b

27、n n 1,2,3,HI下證唯一性，假設(shè)還有另外一點(diǎn)，也滿足an,bn n 1,23| .則bn an0 n ,故有：.唯一性得證.24 .聚點(diǎn)定理證明有限覆蓋定理證明：若閉區(qū)間 a,b可以被H中的開區(qū)間無限開覆蓋.下面證明閉區(qū)間 a,b可以被H有限開覆蓋.用反證法,若閉區(qū)間a,b不能被H有限開覆蓋.將閉區(qū)間a,b等分為兩個(gè)閉區(qū)間a,ab與ab,b .其中必有一個(gè)區(qū)間不能被H有限開覆蓋，設(shè)它為22即匕；再將閉區(qū)間a11bl等分為兩個(gè)閉區(qū)間 七芻皆 與它為a2,b2 .不斷進(jìn)行下去，這樣得到了一個(gè)閉區(qū)間套覆蓋顯然，an是有界的，故它存在聚點(diǎn).明顯min , ，則在 U ;, b aankU ;,

28、.又 bn an -2T-于是存在某個(gè)rk ,使得bn an 033a-bL,bi .其中必有一個(gè)區(qū)間不能被H有限開覆蓋，設(shè)2an,a,并且an,bn1,2,3” 均不能被H有限開a,b .考慮H覆蓋中覆蓋住的開區(qū)間，.取中包含了an中的無窮多項(xiàng)，設(shè)0 n故 ano； %故ano,bno,.這與an,bn1,2,3|均不能被H有限開覆蓋矛盾！故假設(shè)不成立，即閉區(qū)間 a,b可以被H有限開覆蓋.25 .聚點(diǎn)定理證明Cauchy收斂準(zhǔn)則若lim xnx ,則對(duì)任意的n證明：必要性：0,存在正整數(shù) N ,對(duì)一切n N ,有xnx -.于是對(duì)一切xmxn充分性:現(xiàn)假設(shè)xn滿足對(duì)任意的0,存在N ,對(duì)一切

29、正整數(shù)n,mN ,有 xnxm先證明柯西數(shù)列是有界的.取01 ,故存在某個(gè)正整數(shù)N 0 ,對(duì)一切n ,有xnXn0即anaN0 11.故xn有界.故它存在聚點(diǎn)，設(shè)為對(duì)條件中的 0,由聚點(diǎn)的定義,假設(shè)xnkU ;則對(duì)任意正整數(shù)n N，總存在某個(gè)nknk N，使得 xnkXnxnx,nkxnk.從而 lim xnn六.Cauchy收斂準(zhǔn)則26 . Cauchy收斂準(zhǔn)則證明確界原理 證明：設(shè)S為非空有上界數(shù)集.由實(shí)數(shù)的阿基米德性，對(duì)任何正數(shù)k 1 不是S的上界，即存在S使得分別取1n 1,2,3,| ,則對(duì)每一個(gè)正整數(shù) n,存在相應(yīng)的,使得n為S的上界,1 一不是S的上 n界,故存在S,使得又對(duì)正整

30、數(shù)m是s的上界，故有m .所以m1 ,.同理有 m于是得到于是,對(duì)任意的0,存在正整數(shù) N ,使得當(dāng)m,n N時(shí)有由柯西收斂準(zhǔn)則,數(shù)列 n收斂.記limn-1 1min ,-m nnimn現(xiàn)在證明 就是S的上確界.首先，對(duì)任何S和正整數(shù)n ,有 n ,有極限的保序性,故是S的上界1其次,對(duì)于任意的0,存在充分的的正整數(shù)n ,使得 并且n .n 22-1 一 一， 一 、，一1由于n n不是S的上界，所以存在 S,并且 n /_1_于TEn .故就是S的上確界.n 2 227 . Cauchy收斂準(zhǔn)則證明單調(diào)有界定理證明：設(shè)xn是單調(diào)有界數(shù)列，不妨假設(shè)xn單調(diào)遞增有上界若xn發(fā)散，則又柯西收斂準(zhǔn)

31、則，存在°0 ,對(duì)一切正整數(shù) N ,存在mn N ,使得 xm xnXm xn于是容易得到xn的子列xnk ,使得k 14k 0.進(jìn)而xnk% k 1 0故xnkk ，這與xn是有界數(shù)列矛盾！所有假設(shè)不成立，即xn收斂.0,存在正整數(shù) N ,對(duì)一切n N ,28 . Cauchy收斂準(zhǔn)則證明區(qū)間套定理 證明：設(shè) an,bn為閉區(qū)間套.因?yàn)閘im an bn 0,所以對(duì)任意的有 an bna an從而對(duì)任意的 m n N , am & am an bn %；bmbnbnbmbnan,由柯西收斂準(zhǔn)則，an,bn均收斂，而且是同一極限，設(shè)“manpmbn.由于an單調(diào)遞增，bn單調(diào)遞減，由極限的保序性，所以an，bn n 1,2,3,HI下證