指數(shù)函數(shù)復習教案

1、指數(shù)函數(shù)一、考綱點擊1了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景；2理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算；3理解指數(shù)函數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點；4知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。二、熱點、難點提示1.指數(shù)冪的運算、指數(shù)函數(shù)的圖象、單調(diào)性是高考考查的熱點.2.常與函數(shù)的其他性質(zhì)、方程、不等式等交匯命題,考查分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想.3.多以選擇、填空題形式出現(xiàn),但若以e為底的指數(shù)函數(shù)與導數(shù)交匯命題則以解答題形式出現(xiàn).1根式（1）根式的概念根式的概念符號表示備注如果,那么叫做的次方根當為奇數(shù)時,正數(shù)的次方根是一個正數(shù),負數(shù)的次方根是一個負數(shù)零的次方根是

2、零當為偶數(shù)時,正數(shù)的次方根有兩個,它們互為相反數(shù)負數(shù)沒有偶次方根（2）兩個重要公式；。2有理數(shù)指數(shù)冪（1）冪的有關概念正整數(shù)指數(shù)冪:;零指數(shù)冪:;負整數(shù)指數(shù)冪:正分數(shù)指數(shù)冪:;負分數(shù)指數(shù)冪: 0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.注：分數(shù)指數(shù)冪與根式可以互化，通常利用分數(shù)指數(shù)冪進行根式的運算。（2）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)aras=ar+s(a>0,r、sQ); (ar)s=ars(a>0,r、sQ); (ab)r=arbs(a>0,b>0,rQ);.3指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) y=axa>10<a<1圖象定義域R值域（0，+）性質(zhì)（1）過定點（0，

3、1）（2）當x>0時，y>1;x<0時,0<y<1(2) 當x>0時，0<y<1;x<0時, y>1(3)在（-，+）上是增函數(shù)（3）在（-，+）上是減函數(shù)思考：如圖所示，是指數(shù)函數(shù)（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx（4）,y=dx的圖象，如何確定底數(shù)a,b,c,d與1之間的大小關系？提示：在圖中作直線x=1，與它們圖象交點的縱坐標即為它們各自底數(shù)的值，即c1>d1>1>a1>b1,c>d>1>a>b。即無論在軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向變大?！緹狳c難點全析】一、冪的

4、運算的一般規(guī)律及要求1相關鏈接(1)分數(shù)指數(shù)冪與根式根據(jù)可以相互轉(zhuǎn)化.(2)分數(shù)指數(shù)冪中的指數(shù)不能隨便約分,例如要將 寫成等必須認真考查a的取值才能決定,如而無意義.(3)在進行冪的運算時,一般是先將根式化成冪的形式，并化小數(shù)指數(shù)冪為分數(shù)指數(shù)冪,再利用冪的運算性質(zhì)進行運算.(4)指數(shù)冪的一般運算步驟：有括號先算括號里的,無括號先做指數(shù)運算,先乘除后加減,負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù),底數(shù)是負數(shù),先確定符號,底數(shù)是小數(shù),先要化成分數(shù),底數(shù)是帶分數(shù)的,先化成假分數(shù),若是根式,應化為分數(shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示,運用指數(shù)運算性質(zhì).指數(shù)冪的化簡與求值的原則及結(jié)果要求（1）化簡原則化根式為分數(shù)指數(shù)冪；

5、 化負指數(shù)冪為正指數(shù)冪；化小數(shù)為分數(shù)； 注意運算的先后順序.注：有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)中，其底數(shù)都大于0，否則不能用性質(zhì)運算。（2）結(jié)果要求若題目以根式形式給出，則結(jié)果用根式表示；若題目以分數(shù)指數(shù)冪的形式給出，則結(jié)果用分數(shù)指數(shù)冪表示；結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又有負指數(shù)冪。2例題解析例1（1）化簡：；（2）計算：分析：（1）因為題目中的式子既有根式又有分數(shù)指數(shù)冪，先化為分數(shù)指數(shù)冪以便用法則運算。（2）題目中給出的是分數(shù)指數(shù)冪，先看其是否符合運算法則的條件，如符合用法則進行下去，如不符合應再創(chuàng)設條件去求。解：（1）原式=；（2）原式=例2已知，求的值解：，又，二、指數(shù)函數(shù)的

6、圖象及應用1相關鏈接（1）圖象的變換 （2）從圖象看性質(zhì)函數(shù)的圖象直觀地反映了函數(shù)的基本性質(zhì)圖象在x軸上的投影可得出函數(shù)的定義域；圖象在y軸上的投影可得出函數(shù)的值域；從左向右看，由圖象的變化得出增減區(qū)間，進而得出最值；由圖象是否關于原點（或y軸）對稱得出函數(shù)是否為奇（偶）函數(shù)；由兩個圖象交戰(zhàn)的橫坐標可得方程的解。（3）應用指數(shù)函數(shù)圖象研究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)：對指數(shù)型函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、最值、大小比較、零點等)的求解往往利用相應指數(shù)函數(shù)的圖象,通過平移、對稱變換得到其圖象,然后數(shù)形結(jié)合使問題得解.（4）利用圖象解指數(shù)型方程、不等式：一些指數(shù)方程、不等式問題的求解,往往利用相應指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)

7、形結(jié)合求解.2例題解析例1已知f(x)=|2x-1|(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.(2)比較f(x+1)與f(x)的大小.(3)試確定函數(shù)g(x)=f(x)-x2零點的個數(shù).【方法詮釋】(1)作出f(x)的圖象,數(shù)形結(jié)合求解.(2)在同一坐標系中分別作出f(x)、f(x+1)圖象，數(shù)形結(jié)合求解.(3)在同一坐標系中分別作出函數(shù)f(x)與y=x2的圖象,數(shù)形結(jié)合求解.解析：(1)由f(x)=|2x-1|=可作出函數(shù)的圖象如圖.因此函數(shù)f(x)在(-,0)上遞減；函數(shù)f(x)在(0,+)上遞增.(2)在同一坐標系中分別作出函數(shù)f(x)、f(x+1)的圖象，如圖所示.由圖象知,當時,解得兩圖象相交,從

8、圖象可見,當時,f(x)f(x+1)；當時,f(x)=f(x+1);當時,f(x)f(x+1).(3)將g(x)=f(x)-x2的零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)與y=x2圖象的交點問題,在同一坐標系中分別作出函數(shù)f(x)=|2x-1|和y=x2的圖象如圖所示，有四個交點,故g(x)有四個零點.例2已知函數(shù)y=()|x+1|。（1） 作出圖象；（2） 由圖象指出其單調(diào)區(qū)間；（3） 由圖象指出當x取什么值時函數(shù)有最值。分析：化去絕對值符號將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式作圖象寫出單調(diào)區(qū)間寫出x的取值。解答：（1）由已知可得其圖象由兩部分組成：一部分是： 另一部分是：圖象如圖：（2）由圖象知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是

9、減函數(shù)。（3）由圖象知當時，函數(shù)有最大值1，無最小值。三、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應用1、相關鏈接與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)的單調(diào)性的求解步驟求復合函數(shù)的定義域；弄清函數(shù)是由哪些基本函數(shù)復合而成的；分層逐一求解函數(shù)的單調(diào)性；求出復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（注意“同增異減”）。2、例題解析例1(1)函數(shù)的定義域是_.(2)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為_,值域為_.(3)已知函數(shù) (a0且a1)求f(x)的定義域和值域；討論f(x)的奇偶性；討論f(x)的單調(diào)性.【方法詮釋】根據(jù)待求的指數(shù)型函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,選擇恰當?shù)那蠛瘮?shù)定義域、值域(最值)、單調(diào)區(qū)間、奇偶性的方法求解.解析：(1)由題意知32x-13-3,2x-1-3,

10、x-1,即定義域是-1,+).答案：-1,+)(2)令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,由于g(x)在(-,-2)上單調(diào)遞增,在(-2,+)上單調(diào)遞減,而在R上為單調(diào)遞減,所以f(x)在(-,-2)上單調(diào)遞減.又g(x)=-(x+2)2+77,答案：(-,-2)3-7,+)(3)f(x)的定義域是R, 令得ax=-,ax0,-0,解得-1y1, f(x)的值域為y|-1y1. f(x)是奇函數(shù).設x1,x2是R上任意兩個實數(shù),且x1x2,則 x1x2,當a1時,從而f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),f(x)為R上的增函數(shù).當0a1時, 從而f(x1)-f(x2)0

11、,即f(x1)f(x2),f(x)為R上的減函數(shù).例2如果函數(shù)f(x)=ax(ax-3a2-1)(a>0且a1)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍分析：先化簡f(x)的表達式，利用復合函數(shù)的單調(diào)性的方法求解，或利用求導的方法來解。解答：由題意得f(x)= （ax）2-（3a2+1）ax，令t= ax。f(t)=t2-(3a2+1)t(t>0).當a>1時，t= ax在上為增函數(shù)，則此時t1,而對于f(t)而言，對稱軸t=>2,故f(x)在上不可能為增函數(shù)； 當0<a<1時，t=ax在上為減函數(shù)，此時0<t<1,要使f(x)在上為增函數(shù)， 則f(t

12、)在上必為減函數(shù)，故1.a或a,。四、指數(shù)函數(shù)的綜合應用例1已知f(x)= (ax-a-x)(a>0,a1).(1)判斷f(x)的奇偶性；(2)討論f(x)的單調(diào)性；(3)當x-1,1時，f(x)b恒成立，求b的取值范圍.思路分析：本題(1)(2)問判斷f(x)的奇偶性、討論它的單調(diào)性，由于已知函數(shù)的解析式，因此用定義判斷或利用導數(shù)判斷；(3)恒成立問題，實質(zhì)上是探求f(x)的最小值.解答：(1)函數(shù)的定義域為R，關于原點對稱，f(x)為奇函數(shù)；（2）方法一：設，則 當a>1時， >0，>0，0，f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，此時函數(shù)

13、f(x)為增函數(shù)；當0<a<1時，<0，<0，1+>0，f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，此時函數(shù)f(x)為增函數(shù)；綜上可知：函數(shù)f(x)= (ax-a-x) (a>0,a1)在定義域上為增函數(shù)；方法二：f(x)= (ax-a-x)，f(x)= (axlna+a-xlna)=當a1時，f(x)0,此時f(x)為增函數(shù)；當0a1時，f(x)0,此時f(x)為增函數(shù)，綜合可知：f(x)為增函數(shù)。(3)由(2)知f(x)在R上是增函數(shù)，f(x)在區(qū)間-1,1上為增函數(shù)，f(-1)f(x)f(1)，f(x)min=f(-1)= (a-

14、1-a)=·=-1，要使f(x)b在-1,1上恒成立，則只需b-1，故b的取值范圍是(-,-1.高考體驗：1（2012·山東高考文科·15）若函數(shù)在1，2上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)在上是增函數(shù)，則a.【解析】當時，有，此時，此時為減函數(shù)，不合題意.若，則，故，檢驗知符合題意. 答案：2（2011·山東高考理科·3）若點（a,9）在函數(shù)的圖象上，則的值為：（）0 （） （）1 （）【精講精析】答案：.點（a,9）在函數(shù)的圖象上，所以，所以3（2011·四川高考文科·4）函數(shù)的圖象關于直線y=x對稱的圖象大致是（ ）.【

15、思路點撥】（法一）先作出的圖象， 再作關于直線對稱的圖象.（法二）先求出時，反函數(shù)的解析式，再作反函數(shù)的圖象.【精講精析】選.（ 法一）先由的圖象向上平移一個單位，作出的圖象，再作直線對稱的圖象. (法二)當時，反函數(shù)的解析式為由的圖象向右平移1個單位，即得所需圖象.故選.4（2010遼寧文數(shù)）（10）設，且，則（） （）10 （）20 （）100解析：選.又5.（2010廣東理數(shù)）3若函數(shù)f（x）=3x+3-x與g（x）=3x-3-x的定義域均為R，則f（x）與g（x）均為偶函數(shù) . f（x）為偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)f（x）與g（x）均為奇函數(shù) . f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)解析：

16、3【考點提升訓練】一、選擇題(每小題6分，共36分)1.(2012·濟南模擬)函數(shù)y=的值域為( )()，+) ()(-, ()(0, ()(0, 2.若函數(shù)f(x)=(a+)cosx是奇函數(shù)，則常數(shù)a的值等于( )()-1 ()1 ()- () 3.(預測題)若集合x|y=,xR,集合y|y=log2(3x+1),xR,則=( )()x|0x1 ()x|x0()x|0x1 ()Ø4.（易錯題）函數(shù)y=|2x-1|在區(qū)間(k-1,k+1)內(nèi)不單調(diào),則k的取值范圍是( )()(-1,+) ()(-,1)()(-1,1) ()(0,2)5.(2012·煙臺模擬)若存在

17、負實數(shù)使得方程2x-a=成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )()(2,+) ()(0,+)()(0,2) ()(0,1)6.設函數(shù)f(x)定義在實數(shù)集上,它的圖象關于直線x=1對稱,且當x1時,f(x)=3x-1,則有( )()f()f()f()()f()f()f()()f()f()f()()f()f()f()二、填空題(每小題6分，共18分)7.(2012·南通模擬)設函數(shù)f(x)=a-|x|(a0且a1),若f(2)=4,則f(-2)與f(1)的大小關系是_.8.（2012·三明模擬）若函數(shù)f(x)=ax-x-a(a>0,a1)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是_.9.

18、設定義在R上的函數(shù)f(x)同時滿足以下條件：f(x)+f(-x)=0；f(x)=f(x+2)；當0x1時，f(x)=2x-1，則f()+f(1)+f()+f(2)+f()=_.三、解答題(每小題15分，共30分)10.(2012·福州模擬)已知對任意xR,不等式恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.11.設函數(shù)f(x)=kax-a-x(a0且a1)是定義域為R的奇函數(shù);(1)若f(1)0，試求不等式f(x2+2x)+f(x-4)0的解集;(2)若f(1)= ,且g(x)=a2x+a-2x-4f(x)，求g(x)在1,+)上的最小值.【探究創(chuàng)新】(16分)定義在上的函數(shù)f(x),如果滿足：對于任

19、意x,存在常數(shù)M0,都有|f(x)|M成立,則稱f(x)是上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=1+a·()x+()x;(1)當a=1時,求函數(shù)f(x)在(-,0)上的值域.并判斷函數(shù)f(x)在(-,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由；(2)若函數(shù)f(x)在0,+)上是以3為上界的有界函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.(3)試定義函數(shù)的下界,舉一個下界為3的函數(shù)模型,并進行證明.答案解析1.【解析】選.2x-x2=-(x-1)2+11,又y=()t在R上為減函數(shù)，y=()1=,即值域為,+).2.【解析】選.設g(x)=a+,t(x)=cosx，t(x)=cosx為偶函

20、數(shù)，而f(x)=(a+)cosx為奇函數(shù)，g(x)=a+為奇函數(shù)，又g(-x)=a+=a+ ，a+ =-(a+)對定義域內(nèi)的一切實數(shù)都成立，解得：a=.3.【解題指南】保證集合中的函數(shù)解析式有意義,同時注意對數(shù)函數(shù)成立的條件.【解析】選.=x|1-2|x|-10=x|x|-10=x|-1x1,=y|y0,=x|0x1.4.【解析】選.由于函數(shù)y=|2x-1|在(-,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增,而函數(shù)在區(qū)間(k-1,k+1)內(nèi)不單調(diào),所以有k-10k+1,解得-1k1.5.【解題指南】轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)y=與y=2x-a圖象在(-,0)上有交點求解.【解析】選.在同一坐標系內(nèi)分別作出函數(shù)y

21、=和y=2x-a的圖象知,當a(0,2)時符合要求.6.【解析】選.由已知條件可得f(x)=f(2-x).f()=f(),f()=f().又x1時,f(x)=3x-1,在(1,+)上遞增,f()f()f().即f()f()f().【方法技巧】比較具有對稱性、奇偶性、周期性函數(shù)的函數(shù)值大小的方法(1)單調(diào)性法：先利用相關性質(zhì),將待比較函數(shù)值調(diào)節(jié)到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用該函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性比較大小.(2)圖象法：先利用相關性質(zhì)作出函數(shù)的圖象,再結(jié)合圖象比較大小.7.【解析】由f(2)=a-2=4,解得a=,f(x)=2|x|,f(-2)=42=f(1).答案：f(-2)f(1)8. 【解析】

22、f(x)=ax-x-a有兩個零點，即方程ax=x+a有兩個實數(shù)根，即函數(shù)y=ax與y=x+a有兩個不同的交點，結(jié)合圖象知a>1.答案：(1,+)9.【解題指南】根據(jù)條件先探究函數(shù)的奇偶性、周期性,再將所求函數(shù)值轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)值求解.【解析】依題意知：函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且周期為2，f()+f(1)+f()+f(2)+f()=f()+f(1)+f(-)+f(0)+f()=f()+f(1)-f()+f(0)+f()=f()+f(1)+f(0)=-1+21-1+20-1=.答案：10.【解析】由題知：不等式對xR恒成立,x2+x2x2-mx+m+4對xR恒成立.x2-(m+1)x+m+40對xR恒成立.=(m+1)2-4(m+4)0.m2-2m-150.-3m5.11.【解析】f(x)是定義域為R的奇函數(shù),f(0)=0,k-1=0,k=1.(1)f(1)0,a-0,又a0且a1,a1,f(x)=ax-a-x,而當a1時，y=ax和y=-a-x在R上均為增函數(shù)，f(x)在R上為增函數(shù)，原不等式化為：f(x2+2x)f(4-x),x2+2x4-x,即x2+3x-40,x1或x-4，不等式的解集為x|x1或x-4.(2)f(1)=,a-=,即2a2-3a-2=0,a=2或a=-(舍去)，g(x)=