常微分方程自學(xué)指導(dǎo)書(shū)共11文檔

1、常微分方程自學(xué)指導(dǎo)書(shū)一、課程編碼、適用專(zhuān)業(yè)及教材課程編碼：110621211總學(xué)時(shí)：90學(xué)時(shí)，其中面授學(xué)時(shí)：28學(xué)時(shí)，自學(xué)學(xué)時(shí)：62學(xué)時(shí)。適用專(zhuān)業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)（函授本科）使用教材：王高雄等編，常微分方程，高等教育出版社（第二版），1983.9。二、課程性質(zhì)常微分方程科程是高等院校數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)在數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)基礎(chǔ)上繼 續(xù)深入和發(fā)展的一門(mén)專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，是對(duì)從實(shí)際應(yīng)用中總結(jié)出來(lái)的微分方程 的簡(jiǎn)單的處理方法和實(shí)際求解，特別是對(duì)于不能求解的微分方程的處理， 更是用現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)縮影。它是學(xué)習(xí)和應(yīng)用現(xiàn)代數(shù)學(xué) 必不可少的基礎(chǔ)知識(shí)之一。三、本課程的地位和作用該課程通過(guò)簡(jiǎn)單的介紹微分方程的

2、起源，微分方程的求解及對(duì)不可求 解的微分方程進(jìn)行有效處理，從而了解微分方程的解的性質(zhì)。本課程重在 討論微分方程解的基本理論，特別是解的存在唯一性、解對(duì)初值的連續(xù)依 賴(lài)性，解對(duì)初值和參數(shù)的可微性等，同時(shí)對(duì)一般的線性微分方程及微分方 程組的解法與性質(zhì)作了較為詳細(xì)的論述。這就為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和研究微分 方程及其應(yīng)用打下必要的基礎(chǔ)。第1頁(yè)四、學(xué)習(xí)目的和要求常微分方程是一門(mén)集理論性計(jì)算性于一體，以理論研究為主的學(xué)科。 它主要應(yīng)用數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)的一些基本知識(shí)，對(duì)微分方程的求解，線 性微分方程及方程組的基本理論進(jìn)行詳細(xì)的討論。既能鍛煉學(xué)生的理論推 理，也鍛煉學(xué)生的計(jì)算。這就要求學(xué)生在學(xué)習(xí)本學(xué)科的同時(shí)不要忘

3、記和前 面學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)相結(jié)合，掌握常微分方程的基本性質(zhì)和求解 問(wèn)題。五、本課程的學(xué)習(xí)方法本課程介紹的內(nèi)容比較多，特別是各個(gè)章節(jié)之間有著一些相應(yīng)的聯(lián) 系，有的內(nèi)容課本上只是簡(jiǎn)單的介紹，這就需要在學(xué)習(xí)這一部分的同時(shí)要 聯(lián)系考慮前面的知識(shí)用前面的方法進(jìn)行改進(jìn)處理，比如在高階微分方程及 微分方程組解的基本理論的時(shí)候只是簡(jiǎn)單的代過(guò)，因?yàn)槠浞椒ê颓懊娴囊浑A微分方程的處理理論完全一樣，只是更加繁瑣，所以在 學(xué)習(xí)這一部分知識(shí)時(shí)要和一階微分方程的基本理論進(jìn)行對(duì)照比較。再比如 用常數(shù)變易法求解微分方程和方程組時(shí)，它的思想和前面一階微分方程類(lèi) 似，但是又有相應(yīng)的改變，同樣對(duì)相應(yīng)的解的性質(zhì)方法又有各自的一

4、些特 點(diǎn)。所有這些都希望同學(xué)們能夠?qū)φ毡容^，深入分析，加強(qiáng)對(duì)方程解的理 解和掌握。止匕外，有一些內(nèi)容會(huì)獨(dú)立處理，方法迥異的，這一部分如后面 的第六、七兩章要特別處理學(xué)習(xí)，掌握其實(shí)質(zhì)，了解其背景。六、自學(xué)內(nèi)容與指導(dǎo)第一章緒論（一）自學(xué)內(nèi)容 1.1 分方程：某些物理過(guò)程的數(shù)學(xué)模型了解微分方程的產(chǎn)生及建模，從而對(duì)微分方程的物理意義及數(shù)學(xué)化有個(gè)大致的了解。 1.2 本概念理解常微分方程，偏微分方程的概念及其區(qū)別聯(lián)系，掌握并深刻理解微分 方程的階數(shù)，微分方程的解，微分方程的隱式解，積分曲線與方向場(chǎng)，方 程的通解和特解，線性微分方程與非線性微分方程，定解問(wèn)題，初值問(wèn)題 等概念。并能夠?qū)τ诰唧w問(wèn)題說(shuō)明之。（

5、二）本章重點(diǎn)本章重點(diǎn)在第二小節(jié)的各種概念的理解，這也是本章的難點(diǎn)。特別是對(duì)于微分方程的解的各種表示方法的區(qū)別和統(tǒng)一，各種解和方程的關(guān)系，實(shí)際重要又難以掌握的內(nèi)容。（三）學(xué)習(xí)指導(dǎo)通過(guò)具體例子進(jìn)行說(shuō)明，多做練習(xí)。第二章一階微分方程的初等解法（一）自學(xué)內(nèi)容 2.1 量分離方程與變量變換掌握什么是變量分離方程，并會(huì)求變量分離方程的通解和特解，深刻掌握 變量分離方法，對(duì)可化為可分離變量的微分方程的類(lèi)型及應(yīng)用舉例能夠了 解。 2.2 性方程與常數(shù)變易法對(duì)于一階線性方程的判斷，轉(zhuǎn)化及求解要熟練掌握，對(duì)于伯努利方程的 化為一階線性微分方程的方法要掌握，并能夠用于計(jì)算。深刻掌握常數(shù)變 易法的思想。 2.3 當(dāng)方

6、程和積分因子熟練掌握對(duì)于恰當(dāng)方程的判斷和幾種求解方法，理解并掌握求積分因子的 方法，特別是用觀察發(fā)求積分因子要熟練掌握并會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算。 2.4 一階隱方程與參數(shù)表示掌握四種類(lèi)型的一階隱式方程的求解方法，并會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算。（二）本章重點(diǎn)本章的重點(diǎn)是變量分離方程，一階線性微分方程及恰當(dāng)方程的求 解，與常數(shù)變易法。（三）本章難點(diǎn)本章的難點(diǎn)是對(duì)于不是全微分方程的方程的積分因子的尋找以及一 階隱式方程的求解計(jì)算。（四）學(xué)習(xí)指導(dǎo)對(duì)于各種類(lèi)型的方程的求解要做到會(huì)變形，使之成為前面已知的類(lèi) 型，然后套用前面的具體方法進(jìn)行計(jì)算。這就要做到對(duì)各種類(lèi)型的方程的 形勢(shì)非常熟悉，學(xué)會(huì)往這些類(lèi)型上靠。第三章 一階微

7、分方程的解的存在定理（一）自學(xué)內(nèi)容 3.1 的存在唯一性定理與逐步逼近法對(duì)于解的存在唯一性定理，要掌握利普希茨條件及定理的內(nèi)容含義，理解 各次逼近解的思想與計(jì)算，了解定理的證明方法和基本證明。了解近似計(jì) 算和誤差估計(jì)的基本內(nèi)容。 3.2 的延拓理解局部與全局利普希茨條件之間的關(guān)系。理解什么是飽和解及飽和解的 特點(diǎn)。掌握解的延拓定理及其推論，并能夠用來(lái)處理簡(jiǎn)單的飽和解的計(jì)算 問(wèn)題。 3.3 對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理了解解對(duì)初值的連續(xù)依賴(lài)性定理和可微性定理的基本內(nèi)容并明確其意義。了解初值也是一種參數(shù)的思想。 3.4 解：了解包絡(luò)和奇解的概念，知道克萊羅方程的包絡(luò)和奇解形式。（二）本章重點(diǎn)本章的重

8、點(diǎn)是解的存在唯一性定理與逐步逼近法，及解的延拓。（三）本章難點(diǎn)本章的難點(diǎn)是解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理。（四）學(xué)習(xí)指導(dǎo)把解的存在唯一性定理的證明分成五個(gè)相應(yīng)部分，找出他們的內(nèi)在聯(lián) 系。把定理的思想含義搞清楚。第四章 高階微分方程（一）自學(xué)內(nèi)容 4.1 性微分方程的一般理論理解齊次與非齊次線性微分方程的關(guān)系，齊次線性微分方程的解的性質(zhì)與 結(jié)構(gòu)，函數(shù)組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)及其與相應(yīng)的伏朗斯基行列式的關(guān) 系。熟練準(zhǔn)確的給出齊次與非齊次線性微分方程的通解的結(jié)構(gòu)公式。熟悉對(duì)高階非線性方程的常數(shù)變易法的運(yùn)用。 4.2 系數(shù)線性方程的解法理解復(fù)值函數(shù)與復(fù)值解的概念，復(fù)值函數(shù)的極限，連續(xù)，導(dǎo)數(shù)可微分等概 念。

9、對(duì)于各種類(lèi)型的常系數(shù)齊線性方程要會(huì)求其特征方程與特解通解等， 對(duì)于非齊次線性方程至少掌握一種求解方法。對(duì)于質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)簡(jiǎn)單了解。 4.3 階方程的降階和募級(jí)數(shù)解法掌握可降階的一些方程的類(lèi)型及降階方法，有精力的同學(xué)可以了解二階線 性方程的募級(jí)數(shù)解法和第二宇宙速度計(jì)算。（二）本章重點(diǎn)本章的重點(diǎn)是線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)和通解的表示，以及常系數(shù)線 性方程的解法。（三）本章難點(diǎn)本章的難點(diǎn)是二階線性方程的募級(jí)數(shù)解法和第二宇宙速度計(jì)算。（四）學(xué)習(xí)指導(dǎo)學(xué)習(xí)線性微分方程一般理論時(shí)，可以對(duì)照前面的一階線性微分方程所 具有的性質(zhì)和方法，加以比較學(xué)習(xí)。常系數(shù)線性方程的解法可以進(jìn)行分類(lèi) 總結(jié)，找出規(guī)律加以記憶。第五章線性微

10、分方程組（一）自學(xué)內(nèi)容 5.1 在唯一性定理方程組的表示，連續(xù)，可微分，方程組的解，初值問(wèn)題等概念，高階方程 與方程組的關(guān)系及轉(zhuǎn)化，存在唯一性定理，范數(shù)的概念及函數(shù)組的收斂一 致收斂。 5.2 性微分方程組的一般理論齊次與非齊次線性方程組的概念，解的疊加原理，線性相關(guān)，線性無(wú)關(guān)， 伏朗斯及行列式，基本解組，解空間，解矩陣，基解矩陣等概念及其相互 關(guān)系。齊次與非齊次線性方程組的解和通解的表示及常數(shù)變易法思想。 5.3 系數(shù)線性方程組矩陣指數(shù)的定義及計(jì)算，基解矩陣與指數(shù)矩陣的關(guān)系，矩陣的特征值與特 征向量的計(jì)算，齊次常系數(shù)線性方程組的基解矩陣及對(duì)應(yīng)的指數(shù)矩陣的求 法。（二）本章重點(diǎn)本章的重點(diǎn)是線性

11、微分方程組的解的結(jié)構(gòu)和通解的表示，基本解組， 解空間，解矩陣，基解矩陣，以及常系數(shù)線性方程組的解法。（三）本章難點(diǎn)本章的難點(diǎn)是常系數(shù)線性方程組的解法。（四）學(xué)習(xí)指導(dǎo)學(xué)習(xí)線性微分方程組的一般理論時(shí)，可以對(duì)照前面的一階線性微分方 程和高階線性微分方程所具有的性質(zhì)和方法，加以比較學(xué)習(xí)。常系數(shù)線性方程組的解法可以 根據(jù)基解矩陣與指數(shù)矩陣的關(guān)系，找出規(guī)律加以學(xué)習(xí)。第六章非線性微分方程和穩(wěn)定性（一）自學(xué)內(nèi)容第7頁(yè) 6.1 言 微分方程零解的穩(wěn)定性，不穩(wěn)定性，漸近穩(wěn)定性，全局穩(wěn)定性，吸引域，穩(wěn)定域的概念及判斷方法 6.2 平面相平面，相空間，軌線，駐定方程組（自治方程組），奇點(diǎn)，線性自治方程組的分類(lèi)。 6.

12、3 線性近似決定微分方程組的穩(wěn)定性特征方程無(wú)零根和零實(shí)部特征根條件下，自治方程組的穩(wěn)定性定理。 6.4 雅普諾夫第二方法正定，負(fù)定的概念，函數(shù)關(guān)于方程的全導(dǎo)數(shù)，函數(shù)穩(wěn)定性與李雅普諾夫函數(shù)的關(guān)系。 6.5 期解與極限圈（選學(xué)） 6.6 次型V函數(shù)的構(gòu)造與控制系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性（選學(xué)）（二）本章重點(diǎn)本章的重點(diǎn)是微分方程零解的穩(wěn)定性，不穩(wěn)定性，漸近穩(wěn)定性，全局穩(wěn)定性，吸引域，穩(wěn)定域的概念及判斷方法。（三）本章難點(diǎn)本章的難點(diǎn)是相平面，相空間，軌線，駐定方程組（自治方程組）奇點(diǎn)，線性自治方程組的分類(lèi)。（四）學(xué)習(xí)指導(dǎo)參考有關(guān)的書(shū)籍進(jìn)行學(xué)習(xí)。第七章 一階線性偏微分方程（選學(xué)）七、自學(xué)進(jìn)度與各章節(jié)學(xué)時(shí)安排自學(xué)周

13、數(shù)16周，每周4學(xué)時(shí)，總計(jì)62學(xué)時(shí)。在自學(xué)過(guò)程中，除了保證自學(xué)時(shí)間外，還要多做練習(xí)，獨(dú)立完成作業(yè)并分兩次寄回學(xué)校。最好將各章節(jié)后面的有關(guān)習(xí)題也多一下。注：以下是各個(gè)章節(jié)學(xué)時(shí)安排及作業(yè)（不包括作業(yè)學(xué)時(shí)）自學(xué)進(jìn)度表周次學(xué)時(shí)內(nèi)容學(xué)習(xí)要求作業(yè)14緒論弄清微分方程及解的基本概念P15. 1. 2 (2)(6)3. (1) (4)(6)4. 6.2-516一階微會(huì)解可分離變量的微分方程，一P30 1.2. 4. 5.分方程階線性方程，全微分方程（恰當(dāng)7. 8. 10.的初等方程），能夠找出簡(jiǎn)單的方程的11. 18.解法初等因子并求解P37. 1. 2. 4. 5.13. 14. 22.P49. 1.2.

14、4. 6.7.8.9.12. 13.P58 1. 2.第9頁(yè)6-812一階微 分方程 的解的 存在定 理掌握利普希茨條件及存在唯一 性定理的內(nèi)容含義，理解各次逼 近解的思想與計(jì)算，了解定理的 證明方法和基本證明。P78 1.2. 4.（交第一次作業(yè)）9-1214高階微分方程理解齊次與非齊次線性微分方 程的關(guān)系，齊次線性微分方程的 解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)，函數(shù)組的線性 相關(guān)與線性無(wú)關(guān)及其與相應(yīng)的 伏朗斯基行列式的關(guān)系。準(zhǔn)確的 寫(xiě)出齊次與非齊次線性微分方 程的通解的結(jié)構(gòu)公式及常系數(shù) 線性方程的通解和特解。P113 1. 3. 4. 9.P145 2. 4. 5. 6.10. 11.12-1512線性微分方程組理解齊次、非齊次線性方程組、 解的疊加原理、線性相關(guān)、線性 無(wú)關(guān)、伏朗斯及行列式、基本解 組、基解矩陣等概念，會(huì)求常系 數(shù)線性方程組的基解矩陣及對(duì) 應(yīng)的指數(shù)矩陣。P184 1.2.P201 1.6.P236 3. a) c) 4.a) b) c) 5. a)b) a)15164非線性微分方程和穩(wěn)了解微分方程零解的穩(wěn)定性，不 穩(wěn)定性，漸近穩(wěn)定性，全局穩(wěn)定 性，吸引域，穩(wěn)定域的概念及判自選（交第二次作第10頁(yè)定性斷方法，及函數(shù)關(guān)