困擾小學(xué)數(shù)學(xué)的15個(gè)爭(zhēng)議問(wèn)題

1、困擾小學(xué)數(shù)學(xué)的 15 個(gè)爭(zhēng)議問(wèn)題 1、最小的一位數(shù)是 0 還是 1？ 這個(gè)問(wèn)題在很長(zhǎng)一段時(shí)間存在爭(zhēng)論。 先來(lái)看看九年義務(wù)教育六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第八冊(cè)教師教學(xué)用書(shū) 第 98 頁(yè)“關(guān)于幾位數(shù)”的敘述： “通常在自然數(shù)里，含有幾個(gè)數(shù) 位的數(shù)，叫做幾位數(shù)。例如“ 2”是含有一個(gè)數(shù)位的數(shù)，叫做一 位數(shù)；“ 30”是含有兩個(gè)數(shù)位的數(shù)，叫做兩位數(shù)； “ 405”是含有 三個(gè)數(shù)位的數(shù)， 叫做三位數(shù)但是要注意： 一般不說(shuō) 0 是幾位 數(shù)。 再來(lái)聽(tīng)聽(tīng)專(zhuān)家的說(shuō)明：在自然數(shù)的理論中，對(duì)“幾位數(shù)”是這樣 定義的，“只用一個(gè)有效數(shù)字表示的數(shù)，叫做一位數(shù)；只用兩個(gè) 數(shù)字（其中左邊第一個(gè)數(shù)字為有效數(shù)字）表示的數(shù)，叫做兩位 數(shù)所以

2、， 在一個(gè)數(shù)中， 數(shù)字的個(gè)數(shù)是幾 （其中最左邊第一個(gè) 數(shù)字為有效數(shù)字） ，這個(gè)數(shù)就叫幾位數(shù)。于此， 所謂最大的幾位數(shù)， 最小的幾位數(shù)， 通常是在非零自然數(shù) 的范圍研究。所以一位數(shù)共有九個(gè)，即：、 、。不是最小的一位數(shù)。、為什么 0 也是自然數(shù) ?課標(biāo)教材對(duì) “也是自然數(shù)” 的規(guī)定， 顛覆了人們對(duì)自然數(shù)的傳 統(tǒng)認(rèn)識(shí)。于此，中央教科所教材編寫(xiě)組主編陳昌鑄如是說(shuō)： 國(guó)際上對(duì)自然 數(shù)的定義一直都有不同的說(shuō)法， 以法國(guó)為代表的多數(shù)國(guó)家都認(rèn)為 自然數(shù)從 0 開(kāi)始，我國(guó)教材以前一直都是遵循前蘇聯(lián)的說(shuō)法， 認(rèn) 為 0 不是自然數(shù)。 2000 年教育部主持召開(kāi)教材改編會(huì)議時(shí)，已 明確提出將 0 歸為自然數(shù)。這次

3、改版也是與國(guó)際慣例接軌。 從教學(xué)實(shí)踐層面來(lái)說(shuō)，將“”規(guī)定為“自然數(shù)”也有著積極的 現(xiàn)實(shí)意義?！?”作為自然數(shù)的“好處” 。眾所周知， 數(shù)學(xué)中的集合被分為有限集合和無(wú)限集合兩類(lèi)。 有限 集合是含有有限個(gè)元素的集合， 像某班學(xué)生的集合。 無(wú)限集合是 含有的元素個(gè)數(shù)是非有限的集合， 如分?jǐn)?shù)的集合。 因?yàn)樽匀粩?shù)具 有“基數(shù)” 的性質(zhì)， 因此用自然數(shù)來(lái)描述有限集合中元素的個(gè)數(shù) 是很自然的。但在有限集合中， 有一個(gè)最主要也是最基本的集合， 叫空集 ， 元素個(gè)數(shù)為 0。如果不把 0 作為自然數(shù)，那么空集的元素的個(gè)數(shù) 就無(wú)法用自然數(shù)來(lái)表示了。如果把“ 0”作為一個(gè)自然數(shù)，那么 自然數(shù)就可以完成刻畫(huà)“有限集合元

4、素個(gè)數(shù)”的任務(wù)了。于此， 從“自然數(shù)的基數(shù)性”這個(gè)角度，我們看到了把“0”作為自然數(shù)的好處。把“ 0”作為自然數(shù)，不會(huì)影響自然數(shù)的 “運(yùn)算功能”。 “0”加入傳統(tǒng)的自然數(shù)集合，所有的“運(yùn)算規(guī)則”依舊保持， 如新自然數(shù)集合 0,1,2, 中的任何兩個(gè)自然數(shù)都可以進(jìn)行 加法和乘法運(yùn)算，而運(yùn)算結(jié)果仍然是自然數(shù)。同時(shí)，加法、乘法 運(yùn)算的結(jié)合律和交換律，以及乘法的分配律也不會(huì)受到影響。 所以，“0”加盟到自然數(shù)集合實(shí)屬理所當(dāng)然， 而不僅僅是人為的 “規(guī)定”。它讓我們更好地理解自然數(shù)和它的功能，同時(shí)也讓我 們意識(shí)到教學(xué)時(shí)不僅要知道和記住數(shù)學(xué)的“定義”和“規(guī)定” ， 還應(yīng)該思考“規(guī)定”背后的數(shù)學(xué)涵義。3、什

5、么是有效數(shù)字一無(wú)效數(shù)字？ 有效數(shù)字是對(duì)一個(gè)數(shù)的近似值的精確程度而提出的。 同一個(gè)近似 數(shù)如果在取舍時(shí)， 保留的有效數(shù)字多， 就比保留的有效數(shù)字少更 精確。一般說(shuō)， 一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位， 就說(shuō)這個(gè)近似數(shù) 精確到哪一位。 這時(shí)， 從左邊第一個(gè)非零的數(shù)字起， 到那一位上 的所有數(shù)字都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。如近似數(shù)0有三個(gè)有效數(shù)字：、；也有三個(gè)有效數(shù)字： 、。而中左邊的三個(gè)零，中 左邊的一個(gè)零，都叫做無(wú)效數(shù)字。、加法與減法、乘法與除法是否互為逆運(yùn)算？“加法與減法互為逆運(yùn)算、 乘法與除法互為逆運(yùn)算” 這似乎成了許多老師的口頭禪，這其實(shí)是一種誤解。例如：加法“” ，其逆算為“” ，“” 故此，加法

6、的逆運(yùn)算只有減法；減法“” ，其逆算有 “” ，“” 故此，減法的逆運(yùn)算有減法和加法兩種運(yùn)算。綜上可知， 只能說(shuō)減法是加法的逆運(yùn)算， 而不能說(shuō)加法與減法互 為逆運(yùn)算。同理，也只能說(shuō)除法是乘法的逆運(yùn)算， 而不能說(shuō)乘法與除法互為 逆運(yùn)算。5、為什么不寫(xiě)“倍”？在學(xué)習(xí)“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍” 應(yīng)用題時(shí)， 很多小朋 友會(huì)自然提出這樣的疑問(wèn)，如： “飼養(yǎng)小組養(yǎng)了 12只小雞， 3只 小鴨，小雞的只數(shù)是小鴨的幾倍？”為什么“ 12÷ 34”的后面 不寫(xiě)“倍”呢？我們首先應(yīng)該肯定學(xué)生的質(zhì)疑（學(xué)生有較強(qiáng)的解題規(guī)范意識(shí)） 。 但同時(shí)又該對(duì)學(xué)生說(shuō)明： 在解答應(yīng)用題時(shí)， 得數(shù)后面一般要寫(xiě)上 的是數(shù)的單

7、位名稱(chēng)。如： 12只的“只”；8 克的“克”。一個(gè)數(shù)只 有帶上單位名稱(chēng)， 才能準(zhǔn)確地表示出一個(gè)物體的多少、 大小、 長(zhǎng) 短、輕重等等。但是， “倍”不是單位名稱(chēng)，它表示兩個(gè)數(shù)量之 間的一種關(guān)系。例如，上面的計(jì)算結(jié)果“ 4”，表示 12 里面有 4 個(gè) 3，就是 12 只小雞是 3 只小鴨的 4 倍。所以，在算式里不寫(xiě) “倍”，以免“倍”與單位名稱(chēng)發(fā)生混淆。6、“倍”和“倍數(shù)”的區(qū)別在第一學(xué)段我們學(xué)習(xí)了 “倍的初步認(rèn)識(shí)” ，認(rèn)識(shí)了概念“倍”， 而在第二學(xué)段 ,我們又學(xué)習(xí)到“倍數(shù)”這個(gè)概念。那么， “倍”和 “倍數(shù)”這兩個(gè)詞到底是不是一回事呢？這兩個(gè)詞之間有什么區(qū) 別呢？“倍”指的是數(shù)量關(guān)系，它建

8、立在乘除法概念的基礎(chǔ)上。例如： 男生有 10 人，女生有 30 人，因?yàn)椤?0×3=30”或者“30÷10=3”， 我們就說(shuō)，女生人數(shù)（30）是男生人數(shù) （10）的 3倍，也可以說(shuō)， 男生人數(shù)（ 10）的 3 倍等于女生人數(shù)（ 30）。勿寧說(shuō)，“倍”其實(shí) 表示的是兩個(gè)數(shù)的商 （這個(gè)商可以是整數(shù)、 小數(shù)、 分?jǐn)?shù)等各種表 現(xiàn)形式）。“倍數(shù)”指的是數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系， 它建立在整除概念的基礎(chǔ)上。 例如， 30能被 6整除， 30就是 6的倍數(shù)。可見(jiàn)，“倍數(shù)”是不能 獨(dú)立存在的（具有特定的指向性） ，而且對(duì)數(shù)的形式有特別的要 求（必須為整數(shù)） 。同時(shí)我們又看到， 30也是 6的 5倍

9、，因?yàn)?6×530，“6×5”表 示 6 的 5 倍。所以從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)， “倍”的涵義應(yīng)寬泛于“倍 數(shù)”，后者可以視為前者在特定情形下的一種表現(xiàn)。7、“時(shí)”和“小時(shí)”有什么不同？怎樣使用“時(shí)”和“小時(shí)”？首先應(yīng)該明確的是， 小時(shí)并非國(guó)際時(shí)間單位。 在 1984年國(guó)務(wù) 院發(fā)布的 關(guān)于我國(guó)統(tǒng)一法定計(jì)量單位的命令 中，把秒作為時(shí) 間的基本單位，把非國(guó)際單位制的時(shí)間單位天（日） 、小時(shí)、 分作為輔助單位。（注：里的字，在不致混淆的情況下，可以 省略）。這樣，在我國(guó)范圍內(nèi)使用的法定時(shí)間單位就有： 天（日）、 小時(shí)、分、秒。由此，“時(shí)”既可以表示時(shí)間，又可以表示時(shí)刻。由于“時(shí)間” 和

10、“時(shí)刻” 這兩個(gè)不同的概念容易產(chǎn)生混淆， 在實(shí)際應(yīng)用時(shí)間單 位“時(shí)”時(shí)，現(xiàn)行教材作了如下處理：7 1 當(dāng)列式計(jì)算出時(shí)間的長(zhǎng)短時(shí)，在得數(shù)的括號(hào)里寫(xiě)上時(shí)間的 單位“時(shí)”。例如：超市營(yíng)業(yè)時(shí)間： 21-9=12（時(shí)）。（此處可省略“小”字）7 2 在用語(yǔ)言表述時(shí)間的長(zhǎng)短時(shí)，為避免“時(shí)間”和“時(shí)刻” 這兩個(gè)概念產(chǎn)生混淆，則在“時(shí)”的前面加上一個(gè)“小”字。例 如：超市營(yíng)業(yè)時(shí)間 12 小時(shí)。73 在用語(yǔ)言表示時(shí)刻時(shí)，一律不得出現(xiàn)“小時(shí)”字樣。例如：公園每天早上 7 時(shí) 30 分開(kāi)園（而非 7 小時(shí) 30 分）8、“改寫(xiě)”和“省略”是一樣的嗎？先來(lái)看的教材例題截圖（人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第七冊(cè) 22 頁(yè)）。從形式上看

11、，此例將“改寫(xiě)”與“省略”兩種對(duì)數(shù)的變化置于了 同一個(gè)要求之下（即改寫(xiě)成用“億”作單位的數(shù)） 。我們真希望編者不是有意而為之，因?yàn)椤案膶?xiě)”與“省略”其本質(zhì)是完全不 同的。表現(xiàn)在：目的不同?！案膶?xiě)”的目的是方便對(duì)大數(shù)的讀寫(xiě)，而“省略”則是取數(shù)的近似值。方法不同。此處的“改寫(xiě)”是去掉“億”位后面的0，再寫(xiě)上一個(gè)“億”字，而“省略”除了要找準(zhǔn)“億”位，還要考慮被省略的尾數(shù)的最高位是幾，然后用四舍五入法求出近似數(shù)。符號(hào)不同?！案膶?xiě)”只改變了數(shù)的表現(xiàn)形式，大小并未改變，所以用“ =”號(hào)連接；而“省略”既改變了數(shù)的形式，又改變的數(shù)的大小，所以用“”連接。9、“路程”就是“距離”嗎？這兩個(gè)詞在許多老師的教學(xué)

12、語(yǔ)言中是替代使用的，其實(shí)不然?！奥烦獭笔侵笍囊粋€(gè)地點(diǎn)到另一個(gè)地點(diǎn)所經(jīng)過(guò)路線的長(zhǎng)度； 而“距離”則指連接兩個(gè)地點(diǎn)而成的直線段的長(zhǎng)度。如下圖：可以看到，“路程” 所經(jīng)過(guò)的路線可以是曲形線， 也可以是直形 線，還可能是折形線。一般情況下，兩個(gè)地點(diǎn)之間的“路程”要 大于它們之間的 “距離”，只有當(dāng)兩個(gè)地點(diǎn)之間的路線為直線時(shí)， 路程和距離才相等。10、最大的分?jǐn)?shù)單位是 1/2 還是 1/1？先看看分?jǐn)?shù)單位的含義：把單位“ 1”平均分成若干份，表示這 樣一份的數(shù)。顯然，在分?jǐn)?shù)意義中，關(guān)鍵是“分” ，沒(méi)有“分”，就沒(méi)有“份”。 因?yàn)榘褑挝弧?1”平均分成的最少份數(shù)是 2份（如果是 1 份，也 就無(wú)所謂“分”

13、 ），由此得到的分?jǐn)?shù)單位是 1/2，所以 1/2 是最大 的分?jǐn)?shù)單位。盡管就廣義的分?jǐn)?shù)來(lái)說(shuō)， 1/1 也可視作分?jǐn)?shù)，但它已不是我們通 常意義上認(rèn)識(shí)的與整數(shù)對(duì)立的那種分?jǐn)?shù) （在平均分的基礎(chǔ)上所產(chǎn) 生），故此，最大的分?jǐn)?shù)單位應(yīng)以 1/2 為宜。11、像 0/3、 3、3/這樣的數(shù)是不是分?jǐn)?shù) ?分?jǐn)?shù)的定義明確告訴我們 :把單位“ 1”平均分成若干份，表示這 樣一份或幾份的數(shù) ,叫分?jǐn)?shù)。其中，分成的份數(shù)叫做分?jǐn)?shù)的分母， 要表示的份數(shù)叫做分子。 由此可知， 分?jǐn)?shù)的分子和分母都應(yīng)該是 非零自然數(shù)。從這個(gè)意義來(lái)說(shuō)，以上這幾個(gè)數(shù)徒具分?jǐn)?shù)的形式，而不具分?jǐn)?shù)的實(shí)質(zhì)，因此都不應(yīng)該視為分?jǐn)?shù)。進(jìn)而，在考查學(xué)生對(duì)“分?jǐn)?shù)”

14、涵義的理解時(shí)，應(yīng)著眼于通常意義 上的分?jǐn)?shù)， 將上述這些變異形式納入思考的范圍， 其本身對(duì)訓(xùn)練 學(xué)生的思維并無(wú)多大實(shí)際意義，而且會(huì)令諸如“分?jǐn)?shù)都大于0”等命題的真與假陷入尷尬。12、比 6 多 1/2 的數(shù)”應(yīng)該是“ 6+1/2”還是“ 6+（ 1+1/2）”？要弄清這個(gè)問(wèn)題，先得弄清“ 6”的性質(zhì)。顯然，此處的“ 6”其 實(shí)質(zhì)是一個(gè)“數(shù)” ，而非一個(gè)“量” ，求“比 6多 1/2的數(shù)”應(yīng)屬 于“求比一個(gè)數(shù)多幾的數(shù)”的范疇，問(wèn)題中的“多幾”都是確定 的具體數(shù)，這里的“幾”既可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分?jǐn)?shù)。 所以，這里的“ 1/2”是指在 6 的基礎(chǔ)上“多 1/2”這個(gè)“1/2”數(shù) 的本身，而非“

15、6 的 1/2”。所以，“比 6 多 1/2 的數(shù)”應(yīng)該是“6+1/2”。當(dāng)然，如果題目確定為“比 6 多它的 1/2 的數(shù)”，那答案則屬于13、計(jì)算出勤率可不可以不乘 100% ？先來(lái)看看新人教版、 北師大版和蘇教版三個(gè)不同版本的教材對(duì)類(lèi) 似問(wèn)題的理解同一課程標(biāo)準(zhǔn)下， 不同的教材給出了不同的理解， 這給執(zhí)教者帶 來(lái)了困惑： 到底可不可以不乘 100%呢？筆者以為， 求“××率” 其結(jié)果必定為百分率。 以出勤率為例， 就是求實(shí)際出勤人數(shù)占應(yīng) 出勤人數(shù)的百分之幾。如果公式只寫(xiě)成：出勤率 =實(shí)際出勤人數(shù) 應(yīng)出勤人數(shù)， 我們說(shuō)這只是分?jǐn)?shù)形式 （也即是求實(shí)際出勤人數(shù) 占應(yīng)出勤人數(shù)的

16、“幾分之幾” ），并不是百分?jǐn)?shù)。因此，在公式后 面乘上“” ，既可以使計(jì)算數(shù)值大小不變，又能保證結(jié) 果形式滿足百分?jǐn)?shù)的要求。 因此，計(jì)算出勤率、 發(fā)芽率、 出粉率、 合格率的公式中，都應(yīng)乘“” 。同時(shí)建議各版本教 材的編委統(tǒng)一思想，以免給一線教師造成認(rèn)識(shí)上的混亂。4、小于度的角都是銳角嗎？ 根據(jù)課標(biāo)教材定義： 小于度的角叫做銳角。 答案似乎是肯定 的，但由此又產(chǎn)生一個(gè)新的問(wèn)題： 度的角是什么角， 也是銳角 嗎？事實(shí)是， 銳角定義有一個(gè)隱含的前提， 就是小學(xué)數(shù)學(xué)中所討論的 角都是正角。 習(xí)慣上， 我們把射線按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而得到的角 叫做正角， 射線按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而得到的角叫做負(fù)角， 當(dāng)一條 射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)時(shí)， 就把它看成零角。 如果將角的概念推廣 到任意大小的角，就應(yīng)分為正角、負(fù)角、和零角。由此，嚴(yán)格意義上的銳角定義應(yīng)是： 大于度而小于度的角 叫做銳角。（建議教材作出修改）5、足球比